分からない問題はここに書いてね459

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね458
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

(使用済です: 478)

乙です

円x^2+(y-1)^2=1に外接し，x軸にも接する円の中心をPとするとき，点Pの軌跡を求めよ。
ただし，円の中心Pがy軸上にあるときは除くものとする。
↑
おそらく楕円になりそうですが、焦点が外接点なのか、x軸との接点なのかわけわかりません。
自分にとっては解き方教えてもらわないと絶対無理だろの問題です。
解き方を教えていただけないでしょうか？

>>3
放物線じゃね？

円Ｐの半径をrとすると、円Pは外接するんだから、Pと(0,1)との距離はr+1
そこから式を立てたらいい

中心間の距離を使ってどのような式を立てればよいんでしょうか？

放物線C:y=x^2上の点Pにおける接線の上に、PX=1をみたす点Xをとる。ただしXのx座標はPのx座標より大きいとする。
PがC上を動くとき、Xが動いてできる曲線を求めよ。

三角形の内接円と傍接円の共通接線４本のうち３本は三角形の辺ですが
残り一本は外接円の（傍接円の逆の位置の）頂点での接線に平行なことを示せ

外接円の頂点？

ああ、わかった。
△ABCの∠Aの二等分線とBCの交点をP、
外接円のAにおける接線と直接BCの交点をQとする。
AB<ACとしてよい。
∠QAB=x、∠PAB=∠PAC=yとする。
∠WAP=x+y。
接弦定理により∠ACB=x。
∴APQ=x+y。
よって辺BCを直接APについて反転させた直線lと直線APのなす角もx+y。
∴l//AQ。
一方で直線BCは内接円と辺BCに接する傍接円の両方に接し、直線APはこの２円の中心を通るからlはもまたこの２円に接する。□

>>6
P(p,p^2) におけるCの接線は
　y = 2p(x-p) + pp,
　X(p + 1/√(1+4pp), pp + 2p/√(1+4pp)) = (x,y)
　
　xx-y = 1/(1+4pp),
に
　p = x - √(xx-y),
を入れて
　(xx-y){1 + 4[x-√(xx-y)]^2} = 1,
変な問題だな。

>>7
内接円と傍接円Aの辺以外の共通接線　//　傍接円Bと傍接円Cの辺以外の共通接線
でもあった

V を有限次元ベクトル空間とする。
V' を V の双対空間とする。
U^0 := {φ ∈ V' | φ(u) = 0 for all u ∈ U} とする。

U と W を V の部分空間とし、 W^0 ⊂ U^0 とする。

U ⊂ W を証明せよ。

任意のU要素 u を持ってくる.
適当な直和分解: V=W+W’ に対して u= w + w’.
任意の φ ∈ W^0(⊂U^0) に対して φ(w’)=φ(u)-φ(w) = 0
よって w’=0 (そうでなければ φ(w’)=1 となる φ(∈W^0)が構成できる)
ゆえに u=w ∈ W, 即ち U ∈ W である.

誤: U ∈ W である.
正: U ⊂ W である.

>>１４

ありがとうございました。

0---3
長さ3の数直線があり、一方の端の座標を0、他方を3とする
数直線上に2点X,Yをランダムに配置する
X,Yの座標をそれぞれx,yとしこのときx,yの距離が1以下になる確率を求めよ

*(条件から0≤x≤3,0≤y≤3のうち |x-y|≤1を満たす面積を考えれば幾何的に解けますがこの方法は置いておき)
この問いを連続型の確率分布とみて解く場合、どのように解けばよいでしょうか
次の確率密度関数のようなものが成り立(ちそう)だと思いましたが、
この後どうすればよいか or 根本から間違っているのでしょうか、ご教授下さい
f(x)= { (1+x)/3 (0≤x≤1)
2/3 (1≤x≤2)
(4-x)/3 (2≤x≤3)
0 (x≤0, 3≤x)

fはX=xの下でYがxの1近くになる確率だからfにX=xとなる確率密度=1/3を掛けて積分する

∫[0,3]P(X=x）*P(max(0,x-1)<Y<min(x+1,3)│X=x)dx
=∫[0,1]P(X=x）*P(0<Y<x+1│X=x)dx
+∫[1,2]P(X=x）*P(x-1<Y<x+1│X=x)dx
+∫[2,3]P(X=x）*P(x-1<Y<3│X=x)dx
=∫[0,1]1/3*(x+1)/3dx+∫[1,2]1/3*2/3dx+∫[2,3]1/3*(4-x)/3dx
=1/9{(2^2-1^2)/2+2(2-1)+(4(3-2)-(3^2-2^2)/2}=5/9

> *(条件から0≤x≤3,0≤y≤3のうち |x-y|≤1を満たす面積を考えれば幾何的に解けますがこの方法は置いておき)

置いておくも何もこの↑発想が 連続型の確率分布を前提としたものです.
[0,3] の線分上に一様ランダムに置かれるものとすれば
f(x,y) = 1/9 (0≤x≤3,0≤y≤3)
f(x,y) = 0 (それ以外)
となるでしょう. ( ∬dxdy f(x,y) = 1 )
〜を満たす領域S上での積分 ∬[(x,y)∈S] dxdy f(x,y) が 〜が起きる確率と解釈されます.
その結果として「幾何学的な "面積比率" を計算すればいいよ」という事になるわけです.

幾何的に解くのは、二次元の一様分布F(x,y)=1/3^2を考えて、xとyが条件を満たす所を積分し
高さが1/3^2、面積が3*3-2*2の柱体の体積を求めるのと同じことだよね

f(x)を使うのは、xを固定してF(x,y)を切ってyが条件を満たす確率を求めてから、
ｘで累次積分するわけで同じことをやっている

000〜999の中の数字の総数は？

>>21
3000

>>22
3×1000＝3000ですよね
けど3×1000になる意味が分からないんです

数学に詳しい人に聞きたいです。

命数の垓の次って?か??のどちらですか？
読み方は(じょ、し、ぢょ、ちょ)のどれですか。

Google検索結果等でも意見が分かれたままなのではっきりしてほしいです。

>>23
000〜999っていうのは000、001、002、……、998、999という1000個の数のことじゃないの？
1個あたり3つの数字が使われていてそれが1000個あるんだから3000

ど底辺の私に教えて欲しいのですが、

10個の景品を求めて150人で抽選します。
抽選には家族3人で参加します。
家族のうち誰か1人でも当たれば良いとして
何分の一くらいの確率になりますか？

5分の1ですか？

黒碁石が3個と白碁石が147個入っているツボからランダムに10個取ったときに
黒がx個である確率はC[3,x]C[147,10-x]/C[150,10]だから
x=0の確率はC[147,10]/C[150,10]=Π[k=3,12](150-k)/Π[k=0,9](150-k)
=Π[k=10,12](150-k)/Π[k=0,2](150-k)=140*139*138/(150*149*148)

>>21
1999-1000+1=1000

>>27わかりません……園児に教えるレベルでお願いします…

前>>28
>>3第1象限に円を描いていくと、
｡оΟノ↑このように中心はx軸から遠ざかり、第2象限でもy軸と線対称に同様な図形が描けるから、放物線になる。
y=ax^2とおくと、
x^2+(y-1)^2=1と合同な外接円をx軸とも接するとき中心は(2,1)だから、
これを代入し1=a･2^2
1=4a
a=1/4
∴y=x^2/4

前>>30
その玉は、
その小さな玉は、
こっちがx軸上を原点からどんなけ離れようとも、
Pがどんなけx軸から離れようとも、
点(0,1)に居ながらにしてクルッと首だけ180°見渡して絶対真うしろにはまわりこませねえ。
せやで楕円にはならない。

前>>31
なんどもその玉の写メを撮ろうとしたけど、遠巻きに撮るかモザイクがやっと。
2年間つかず離れず、結局名前はわからないまま。
いつかまた逢える日を楽しみにしてる。
原点でな。

>>25
1個あたり3つの数字というのはどういう事ですか？
0〜999で1000個の数があって、000〜999の場合、0が000になるのは分かりますが、999は999のままじゃないですか？

>>29
簡単に考えていいなら、石を一つ取って戻しを10回繰り返したと考えると楽
全てが白でない確率は1-(147/150)^10=1-(1-1/50)^10≒1-(1-10/50)=1/5

あるいは、たった一人でチャレンジする場合の当たる確率は10/150=1/15で低いので
三人でチャレンジする場合は複数人が当たる確率は低いと見て無視して単に三倍して1/5

>>24

10^24 は 秭(禾弟？）または 𥝱(禾予？）読みは「じょ」

なお、SI単位系では yotta と呼ぶらしい。ヨタ話ですが････

>>34
分かりやすくありがとうございます。
確率論なんかの難しいことは全くわからないのですが
考え方は間違ってなさそうで良かったです。

>>26
1-(1-10/150)^3
=0.186962962963

>>26, >> 37
確率: P{3人とも外れる}
　= [外れ140個から3つ選ぶパターン総数] / [全150個から3つ選ぶパターン総数]
　= (140*139*138) / (150*149*148)
P{3人の誰かが当たる}
　= 1 - P{3人とも外れる}
　= 1 - (140*139*138) / (150*149*148) = 5186 / 27565
　= 0.18813...

>>37
非復元だからこれは誤答

円Aの内部に円Bがあり両円の中心を結んだ直線と円Aの交点をN_0とする。
N_0を通る円Bの接線（２接線のどちらか）と円Aの交点をN_1とする。
N_1を通る円Bの接線と円Aの交点（のうちN_1じゃない方を）をN_2とする。以下同様に接線を引き続けたときに
N_0に戻ってくるためには両円の半径の比rと中心間の距離dがどのような条件を満たせばよいか？

>>33
元の問題の「数字の総数」が何を意味しているのかをはっきりさせてくれないと答えようがない
>>25は000には0という数字が3つ使われているという意味で回答している
000で1つの数字、001も002も999もそれぞれに1つの数字ととらえるのであれば000〜999には1000個の数字がある

>>42
すみません。納得しました。
ありがとうございました。

黒点が等間隔で一辺に各頂点を含んで7個ずつ置かれている正三角形があり、内部にも等間隔で黒点が並んでいる
この時、正三角形の内部、返上から黒点を3つ選んだ時、正三角形は全部で何個できるか？
8C3でダメなのは何でですか？

すみません
8C3じゃなく、8C4ではなぜダメなのか、です

a^b+b^c=c^a
を満たす自然数a,b,cを全て求めよ。

分からない問題というより質問なんですが、
虚数iってZFC公理系からどう厳密に構成するんでしょうか

現代数学のほとんどはZFC公理系から作れると聞いたのですが、iの作り方についてはいくらググっても調べられませんでした

R^2に適当に演算入れたときの(0,1)とか
多項式環の剰余環R[x]/(x^2+1)におけるxの像とか

>>48
すみません 下は勉強不足で分からないですが、上は確かに複素数の演算規則さえ与えればR^2と思えるということですか
なるほどありがとうございます

>>44
問の設定が合ってるか自信ないが↓このように計算してみた.

