分からない問題はここに書いてね460

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/

(使用済です: 478)

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

さぁんっ！

配列 A の中に v がある場合には、その位置を返し、 v がない場合には NIL を返す以下のプログラムを考えます。

LINEAR-SEARCH(A, v)
■■for i = 1 to A.length
■■■■if A[i] == v
■■■■■■return i
■■return NIL

各 i に対して、 A[i] == v である確率を p とします。

このとき、このプログラムが A[i] == v かどうかをチェックする回数の平均値を E(steps) とすると、 A.length の値に関係なく、

1 ≦ E(steps) < 1/p

を満たすため、 E(steps) = Θ(1) になります。

↑に述べたことは正しいでしょうか？

ちょっと意外なようでいて、もっともな結果とも思えます。

クラス全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。

日本人全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。

↑このような例を考えれば、もっともな結果と思えます。

Θ(1)　って何？

>一方で分からない問題は回答を全部見て納得する、を繰り返せば、効率的に多くの問題を理解できるので、
>「全くもって未知の問題」に遭遇する確率そのものを下げることができる

ときたか
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、一体どうするのだろうか
こういう人は、考える前にひたすら類似問題を探すのかな
そもそも自力で問題を解いた経験が少ない人は、「自分の頭で考える」ということができるのだろうか

>>5
O(1) じゃない？

>>6
考えない人間は存在しないし、回答を見て分からなければ、何でもかんでも質問することは現実的に不可能だから必然的に考えることになる
そして回答をほとんど見ずに問題を考えた人と回答をすぐ見た人とで未知の問題に対する得点に有意な差が見られるというデータを見たこともない

>>8
あなたはそうやって生きてきて、今まで何とかなっているの?
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、
まず最初に何をするの？

>>9
普通に何とかなっているな
不幸は諦める他ない
不幸が訪れる確率をどれだけ下げられるかが準備期間にやることだろう

諦めるのか…
想定外の問題に遭遇したらパニックになりそうで危うい人だな
もし人類のほとんどがこのような考え方の人になってしまったら、科学の進歩は止まるな

ただコインの裏を引いただけで動揺する理由もない
たまたまそうなっただけなので諦めてできることをやるだけ

想定外の問題が発生したときに「たまたまそうなった」と言う人は信用できないなあ
「想定が甘かった」と言う人ならまだ信用できるが
この場合の「できること」というのは、新しい解法を考えることではなくて、
既存の解法でなんとかならないかひたすら「考える」ことなんだろうなあ

俺からすれば「考える力」を重視する人が信用できない
考える力とやらはそもそも何なのか全く不明だろう
ある意味スピリチュアルだ

「考える力」を思考する能力と解釈すると、「思考とは何か」といった問題（分からない問題）は、
哲学、論理学、心理学、生物学、脳科学等の複数の分野で考えられてきた
生物学的な観点から見れば、「思考」こそが人間と他の動物（例えばチンパンジー）との違いであると言える

一方で、俺が書き込んでいる内容は所詮は誰かの受け売りに過ぎないという指摘も考えられる
しかし、少なくとも過去の人類はそうやって「考える」ことによって新しい何かを生み出してきた
卑近な例でいえば、例えばフィクション作家は、恐らく「考える」ことによって常に新しい何かを生み出している
なぜなら、過去の作品のコピーでない作品には、必ず新しい何かが含まれているから

>>15については同意
だが、すぐ回答を見ることは全く考えないことを意味しない
回答がないとか、試験中とか、回答を見ることができないときにそれまでの知識を用いて考えれば良い

1変数の微分方程式（ただし解が初等関数であるもの）を解く場合、ラプラス変換さえ知っていれば十分ですか？

正定値実対称行列の全体が行列の空間の中で開集合になっていることの示し方を教えてください

>>18
結論を否定すると、正定値対称行列Aと対称行列の列Aiと0以下の実数の列eiで
e=lim ei は収束有限確定値。
eiはAiの固有値
limAi=A
となるものが採れてしまう。
実際まずlimAi=A,eiをAiの固有値とするときlimAi=AからAiの固有多項式の係数は有界だからeiも有限集合なので収束部分列が採れてしまう。

行列の空間から行列の空間へのランクを保つ線形写像
F:Mn(R)→Mn(R)
は、ある可逆行列A,Bを用いて
F(X)=AXBもしくはA(X^t)B
と書けることの証明わかる方いれば教えて下さい

円(y軸上)と放物線(頂点は原点)の交点について厳密に説明できる方、いらっしゃいませんか？
双曲線とかも考えなきゃいけないんですよね？
よろしくお願いします。

f(x)=sin(x^2)とする。
区間[a,a+1)から無作為に実数を1つ選び、それをbとしたとき、f(b)>0となる確率をP(a)とおく。
lim[a→∞] P(a) を求めよ。

>>22
> 区間[a,a+1)から無作為に実数を1つ選び、
これどういう意味？

X が [0,1) に一様に分布するとして
　b = a+X
とする。

f(b) = sin(bb）> 0　は
　0 <｛bb/2π｝< 1/2,
　0 <｛bb/2π｝=｛bb/π}/2,

>>20
まず線形写像FとGが相似であるというのをある正則行列A,Bが存在して任意の行列に対しG(X)=F(AXB)が成立するときとする。
主張はFがrankを保存するとき、それは恒等写像と相似である事である。Eijを行列単位とし、Fij=F(Eij)とおく。
容易にF11=E11としてよい。
必要ならFを相似なものと取り替えてF12の一行目は0でないとしてよい。
F12の二行目以降が0でないとするとあるcをとってF(cE11+E12)のランクが2以上となって矛盾するからF12の二行目以降はすべて0である。
よってやはりFを相似なものと取り替えてF12=E12としてよい。
同様の議論を繰り返してF1i=E1iとしてよい。
同様の議論でF21も二行目以降が二列目以降のすべてが0であるが、後者とするとF(E12+E21)のランクが1以下となり矛盾するから前者である。
やはり同様の議論を繰り返してFi1=Ei1としてよい。
FijとFi1=Ei1に対して同様の議論をしてi行目以外のすべてが0か1列目以外のすべてが0である。
FijとFi1=E1jに対して同様の議論をしてj列目以外のすべてが0か1行目以外のすべてが0である。
この二つの条件を満たすのはFijがE11の定数倍であるか、Eijの定数倍であるかのいずれかの時であるが、前者のときF(E11+Eij)のランクが1以下となって矛盾する。
よってFij=cEijとおけるが、
rank(E11+E1j+Ei1+cEij)
=rank(F11+F1j+Fi1+Fij)=1
によりc=1である。

>>22
2kπ ≦ aa < 2(k+1)π,
2Lπ ≦ (a+1)^2 < 2(L+1)π,
(k,Lは自然数）とする。
(L-k-1)π < a + 1/2 <（L-k+1)π,

k,Lは自然数。
　Y =（a+X)^2
とおくと、
　X = √Y -a,
　dX = dY/(2√Y),

　P(a) = ∫_[0〜1, sin((a+X)^2)>0] dX
　= ∫_[aa〜(a+1)^2, sin(Y)>0] dY/(2√Y),
∫_[2(k+1)π〜2Lπ, sin(Y)>0] dY/(2(a+1)）< P(a）< ∫_[2kπ〜2(L+1)π, sin(Y)>0] dY/(2a),
　(L-k-1)π/(2(a+1)）< P(a）<（L-k+1)π/(2a),
　(a +1/2 -2π)/(2(a+1)）< P(a）<（a +1/2 +2π)/(2a),
∴　lim[a→∞] P(a）= 1/2.

lim[a→∞] P(a) = 1/2 って本当？
直観的には a → ∞ のとき f(x) = sin(x^2) は区間 [a,a+1) に属する b について
ほとんど至るところで f(b) > 0 となるわけだから、 P(a) → 1 になる気がするけど

>>27
＞ほとんど至るところで f(b) > 0 となるわけだから
なりません。

ああ、そうか
f(b) > 0 になる b と同じくらい f(b) < 0 となり得るわけだから、
正負でキャンセルされて 1/2 に収束するのか
g(x) := (f(x) + |f(x)|) / 2 として、関数 h(x) を
f(x) ≠ 0のとき h(x) := g(x) / f(x) かつ、 f(x) = 0 のとき h(x) := 0
と定めると、
P(a) = ∫[a→a+1] h(x) dx = 1/2 + F(a)
の形に書けて、 F(a) → 0 (a → ∞) となるという認識で合ってる？

