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　「r^2=3のとき」、x^3+y=z^3は自然数解を持たない。
が正しいでしょうか？

「r^2=3のとき」、x^3+y=z^3は無理数で、整数比の解を持つので、
整数解も、持ちます。

よって、「x^3+y=z^3は自然数解を持たない。」は、間違いです。