{含まれる正三角形の個数}
= #size1+#size1’　+#size2+#size2’　+#size3+#size3’　+#size4　+#size5　+#size6
= (6*7+5*6　+5*6+3*4　+4*5+1*2　+3*4　+2*3　+ 1*2) / 2
= 78

>>46
ABC予想で証明できる？

正の数aの平方根のうち非負のものを√aと表す。
この定義に基づいて、0<x<yならば√x<√yを証明せよ。

>>50
回答ありがとうございます
各点を結ぶので、斜めの形の正三角形も考慮する必要があります

>>53
斜めは気づきませんでした.
正三角形が入った籠を数えると数えやすくなるでしょう.

#{斜め正三角}
= ( 4*5 + 3*4+2*3+1*2 + 2*3 + 1*2 ) / 2 * 2　=　 48

もう少しスマートな数え方があるといいのですが...

>>54
回答ありがとうございます
この問題、解答だと、9C4で答えを出しているのですが、8C4だとどこの正三角形が考えられないのかがイマイチ分からないです

>>52
√x = 0 と仮定すると x = (√x)^2 = 0　となり題意と矛盾する。
∴　√x > 0,
同様にして　√y > 0,
辺々たして　√y + √x > 0
一方、題意により y-x > 0,
∴　√y - √x = (y-x)/(√y + √x) > 0,
∴　√y > √x.

>>55
9C4 や 8C4 どういう背景からでてきたのか気になります.
模範解答に何の解説も無いのですか？

>>44
この問題、ニフティサーブのフォーラムで出されていたのを思い出します。
「正置な正三角形」という概念を導入します。
正置な正三角形とは、文字通り、一辺は水平で、この辺の上方に頂点を持つ「向き」に
置かれた正三角形です。そして、
・サイズｎの正置な正三角形には、ｎ個の正三角形が属す
が言えます。（傾いたものを含む）ある正三角形があると、その正三角形の三つの頂点全てを含む
正置な正三角形がただ一つだけ定まります。このように、一つの正置な正三角形に定まることを指して、
「属す」と表現してます。ちょっと考えてみれば、自明なことです。

従って、サイズｋの正置な正三角形がいくつあるかを数え上げ、それをｋ倍して総和をとれば、求めたいものが求まります。
サイズ1,2,3,...,6の正置な正三角形は、それぞれ、21,15,10,6,3,1個あるので、
1*21+2*15+3*10+4*6+5*3+6*1=21+30+30+24+15+6=126

一辺の頂点の数がn+1(=サイズがn)であれば、サイズnの正置な正三角形は、C[n+1,2]個あるので、
Σ[k=1,n](n+1-k)*C[k+1,2]=C[n+3,4]
が答えとなります。

https://imgur.com/a/6tcbMmr

３（２）ですが、
「Bを計算せよ」とはどういうことなんでしょうか

f(x)＝log(1+x)(1-x)＝log(1+x)＋log(1-x)

f'(x)＝1/(1+x) − 1/(1-x)

f(n)(x)＝{((-1)^(n-1))(n-1)︕}/(1+x)^n − (n-1)︕/(1-x)^n

より

ｎが奇数のとき f(n)(0)＝0
ｎが偶数のとき f(n)(0)＝-2・(n-1)︕

f(x)＝−2Σk=1〜∞(ｘ^2k)/2k

でいいのですか？

(1)の結果を利用するとはどういうことを言ってるのでしょうか。

>>58>>59
回答ありがとうございます
下に2段分黒点を追加して、一辺9個ずつの正三角形にし、その底辺について9つの点から4個の点を選び、それをABCDとします。この時、Cの左隣の黒点をC'とし、AとC'からは右上に向かって、Dは左上に線を引きます
この時、C'とDの線がぶつかったところからC'は真左に向かって線を伸ばし、これが作られる三角形の底辺となります
またBはAC'Dを固定した時、 C'を含む残りの点から選ぶことができ、これが斜めの三角形などの個数の代わりになります(このやり方では斜めの三角形を直接表すことが出来ないので、代替している)
よって9C4となるみたいです
2段追加して考えているのですが、1段追加しただけで、8C4とすると、どこで不備が出てくるのかが分からないです

(1)の結果でxに-x^2を代入(xの範囲には注意)
それで正しい変形になってるかどうかは級数展開の一意性からわかる

>>59 ありがとうございます.

Σ[k=1,n] k * #{正置正三角形 size:k}
=Σ[k=1,n] k * C[n-k+2,2]
=Σ[k=1,n](n+1-k)*C[k+1,2]
ここまでは理解できました.
=C[n+3,4]
この最後の式変形がちょっと考えて診たのですが分かりません. (常識なのでしょうか...)
どうかご教授願います.

中略しただけです。
結果が、「たまたま」コンビネーションを使って簡単に書けるので、それを用いただけですが、
「たまたま」ではなく、何らかの「必然性」が背後に隠れている気はしますが、ちょっと不明です。

すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜

ポエムにもほどがあるだろ

>>64 ありがとうございます.
必然性のある関係式が得られました. (参考 [wikipedia: 二項係数])

1/(1-x)^a = Σ[m=0,∞] a(a+1)..(a+ m-1)/m! x^m
= Σ[m=0,∞] C[a-1+m, m] x^m = Σ[m=0,∞] C[a-1+m, a-1] x^m

Σ[m=0,∞] C[p+q-1+m, p+q-1] x^m = 1/(1-x)^{p+q}
= 1/(1-x)^p * 1/(1-x)^q
= Σ[m=0,∞] { Σ[k=0,m] C[p-1+k, p-1] C[q-1+m-k, q-1] } x^m
= Σ[m=0,∞] { Σ[k=1,m+1] C[p-2+k, p-1] C[q+m-k, q-1] } x^m

x^m の係数を比較して
C[p+q-1+m, p+q-1] = Σ[k=1,m+1] C[p-2+k, p-1] C[q+m-k, q-1]

m=n-1,　p+q=5,　q=2　 ∴ p=3 の代入により
C[n+3,4] = Σ[k=1,n] C[k+1,2] (n+1-k)

初等的には >>61 のイメージから得られると予想するのですが
そもそも内容が理解できていません...

>>60
・ラグランジュの剰余
　R_n = (x^n)f^(n)(ξ)/n!
・コーシーの剰余
　Ｒ_n = x^(n-1)(x-ξ) f^(n)(ξ)/n!
などがある。ただし ξは0とxとの中間の或る値である。

どれを使うのか分かるはずだが････

高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
　第2章 §25, 定理28, p.61〜67

・余談
旧ソ連の物理学者I.タム(1895〜1971) は ロシア革命直後、ゲリラ隊につかまったとき
これを知っていて助かったらしい。

数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989)　p.116

>>67
回答ありがとうございます
説明が下手で申し訳ございません
どこか言って頂ければ補足します
よろしくお願いします
後、8C4ではなく、8C3としたらダメなのか？
が正しいです

どこというか... どうイメージしたらいいのか分かりませんでした.
いえこちらの理解力が不足しているだけなのですが,
できれば軽く絵を描いてもらえると助かります.

はよせい(｀_´)

すみません　初めてなので下手ですが。。
AとC'とDの線でできた正三角形を基準に考えるんだと思います
間違えてたらすみません

>>56
ありがとうございます。
中学3年生はx<y⇒√x<√yを使っていますが、証明なしで使うのは良いと思いません。
しかし証明は中学3年生には難しいと思います。

>>74 やっと理解できました. B の置き場に困っていたのでしょうか.
それならもう一段足せば良いでしょう.
そして C, D から斜め上に伸ばす直線の方向を1回だけ変えるのです.
サイズ k の正置正三角形に対して B の置き場が k 個できます.
図で分かると思います. ここから C[9,4] が浮かんで来ます.

>>60
いちいち新たにlog(1-x^2)の微分の計算などせずとも、
先に作っておいたlog(1+x)の級数があるのだから-x^2で置換して利用しろってことでしょ
ラグランジュの剰余項なら、0<θ<1として、Rn(x)=(-1)^(n-1)x^n/n/(1+θx)^nだから、
xが負のとき、│Rn(x)│<(-x)^n/n/(1+x)^n=(-x/(1+x))^n/n
xが正のとき、│Rn(x)│<x^n/nだから、-1/2<x<1ならばRn(x)→0

>>76
ありがとうございました

>>75
一辺の8コずつの点で8C3と考えた時、9C4と比べて作れない三角形って具体的にどういうのがありますか？

>>46
1, 1, 2

>>78
3段増ではなく 1段増で考えて 底辺の全 8 黒点から A, B, C を拾います.
Aから右上, Bから右上, Cから左上方向に直線を伸ばします.
そこから正置正三角形 (底辺が水平な△)を構成するのは以前と同じです.
全ての正置正三角形がこれで尽くされるのは明らかです.
よってその総数は C[8, 3] = 56 になります.

この場合、逆さまや斜め向きの正三角形はカウントされません.

>>80
実際に点を書いてやってみたんですが、8C3と9C4では見かけ上、作れる三角形に差はないように思えてしまうんですが、どこで違いが出てるのでしょうか？
理解が遅くて申し訳ないです
よろしくお願いします

>>81

>>75 にて「 サイズ k の正置正三角形に対して B の置き場が k 個できます. 」
と書きました.

サイズ k の正置正三角形に内接する正三角形 を考えてみましょう.
元の△と合わせて k 個の正三角形が得られます.
逆に斜めや逆さま正三角形に外接する正置正三角形が一意に決まることは明らかです.
よってA,C の間を Bが動くことで 全ての正三角形がカウントされます.
(斜め△は煩雑なので絵には描かなかっただけです)

例えばサイズ4 の場合を見れば内接正三角形の数え方が分かると思います.

いきなり！ステーキのスクラッチの当たり確率ハズレ確率のことで揉めています
誰か来てください！
お願いしますm(_ _)m
今の所、下記のスレで>>33から>>118までの議論です

いきなりステーキ Part.23
http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/kbbq/1585980246/33-

>>79
証明はどうやるんでしょうか？

・計算機サイト
http://wolframalpha.com
・数学板@2ch時代から続く数学板@5chに於ける数式の表記法の一覧
http://mathmathmath.dote ra.net
・激しくガイシュツ問題一覧
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html

>>46
1,1,2だけっぽいね
証明には取り組んでないけどかなり難しそう

図を書き直してみたら気づきました, Bの置き場を作るには 2段増設のままでもできますね.
C 発の直線だけ折り曲げればいいです.