２変数関数 f(x,y)=(x^3-y^3)/(x^2+y^2) の極限 (x,y)→(0,0) で
y=mxとおいて解く方法って間違ってますよね？

具体的には、y=mxとおいて任意のmに対して
f(x,mx)=(x^3-m^3x^3)/(x^2+m^2 x^2)=((1-m^3)/(1+m^2)) x→0
なので極限値は0。という解法です。

y=mxだとy軸上の点は表せないし、原点の周りをまわりながら近づく場合とか、
どんな近づき方でも同じ値に近づくということを示せてないと思うんだけど。
マセマの「スバラシク実力がつく、、、」とかいう参考書に載ってて驚愕したんですがどうなんでしょう

>>30
もちろんダメです。
極形式で(θ∈(-π,π])
f(r,θ)=
1 (r=θ=1/n)
0 (otherwise)
で定めると、どんな定数θを固定してもlim[r→+0]f(r,θ)=0
だけどlim[P→O]f(P)=0にはなりません。

>>30
何らかの別の手段で極限値の存在が保障されている状況で、値のみ求める方法としては妥当。
前後の文脈もわからず、問題文すら正確にかかれていないような質問に対する1問1答では
書籍の正誤は判別できないことには留意すべき。

>>18
一般に制約条件が等式で制約式が連続関数なら成り立つ
連続の定義を「開集合の逆像は開集合」とすれば証明は自明

つか開集合か？

[前スレ．917]
　n次正方行列Aが対角化可能である条件は、
すべての固有値λi（mi重根とする）ついて、
　dim(λiに属する固有空間）= m_i,
　rank(A-λiE）= n - m_i,

* 固有空間は　A-λiE を1回作用すればｏになる。

数セミ増刊「 数学100の定理」日本評論社 (1983）p.102-103

[前スレ．978]

〔ジョルダン分解〕
　n次正方行列Aはたがいに可換な2つの行列の和に分解できる：
　A = S + N.
ここで
　Sは対角化可能（スペクトル分解可能, semi-simple）
　Nはベキ零（nil-potent）行列である。
この分解は一通りしかない。(一意的)

数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社（1983）p.98-99

この手の集団が閉、開、というのは案外難しい。
いわゆるconstructibleになるのは自明

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_set_(topology)

>>34
行列の空間の中でじゃなくて対称行列全体のなかでですね

>>19
>>33
ありがとうございます

>>31
やっぱりそうですよね。ありがとうございます

>>32
極限値の存在は保証されてません。
本の掲載部分の画像リンクです。

https://imgur.com/XFm8Ivh
https://imgur.com/3kEqBec

１ページ目にはチェック法と書かれているけど、157ページ（２枚目）の
「∴　lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)=0」
と結論付けている部分は論理が破綻しているのでは？

これを読んだ学生は単純に「極限値lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)を求めよ。」
という問題が出題されたときに極限値の存在が保証されていないのに、
このような解法をしてしまうように書かれているように思います。

別解は正しいのがウケる

やマ糞

>>39
ちょっとひどい。
正確にはなんて本？

「近づき方が問題だ！」からの「(i) y = mx を使う」はもはやギャグ

東大工学部卒の人の本かな？
やはり工学部では大学の学部以上のレベルの本は無理なのかな？

f(x) = |ax^2+bx+c|
g(x) = |bx^2+cx+a|
h(x) = |cx^2+ax+b|
が-1≦x≦1において
f(x)≦1 かつ g(x)≦1 かつ h(x)≦1
であるとき、実数a,b,cが満たすべき条件を求めよ。

>>42

「スバラシク実力がつくと評判の微分積分」馬場敬之、高杉豊　マセマ出版社
です。入手したのは第1版なのでその後どうなってるかは分かりませんが、
以下のサイトに改定内容が載ってたので多分そのままかと、、、
https://www.mathema.jp/%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88/

>>40〜>>44
やっぱりひどいですよね
確かに東大工学部の人の本のようで、もうひとりは哲学科卒のようです

>>48
　f_x_y(x,y）= f_y_x(x,y）=｛(xx-yy)/(xx+yy)}(1+････)
は（x,y)=(0,0）で不連続でござる。

高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
　第2章 §23．微分の順序　p.58-59

>>36
λが重根（m≧2）の場合：
拡張固有空間にＡ＝Ｓ＋Ｎを作用すると、
Ｓは単にλ倍するだけだが、
ベキ零成分Ｎ≠Ｏは、互いに混ぜてしまう。

>>25
遅くなってすみません
レスありがとうございます
「同様の議論」がどこまで相似変換によってなのか、どこまで条件から自動決定してるのか、あるいは選択的に決めてしまってるのかが混乱してしまいました
(例えば単純に読むとこのままではXとX^tが相似であることも示せてしまいそうに見えました)
なんとか自分なりに整理して理解しました
ありがとうございました

教えてください。高校数学�UBです。
数式P(x)をx-3で割ると余りが-11、x+2で割ると余りが4である。
P(x)をx^2-x-6で割ったときの余りを求めよ。

P(x)=Q(x)(x^2-x-6)+ax+bとおく。

>>53
ありがとうございます。余りは次数が下がるということを知っておかないといけないのですね。

余りで次数が下がるってのは、この手の問題の最重要事実の一つだな

お願いします。

外接円の半径、内接円の半径、面積がそれぞれ等しい2つの三角形は
合同であることを示せ。

三角形の3辺の長さを a , b , c とし、外接円の半径をR , 内接円の半径を r とすると面積Sは
S = abc/(4R) = (a+b+c)r/2 = (ヘロンの公式)
もう一つの三角形の3辺の長さを a’ , b’ , c’ とすれば
上の面積の関係から
abc = a’b’c’ , a+b+c = a’+b’+c’ , ab+bc+ca = a’b’+b’c’+c’a’ となるので同一の3次方程式の解

>>56
2s=a+b+c,u=s-a,v=s-b,w=s-cとおくと
S^2=uvw(u+v+w)
r^2=uvw/(u+v+w)
4RS=abc=(u+v)(v+w)(w+u)
=(u+v+w)(uv+vw+wu)-3uvw

内接円の半径r と外接円の半径Rが与えられたら外心O と内心Iとの距離dは
有名なオイラー公式d^2=R^2-2Rrで決まるけど三角形の自由度はまだあるのか。
面積最大は二等辺三角形のとき？

[前スレ．988]

　a(n）= cot((π/2-b)･2^(n-1))
ただし b = arctan(2）= 1.10714871779409
(π/2 - b)/π = 1/2 - arctan(2)/π = 0.147583617650433･･･
これを2進法で表わせば
　(0.001001011100100000001010001110110011101111100････)_2
無理数だから循環しない。
nが1つ増えると2倍になるから、１桁左にずれる。

0または1がm個連続する箇所があれば、
πの整数倍から π/(2^m) 以内に入る。
任意の自然数mについてそれが存在すれば、a(n）は非有界。

>>61
それ分母に２がなくて無理だった記憶が

すみません、簡単な質問かもしれませんがお願いします。
賭け事でよく使われるマーチンゲールって知ってますか？1→2→4→8→16というふうに掛け金が倍ずつ増えていくやつです。

これで例えば10回目には掛け金がいくらになるか計算式で出す事はできますでしょうか？ちなみに10回目は512になります。よろしくお願いします。

10回目までの掛け金の合計を出したいってこと？
足し算するだけだよ
等比数列の和の公式を知りたいのか？

>>66
いえ、掛け金の合計を出したいのではないです。10回目の掛け金512というのは1個ずつ2倍にして数えて出しましたが、公式を使って「2倍で増えていく数が10回目には512になる」と出したいと思いまして。

これが分かれば2倍ではなく例えば1.2倍ずつ賭けた場合30回目の賭け金はいくらになるかなどもすぐに計算できると思ってお聞きしました。
どうでしょうか(｡･_･｡)

>>67
それなら倍率を変えたいと書かないと何を言っているのかわからんだろう。
倍率をxとしてn回目は x^(n-1)

指数関数を使って x の (n-1) 乗 ですね

>>68
すみません、ありがとうございます。
公式すぐ出てくるのすごいww

>>69
ありがとうございます。
高卒にとってはちょっと難しいので頑張って理解してみます。

結論を言うなら、博打は胴元が儲かるけど、たまに大損するのでそれに対する対策が必要
子は平均的には負けるだけなので、出目のふらつきで小勝ちしたときに速攻で逃げるのが正解

マーチンゲール理論だと、1000ドルかけて1ドル勝利なんてのも珍しくない上に
普通は掛け金制限があるし、自分の所持金にも限界があるので、勝つ前にゲームから撤収なんてことも普通

