たとえば教科書に次のような例題が載っていたとしよう。

Ｓ＝1/2＋1/4＋1/8＋……
Ｓの値を求めよ。

このＳとは1/2＋1/4＋1/8＋……の極限値のことであって、
1/2＋1/4＋1/8＋……が近づく値のことであって、
1/2＋1/4＋1/8＋……＝Ｓではない(笑
Ｓ＝1im 1/2＋1/4＋1/8＋…… なのである(笑

無限級数は和を持たないのであって、仕方ないから、
無限級数の極限値を和と定義しているのである。
無限級数が近づく値Ｓ（極限値）を、便宜的に、
無限級数の和と定義しているだけであって、
無限級数はＳに近づくがＳにはならないのである(笑