>>82>>87
回答ありがとうございます
1段増設でも問題なさそう、と思ってしまってるのですが、2段増設で9C4と1段増設で8C4
(すみません。8C3ではなく、8C4でした。頭が混乱して、色々と訂正してしまい、申し訳ございません)
とでは作れる三角形に違いがないように見えてしまっているのですが、どこで具体的な違いがあるのでしょうか？

>>88
1段増だけでは正置△を一番下に置いた時に Bの置き場が足りなくなります.
例えば
右下にサイズ1 の正置△を置きました. Bを置く余地はゼロです.
左下にサイズ3 の正置△を置きました. Bを置く余地は 2つしかありません.
このままではどうにもならないのです.

あえて意味を見出すなら
サイズ 5 (一辺に 6点) の黒点△から作れる正△の配置数が C[8,4] になります.

>>44
１辺の長さがkの△向きの正三角形内には置けるが、それ未満の大きさの正三角形には向きを変えることなく置けない、かつすべての頂点が三角格子点の上に有る、
そういう条件の正三角形はちょうどk通りだけある

１辺の長さnの△向きの正三角形内に、そのようなk通りの正三角形を置ける位置は、各々Ｃ[n-k+2,2]箇所あるので、正三角形の総数は、それらのk=1からk=nまでの総和である
よって正三角形の総数は
Σ{k=1→n}kＣ[n-k+2,2] �@
に等しい。

この式�@はＣ[n+3,4]に等しい。

n=7 のときは Ｃ[n+3,4]=210 となる

>>90
なお、正三角形の向きが△しか許されないとすると、正三角形の総数は
Σ{k=1→n}Ｃ[n-k+2,2]
となる。この式はＣ[n+2,3]に等しい

>>44の問題は、正三角形を置く向きに、辺の長さに比例した自由度があるためnの次元かひとつ増えると解釈できる

>>44で書かれているような黒点は平面 x+y+z=n 上の非負整数格子点　等として扱うことができます。
この問題の場合は、n=6に相当します。(x,y,z)=(a,b,c)を、“abc”と　コンマや括弧を省略して表すと、
28個の黒点には、次のような座標が当てられます
　 　 　 　 　 　 600
　 　 　 　 　 510 　 501
　 　 　 　 420 　 411 　 402
　 　 　 330 　 321 　 312 　 303
　 　 240 　 231 　 222 　 213 　 204
　 150 　 141 　 132 　 123 　 114 　 105
060 　 051 　 042 　 033 　 024 　 015 　 006 　 　(正三角形状になるように、適当にスペースを挿入して下さい)
この問題の答えは、126個で、n=6の時のC[n+3,4]に一致しますが、この、C[n+3,4]　といえば、
x+y+z+w+t=n-1　の非負整数解の個数と見ることもできます。
そこで、x+y+z+w+t=n-1　の非負整数解と、黒点三つからなる正三角形を、一対一に対応できないか？
という疑問というか衝動が湧くことは、不思議なことでは無いと思いますが、恐らく、
x+y+z+w+t=n-1　の非負整数解(x,y,z,w,t)=(a,b,c,d,e)に対し、
三点 P(a+d+1,b+e,c),Q(a,b+d+1,c+e),R(a+e,b,c+d+1) で構成される正三角形を当てれば、よいと思われます。
ちなみにこの三点は、正置な正三角形 P'(a+d+e+1,b,c),Q'(a,b+d+e+1,c),R'(a,b,c+d+e+1)
に、それぞれ、(-e,e,0),(0,-e,e),(e,0,-e) を加えて（＝正置な正三角形を回転させて）作ったものです。
これが正しければ、C[n+3,4]のような形で表現できることの説明にもなります。
>>67　さん。関係式ありがとうございました。やはり「必然性」ありましたね。納得です。

正置な正三角形だけを数えるなら、月見団子状に積まれた団子の、土台以外の団子が、
正置な正三角形と一対一に対応できます。

土台以外の団子に対し、その団子を直接または間接的に支える、「最小限の土台の団子の固まり」に
当たる三角形がそれです。

方程式　x+y+z+w=n-1　の非負整数解は、四次元空間内で、正四面体状に配置された格子点にあたります。

方程式　x+y+z+w=n-1　の解　(x,y,z,w)=(a,b,c,d)に対し、
(a+d+1,b,c),(a,b+d+1,c),(a,b,c+d+1)　を当てれば、これらは必ず正置な正三角形になります。

はよせい(｀_´)

1+i/10≦log(x)≦1+(i+1)/10
を満たすxの最小値をm_i、最大値をM_iとする。

（1）i=0,1,...,9について、M_i - m_iの値はすべて相異なることを示せ。

（1）iは0以上9以下の整数とする。
iがこの範囲を動くとき、M_i - m_iを最大とするiを求めよ。

（2）（1）と同様に、M_i - m_iが4番目に大きくなるようなiを求めよ。

>>90
回答ありがとうございます
理解できました。BとCをBとC'のように考えていたのがダメだったという事ですね
助かりました
ありがとうございました

>>89
回答ありがとうございます
理解できました。BとCをBとC'のように考えていたのがダメだったという事ですね
助かりました
ありがとうございました

すみません。間違えて投稿してしまいました

>>89〜93
改めまして、回答ありがとうございます
おかげ様で、理解できました

平面上の格子点として、捉えて考えるのは僕にはちょっとまだ無理そうです…

沢山の方に協力頂きまして、ありがとうございました！

Mathpixはwolframより使える

>>73
対偶　√x≧√y>0　⇒　x≧y
なら すぐ出ますが。。。

f(x)=-x(x-2)
a[0]=a, a[n+1]=f(a[n])
とする。
以下の条件をすべて満たす実数aが存在することを示せ。
・任意の非負整数nに対して0≦a[n]≦1
・0≦p<q≦1であるどのような(p,q)に対しても、不等式p<a[k]<qを満たすある非負整数kが存在する。

方程式x=f(x)を解くのに、これをy=xかつy=f(x)という連立方程式と見て、
x=aという近似値から、(a,0)→(a,f(a))→(f(a),f(a))→(f(a),0)=(a[0+1],0)
と動く動点の運動と考えて逐次的に作られた近似値の列としてa[n]を考える
ただし、区間を�@x<0、�A0<x<1、�B1<x<2、�C2<xの四つの場合で振る舞いが変わる
�@a<0の場合、a[0+1]-a=-a^2+2a-a=-a(a-1)<0より、�@から�@にどんどん進む
�A0<a<1の場合、0<-a(a-2)=a[0+1]=-(a-1)^2+1<1なので�Aから�Aに進む
�B1<a<2の場合、0<-a(a-2)=a[0+1]=-(a-1)^2+1<1なので�Bから�Aに進む
�C2<aの場合、a[0+1]=-a(a-2)<0だから、�Cから�@に進む
なので、例えばa=(p+q)/2とすれば、�A0<a<1だからこれ以降のa[n]も常に�Aとなり成り立つ

a[0]=0,2 のとき a[n]=0（n≧1),
a[0]=1 のとき a[n]=1,

0 < a[0] < 2　のとき
　0 < a[n] < １（n≧1)
a[n+1］- a[n］= f(a[n]）- a[n]
　= a[n](2-a[n]）- a[n]
　= a[n](1-a[n])
　> 0,
∴　n≧1 で a[n］は単調増加。
　p = 0.9a[1］+ 0.1a[2],
　q = 0.1a[1］+ 0.9a[2],
とおけば
　p < a[k］< q,
を満たす非負整数kは存在しない。

なお、n→∞ のとき
　a[n］= 1 - |1-a[0]|^(2^n)　→ 1

y=e^xはx→-∞でほぼx軸に平行、x→∞でほぼy軸に平行とみなせるので、傾き-1のある直線に関して左右対称とみなせると考えたのですが、「左右対称とみなせる」をどう数式で表したらいいか分かりません

>>65
ハンガリーのレーニ(A.Renyi,1921〜1970) が「大きな篩い」を使って示した。(1947)

中国の陳景潤(1933〜1996)の定理は、じゅうぶん大きいすべての偶数について k=2 の定理が真であることを示す。(〜1978)

k=1の場合は ゴールドバッハの予想である。(未解決)

>>18-20
ご丁寧にありがとうございました。

玉木のホモトピー論のノートで勉強していてわからないことがあるので教えてください

連続写像f:X→Yに対して写像跡 E_fを
E_f={(x,ω)∈X×Map(I,,Y) | f(x)=ω(0)}として定めると
p(x,ω)=ω(1)という写像E_f→Yがfibrationになり
さらにi(x)=(x,c_f(x))という写像X→E_f(ただしc_f(x)はf(x)での定値写像からなる道)と
r(x,ω)=xという写像E_f→Xに対してiとrはホモトピー逆写像であるという定理があります(ここまでは理解できました)
その際にi*rとid_E_fの間のホモトピーHをp*H=pr_1*(p×id_I)という可換性が成り立つようにとれるという主張があるのですが
(*は合成です)
これはIで0のとき、つまりH=i*rの時にすでに成り立たないので主張としては偽だと思います
これをどこか修正して正しい内容にすることはできないのでしょうか？

というのも、その定理の系として元々のfがすでにfibrationである時に
fとp:E_f→Bとがファイバーホモトピー同値という主張があり、その証明に可換性を使っているのです
この系が成り立つのかも含めてわかる方いたら教えてください

該当箇所は下の37p(ノート内のページとしては33p)です
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/downloadables/notes/fibration.pdf

a^a+b^b=c^c
を満たす自然数a,b,cは存在しないことを示せ。

a≦b<cとして、右辺=c^c≧(b+1)^(b+1)=(b+1)*(b+1)^b>(1+1)*(b+0)^b=2b^b≧a^a+b^b=左辺

a^a + b^c = c^b
を満たす自然数a,b,cを求めよ。

1^1+2^3=3^2

>>111
　(a,b,c) = (a, 1, a^a +1)　は trivial なので除く。

すいません、質問です
プログラムを書いていて関数を作る必要が出てきたんですが、
数学がさっぱりで考えてもわからなかったのでこちらで聞かせてください

例えば0〜100までの間に分布した数を、
50〜90までに置き換えたい場合どういう計算式を書けばいいのでしょうか？

文章での質問で伝えられる自信がないので図を書いてみました

https://i.imgur.com/F6O9hzM.png

どなたかよろしくお願いします

0.4x+50

1次式では
　After = 50 + 0.4･Before,

ほかに
　After = 50 + 40･(Before/100)^n,
　After = 50 + 40･f(Before/100)^n，　f(0)=0，f(1)=1，単調増加
などもある。