多分、運の流れとかでやってるほうが勝つ確率は多いように思える

男子7人、女子5人のグループの中で、5人の係を選ぶとき、係の中に男子が2人以上入る選び方は何通りあるか。

>>71
マーチンゲールは質問の例えとして使っただけですよ(･_･｡)仰る通りマーチンなんて使っているようじゃ絶対に勝てません。
いつも思うんですけど確率とか統計とか数学に長けてる人は絶対に賭け事勝てると思う、みなさんやったほうがいいですよw

>>70>>73
小〜中学校相当の質問なので、普通の高卒者には難しくないだろう。
あなたには難しいというだけのことです。

>>70
公式すごいはいいけど、その公式を見て気づかないか？
実際の値を手計算や普通の電卓で求めるには結局掛け合わせていくしかないので君が512を求めた方法と同じだぞ

>>74
え、大学レベルの問題じゃないの？
わたし頭は良いほうだったんだけどな

>>75
実は。。気づきました。2の9乗って結局掛け合わせていくしかないのか、じゃあ質問しますけど

じゃあ質問しますけど掛け合わせていく以外で答えの出る方法てあるんですか？

16^2を覚えているならその2倍とかするくらいがせいぜいかなあ
まあ、2の累乗だと2^10くらいまでは覚えてしまっている人の方が多いと思うけど
一般的な累乗の計算を簡単にやる方法は無いと思うよ
概算なら別だけど

2^9=2^(2×2×2+1)=((2^2)^2)^2×2

2を自乗して2×2=4
4を自乗して4×4=16
16を自乗して16×16=256
256を2倍して256×2=512
うまくやれば掛け算は4回で済む

>>78
そうか、初めに質問するとき「累乗の計算を簡単にやる方法はありますか？」と聞けば端的だったんですね。

確かに2の累乗なら覚えてしまったほうが早いです。

>>79
(゜.゜)？！　ﾌﾑﾌﾑ

電車の中でオンカジしながらその公式が思い浮ぶとはｵﾓｴﾅｲ(*_*)

よろしくです。

整数a,b,cについて
a^2±(a+b+c)
b^2±(a+b+c)
c^2±(a+b+c)
のすべてが平方数であるとき, a+b+c=0を満たすことを証明せよ。

>>36
「ジョルダン分解」

佐武一郎「行列と行列式」裳華房 (1958)
　IV章 §2　例１.　p.146-147

齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)
第6章 §3．定理[3.8]　p.199-201

>>83
そうでないとしてさらに
|a|≦|b|≦|c| 、a+b+c>0
なる解が存在するとしてよい。
この時a+b+c≦3|c|‥‥�@
ここで√(c^2+a+b+c)>|c|+2とすると
c^2+a+b+c-c^2
≧(|c|+3)^2-|c|^2
≧6|c|+9
コレは�@に反するから
(c^2+a+b+c)=(|c|+2)^2, (|c|+1)^2。
∴a+b+c=4|c|+4,2|c|+1
前者の時3|c|≧4|c|+4は矛盾するから
a+b+c=2|c|+1‥‥�A。
√(c^2-(a+b+c))<|c|-2とすると
c^2-(a+b+c)-c^2
≦(|c|-3)^2-|c|^2
≦-6|c|+9
∴-3|c|≦-6|c|+9
∴|a|≦|b|≦|c|≦1であるが、コレを満たす解はないから
(c^2-(a+b+c))=(|c|-2)^2, (|c|-1)^2
∴a+b+c=4|c|-4,2|c|-1
�Aとこの２つはいずれも矛盾する。

a,b,cは正の実数で、a<b<cを満たす。f(x,y)を
f(x,y)={xy/(x-y)}log(y/x)
とおくとき、f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)の符号を調べよ。

>>86
相異なる正の実数 x,y について
xy/(x-y)=1/{(1/y)-(1/x)} は x>y のとき正、x<y のとき負
log(y/x) は y/x<1 すなわち x>y のとき負、y/x>1 すなわち x<y のとき正
したがって積 {xy/(x-y)}log(y/x) は常に負
よってf(a,b)+f(b,c)+f(c,a)は負

>>86
蛇足だが････
　f(x,y）= -｛log(1/y）- log(1/x)}/(1/y - 1/x）=｛g(1/y）- g(1/x)}/(1/y - 1/x),
　g(t）= - log(t)
これは g関数上の2点（1/x, log(1/x)) と（1/y, log(1/y)）を結ぶ線分の傾き。

　0<a<b<c ゆえ 0<1/c<1/b<1/a
　g(t）= - log(t）は下に凸だから
　f(b,c）< f(a,c）< f(a,b）< 0,

a,b,c,dを複素数の定数とし、方程式
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
の重複を込めた4解をそれぞれα,β,γ,δとする。
a,b,c,dのうち少なくとも1つが実数でないとき、β=α'かつδ=γ'が成り立つことはあるか。
ただしw'は複素数wの共役複素数を表す。

(x-α)(x-α') も (x-γ)(x-γ') も実係数
∴与= (x-α)(x-α')(x-γ)(x-γ') は実係数。

a,bは|a|=|b|=1を満たす複素数の定数である。方程式
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
の重複を込めた4つの解をα,β,γ,δとおくとき、|α|=|β|=|γ|=|δ|=1となるようにa,bを定めよ。

>>91
解と係数との関係と δ＝1/(αβγ) から
2次の係数は実数、1次と3次の係数は共役
が導け、a, b はともに実数とわかる
b=-1 とすると2つの ±1 でない実数解が現れ不適
∴ (a, b)=(-1, 1), (1, 1)

>>93
> 与式より、α が解ならばその逆数 1/α も解である。

何故？

塩化ベンザルコニウムの分子式およびモル濃度は未知である。
シーブリーズのボトルタイプを買ってきてスプレータイプに適量入れ、カルピスをうすめる要領で満杯にしたい。スプレータイプが130mlだったとして適量は何mlか。

3/5x-x=18の解法がわからないので頼みます
答え見てこの後3/2x=18になるらしいのですがここに至るまでの解き方が全然わかりません
3/2x=18まで行ければ両辺に2/3でわかるのですが...

>>94
与式より、解α≠0
α^4 +aα^3 +bα^2 +aα +1 = 0,　
を α^4（≠0)で割ると
1 + a/α +b/α^2 + a/α^3 + 1/α^4 = 0,
∴　1/α も解。

>>96
表記がおかしいんじゃないか？
3分の5は5/3だぞ
左辺は(5/3)x-xなんじゃないの？
それなら={(5/3)-1}x=(2/3)x

>>97
なるホロ

>>98
エスパー乙
３分の５ｘを「3/5x」と表記する猛者が現れるとは予想外だった

>>97
自己相反多項式ってやつですね
f(x) = x^(deg f) f(1/x)
が成り立つとき、 α ≠ 0 が f(x) の根なら、 1/α も f(x) の根になる

>>83
a = mm+nn,
b = pp+qq,
c = xx+yy,
の場合。
a' = mm-nn,　a" = 2mn とおくと（a,a',a"）はピタゴラス数で、
a^2 ± 2a'a" = (a')^2 +（a")^2 ± 2a'a" =（a'±a")^2, は平方数。
題意より
a+b+c =（mm+nn）+（pp+qq）+（xx+yy),
2a'a" = 4mn(mm-nn),
2b'b" = 4pq(pp-qq),
2c'c" = 4xy(xx-yy),
はすべて等しい。
う〜む。

>>98
ご指摘の通り3分の5xでしたすみません
解説ありがとうございます、5/3-3/3で2/3になるという事だったんですね。おかげで理解できました、本当にありがとう

>>103
この程度の質問で数学板に来るなよ
ゴミは死ねや

>>103
よかったね

https://www.youtube.com/channel/UCy_rd3sHmiRsptF3TaL_aag

前>>95
>>96
3/5x-x=18
3-5x^2=90x
5x^2+90x-3=0
x=｛-45±√(45^2+15)｝/5
=-9±(2√510)/5
問題変えない場合こうなる。
括弧はネットの表記上誤解のないようにつけた。

有限集合A:={αl,α2・ …,αn}の幕集合2^A の個数 #^2^A は
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている

有限集合A:={αl,α2・ …,αn}の幕集合2^A の個数 #^2^A は
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている

