>>227
どこまで定理を使っていいかわからんが、
「微分可能関数 f(x) が x = a で極値をとるならば、 f'(a) = 0」
が使えると仮定すれば証明できる

もし f(0) = 0, f'(0) ≠ 0 のとき、 0 に近い a で f(a) < 0 となるものが1つも存在しなければ、
0 に近い a に対し、常に f(a) ≧ 0 となる。
f'(0) ≠ 0 より、関数 f(x) は x = 0 の近くで定数関数ではないから、 f(0) = 0 より、
0 に近い a に対し、常に f(a) > 0 となる。
したがって、関数 f(x) は x = 0 で極小値 0 をとる。
このとき、「微分可能関数 f(x) が x = a で極値をとるならば、 f'(a) = 0」より、
f'(0) = 0 でなければならない。これは f'(0) ≠ 0 の仮定に矛盾する。

「x = a に近い」とかいう表現は厳密ではないが、高校数学ならこれくらいで十分かな？