>>115
>>116
ありがとうございます
なるほど、全体の何割を占めるかを考えてから、AFTERの最小値を上乗せすればいいのですね

Beforeの最大値は仮に100として図を書きましたが、
最大値がわからないけど（少なくとも90以上）、50〜90の間に値を収めたい、
という場合だと、もはや数式を書くことは不可能になりますか？

あ、AFTERの最大値が100を超える場合のことも考慮したいです、補足です

あ、すいません！自己解決です！
こちら側で最大値を取得する方法を思いつきました

ですので
>>115
>>116
さんの回答で解決です
ありがとうございます

https://youtu.be/QuZL5IKpO_U?t=1538

A を可逆な n 次行列とする。
↑の動画の解答で、 A の固有値を λ_1, …, λ_n とするとき、 A^(-1) の固有値 は 1/λ_1, …, 1/λ_n になるということを証明なしに使っています。

λ が A の固有値であるとき、 1/λ は A^(-1) の固有値になるということは簡単に分かりますが、固有値に重複がある場合に、
重複度まで一致することは自明なことでしょうか？

対角化してみた？

a^b + b^a = c^c, a>1, b>1
を満たす自然数a,b,cは存在しないことを示せ。

https://dotup.org/uploda/dotup.org2108566.png

>>120
B := A^{-1} とおく.
det( xI - B ) = (x-λ1')(x-λ2')...(x-λn') 　{Bの特性多項式 }
= det( xBA - (x/x)B )
= |B| * x^n * det( A - (1/x) I )
= |B| * (-x)^n * det( (1/x) I - A )
= 1/|A| * (-x)^n * (1/x - λ1)(1/x - λ2)...(1/x - λn)　 　{Aの特性多項式 }
= 1/|A|*(λ1λ2...λn) * (x - 1/λ1)(x - 1/λ2)...(x - 1/λn)
= (x - 1/λ1)(x - 1/λ2)...(x - 1/λn)
∴ λ1' = 1/ λ1, ..., λn' = 1/ λn

>>123
任意の x ∈ V　に対して
[射影分解の存在]
x = (P1+...+Pn)(x) = x1+...+xn ( xi := Pi (x) ∈ Ui )
[分解の一意性]
任意の分解 x = x1'+...+xn' (xi' ∈ Ui) に対し,
ImPi = Ui より Pi(yi) = xi' となる yi　∈ V が存在する.
Pi( x1'+...+xn' ) = Pi( x )
Pi( P1(y1)+...+ Pn(yn) ) = xi
0+..+0+ Pi(yi) +0+..+0 = xi　{射影子の性質 PiPi = Pi は 1,2 から導出可能}
∴ xi' = xi

平面上にどの３点も同一直線状にない５点が与えられたときに
５点を通る二次曲線が一つ決まりますが、楕円、双曲線、放物線のどれになるのかを
配置から幾何的に判定する方法があれば教えてください

群数列の問題で
1,3,3^2,3^3,…3^k(k=1,2,3…)という数列を考える。
1,3,1,3,3^2,1,3,3^2,3^3…

初項から第n項までの和をSnとするときSn≦555を満たす最大のnを求めよ。

解答が1枚目、僕の答えが2枚目です、
3(3^m -1)はダメでしょうか?

https://i.imgur.com/Sl9ScJG.jpg

https://i.imgur.com/Wa9wsdc.jpg

>>127
とりあえず メモでは
　 Σ[k=1,m] 3^k = ( 3^{m} - 1 ) / 2 になってますが間違ってますね.

Σ[k=1,m] 3^k = ( 3 + 3^2 + ... + 3^m ) (3-1) / (3-1) = ( 3^{m+1} - 3 ) / 2
和公式については その導出過程を記憶して,
最終結果に自信がないときは m=1 とかで検算したらよいと思います.

>>126
５点の凸包が4角形以下なら双曲線だろうな・・・・

xを実数とし、-1<x<1の範囲でf(x)=(-2)^xを考える。
f(x)の実部と虚部の値が一致するようなxがちょうど2つ存在することを示し、それらを小さい方からs,tとしたとき
∫[s,t] Re(f(x)) dx
の値を求めよ。

>>131
∫[-3/4, 1/4] f(x) dx = 0.4673334916 + 0.298388058ｉ

>>128
等比数列の和の公式の初項をかけるのを忘れていました、ありがとうございます。

>>123
証明
https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org642167.png

>>134
即死してんぞ

>>124

ありがとうございました。

古典力学の仮定のもとでは、重力加速度gは無理数であることを証明せよ。

一いち十じゅう百ひゃく千せん万まん億おく兆ちょう京けい垓がい世よ穣じょう溝こう澗かん正せい載さい極ごく

垓の次は世(よ)

と表現して何か問題あるでしょうか？
問題なければこのまま提唱したいと思います。

>>137
無理数なのははじめてきいた。
考えたこともなかったな。
光速は有理数？？

>>138
万 億 兆 京 垓 𥝱また秭 穣 溝 澗 正 載 極 恒河沙 阿僧祇 那由他 不可思議 無量大数

>>140
二択である未解決問題の解消方法で提唱した。
二択状態のままでは解決しない。

禾予　禾𠂔

>>141
原字が後者で国字が前者
前者を使えば良い

>>143
坱は初見ですよ。他で見かけたことはない。

JIS第一第二水準漢字範囲内でよいはず。
垓は一般に周知されていますからそのままでもいいと思われます。

Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。

V を F 上の有限次元線形空間とし、 V' を V の双対空間とする。
φ_1, …, φ_n を V' の基底とする。

このとき、 V の基底で、その双対基底が φ_1, …, φ_n であるようなものが存在することを示せ。

>>139
光速を単位とすれば整数

>>130
f(x)=(-2)^x = 2^x e^{iπx}　 {複素平面上の対数螺旋}
= e^{ (log2 + iπ) x} = e^{ax}
グラフより
πs = -π + π/4　∴ s= -3/4
πt = +π/4　∴ t= +1/4

∫dx [x=s,t] f(x)
= (1/a)( f(t) - f(s) )
= (1/a)( 2^{1/4}+2^{-3/4} ) e^{iπ/4}
= (1/a)( 2^{1/4} (1+ 1/2) ) 2^{-1/2} (1 + i )
= (log2 - iπ) / ((log2)^2+π^2 ) * (3/2 )*2^{-1/4}* (1 + i )
= (3/2 )*2^{-1/4}*(log2 + π) / ( (log2)^2+π^2 ) + i 〜
= 0.4673... + i 〜

>>131 も f(t)-f(s) = (|f(t)|+|f(s)| ) e^{iπ/4} ∝ (1 + i) を利用してるようだが
これはグラフ書いたほうが分かりやすいと思う.

>>146
Vの基底 {e_i} を任意に採り, 行列Aを以下のように定義する.
A[ij] = (φ_i・e_j) = (φ_i・e_1,　 φ_i・e_2, 　...,　 φ_i・e_n)
もし行列Aが非正則なら 列成分ベクトルの間に一次従属関係が成り立つ.
　Σ[j] c[j]* (φ_i・e_j) = 0 (あるjにおいて c[j]≠0)
φ_i・(Σ[j] c[j]* e_j) = φ_i・v = 0　(v≠0)
これは矛盾である. {∵ φ・v ≠ 0 となる一時形式 φ の存在}
よって逆行列 A^{-1} が存在する.

f_i := A^{-1}[ji] e_j 　と定義する.
基底の取り替えになるので {f_j} がVの基底を成す事はあきらか.

φ_i・f_j = A^{-1}[kj]* (φ_i・e_k) = A^{-1}[kj]* A[ik] = δ[ij]
つまり {f_i}の双対基底は {φ_i} である.

最初から Ker φ_i の共通部分とればいいんじゃね？

荒らしのまつざかくんに構うなよ

>>151
ちょっと分かんないので解説求む.

5点 (0,0)　(±1,1)　(±a, 2) を通る2次曲線は何でしょう？
　|a|<√2,　|a|=√2,　|a|>√2,

前>>32
>>154|a|=√2のとき、
y=x^2
∴放物線

準線x=l(l<0), 焦点(f,0)(f>0)を仮定できないのがつらい……

なお、墨田区押上１丁目の標高は 0(m) である。

そもそも証明できるものなのか
地上でも場所によって多少変化があるのを考慮すれば中間値の定理的に有理数も無理数も取りうると思うんだが

限りなく0に近い確率で有理数となるがだいたい無理数

>>139
光速は偶数で
　c = 299792458 m/s = 2･7･73･293339 m/s

　国際度量衡総会(1983)の決議

産技総研･計量標準総合センター、もしくは将棋連盟の谷川九段まで？

>>126
　I.ニュートン(1642-1727)の「プリンシピア」に５点をとおる円錐曲線の作図法がある。
　方ベキの定理(の変形)を活用した。

↓この事実の証明を教えて下さい。


A を正則な対称行列とする。
A の正の固有値の数と正のピボットの数は等しい。

>>157 の比の値は √(1＋2gh/cc) だった。　ｽﾏｿ.