すまん、連投した
これ誰か教えてくれ

教えてほしいなら、コピペせずにちゃんとタイプしましょう
優しいエスパーだらけじゃないぞ
なお、ちゃんとタイプしても回答がもらえることは保証しない

幕集合ってなんだよ

冪(ベキ)集合の濃度ならwikiにも説明あるぞ
2πはナゾだが

幕集合ワロタ
何のpdfからコピペしたらそうなるんだよ

>>109
有限集合だって言うんだから
濃度＝元の個数nについての数学的帰納法を使えばいいだけ違うん？
どこも難しくない

1/2と1÷2
これって同じ意味だけど、それぞれの式に式としての名前（種類）ってある？
要するに横棒を使ってる式と操作記号を使ってる式のそれぞれの名称が知りたい

(#＾２＾)ﾂｰﾝ

微分可能なf(x,y)があったとき
x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？

>>117
聞かないとわからんのかい？

n=#A とする

n=0 のとき A={}、2^A={{}}
#2^A = #{{}} = 1 = 2^0 = 2^n = 2^#A

n=k で #2^A = 2^#A = 2^n が成立するとき、
n=k+1 で A={a1, ..., ak, a(k+1)}
2^A = 2^{a1, ..., ak} ∪ {B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}}
#2^A = #2^{a1, ..., ak} + #{B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}} = 2^k + 2^k = 2^(k+1) = 2^n = 2^#A

∴#2^A = 2^#A □

fは他変数の狭義凸関数とします
このとき(x,y,...,z)→f'(x,y,...,z)は単射になると思うのですが示し方を教えて下さい

>>119
全微分可能なら

SL(n,R)の2つの元
cos(2π/5) -sin(2π/5)
sin(2π/5) cos(2π/5)

1 0
0 -1
で生成されるSL(n,R)の部分群の位数を求めよ

{x^3+y^3+z^3≦1|x,y,z≧0} が凸集合というのはどうやって証明するのでしょうか？
図を書くと感覚的にわかるのですが不等式で説明することは難しいのでしょうか？

問題文をタイプミスしたので修正します
{(x,y,z)∈R^3|x,y,z≧0, x^3+y^3+z^3≦1} が凸集合であることを示せ でした

n=2 と思われるので SL(2,R) として

[ cos(2π/m), -sin(2π/m) ]
[ sin(2π/m), cos(2π/m) ]

[1, 0]
[0,-1]

2π/m の回転と鏡映は正m角形を保つ。
∴ 二面体群Ｄ_m
mが奇数のとき　2m,
mが偶数のとき　m,

出来るやつおらんか？
字汚くてすまん
https://i.imgur.com/js6loKt.jpg

いないんじゃない

>>122
全微分可能とします
|∂f(x,y)/∂x|<φ(y)が成り立つならルベーグの収束定理から微分可能になると思うのですがそれを使うんですかね？

問いはどれだよ

>>130
なるほど x→x^3 が凸関数であることを用いるのですね すっきり射精できました

>>132
そんなに凝視(みつ)めるな　わかい友
　････
問ひはそのままに答へであり
堪へる痛みもすでにひとつの睡眠(ねむり)だ。
　････

伊藤静雄「そんなに凝視(みつ)めるな」より
「知性」 1939年12月号に発表。

第４詩集「反響」(1947/Nov) /「凝視と陶醉」の部
「伊藤静雄 詩集」新潮文庫 (1957/May)　桑原武夫・富士正晴 編
「伊藤静雄 詩集」岩波文庫 (緑125-1) (1989/Aug)　杉本秀太郎 編

訂正
×　伊藤静雄
○　伊東静雄（1906/12/10〜1953/03/12）

行列の問題なんですけれど
「tAA=Aならば、Aは冪等かつ対称行列である事を示せ。」って言うのがわかりません。
Aが正則行列の時は右側からA^-1を掛ければ良いというのは分かるんですけど、Aが特異行列の時は分かりません。

なぜ右側からA^-1を掛ければ良いと思ったのだろう

>>137
A=Eまたは0だと思ってそれを示すのかと思ったからです...

>>136
両辺の転置行列を考えればすぐにわかる

非自明な例: A を全成分が 1/2 の2次正方行列とすれば、 tAA = A を満たす

>>139
本当だ...なんで気付かなかったんだろ.....
>>140
そうですね..

>>139
>>140
ありがとうございます!

>>121
お願いします

>>143
p,qにおける微分が等しいときp,qにおける接平面で分けられる閉半空間のうち、曲面Sを含む側をD,Eとする。
D⊂Eとしてよい。E⊂Dでないとすると∂E∩D=φであるから特にqはDに含まれない。
これはDがSを含む事に反する。
∴D=E
∴{p}=∂D∩S=∂E∩S={q}

フーリエ解析で、下記のように2変数関数u(x,t)をu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離せよと指示のある問題がありました
問題では触れられていませんが、2変数関数を1変数関数の積として表すことは常に可能なのでしょうか。よろしくおねがいします。

（略記して引用）
u(x,t)は位置xの時刻tでの温度を表し、kは正の定数である。
1次元の熱伝導は、偏微分方程式du/dt=k{d^2(u)/d(x^2)}で記述される。
t0に対し、0�x�ﾎでの1次元の熱伝導を
境界条件：u(0,t)=u(π,t)=0
初期条件：u(x,0)=x(π-x)
のもとで考える。以下の問に答えよ。

(1)u(x,t)をxのみに依存する関数X(x)とtのみに依存する関数T(t)を用いてu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離する。
（以下略）

できないに決まっとる
積で表わした関数の無限和なら表わせるから
その1要素を求めただけだ

前>>107
>>144
. 1923
109)210700
. 109
. 1016
. 981
. 257
. 218
. 390
. 327
. 93
ちょっと違うかな。

>>119
どなたかよろしくお願いします

f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(x)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。

yがない

a,b,cを三角形の辺の長さとし
Max{ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)} が最小となるようなx,y (0<x<1, y>1, xy<1)
を求めたいのですがどうやればよいのでしょうか

すいません修正しました

f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(y)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。

>>153
そんなg(x)とh(y)がとれるのは
f(x,0)/f(x,1)=g(0)/g/(1)
が定数になるときに限られる。

よろしくお願いします。

>>148
分かりにくい書き方にもかかわらずありがとうございます。
>>155にお絵かきしました。
４段目が10□7だと思うのですが、他がさっぱりで
お力を貸していただければ幸いです。

>>154
f(x,0)/f(x,1) = h(0)/h(1) なので定数なのでは？

ただ気になるのは、左辺は x = 0 で y の値に依らず常に定義されるが、
右辺は x = 0 で定義できない

>>157
f(x,y)=g(x)h(y)と分解できる必要条件が
f(x,0)/f(x,1)が定数となる事。
本問fx,y)=1/(x+e^y)では
f(x,0)/f(x,1)=(x+e)/(x+1)
は定数なので条件を満たすg,hはそもそも存在しない。

>>158
失礼しました
左辺が定数になるとは限らないという意味だったのですね

209700 ÷ 109 = 1923...93

>>148
除数も商も余りも合ってるのに、どうして被除数だけ間違えるのかなぁ。
そういう芸風かなぁ。

次の微分方程式の解を級数の形で表せ。
ただしy=f(x)である。
y(0)=0
yy'-2y'y''+yy''=(e^y - e^y')^2

前>>148
>>156あってたのか。難しかったよ。たまたま一瞬あった気がして、なんか違う気もして、まぁでもあってたんならいいや。

虫食い箇所が多すぎてプログラムを組む意欲も起きなかったなぁ。
パソコンの助けなしで答えられるのは凄い。

>>119
お願いします！！！

>>119
c1でいいなら
f(x,y)=∫[0 x]k(t,y)dtとおける。
F(x,y)=∫[u:0,x][v:0,y]k(t,u)dtduとおく。
(F(x+h,y)-F(x,y))h
=k(x+θ(h),y)h

>>166
あ、間違い、取り消し

>>129の仮定ないと無理かな？

nは4以上の自然数とする。
1,2,...,n-1の数字が1つ書かれたカードが1枚ずつ、計n-1枚のカードが袋に入っている。
袋からカードを無作為に1枚取り出し、書かれた数字を記録し、袋の中に戻す。これを3回行い、記録した数を順にa,b,cとする。
このときa+b+c<nとなる確率p[n]と、n→∞としたときのp[n]の極限値を求めよ。

>>119
> 微分可能なf(x,y)があったとき
> x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
なりません。

まず、微分可能性を仮定しても、偏導関数が積分可能かわからない。
より強く、fがC^1級とか仮定しても、区間が有界とは書いてない。

きちんとした教科書参照して仮定をチェックしてくれ。

>>169
1/6

台形ABCD（AD//BC,∠C＝∠D＝９０度)の対角線ACとBDの交点をE、
Eを通り上底下底（AD、BC）に平行な直線とAB,CDとの交点をF,Gとする。
EF=EGを初等幾何で証明したいのですがたぶん超簡単だと思うのでヒントを

>>172
C、Dが直角っている？

>>172
相似の比

底辺と高さが同じ三角形をたくさん描いて

それを同じ高さのとこで切ってみよう

AD と FG の距離 をp、FG と BC の距離をq とする。
FE = AD･q/(p+q）= BC･p/(p+q) = EG.

