>0.99999……＜１は<<1で証明されている

正確には

I_1=[0,0.9]
I_2=[0,0.99]
I_3=[0,0.999]
…
I_n=[0,1-1/10^n]

I=∪(n∈N)I_n

と定義すれば

「I=[0,1)であって、1はIの要素でない」

というのが>>1の
「0.9＋0.09＋0.009＋……は１にはならないから、
　0.99999……も１にはならない。」
の主旨と思われる

ついでにいえば
0.999…を「Iの最大の要素」として定義したなら
Iには最大の要素は存在しないから
上記の定義による0.999…は存在しない

で、実数論では、0.999…を
「Iのいかなる要素よりも大きい最小の元」
と定義している

つまり0.999…がIの要素である必要はない

その場合
「Iのいかなる要素よりも大きい最小の元」
としての0.999…は1に等しい