↓を証明してください。

A の固有値がすべて実数である ⇒ A は対称行列である。

>>166

明らかに成り立ちませんね。
ストラングさんは間違っていますね。

>>164,166, 167
数学の本に居着いていてる基地外です
相手をしないように

ここ数日アホばっかり

>>166
A の固有値がすべて実数　⇔　A はエルミート行列（実対称行列も含む）

(略証)
ｘの転置共役ｘ' とｙの内積を (ｘ,ｙ) とする。
(ｘ, Aｘ) = (ｘ, λｘ) = λ(ｘ, ｘ)
( Aｘ, ｘ) = ( λｘ, ｘ) = λ’(ｘ, ｘ)
より
Aの固有値がすべて実数　⇔　λ = λ'　⇔　(ｘ, Aｘ) = (Aｘ, ｘ)　⇔　Aはエルミート

数学記号カードゲームってどんなものがあるのかな？

ライフゲームのウィキペディア眺めてた三葉結び目上でライフゲームをやってる画像が貼ってあったけど
結び目にする意味はあるの？トーラス上と変わらないよね？
Game of Life on the surface of a trefoil knot
https://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life#/media/File:Trefoil_knot_conways_game_of_life.gif

ライフゲームを創ったコンウェイが亡くなったとのこと

>>174
> ライフゲームを創ったコンウェイが亡くなったとのこと

情報ありがとう
コンウェイは武漢肺炎に殺されたのか、志村けんなんかよりずっとショックだ
これでずっと噂されていた三角形本(The Book of Triangles)が出版される可能性はゼロになっちゃったんだなあ

足立幸信さんのHPやついが去年の10月から更新されてないのですが
どうされたのでしょうか

(0,0),(4,0),(4,4),(0,4)を4頂点とする正方形内の各格子点に人が立っている。
これら16人のうち、2人が若者で、14人は老人である。
時刻t=0において、(0,0)に立っている人がウイルスCに感染した。各時刻t=i(i=0,1,2,...,8)において、Cは感染者の隣接格子点に立つ人にも感染する（隣接格子点の数は3または4である）。
感染確率は隣接格子点に立つ人が若者の場合1/4、老人の場合3/4である。

（1）若者が(0,0)および(4,4)に立っているとする。時刻t=8において、点(4,4)に立っている人が感染者となる確率を求めよ。

（2）若者が(1,3)および(3,1)に立っている場合はどうか。

（3）(4,4)に立つ人が感染者となる確率が最も低くなるように若者を配置したい。その方法と理由を簡単に述べよ。

すみません。
こういうフライパンがあるんですが、宅急便送料を知りたいので、近似でタテ、ヨコ、高さ、の合計値を出したいと思います。

外径26×高さ7.7×最大長46.5cm・底厚4.7mm以上、ハンドル取外し時：最大長33.5cm

ハンドル取り外したときのサイズが知りたいのです。
○に棒が付いた虫眼鏡のような形で棒の太さはゼロとして近似して計算しようと思いました。
つまり、外径26cmの○に、(33.5cm-26cm)=7.5cmの棒が付いている物のタテ、ヨコ、高さ、の合計値の最小を目安として計算したいのです。

よろしくお願いします。

正方形内部に格子点は9個しか見当たらないのですが

棒の向きに33.5cm、直角方向に 26cm の長方形の箱だと、
　タテ＋ヨコ = 33.5 + 26 = 59.5 cm
棒の向きと45°向きの正方形の箱だと
　タテ＋ヨコ = (33.5 - 26/2)√2 + 26 = 55.0 cm
なので、正方形の方が短くなる。
高さ 7.7 cm をたすと 62.7 cm

>>177
(0,0)から（4,4)だと25人だと思うけど

>>180
ありがとうございます。自分でも計算してみたのですが、
その二つの場合のほかに、
短い辺が26�pで、長い辺に棒をくっつけたとき、45度よりも少し小さい角度の時に、
長い辺は、
13+√（(13+7.5)^2-13^2） = 28.85cm
タテヨコ高さ62.55cmとなるのではないでしょうか？

しかし、それが最小であるというのはどうやってやるのでしょうか？
微分で傾きがどうのこうのやった記憶があるのですが、20年以上も前なので忘れてしまいました。

実際に計った方が早くね？
棒の太さをゼロで考えてそんなに細かいところまで計算するのは妥当でないと思うし

こういう格子点で若者（●）２人、老人２３人でいいのかな？
https://i.imgur.com/RF34qft.png

>>184
こういう風に広がるシミュレーションプログラムを作ってみた。

https://i.imgur.com/eatlhhh.png

ｔ＝8 で(0,0)から(4,4)に感染が広がる割合は

> (re=mean(replicate(1e4,f25())))
[1] 0.3331
> try(mean(replicate(1e5,f25())))
[1] 0.33068

となったので約１/3という結果が得られた。

数理解は賢人にお任せ。

>>185
４×４のグリッドだと

対角線上の格子点が感染する確率は

> (re=mean(replicate(1e4,f25())))
[1] 0.7842

と近似解がでてきた。

0={1,2,3} 1={0,4,7} 2={0,5,8} 3={0,6,9} 4={1,8,9}
5={2,7,9} 6={3,7,8} 7={1,5,6} 8={2,4,6} 9={3,4,5}

0={1,2,3} は左辺が1,2,3の{}内に0が含まれていることを表す
1={0,4,7}は1が0,4,7に含まれているetc
今は１０個の数を３つの数でコンシステントに定義できましたが
n個の数をm個の数で同様に矛盾なく定義可能となるn,mを全て求めよ

何を言わんとしてるのやら... これで伝わる人いるの？

頂点の数nでかつ各頂点に接続する辺の数がすべてmであるような、多重辺のないグラフを作れるn,mの組み合わせを求めよ
ってことじゃね

>>189
四面体: (n,m)=(4,3) , 立方体: (8,4) , ... みたいな話ですか？
それでも >>187 の記法はよく分かりません。

r-正則グラフは頂点vかrのどちらかが偶数 かつ v>=r+1のとき存在する
https://mathworld.wolfram.com/RegularGraph.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_graph#Existence

整数mについての方程式
arctan(m-1)+arctan(m)+arctan(m+1)=nπ
の実数解が存在する非負整数nをすべて決定し、それらのnに対する解を全て求めよ。
ここでg(x)=arctan(x)はf(x)=tan(x)の逆関数であり、その定義域は-π/2<arctan(x)<π/2である。

「ごちそうさまですと言え。」
何様が命令しているんだ。ふざけんな！お前らのように盗聴しかできないガキに調子に
乗られたくないわ

お前は何の権限でおれに命令しているんだ。私は47才だ。

答えろ！ゴミ！

「名前を逆にしたからだ！。」と聞こえてきました。
名前を逆にしたのは、政治が勝手に決めたことですし、それに民間人の私が従う法律もありません。

勘違いはいい加減にしろよ！

>>193
g(x) = arctan(x) は単調増加で　-π/2 から π/2 まで動く。
与式もmについて単調増加で　-3π/2 から 3π/2 まで動く。
∴　それがすべての解。

つまり、隣辺が1:2の直角三角形と1:3の直角三角形の角をうまく組み合わせると3π/4やπ/4の角を作れるわけね
面白いね

以下の連立方程式を解け。
(x+y)(x^2+y^2)=2(x^2+1)(y^2+1)
(x^2+y^2)(x^4-y^4)=2{(x^2+1)(y^2+1)}^2

>>198
中学受験の有名問題でそんな感じのやつなかったっけ？

仕事終わったら家に帰る、もしくはネカフェに泊まる
定期はどうやって買うんの

落合南長崎駅から新宿三丁目駅（新宿で乗り換える）
落合南長崎駅から八潮駅（都庁前と新御徒町駅で乗り換える）

パターン1
月9日は家に帰る
パターン２
仕事が遅いときだけネカフェに行く
パターン3
…

難しい計算だ
落合南長崎から都庁前の定期を買っても
落合南長崎駅から八潮駅の価格が変わらなさそう

500mlにアルコール濃度96％の飲み物があります。

その飲み物 90ml ＋水 20ml ＝アルコール濃度78.5%
その飲み物 170ml ＋水 40ml ＝アルコール濃度77.7%

の場合、アルコール濃度60％にするには
飲み物と水をどう配合したら良いでしょうか。

その飲み物 100ml ＋水 60ml
ぢゃね？

>>204
x-3y=0の場合が計算ミスしてませんか？

>>204
x-3y=0の場合が計算ミスしてませんか？

前>>32
>>202
78.5％っていうのは実際に計算してみると、
90×0.96÷(90+20)=86.4/110
=0.785363636……(％)
77.7％っていうのは実際に計算してみると、
170×0.96÷(170+40)=163.2/210
=0.777142857142857……(％)
のことである。問題はこれでいい。これを踏まえ、
その飲み物xmlを水30mlで希釈したらアルコール60％になったとして、
x×0.96÷(x+30)=0.6
96x=60(x+30)
36x=1800
x=50(ml)
∴その飲み物50mlを30mlの水でうすめたらいい。

解が無いなら何でも言える

三角形ABCの内部に点Oをとり、
（１）AOとBC、BOとAC、COとABの交点を各々D、E、F
（２）FEとAD,FEとBCの交点を各々G、H
（３）OHとAB、OHとACの交点を各々I、J
とする。このときCF、DI、JGは一点で交わることを証明せよ。
（BE、IG、DJも一点で交わる）　

楕円x&sup2;/4+y&sup2;=1上を動く点Pと定点(1，0)の距離の最小値を求めよ。
また，そのときの点Pの座標を求めよ。

3/4(x-4/3)&sup2;-1/3
↑
距離の最小値？『-1/3』の謎を教えてください。答えは当たりました。

割り込みすいません。

すいません。

楕円(x^2)/4+y^2=1上を動く点Pと定点(1，0)の距離の最小値を求めよ。
また，そのときの点Pの座標を求めよ。

3/4(x-4/3)^2-1/3
↑
距離の最小値の2乗？『-1/3』の謎を教えてください。答えは当たりました。

割り込みすいません。

前>>208
>>213-214
x^2/4+y^2=1上の点P(x,y)と(1,0)の距離の2乗は、
(x-1)^2+y^2=x^2-2x+1+1-x^2
=3x^2/4-2x+2=f(x)とおくと、
f'(x)=3x/2-2=0となるのはx=4/3のときで、
y=±√{1-(1/4)(16/9)} =±√5/3
P(4/3,±√5/3)
(1,0)との距離は、
√{(4/3-1)^2+(√5/3)^2}
=√6/3
=0.816496581……

微分するのは目から鱗でしたが、
平方完成しての-1/3は？

すいません。間違ってました。

/__/__/__/__/__人人__
/＿人人__/＿/_(＿^_)_
/_(_ )_)_/__/_(＿＿)ﾖｫ
/_(_( _)_/__/_(^o^))_
/_(^)　)_/__/_(__っ┓
/_(υ__)┓__/◎┻υ◎
◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/__/__/__/__/__/ｷｺｷｺ…… __/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/「困ったら微分」「困難は分割せよ」前>>215高校時代に先生が言った言葉だよ。「信じる者は救われる」

>>202
アルコールと水を混ぜると体積は足し算での計算より減るんじゃなかったかな？

>>218
びぶんのことはびぶんでせよ　とも聞いた。

>>219
水＋アルコール混合による体積減少を考慮するとなると、混ぜる前の精密な計算はかなり厄介ですね。
いちおう日本のアルコール度数表示は体積パーセントとのこと...