なお、△AED と △CEB は相似により
p：q = AD：BC
FE = EG = AD･BC/(AD+BC).

笠原 微分積分学 96頁
例4: f(x) = x^(x)^(1/x) の x -> +∞ のときの漸近展開
f(x) = exp( log(x) + 1/x * log^2(x) + 1/(2x^2) * log^3(x) + o(log^3(x)/x^2)
となるのはわかるのですが、
> log(x) は 無限大でこれだけ切り離せばあとは無限小となる。だから、
f(x) = {e^(log(x))} * {1 + 1/x* log^2(x) + 1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2)}
となる理由がわかりません。
教えてください。

>>177
x^x^1/x = exp{ logx * x^1/x } = exp{ logx * exp{ 1/x * log x } }
= exp{ log x * [ 1 + 1/x * log x + 1/(2! x^2) * log^2 x + 1/(3! x^3) * log^3 x + ... ] }
= exp{ log x + δ }
= exp{ log(x) } * { 1 + δ + δ^2/2! + o(δ^2) }
=exp{ log(x) } * { 1 + 1/x * log^2(x) +1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2) }

δ := 1/x * log^2(x) + O{1/x^2 * log^3(x)}
δ^2 = 1/x^2 * log^4(x) + O{1/x^3 * log^5(x)}

Tax=ax(1-x)、X=Iについて、0<a<1とするとき、x=0は漸近安定であることを示せ。

タックスヘイヴン

>>172
AB // CD ではないから、点Xで交わる。
AD < BC としてもよい。
△ADX ∽ △BCX
∴（AX/BX)(CX/DX）= 1,
XEの延長線とBCの交点をMとおくと
チェヴァの定理より
　(BM/MC）= 1,
∴　MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。

質問です。よろしくお願いします。

命題「Pである⇒Qである」から対偶命題「Pでない⇒Qでない」が導ける
というときの"導ける"の意味は"必ず正しく演繹される"という意味でいいのでしょうか？

もしそうであるならば、
"導ける"の否定"導けない"は"必ずしも正しく演繹されるわけではない"という意味
でいいのでしょうか？

さらにそうであるとすると、"導けない"を使った次の命題
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は絶対に導けない
とは違った意味になりますか？

>>179
お願いします。

対偶命題「Pでない⇒Qでない」　P，Q逆では？

>>152
題意より
　ay/(y-1）> a,
　b/(1-xy）> b,
　c/(1-x）> c,
しかし xyy=1 に沿って y →∞, xy→0, x→0 とすれば、
　ay/(y-1）→ a,
　b/(1-xy）→ b,
　c/(1-x）→ c,
∴ Max{a,b,c｝に近付く。

次の等式を成立させる非負整数a,bが存在することを示せ。
331777=(2^a)(3^b)+1

331777 = 331775 + 2
　= 25･13271 + 2
　= 25･23･577 + 2
　=（24+1)(24-1)(24^2 + 1) + 2
　=（24^2 - 1)(24^2 + 1) + 2
　= 24^4 + 1
　=（2^3･3)^4 + 1
　= (2^12)(3^4) + 1,

a=12, b=4

331776を素因数分解するだけと違うのか

局所系係数のホモロジーの計算例の中で以下のような式が出てきたのですが
右辺のマイナスがなぜ出てくるのかわかりません、どなたかご教示願います

Sを2単体�竸2上の加群の局所系として、�竸2の頂点をe0,e1,e2とする
また|e0e1|でe0からe1へ向かう辺をあらわすとして
S(|e2e1|)S(|e1e0|)= -S(|e2e0|)

自分では、e2からe1を経由してからe0へ行く道はe2から直接e0へ行く道とホモトピー同値なので
右辺はプラスになるのではないかと考えたのですが

>>190ですが条件を勘違いしていました
正しい条件で計算したらちゃんと合いましたので質問を撤回します

>>182
対偶のPとQはすでにある通り逆ですね

命題論理では、「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」が導けるというのは推論規則を適用して変形できるということです
推論規則を適用して変形できるというのは、例えば¬¬PからPに変形してもよい、といった必要最低限のルールを定め、それを上手く組み合わせればたどり着けるということです
「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」を導けるというのも、推論規則を色々組み合わせて変形していけばたどり着けるからです(パズルになるのでここではやりませんが)
したがって導けないということは、推論規則というルールをどんなに組み合わせて使っても絶対にたどり着けないということなので、絶対に導けないといっても同じことを表すと思います

6桁の整数A=331777を考える。
Aの下から数えてk桁目の数字をnに置き換えた整数をN(k,n)とする。
例えばN(1,9)=331779、N(3,0)=331077、N(6,4)=431777である。
ただし1≦k≦6かつ0≦n≦9で、N(6,0)は定義しないものとする。

N(k,n)≠Aのとき、N(k,n)=(2^a)(3^b)+1を成立させる非負整数a,bは存在しないことを示せ。

>>185
>>192
有難うございます。
対偶のとり方を間違えていました。
>>192さんに書いていただいたことは理解できたと思います。

ということは、>>182の
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は 真 であるということですよね？

他のスレの論争を見ていて、
(1)命題からその裏の命題は導けない
という主張に
(2)命題からその裏の命題が必ず導けるとは限らない(導かれないこともある)
の方が正しいという理由で(1)は間違いであると主張している人を見かけて気になっているのですが、
(1)が正しいと考えてよいでしょうか？

>>194
正確に話すと非常にややこしい話ですが、
「P⇒Q」から「Pでない⇒Qでない」は導けないことが導けますね
というのも、
Aを前提にBを導ける、というのをA |- Bという風に書き、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない　とはならないことを導きたいわけですが、
これを示すためここでは、A |- Bであることが、Aが真であるような真理値の全ての割り当てに対してBもまた真である、ということと同値である事実(命題論理の完全性定理)を利用します
どういうことか、実際にやってみますが、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない　が成り立つことは、
Pに偽、Qに真と偽を割り当てた2パターン、およびPに真、Qに真を割り当てたパターンについて、「Pでない⇒Qでない」もまた真になることと同値です
ところが、Pに偽、Qに真を割り当てたパターンでは「Pでない⇒Qでない」は偽になります
従って「P⇒Q |- Pでない⇒Qでない」が成り立たないことが導けます

>>186
0<ε<1 に対して
　xy = 1/y < ε/2,
とすれば
　x < (ε/2)^2 < ε/2,
　Max{ y/(y-1), 1/(1-xy), 1/(1-x)｝< 1/(1-ε/2）< 1+ε,
Max{a,b,c｝= M とおけば
　M < Max{ ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)｝< M(1+ε),

Sを自己交差がなくて凸な閉曲線とする
Sの直径/Sの長さの最大値はπであるような気がするのですが、どう示したらいいでしょう？
なおSの直径とはsup{||a-b||;a,b∈S}で定義します

>>197
Sの長さ/Sの直径の間違いですね

∫ cos(sin(x)-nx) dxは特殊関数でしょうか。そうだとしたら何か有名な名前がついているのでしょうか。

>>198
> >>197
> Sの長さ/Sの直径の間違いですね

perimeter diameter inequalityでぐぐったら、
perimeter/diameter ≦π
は正しいようです。最大値を与えるのは、等幅領域
証明は知りませんが、
http://emis.matem.unam.mx/journals/JIPAM/images/016_99_JIPAM/016_99.pdf
にリストがありました。

>>200
ありがとうございます
円以外もあったのは意外でした

>>197
S を含む円で、直径が S の直径に一致するようなもの（つまり S の「外接円」）がとれるような気がするんだけど、
反例あるかな？

>>202
ルーローの三角形かそれに近いものでも出来る？

二つの全単射 f:X→Y,g:Y→Zについて
　（g○f）^−１=ｆ^−１○g^−１
を証明せよ

すみません、どなたか教えてください

gof(x)=g(f(x)) くらい自明な式に見えるけど

>>203
実際に定規とコンパスで描いてみましたが、無理でした

ルーローの三角形の幅は正三角形の頂点から対角辺の方向に垂直に下した線の外周までの長さと一致するが、
この線の中点を円の中心にすると、残りの2つの頂点の近くがはみ出てしまう
また、正三角形の外接円はルーローの三角形に外接するが、
この外接円の直径は明らかにルーローの三角形の幅よりも大きくなってしまう

>>204
自明すぎて何を要求されてるのかわからんので、糞ほど丁寧に書いてみた。

書くの面倒だから f^-1=f~ と略記する。
また、計算の優先順位を表すカッコが関数の引数のカッコと紛らわしいので
計算の優先順位のカッコはすべて中カッコで書いておく。(本来はただのカッコ)

