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> x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)です。

でも(3)の無理数解については調べていませんよね。

(3)に、整数比となる有理数解が存在しないので、
整数比となる無理数解も存在しません。
pが奇素数で、x^p+y^p=z^pを満たす無理数で整数比となるx、y、zが存在するならば、
x^p+y^p=z^pをみたす有理数で整数比となるx、y、zが存在します。