>>210
ありがとう。
まったく分からん。

>>211
ごもっともです。
だからこそ、重要なんです。

Yが奇数のときに、X、Yの解が存在しないことを
証明するための手続きなんです。

(X+1) (X-1) が両方、整数の立方であることを説明したら、
以下のように続けてフィニッシュなんです。

最小の立方体でも体積は 1 と 8 で
7 離れている。
よって距離が2しか離れていないような
自然数で構成される立方体2つの組が存在しないのは明らか。
Yが奇数のとき、これを満たす 解 (X,Y) は存在しない。
おしまい

>>210
ちなみに、
「Y ≠ 2 で Yが偶数の場合、
解 X,' は存在しない」

という証明も…何かの長い論文で証明されてます。

そちらは、素人が戯れに解くような問題じゃないみたいでした。

>>223
無限降下法でしょ。
数学的帰納法を理解できるなら、理解できるレベルのお話だと思うけど。

正多角形のうち、以下の条件を満たすもの全体からなる集合をSとする。
（条件）『直交する2本の対角線が、少なくとも1組存在する』
例えば正方形ABCDを考えると、対角線ACとBDが直交するため、Sの要素である。

では正2n+1角形(n=2,3,...)全体からなる集合をTとするとき、S∩Tは空集合か。
結論と理由を述べよ。

がんばれ。そのうち分かる。

>>211 は誤り。

>>221
>水＋アルコール混合による体積減少
の関係式ってネット検索したけど、みつけられなかった。

>>210
なるほどー

aを実数とし、
S(a) = Σ[n=1,2,...] {1/(n-a) - 1/(n+a)}/2a
とおく。

（1）lim[a→+0] S(a)を求めよ。答えのみでよい。

（2）（1）の結果を用いて、オイラーの定数γと円周率πとの間にある関係を考察し、それを等式の形で表せ。

>>230
ありがとうございました。

リンクを辿って

https://labox-ecc.com/documents/publi.pdf

に複雑な式が掲載されておりました。

ちょっと手がだせませんね。

任意の自然数の列a1,a2,…anがある。
この両側から適当にそれぞれ何個か取り除き、(取り除かない場合も含める)少なくとも1個残すようにすることによって、残した数の和がnの倍数であるように出来る事を証明せよ。

>>235
Si=a1+‥+ai とおく。
n|Si (1≦i≦n) なるiがあればa1〜aiを残す。
そうでなければDirichlet原理からSi≡Sj(mod n) (1≦i<j≦n)なるi,jがとれる。
この時a(i+1)〜ajを残せば良い。

>>202

その飲み物 90ml + 水 20ml　＝　アルコール 86.4ml + 水 24.4987 ml
アルコール 78.5 Vol%　＝　アルコール 78.5ml + 水 24.4845 ml

その飲み物 170ml + 水 40ml ＝　アルコール 163.2ml + 水 48.49755 ml
アルコール 77.7 Vol%　＝　アルコール 77.7ml + 水 25.3371 ml

密度(g/cc) ≒ 0.9923 - 0.0607 V - 0.0936 V^2 - 0.0407 V^3,

ここに　Vはアルコール度(Vol)　0.1 < V ≦ 0.96

P(x),Q(x)は実数係数の多項式で、cは実数の定数とする。いま、任意の実数xに対して
x^4+P(x)≧Q(x)^2+c, x^4+Q(x)≧P(x)^2+cがともに成り立っているという。

⑴cとしてありうる最大の値を求めよ
⑵ ⑴のcに対し、ありうるP(x),Q(x)の組をすべて決定せよ

2以上の整数a,b,cで

a!=b^c+c^b

を満たすものは存在するか．

a=2, b=c=1

2以上はb,cにもかかってる

id変え忘れてるよ

自演きも

ID隠しもキショい

>>210
3行でさらっと解説されてるけど
じっくりとここだけを考えたら解けたわ。

(2n+1) (2n+3) = Y^3

(2n+1) と (2n+3) が立方数 (整数の3乗 x1)であることを
証明せよ
って感じで。

中共のオトモダチ、東ドイツのメルケルちゃん。
そして、実質、 ドイツ帝国になり下がった EUちゃん。

@ EU + 中国
= ドイツ帝国 + 中国共産党

これ、期末試験に出るから覚えとけ〜 ( '〜')

>>240
(1) c = 1/4,
(2) P(x) = Q(x) = a･xx + 1/2, (-1≦a≦1)

すいません、質問です
物体を動かすアニメーションを作ってて、どうも動きがロボットみたいに味気ないので
慣性の法則っていうんですか、加速、減速、加速したのち減速
の三つの関数を入れようと思ってます

で、以下でできたのですが、欲を覚えて、加減速具合をなめらかに（移動と時間の関係を比例に近づける）したり、
逆に急激にしたり出来るような変数を付け加えた計算式に改造しようと適当に数時間いじってたんですが、
どうしても出来なかったのでどなたかアドバイス頂けないでしょうか

どれくらい難易度高いのかもよくわからないのにすみません

イージングについての参考はこちら
http://nakamura001.hatenablog.com/entry/20111117/1321539246
※カーブの具合についての計算方法は上記の通り色々あるのですが、かゆいところに手が届かないので変数で変更したいです


t : 時間(進行度)
b : 開始のX座標
c : 開始と終了の値の差分（移動距離）
d : 移動にかかる合計時間

■easeInQuad（加速）
c * (t /= d) * t + b;

■easeOutQuad（減速）
-c * (t /= d) * (t - 2) + b;

■easeInOutQuad（加速したのち減速）
if ((t /= d / 2) < 1) c / 2 * t * t + b;　※時間（進行度）が半分未満ならこちらの行だけ実行、そうでなければ下の行
-c / 2 * ((--t) * (t - 2) - 1) + b;



参考：
ちなみに単なる直線の比例グラフだと以下のようになります
c * (t /= d) + b;

>>250
例えばこんな感じとか
(言語: javascript)
function easeInOut(t,b,c,d, p,q,r){
let x=t/d
let y=c / (r/p + (1-r)/q)
if (x<r) {
y *= x**p /(p*r**(p-1))
} else {
y *= (r/p + (1-r)/q) -(1-x)**q /(q*(1-r)**(q-1))
}
return y + b
}

始まりと終わりの緩急を p, q で その切り替え時間(の比率) を r で指定する。
if 分岐の2関数が滑らかに接続するようにしただけ。 難易度は低い。
グラフ↓は (p,q, r) = (2, 3, 0.8) と (0.5, 1, 0.4) の場合

グラフ

>>251
なるほどです！
ちょうどjavascriptで書いていたので助かりました
ありがとうございます

>>209
ようやく >>210さんの説明に追いついたわ。
210さんが1時間でレスした内容を理解するのにワイは2日かかった。

みんな頭いいな、旧帝大の工学部とか？

前半
yが奇数の時、
------> y^3 = (X+1)(X-1) = 1x立方 x 1x立方

自然数の立方で差が2であるようなものは存在しないので、
これを満たす自然数 x,y は存在しない。

後半 (時間かかった)
yが偶数の時、
-------> y^3 = (X+1)(X-1) = 4x(自然数の立方) x 2x(奇数の立方)

問い1.3

X,Y は自然数とする。

「Yが4以上の偶数である時」、

............. Y^3 = (X+1)(X-1)

を満たす自然数 X, Y は存在しないことを証明せよ。

ヒント: Y^3 = (X+1)(X-1) = 4x(自然数の立方) x 2x(奇数の立方)

↑ めっちゃムズいし、Yが奇数の時のように、簡単には解けない。
ガチで論文何ページか必要なレベル…だと思う。

a,bを整数とし、f(x)=x^2+ax+bを考える。
いま正の実数xに対し、単位円周C上に点P(cos2πf(x), sin2πf(x))をとる。
またCの弧で(1/√2)≤x≤(√3/2)かつy>0を満たす部分をKとする。
xが変化するとPもC上を動くが、PがKに含まれるようなxの範囲（閉区間）は無数に存在する。それらをx座標が小さい順にI_1,I_2,...とする。

（1）区間I_nの長さL[n]をa,bで表せ。

（2）極限 lim[n→∞] Σ[m=1,2,...,n] L[m]を求めよ。

１.４１４２......
は定数ですか？

>>194-196
それたぶん拾った雑音を言語野が無意識に言語化しちゃってるのでは？
いわゆる“空耳”、「幻聴」なのでは？

>>258
私には何故か嫌がらせを行う人間達がまとわりついている
「しはくはむり」と二回誰だか分からない女の声が聞こえてきたが
学部卒が博士を上回る仕事をするとそうなるらしい

>>259
BOSEのノイズキャンセルとか高性能遮音ヘッドホンどうぞ

>>259
思春期前期１３〜１５歳前後頃
猫を飼ってましたか？

>>261
飼っていたと思われます

解答ありがとうございます。

もしかしたら...
「猫からの人獣共通感染症で
脳内で炎症反応が起きミクログリアに脳神経細胞が食べられ過疎てしまった後のマクログリアによる修復が追いついていない状態」
にあるのかも知れませんね。
言語野聴覚野関連領域での神経過疎化が改善しきってないのかも？ですね..

素地にＡＳＤなどがあって神経に伝わる雑音のカット機能に障害があると陥り易い症状なのかも知れませんね..

辛いですよね。
周囲からも理解されずに孤独を深めてしまいますよね…

良い治療薬が作られるかもですから、それまで少しでもお気持ちが楽に安心して過ごせる事を願ってます

>>263
いいえこれは幻聴ではありません、5chで目立つ行動をすると、それを意味不明に叩く人間達が
多く発生するのです

先輩を馬鹿にしやがって、だとか社会を馬鹿にしやがってと叫び、私の部屋での
独り言を盗聴して、因縁を付けてくる人間が確かにいるのです

特に、私が行った研究が他の学者を馬鹿にしているというふうに考える奴らがいる
から、嫌がらせを言われたり、部屋の中に勝手に入られて、物を壊されるということ
が起きています

a!+abc=c!
を満たす互いに素な自然数の組(a,b,c)を全て求めよ。

b=(c!-a!)/(ac) for any a and c>a, c | (a-1)!