任意の x∈X について
{{f~〇g~}〇{g〇f}}(x)={f~〇g~}({g〇f}(x))=f~(g~({g〇f}(x)))=f~(g~(g(f(x))))=f~(f(x))=x
∵f(x)∈Y であるからg~の定義から g~(g(f(x)))=f(x) , x∈X であるからf~の定義から f~(f(x))=x

任意の z∈Z について
{{g〇f}〇{f~〇g~}}(z)={g〇f}({f~〇g~}(z))=g(f({f~〇g~}(x)))=g(f(f~(g~(z))))=g(g~(z))=z
∵g~(z)∈Y であるからf~の定義から f(f~(g~(z)))=g~(z) , z∈Z であるからg~の定義から g(g~(z))=z

>>199
この関数は比較的簡潔な形をしている微分方程式の解なので、何かあるのかと思い質問しました。

前>>163
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC――�@
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB――�A
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC――�B
�@�A�BよりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE

前>>210円番号がスマホだと表示されないみたいだから数で書いてみる。
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC――1
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB――2
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC――3
1,2,3よりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE

g○f≠g(f(x))となる例はありますか？

(g○f)(x) の定義を述べよ

(f○g)○h≠f○(g○h)となるような例はありますか

((f○g)○h)(x) と (f○(g○h))(x) の定義を述べよ

>>199
ベッセル関数らしいということが分かりました

>>213 で終わっとるな

>>199
J_n(z)=1/(2π)∫[0→2π] cos(nx-z sinx)dx
公式集の第１行目に載っとるがな

次の問題が全く分かりません。
スレ違いかもしれませんがよろしくお願いします。

（問題）{0^n 1^n 2^n | n≧1}を受理するTuringマシン（どんな種類でもよい）を与えよ。

ググれば出てくるけど、{0^n 1^n | n≧1}の応用
でも「どんな種類でもよい」ってのが引っかかる
多テープチューリングマシンで別のテープをカウンタ代わりにしたらもっとスマートにできそう

ttps://www.classes.cs.uchicago.edu/archive/2015/winter/28000-1/Lec13.pdf

>>219
０が続いた回数ど同じ数の０をテープに書いて、
１が続いた回数と同じだけテープを戻し
２が続いた回数と同じだけテープを進める
折り返し点で回数をチェックしたら簡単にできそう

>>220 >>221

回答ありがとうございます。
実はまだよく分かっていませんがもう少し勉強してみます。
これくらいのことになじめない自分がいやになりますが。

「ある実数列についてコーシー列ならば収束列であり収束列ならばコーシー列であることを示せ」
これの答えを先生が「ε>0をとる」から始めていたんですけど、εは0に近ければ何でもいいんではないんですか？なぜ0より大きいとするんですか？

ε=0のときが言えてしまうなら、N<n, mですべてのn, mのときにa_n = a_mがいえてることになるわけど
そんな強い主張はしてない

極限の定義だからしょうがない

εが近いときという定義ができない
εが大きいときは自明だから全てのε＞0にしておけば問題ない

てことは定数列はコーシー列じゃないんですね
ありがとうごさいました

ワロタ

四次元対称群S4の元(1,2,3,4)で生成される部分群Hを考える。S4のHによる右剰余類で(1,2)を含むものの元を全て書け。

ただの計算問題

>>227
定数列は距離の公理から距離0なのでコーシー列

>>229
詳しくお願いします

詳しくも何も…
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ

任意の ε>0 に対応して番号Nが定められて
　m>N, n>N　なるとき　|a_m - a_n| < ε
なることを俗に「コーシー列」と云う････

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第１章、§6　p.11　定理8

なんで「俗に」と断ってるのかと思ったらカントールが導入したからなのか

コーシーの収束判定法が前にあったのね

aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。

前>>211
>>237
P(a√3+α,α^3-3a^2α)
とりあえず保留。
この書き込みでええよ。

微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？

>>239
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？

f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。

連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？

>>239
xが有理数のとき f(x)=x^2
xが無理数のとき f(x)=0
f(x)は x=0 でのみ微分可能

にゃるほど

>>240−241
ありがとうございました。

開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？

1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。

2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。

正規分布N(μ,σ^2)に従うX1,...,Xnがあったとき、対数尤度関数のヘッセ行列が半負定値だということは示せますか？

>>216
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
　= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
　+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
　+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
　= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
　zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。

同次形微分方程式　
(1)dy/dx＝2y/x+x/y

(2)dy/dx＝x+2y/2x+y

一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式

(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx

(2)dy/dx-2xy＝e^x2

(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
　
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？

大学の課題は自力でやれ

局所系の係数版のポアンカレ双対定理を円周S^1について直接計算して確かめろという問題がわからず困っています
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Zと同型になる場合は2種類の局所系があり
(特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので)
その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました

しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません
どのように考えればよいのか教えてください

lim(1+2^n)^1/n
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；

上から抑えるのに1+2^n≦2^n+2^n=2^(n+1)を使う
下からは1を落とせばいい

２項公式から
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････

∴　2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),

>252
ありがとうございます！「大学学部レヴェル質問スレ」の存在を初めて知りました！
解けなかったので助かりました！

統計学です！解いて欲しいです！
ある新聞社が内閣の支持率を調べるために全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率を0.3とした時、この世論調査における標本の内閣支持率Pの平均と分散の正規分布に従う時
平均と分散を求めよ。また、この世論調査による支持率がP>=0.33となる確率を求めよ

>>254
平均0.3

分散0.00021

Pr[p>=0.33] 0.02158184

aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをP(p,f(p))とする。

（1）p=2αを示せ。

（2）3次方程式(x-b)^3-3(a^2)(x-b)+c=0を解け。

>>255
ありがとうございます！

>>251
>>250
解けました！
ありがとうございます

>>255
1億回シミュレーションして検算

> n=1000
> k=1e8
> p=rbinom(k,n,0.3)/n
> mean(p)
[1] 0.2999973
> var(p)
[1] 0.0002100855
> mean(p>=0.33)
[1] 0.02158068

グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。

a,b,cは実定数とする。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
がx=mで極大値、x=Mで極小値をとるならば、m<Mであることを示せ。

>>260
x=mで極大値、x=Mで極小値をとるから
f'(m)=f'(M)=0 かつ f''(m)<0 かつ f''(M)>0

f'(x)は2次以下の多項式で、x=m,Mを根にもち、3次の係数が3だから
f'(x)=3(x-M)(x-m)=3x^2-3(M+m)x+3Mm
したがって f''(x)=6x-3(M+m)

f''(m)<0 より m<M (f''(M)>0 からも同じ m<M が得られる)

>>260
純粋に代数的に示すのは無理じゃね？
普通に導関数の符号を調べるのが一番早そう

>>261
>f''(m)<0 かつ f''(M)>0

なぜ？
これは極大極小の必要条件ではないはず

範囲Dが√x+√y ≦ 1, x≧0, y≧0で
x=r(cosθ)^4, y=r(sinθ)^4としたときの
rとθの範囲を教えて下さい.
0≦r≦1は分かるのですが, θの範囲が分かりません．

>>260
3x^2+2ax+b=0の解　x=(-a±√(a^2-3b))/3　の一方がmでもう一方がM
どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM　ということなので、
f(m)>f(M)　で決めることになる。

f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)(3x+a)/9 + (2b/3-2a^2/9)x+c-ab/9
と変形すると、上の解を入れたときの値は、第一項が消えて、
f(m)=(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9
f(M)=(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9　と表せる。
この二つの大小は、(2b/3-2a^2/9)が正か負かに依ることが判る。
3x^2+2ax+b=0の解から、a^2>3b　が　この問題の前提になっている（極大、極小を持つ）
ので、(2b/3-2a^2/9)　が負であることが確定。
つまり、f(m)>f(M)　ならば、m<M　がいえる。

二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント

離散力学系について質問です。
T^px=T'(T^(p-1)x)T'(T^(p-2)x)...T'(x)を示せ

>>259
ウォルフラム先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5BBinomial%5B1000%2C+r%5D+%283%2F10%29%5Er+%287%2F10%29%5E%281000+-+r%29%2C+%7Br%2C+330%2C+1000%7D%5D&;lang=ja
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5BBinomial%5B1000%2C+r%5D+%283%2F10%29%5Er+%287%2F10%29%5E%281000+-+r%29%2C+%7Br%2C+330%2C+1000%7D%5D&;lang=ja

0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...

∫1/(x^4-x^3)^(1/2)dxが分かりません

>>268
正規分布近似が精度が低いなぁ

> pnorm(0.33,0.3,sqrt(0.00021),lower=F)
[1] 0.019216965118390775

>>269
2*√((x-1)*x^3) / x^2

>>260
確かに>>263の指摘の通り>>261は説明不足でした。あと「3次の係数→2次の係数」も間違いですね。すみません。

「一般に二回微分可能な関数f(x)について、f(x)がx=tで極大値をとるならばf''(t)≦0である。>>260のf(x)について f''(m)=3(m-M)≠0 であるから f''(m)＜0」
を追記する必要があります。

3次関数について極大値＞極小値が成り立つのを認める前提であれば>>265の方針も良いのだと思います。

>>266
分かりやすいサイトでもいいのでぜひお願いします

>>265
興味深い議論だが、

>3x^2+2ax+b=0の解　x=(-a±√(a^2-3b))/3　の一方がmでもう一方がM
>どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM　ということなので、
>f(m)>f(M)　で決めることになる。

>二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント

これって循環論法じゃない？
実際、5次関数とかなら、 f(m) ≦ f(M) となるような m, M のペアが存在することもあるわけだし
f(m) > f(M) はどうやって証明するの？

>>262
この方針による証明も書いておこう

まず、仮定より m ≠ M である（もし m = M ならその近くで f(x) が定数になってしまうので）。
f(x) の導関数 f'(x) は（2次の係数が正なので）下に凸な2次関数であり、 x 軸との交点は高々2つである。
仮定より f'(m) = f'(M) = 0 であるので、 f'(x) の x 軸との交点はちょうど2つであり、それらを α, β (α < β) とすると、
下に凸な2次関数の性質から、
x < α または β < x のとき、 f'(x) > 0
α < x かつ x < β のとき、 f'(x) < 0
となる。ゆえに、 f(x) は x = α で極大値、 x = β で極小値をとるので、 m = α < β = M が成り立つ。

>>260
一言でいうと f(x)をf ' (x)で割り算すれば解決しますが 以下は詳細:
f ' (x) = 0 は異なる2つの実数解を持つので a^2 ＞ 3b がいえる.
それらをs,tとおく (s＜t)
sが極大値をあたえる点で, tが極小値を与える点である
よって示すべきものは f(s)＞f(t) である
多項式f(x)を f'(x)で割り算したときの余りをr(x)とおく.
r(x)の1次の係数を計算すると 2(3b-a^2)/9
a^2＞3b より これは負であることがいえるので
f(s)-f(t)=r(s)-r(t)＞0 だから r(s)＞r(t)
■

書いたあとに気づいたが >>265 と同じ方法だった
>>265 の人は「二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負」
という記述の部分で誤解されたみたいだが
それは単に数式で起こった現象をあえて言葉でも説明しているだけで
>>265 の方法はこれで既に正しいとおもう
人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行

>>277
>人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
>追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行

まさにそこの説明が>>260の問題で求められていることなのでは？
それがいえれば m = s < t = M なので>>260の証明は終わる

ちなみに f(m) > f(M) は m < M と同値です
実際、平均値の定理から
f(m) - f(M) = (m - M)f'(c)
となるような m と M の間の定数 c が存在するが、>>275の考察より f'(c) < 0 なので、
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0

>>274
>> これって循環論法じゃない？
そんなことはない。
三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になるが、
三次の係数が負の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは正になる。

このことを、「f(x)=x^3+ax^2+bx+c」という設定からスタートしたことに
「則し」、それにあわせて答えただけ。

極大とは、その近隣で、最大ということ。極小とは、その近隣で最小ということ。
極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
三次関数においては、極大値と極小値の大小関係は、　極大値　＞　極小値　で確定。

四次関数、五次関数、．．．なら、隣合っているかどうかは、個別に判断しなければならない。
従って、265のような議論はできない。

>>269
　x=1/t とおく。以上

>>270
日本ぢゃ未だにＮ(np, np(1-p)）で近似するのか････こりゃ参った。
先進国ではＮ(np+(p-1/2), (n+1)p(1-p)) を使うらしいが。
これ、計算が（見かけより）重いから（大した量でもないが）、
安物の教科書では端折ったり誤魔化したりしてるけど、
スターリングの公式と (1+1/m)^(m+1/2) = e を使って丁寧にやれば
きっちり合うものだ。
一度じっくり取り組むと力になるよ〜

>>264
r=2　θ=π/4でも成立するから
0≦r≦1からして間違っている。

>>282
> r=2　θ=π/4でも成立するから
え？

cos(π/4)^4=1/4 sin(π/4)^4=1/4

>>282
>284は嘘書いた、撤回します。

>>72
> re=0
> for(b in 2:5){
+ re = re + choose(7,b)*choose(5,5-b)
+ }
> re
[1] 756

>>286
無作為に選ぶとその確率は756/792=0.9545455
1000万回シミュレーションして検算。

> g=c(rep(1,7),rep(0,5))
> mean(replicate(1e7,sum(sample(g,5)) >= 2))
[1] 0.9545951

>>264
θは任意の実数値をとり得る。

>>280
>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる

そのことを証明しなければ意味がない

>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。

それがまさに f(m) > f(M) であり、>>279にあるように、それは m < M と同値
あなたが言っていることはまさに循環論法か、
あるいは>>260は自明と言っているだけ

X=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)
Y=(gx^2+hx+i)/(jx^2+kx+l)

xを消去したときにX,Yの二次式になるための係数の条件を知りたいのですが
どっかにないでしょうか？

>>280
さらに言えば

>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。

『極大と、極小が「隣合っている」』を
「実数 R の部分集合上で定義された実関数 f(x) に対し、 f(x) の極大点 m と極小点 M が存在し、
　ある区間 I が存在して m ∊ I かつ M ∊ I かつ、他の極値点は I に属さない」
と解釈すると、これは全然自明じゃない
例えば、 f(x) として不連続な関数
f(x) = |x| (x > -1), -|x+2| - 2 (x < -1), 0 (x = -1)
を考えると、 f(x) は x = -2 で極大値 -2, x = 0 で極小値 0 をとり、これらは「隣合っている」が、　f(-2) < f(0)
したがって、『極大と、極小が「隣合っている」』の定義を明確にした上で、
どのような関数に対して主張が成り立つか考え、その主張を証明しなければならない

>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。

これも、なぜ三次関数ならそれらが「隣合っている」のか考え、その主張を証明しなければならない

>>289

>> >三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
>> そのことを証明しなければ意味がない

なるほど、>>265は、将にそれを示したのだが、遠回しだと理解できないようだな。
だから、循環論法うんうんと粘着してくるんだろう。多くの人にとっては、265の
繰り返しと写るだろうが、補足する。

二つの停留点は、(m,f(m)),(M,f(M))。
具体的には、(m,(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9),(M,(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9)
この二点の傾きは、
{f(M)-f(m)}/(M-n)={(2b/3-2a^2/9)M-(2b/3-2a^2/9)m}/(M-m)=(2b/3-2a^2/9)
これが負であることは、三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが極値を持つという
問題の設定から、f'(x)=0　→、3x^2+2ax+b=0　の解　が二つの実数解を持つ
という条件、つまり、D/4=a^2-3*b>0 を使うと出てくる。　というだけ。

投稿者（出題者）は、f(x)=x^3+ax^2+bx+cと提起した。
それに則して答えるのが、当たり前。5次関数や不連続な関数を持ってきて、
反論の為の反論を行うのは止めなさい。

>>292
なるほど
確かにそれなら

>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる

は証明できているね
ただし、それから従うのは
{f(M)-f(m)}/(M-n) < 0
だけであって、あなたは
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
を証明しただけにすぎない
したがって、あなたの議論は>>260の証明にはなっていない

260の証明になっていないと思っているのはあなただけではないだろうか？

260投稿者が、>>265あるいは、>>292の内容で納得するかどうかポイントになるが、
納得しない場合は、f(x)=x^3+ax^2+bx+c　において、何が極大で、何が極小かを問うことになる。

つまり、二つの停留点があることを確認してもらい、一方を極大、一方を極小としたとき、
極大値　＞　極小値
となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。

もしかしたら、「納得できない。上に凸だと極大だ」とか言うのかもしれない。
つまり、「停留点に於ける微係数が負なら極大」ということになるが、その方針での回答が将に、>>275だ。

しかし、260の投稿者は、
>> グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
>> 上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
と書いている。
投稿者は、275のような理解はできているが、f(x)=x^3+ax^2+bx+c　としたとき、
a,b,c　等の関係から、それを示すのはどうすればいいのか？　と疑問を持ったのでは無いのか？
275の回答で投稿者が納得するなら、それでもいいが、納得できないからこそ、問題を投稿したのでは？
だからこそ、265のような回答を作った。