>>249
P(x) = Q(x) = ax^2 + 1/2 (|a| <= 1)？

>>44

>>53

>>55

はじめに正△の各辺をn等分するなら、正△の総数は M(n) = (n+3)Ｃ4.
いまの場合は n=6

数学セミナー、2006年2月号のエレ解・出題１
(出題 2月号、解説 5月号、中本先生)

>>264
＞部屋の中に勝手に入られる

自宅なら刑法第130条の規定する刑法犯に問えますよね？

＞物を壊される

「器物損壊罪」刑法261条に明確に抵触しますよね

１に証拠２に証拠、３・４も証拠で５に証拠
── 論より証拠 ──

刑事告訴(起訴・公判維持)可能な強力かつ充分な証拠収集にお励み下さい。

グッドラックでございます…

※ご存知かとは思いますが、
刑法は「疑わしきは罰せず」などと抜かすザル法で名高い
「犯罪者に有利に〜
〜被害者に不利に」
出来ているトンデモな悪法です。
証拠・証言力でしか、対処しようが無いと思います。

それが出来なければ「幻聴・被害妄想」、統合失調症の典型的な症状との判別がつきません。

この問題の解き方教えて下さい
高校数学です
sinx-sinxcosx+cosx-1/2の最大値最小値を求めよ

√(n+1)/{n+√(n+1)+√(n+2)} = {n+√(n+1)-√(n+2)}/(n+1)
を満たす自然数nを全て求めよ。

>>271
(与式)= sinx +cosx - (1/2)(sinx+cosx)^2
= -(1/2)q^2 + q　 { q := sinx+cosx = √2.sin(x+π/4) }
= -(1/2)(q-1)^2 + 1/2 　{ =: f(q) }
-√2 ≦ q ≦ +√2 より
f(+1) = +1/2 (最大値)
f(-√2) = -(1/2)(3+2√2) +1/2 = -1-√2 (最小値)

>>273
ありがとうございます

数学の公式って
著作権とかロイヤリティって
発生しないよね。

論文を読むためには、
会員になったり、有料のサブスクをしないといけないのに
なんか変な感じ。

・ダウンロードコンテンツ 幾何学 (ピタゴラスの定理セット)

・ダウンロードコンテンツ 代数学 (線形代数セット)
・ダウンロードコンテンツ 微積分 (ライプニッツ、ニュートンセット)

↑ こういう風に特許をかけそうなのに
数学者って寛容だな

そもそもアルゴリズムも特許なしの筈だったんだがな
数学も何時まで持つやら

>>277
総当りN^2 探索 … 100円

二分木探索 … 2000円

クイック・ソート … 5000円

>>273
グラフ化と数値解を出してみた

https://i.imgur.com/1SmTY91.png

> f<-function(x) sin(x)-sin(x)*cos(x)+cos(x)-1/2
> curve(f(x),-pi,pi,bty='l',lwd=2)
> optimize(f,c(-pi,pi))
$minimum
[1] -2.356202

$objective
[1] -2.414214

> optimize(f,c(-pi,pi),maximum = TRUE)
$maximum
[1] 1.570803

$objective
[1] 0.5

例) カーマーカー特許(AT&T)

USP 4,744,026 「最適資源割当のための方法および装置」(1988/May)
　射影変換とアフィン変換を組合せて線形計画問題を解く方法。
　産業連関分析なんかに使うのかな？

特許 第2033073号「最適資源割当方法」
特願昭61-501865　特公昭62-502580　特公平5-61672

研究の出口は用途の発見。
用途があれば産業にとって useful.
new & useful inventions are patentable.

>>271
　(与式）= 1/2 -｛1-sin(x)}{1-cos(x)｝≦ 1/2（最大値)

　(与式) = (√2 +q)(2+√2 -q)/2 -√2 -1 ≧ -√2 -1（最小値)

前>>231式変形を思いつかずに解かなきゃみんなが解けることにはならない。微分だ。微分しないといけない。
>>271
f(x)=sinx-sinxcosx+cosx-1/2とおき、
f'(x)=cosx-cos^2x+sin^2x-sinx
=cosx+1-2cos^2x-sinx=0とすると、sinx=1+cosx-2cos^2x
cos^2x+sin^2x=1に代入し、
cos^2x+(1+cosx-2cos^2x)^2=1
cos^2x+1+cos^2x+4cos^4x+2cosx-4cos^2x-4cos^3x=1
4cos^4x-4cos^3x-2cos^2x=0
cosx=0,2cos^2x-2cosx-1=0
cosx=0,(1-√3)/2
(0≦x≦2π)
x=π/2,α
f(π/2)=sin(π/2)-sin(π/2)cos(π/2)+cos(π/2)-1/2=1-1･0+0-1/2=1/2
f(α)=sinα-sinαcosα+cosα-1/2
=(cos^2α-2cosα)(1-cosα)+cosα-1/2
=[{(1-√3)/2}^2-(1-√3)]+(1-√3)/2-1/2
={(4-2√3)/4-1+√3}-√3/2
=√3/2-√3/2
=0
最大値 1/2
最小値 0
違うか。計算間違いか？

前>>282訂正。最小値が負になる可能性がある。
>>271
sin(4π/3)-sin(4π/3)cos(4π/3)+cos(4π/3)-1/2
=sin(7π/6)-sin(7π/6)cos(7π/6)+cos(7π/6)-1/2
=-2.2990381……
4π/3と7π/6のあいだのxを調べると、
f(5π/4)=sin(5π/4)-sin(5π/4)cos(5π/4)+cos(5π/4)-1/2
=-2.41421356……
＜f(6π/5)=-2.3……
∴x=π/2のとき最大値1/2
x=5π/4のとき最小値-1-√2

前>>283確認。
f'(5π/4)=cos(5π/4)+1-2{cos^2(5π/4)}-sin(5π/4)
=0
f'(π/2)=cos(π/2)+1-2{cos^2(π/2)}-sin(π/2)
=0+1-2･0-1
=0

Σ[k=0,∞] (2k)! / ( 2^{2k} (k!)^2) * 1/(2k+1) = π/2
を証明してください.
出典は https://texclip.marutank.net の表示見本用の数式です.

>>272
これお願いします

>>272
√(n+1)/{n+√(n+1)+√(n+2)} = {n+√(n+1)-√(n+2)}/(n+1)
⇔
(n+1)√(n+1) = {n+√(n+1) + √(n+2)}{n+√(n+1) - √(n+2)}
⇔
(n+1)√(n+1) = {n+√(n+1)}^2 - (n+2)
⇔
(n+1)√(n+1) = (n-1)(n+1) + 2n√(n+1)
⇔
(n+1) = (n-1)√(n+1) + 2n
⇔
0 = (n-1){√(n+1) + 1 }
∴ n=1

電卓でモードをDegにしてsin(30)とすると0.5になりました
モードをRadにしてsin(30)にすると-0.9880316241になりました

ラジアンを度に変換する式は　deg=rad*(180/π)　らしいので
この式を使えば-0.9880316241が0.5になるのかなっと思ったのですが結果は-56.61004209でした。

sin(30)=0.5と、変換式で出てきた-56.61004209は別物ですか？

前>>284文字化けが激しいですが、
>>272
√(n+1)/{n+√(n+1)+√(n+2)}={n+√(n+1)-√(n+2)}/(n+1)の分母を払って、 (n+1)√(n+1)==n+√(n+1)-√(n+2)}{n+√(n+1)+√(n+2)}
=n+1)√(n+1)=n^2+2n√(n+1)+n+11 +)
n^2+2(-1)√(n+1) 1=0
n=1,n+1+√(n+1)=0 n≠1のとき
n+1+√(n+1)≠0

ゆ∴n =1



n=1

>>288
https://www.peko-step.com/tool/tfrad.html

>>285 の件
式の一部でググったら arcsin(x) の展開式が出てきました.

{d/dx}arcsin(x) = 1/√(1-xx) = (1-(xx))^{-1/2}
= 1 + (1/2)(xx) + ... + (1/k!)(1/2)(1+1/2)...(k-1+1/2)(xx)^{k} + ...
= 1+ Σ[k=1,∞](2k-1)!!/(2^k*k!) * x^{2k}
= Σ[k=0,∞](2k)!/(2^{2k} (k!)^2) * x^{2k}
∴ arcsin(x) = Σ[k=0,∞] (2k)!/(2^{2k} (k!)^2)*1/(2k+1) * x^{2k+1}
(与式) = arcsin(1) = π/2 　{OK!}

学者が解決できない問題を解決した人間に、「学者気取り」と侮辱するな！
学者と言えということではないが

a,b,tを正の実定数とし、平面上の2点A,BをA(a,0)、B(b,t)と定める。
y軸上を点P(0,x)が動くとき、|AP-BP|が最大および最小となるxを求めよ。
なおそのようなxが±∞となる場合は「最大値なし」のように答えよ。

フェルマーの最終定理って
あくまで予想だよな。

証明したのはワイルズさんだ、
よって、ワイルズの定理って呼ぶべきだと思うんだが…

なんで未だにフェルマーの最終定理って呼ばれるての？
ワイルズさん、かわいそす… (´・ω・`)

谷山志村予想もワイルズの定理になるぞ

>>293
Pのy軸拘束条件を外すと
|AP - BP| が一定となる点の軌跡は 双曲線, 直線, 半直線2つ のどれかになる.
一目瞭然なので計算は省略.
a=b (ABがy軸に平行)の場合だけ「最大値なし」が生じる.

>>295
谷山 「それは」
志村 「こまる」

すみません
留数の範囲でわからない問題があるので質問させてください...

複素数zの関数 (e^z-1)/(sinz)^2
の原点における留数を求めよという問題です

留数自体あまり理解が深くないので詳しいところまで書いていただけるとありがたいです...

>>298

谷山「それはこまる」
志村「アイーン」

>>292
このレスを書いたらすぐにrejectメールがきた
どういう情報通信がなされているのでしょうか

テレビゲーム？？
＞コンウェイ氏はイギリス・リバプール出身の数学者で、1970年に発表した、
＞生命の誕生や死をコンピューター画面でシミュレーションするテレビゲーム「ライフゲーム」が世界的な人気を集めました。

テレビゲーム
それなんて死語の世界

dy/dx=x+y
をx+yをuとして解き、yの一般解を求めよ

>>305
u=x+y と置く.
du/dx = 1 + dy/dx = 1 + u
du/(1+u) = dx
d{log(1+u)} = d{x}
u = C*e^x - 1 {C: 積分定数}
∴ y = u - x = C*e^x - x - 1

f(x+1)-f(x)=x(x+1)
f(0)=0
を満たす数式f(x)を求めよ

>>304
懐かしい呼び方
マイコンとかもな

前>>289
>>307
f(x)=x^3/3+ax^2+bxとおくと、
f(x+1)-f(x)=(x+1)^3/3+a(x+1)^2+b(x+1)-x^3/3-ax^2-bx
=x^2+x+1/3+2ax+a+b
=x(x+1)
1/3+2ax+a+b=0
a=0,b=-1/3
∴f(x)=x^3/3-x/3
確認する。
f(x+1)-f(x)=(x+1)^3/3-(x+1)/3-(x^3/3-x/3)
=x^2+x+1/3-x/3-1/3+x/3
=x^2+x
=x(x+1)

>>309
ありがとう

一般解は
　f(x) = x^3/3-x/3 + g(x)
g(x)は g(0)=0, g(x+1)-g(x)=0 [周期 1] を満たす任意関数

微分可能条件を外せば x∈(0,1) に対して f(x)の値を任意に定めて 他のxに対しては帰納的に定義できる
{ x∈(0,1) での x^3/3-x/3 を相殺して任意値に置き換える g(x) を持って来ればよい }

>>305
こういう宿題を書き込むザコ助どもに
イラつく

球の表面積について考えよう。
(以下の物語はフィクションです)

****「単純な立体」****

遠い昔、ある惑星のある国にて

国王 「三次元の立体で、最も単純な物は何か？」

Aは答えた。
「それは三角ピラミッド(三角錐) です。
4つの頂点と4つの面を持ち、この立体は、その頂点の数が最小だからです」

Aのライバルであった B は答えた。
「それは球体です。
球はそれを構成する1つ1つのポリゴン(側面)の面積が最小だからです」

Aは反論した
「頂点と側面の数が無限個あるのに、どこが単純なのだ？」
Bは答えた
「それは本質ではありません。
紙粘土があれば素手で…ほら、ご覧ください。
このように美しい物が一瞬で誰にでも作れます」

国王 「なるほど、よく分からん」

結論が出せず、国王の仲裁のもと、
両者はお互いを認めて、その2つともを
「(3次元空間においての) ある種の単位元」
として認めることに同意した。

ある時、B は球の表面積が分からずに困っていた。

Aは、
「三角錐と球はどちらも単位元であり、
双子の兄弟のようなものだ。
球を観念上の三角錐と見做してはどうだろうか？」
と提案した。

B はなるほど…と思い、これを受け入れた。
球が観念上の三角錐であるならば、
それは側面を4つ持つはずで、その4つの合計が表面積だ。

しかし、前にB自身が述べたように
「球は側面が無限個であり、それを構成する1つ1つのポリゴンの面積がゼロ」 である。
B は困った。
Aは紙粘土の球を 真っ二つに割った。
そして、 「この断面を、観念上の側面の面積 としてはどうか？」と提案した。
Bは、またもや、なるほど…と思い、これを受け入れた。

球の表面積 = (観念上の)側面の面積 x 4 = pi x r^2 (x 4)

Bはこの理論をまとめて王立学会へ提出した。

学会「結論はもっともらしい、しかし、各所の論理に不備がある」
としてBの論文と自宅は燃やされた。

全てはAの罠だったのだ。
この A という男が、後のピタゴラスである。

>>307
二項係数の (n)C(r) = (n-1)C(r) + (n-1)C(r-1) から (n)C(r) = Σ_{k= r~n} (k-1)C(r-1)
x(x+1) = 2 (x+1)C(2) を右辺に入れると 2(n)C(3) = Σ_{x=1~n-2} x(x+1)
これによる一般化もある

無限級数
a[k] = Σ[n=0,1,...] (n^k)/n!
について、以下の問いに答えよ。
ただし0!=1である。

（1）任意の自然数kに対してある自然数b[k]が存在し、a[k]はa[k]=b[k]eの形で表されることを示せ。

（2）a[k+1]をa[k],a[k-1],...のうち必要なもので表せ。

U = {1, 2, …, n}
S_1, …, S_m を互いに異なる空でない U の部分集合とする。
#(S_i ∩ S_j) = const. for all i, j ∈ {1, 2, …, m} such that i ≠ j が成り立っているとする。

このとき、 n ≧ m であることを示せ。

すみません
極限を求める問題で

lim[x→∞] 2n+1/n

lim[x→∞] (2n^2-n^3)

lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1

をお願いしまーす

すみません
極限を求める問題で

lim[x→∞] 2n+1/n

lim[x→∞] (2n^2-n^3)

lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1

をお願いしまーす

すみません
極限を求める問題で

lim[x→∞] 2n+1/n

lim[x→∞] (2n^2-n^3)

lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1

をお願いしまーす

lim[x→∞] 2n+1/n ＝ 2n+1/n
lim[x→∞] (2n^2-n^3) ＝ 2n^2-n^3
lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1 ＝ 2n^2-5n+3/3n^2-1

正解ですね

板から鎖を削り出すことが可能か不可能かというのは、数学的に証明できますか？

実際に出来るので数学を用いるまでもなく証明可能

>>316
(1)
a[k] = Σ[n=0,∞] n^k/n!
e^t = Σ[n=0,∞] t^n/n!
{t.d/dt} e^t = t.e^t =: g(1,t) e^t
{t.d/dt}^k e^t = Σ[n=0,∞] n^k.t^n/n! =: g(k,t) e^t
{t.d/dt}^{k+1} e^t = (t.{d/dt}g(k,t) + t.g(k,t)) e^t
∴ g(1,t)=t,　g(k+1,t)= t.{d/dt}g(k,t) + t.g(k,t)
b[k] := g(k,1) ∈ N { k次多項式 g(k,t) ∈ R[t] の係数は全て非負整数 (∵ 帰納法) }
a[k] = g(k,1) e^1 = b[k] e

>>316
(2)
Σ[j=1,k] (-1)^j.a[j] = Σ[n=1,∞] Σ[j=1,k] (-n)^j/n!
=Σ[n=1,∞]( (-n)-(-n)^{k+1} )/(n+1)!
=Σ[n=1,∞]( (1-n)-(1-n)^{k+1} )/n!
= k.a[1] + (-1)^k.a[k+1] - Σ[j=2,k]C{k+1,j} (-1)^j a[j]
∴
a[k+1] = (-1)^{k+1} (1+k) a[1] + Σ[j=2,k] (C{k+1,j} + 1) (-1)^{k+j} a[j]
(1)の結果は使わなかった.

>>313-314
勉強できない子には
こうやって覚えさせるといいよ。

または、
球体に光をあびせて、投射された影4つ分。

板から板の厚さよりも細くない鎖を削り出すことが可能か不可能かというのは、数学的に証明できますか？

ｎ次関数のｎ個の解を実数解はｘ軸上に複素数解はｘｙ平面を複素平面だと思ってプロットすると
もとのｎ次関数とｎ個の点の位置関係は何かきれいな幾何学的関係になってるのでしょうか？

>>327 (2) 別解
a[k] = Σ[n=1,∞] n^k/n!
= Σ[n=1,∞] ( n^k + n^{k+1} )/(n+1)!
= Σ[n=1,∞] ( (n-1)^k + (n-1)^{k+1} )/n!
= a[k+1] + Σ[j=1, k] (C{k,j} (-1)^{k-j} + C{k+1,j} (-1)^{k+1-j}) Σ[n=1,∞]n^j/n!
= a[k+1] + Σ[j=1, k] ( C{k,j} - C{k+1,j} ) (-1)^{k-j} a[j]
= a[k+1] - Σ[j=1, k] C{k,j-1} (-1)^{k+j} a[j]
∴
a[k+1] = (k+1) a[k] + Σ[j=1, k-1] C{k, j-1} (-1)^{k+j} a[j]

平面上に、どの2点間の距離も奇数であるような4点は存在しないことを証明せよ。

>>330
まず、複素数上の任意のｎ点について、これを解とするｎ次関数が存在する

上記のｎ次関数の各項の係数は一般に複素数である

もし、各項の係数を実数に制限するのであれば、以下の性質を満たす

・ｎが奇数の場合、少なくとも１点は必ず実軸上にある
・実数でない解の場合、互いに共役である２点が解となる

z^k の係数を a(k) とする。
1.
〔掛谷の条件〕
a(0) ~ a(n) はすべて非負とする。
0 < a(n) < a(n-1) < ･････ < a(1) < a(0)
⇒　根は単位円の外部

0 ≦ a(0) < a(1) < ･････ < a(n-1) < a(n)
⇒　根は単位円の内部

0 = a(1) = a(2) = ･････ = a(n-1),　|a(0)|=|a(n)|≠0
⇒　根は単位円上

2.
f '(z) = 0 の根は f(z) = 0 のすべての根の凸包に含まれる。

>>317

ヒントを出しておきます：　線形代数の知識を使う。

生成関数
　Σ[k=j,∞] s(k,j)/k!　x^k = (1/j!)(e^x - 1)^j,
　Σ[k=0,∞] b(k)/k!　x^k = e^(e^x - 1),

　b(0)=b(1)=1, b(2)=2, b(3)=5, b(4)=15, b(5)=52, b(6)=203,

例)
５つの異なる物を何組かに分ける方法の数は b(5) = 52 種ある。
「源氏香」

[質問の前提]
円周率の近似値を得るために、
単位円に内接する正多角形の1辺の長さを求める。

図と漸化式は省略

正6角形:1
正12角形:√(2-√3) = (1/2)(√6-√2) -> 0.5176381
正24角形:√(2-√(2+√3)) -> 0.2610524
正48角形:√(2-√(2+√(2+√3))) -> 0.1308063
正96角形:√(2-√(2+√(2+√(2+√3)))) -> 0.0654382

ここまでが書籍の参考に書いてあったことの抜粋です。

[質問]
正12角形は途中式(1/2)(√6-√2)が書いてあり納得できましたが、
24,48,96角形のケースは書いてありませんでした。
それぞれの途中式を教えてほしいです。

それくらい自分で計算できなきゃ聞く意味すらない

多重根号を外したいってことなら無理なんじゃね？

>>338
同じモノだったら？

分割数と云うらしい･･･

正24角形
√(2-√(2+√3))=√(2-(1/2)(√6+√2))

ここで詰まるんだけど
そもそも多重根号はずせないケースなの？
ならばどうやって0.2610524を導くの？

>>339
中心角2θに対する辺の長さ　L = 2sinθ,
から
中心角θに対する辺の長さ　L ' = 2sin(θ/2),
を求める。
cos の半角公式
　cos(θ/2）= √{(1+cosθ)/2},
を使う。
　L ' = √{2 - √(4 - L^2)},

これくらい自分で計算できなきゃ･･･後ry)

>>342
同じモノ５つなら
　(5)
　(4,1)
　(3,2)
　(3,1,1)
　(2,2,1)
　(2,1,1,1)
　(1,1,1,1,1)
　p(5) = 7 種

>>346
ありがとうです
b(n),p(n)の直接式か漸化式かあれば
教えてください

>>344
多重根号が外れるケースのほうが多いとでも思ってるのかw
めでたいなー

p(k) の生成関数
　Σ[k=0,∞] p(k) x^k = 1/{(1-x)(1-xx)････(1-x^n)････}
　p(k）の級数展開が見つかった。(Rademacher, 1937)

同じk個をj組に分ける方法を q(k,j) とすれば
　p(k) = Σ[j=1,k] q(k,j)
　q(k,j) = q(k-1,j-1) + q(k-j,j)
　q(k,1) = q(k,k-1) = q(k,k) = 1,

qの生成関数
　Σ[k=j,∞] q(k,i) x^k =（x^j)/{(1-x)(1-xx)････(1-x^j)}

http://oeis.org/A000110 b(k)
http://oeis.org/A000041 p(k)

数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)　p.58