×：「停留点に於ける微係数が負なら極大」
○：「停留点に於ける二次微係数が負なら極大」
訂正します

>>294
>極大値　＞　極小値

これは一般には成り立たないので、
なぜ f(x)=x^3+ax^2+bx+c なら成り立つのかということが説明できなければ意味がない
また、同様な式変形による厳密な証明は、>>272で与えられている

>となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。

定義を勝手に変更されましても

あとは、「同値な主張を仮定して議論しても意味がない」とだけ

投稿者が納得するかと数学的な証明になっているかというのは異なる
もちろん数学的な証明になっていないとしても投稿者が納得することも多々あるが、ここは数学板だから全く別の人から突っ込まれるのも必然だ

そやねー

2次関数なら「平方完成」によってちょうど1つの極値点を持つことと、
2次の係数によってその極値が極大か極小か（さらに最大か最小か）までわかるが、
3次関数だとそのように代数的に示すのは難しくて、微分を使うと簡単だというのは面白い
所謂「立方完成（立体完成）」を使って（微分を使わずに）同様に確認できるだろうか？

>>299
一応できなくはないかな
f(x)=x^3+ax^2+bx+c を「立方完成」すれば、
X^3 + pX + q
の形に書けるので、この形の3次関数について、
X = ±√(-p/3) の小さいほうが極大点になり、大きいほうが極小点になることを直接計算して示せば良い
ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
式変形が好きな人はチャレンジしてみると良いかも

>>300
>ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない

よく考えたら p < 0 は明らかだった
もし p ≧ 0 なら、 X^3 + pX + q は X について狭義単調増加だから、極値点は存在しない

確率論がまったくわからないので教えてください！
事象空間Fの公理
（i）Ω ∈F((ii)よりØ ∈F)
（ii）A ∈ F→A^C ∈ F
（iii）Ai ∈ F（i=1,2...）→ ∪Ai ∉ F
確率（測度）Pの公理
P:Ω→［0,1］に対して
（1）0□P（A）□1 for all A ∈ F
（2）P（Ω）=1
（3）Ai ∈ F（i=1,2...）with A ∩Aj= Ø（i≠j）

上記の公理を使いP（A^C）＝1−P（A）を証明せよ

>>302
(3)を直したら(2)(3)から自明だろ

>>302
その公理おかしくない？

>>303
すいません、わかりません
どうすればいいですか？

もし俺が知っている公理と同じなら、補集合の定義を考えれば明らかだが

>>305
＞どうすればいいですか？
公理の(3)を正しいものに直せばよい。

>>305
ほぼ何もしなくていい

整数b,cで、b^2-4c≧0を満たすものを考える。
2次方程式 x^2+bx+c=0 の解の1つが(-1+√33)/8より大きく0.6より小さくなるようなb,cのうち、|b|+|c|が最小となるものを求めよ。

>>260
三次の係数が正負どちらでも考察できるように、
f(x)=dx^3 + ax^2 + bx +c
と変更。これを、x=pの周りでテイラー展開すると、
f(x)=d(x-p)^3 + (3 d p+a)(x-p)^2 + (3 d p^2+2 a p+b)(x-p) + d p^3 + a p^2 + b p +c

x=pを極値とし、そこから少しだけずれたx=p+εでの値との差は、
f(p+ε)-f(p)=dε^3 + (3 d p+a)ε^2 + (3 d p^2+2 a p+b)ε
だが、pは極値なので、(3 d p^2+2 a p+b)は0。第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
f(p+ε)-f(p)≒ (3 d p+a)ε^2
となる。x=pが極大なのか、極小なのかは、3dp+aの正負で決定される。
（(3 d p+a)が負なら極大で、(3 d p+a)が正なら極小）

pは、{-a±√(a^2-3bd)}/(3d)　のどちらか。
(3 d p+a) に p={-a-√(a^2-3bd)}/3dを　代入すると、-√(a^2-3bd)<0 なので、極大
(3 d p+a) に p={-a+√(a^2-3bd)}/3dを　代入すると、√(a^2-3bd)>0 　なので、極小

従って、m={-a-√(a^2-3bd)}/3d ,　M={-a+√(a^2-3bd)}/3d　となる。
dが正なら、m<M　だし、dが負なら、m>Mとなる

>>302
俺の知ってる公理とは違うけど、俺の知ってる公理では
A∪A^c=Ω(非交和)より1=P(Ω)=P(A)+P(A^c)

>>310
>第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、

実際のところ、 ε がどれくらい小さければ無視できますか？
基準となる量を明示的に書けますか？

>>312
> 基準となる量を明示的に書けますか？

そりゃあ書けるでしょ。
例えば、|ε|<(3 d p+a)/(2d)とかで良いっしょ。

でも、具体的な表示を見なくてもオーダー考えれば良いというのが微積の便利なとこなのに、何でいちいち聞くの？

>>314
ありがとうございます
おかげで、具体例でちゃんと成立していることが確認できました

1から6の目が等確率で出るサイコロをn回振ったときの、k回目（k=1,2,...,n）に出た目をa[k]とする。
いま小数点以下第k桁目の数字がa[k]であり、整数部分が0である実数を考えたい。
例えばn=3で、1回目に6、2回目に3、3回目に5が出た場合、そのような実数は0.635である。
n→∞としたとき、このような実数の期待値の極限を求めよ。

期待値の極限？
(0.777…) / 2 じゃなくて？

シミュレーションしてみた。

> E <- function(n,k=1e5){
+ sim <- function(x) sum(sample(6,x,replace = TRUE) * 0.1^(1:n))
+ mean(replicate(k,sim(n)))
+ }
> E(10)
[1] 0.38918789171006402
> E(100)
[1] 0.38942027966393805
> E(1000)
[1] 0.38884678526292493

7/18でいいみたい。

k桁目とk+1桁目の和の期待値が7だからか。
なるほどね。

実数を成分とし,
2行2列で行列式が1である行列の全体の集合は、
行列の和と実数倍によってベクトル空間となるか。

どのように説明すればいい？

1秒考えてベクトル空間になるわけないとわかる

ここにいる人って自分の興味で数学勉強してるの?
それとも学業とか仕事なのかな

>>320
零行列の行列式は1でない、で終了

>>322
実数倍についても閉じてない。
　det(cA) = c^2 det(A) = c^2 ≠ 1,

ケッタイな問題だな。

>>319
各桁の期待値が(1+2+..+5+6)/6=3.5で0.77777..../2の方がわかりやすいな。

三角形ABCの内接円のBC,CA,AB上の接点を各々D,E,Fとする.
内接円上の任意の点GをとりGの内接円との接戦と直線ABとの交点をH、
DGとEFとの交点をIとすると３点H、I、Cは同一直線上にあることを示せ。

微分の定義
ｄｙ/ｄｘ：＝lim[△ｙ→０]△ｙ/△ｘ
において△ｙ＝０となっても良かったが、右辺定義の分母は△ｘ≠０であった。
証明では
ｄｚ/ｄｙ：＝lim[△ｙ→０]△ｚ/△ｙ
が現れ△ｙ≠０でなければならないはずだが・・・
これを解決せよ

証明の部分は書いてないんだけどこの場合どうすれば解決できるのか、わかる方教えてください

随分と変わった定義だな

>>328
最初は恐らくlim �凉→0の誤りかな
要するに論理では変数の記号が重複するとおかしなことになるということで、違うものには違う記号を使う

�凉→0が�凅→0の誤りじゃないかってことね

同じ記号が使われていても、文脈によって意味が変わるってことだろ
「集合の任意の元 a, b, c に対し…」と書かれていても、 a, b, c が相異なるとは限らないのと同じ

そもそも何の証明でその仮定は何かというのを聞いたらダメなのか

チェインルールの話っぽいが

最初の△ｙ→０は間違いでした
おっしゃるとおり△ｘ→０です

証明ですが
二つの関数ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ),ｚ＝ｇ(ｙ)の合成
　ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ)→ｚ＝ｇ(ｆ(ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ)
の微分を考える。ｘを△ｘ増分させると
　ｘ＋△ｘ→ｙ＋△ｙ＝ｆ(ｘ＋△ｘ)→
→ｚ＋△ｚ＝ｇ(ｙ＋△ｙ)＝ｇ(ｆ(ｘ＋△ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ＋△ｘ)
となり、△ｘ→０⇒△ｙ→０⇒ｚ→０に注意して

　ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)
＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝ｄｚ/ｄｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｘ]△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｙ]△ｙ/△ｘ
＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
即ち
ｄｚ/ｄｘ＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
詳しい記法では
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝[ｄ/ｄｙ・ｇ(ｙ)]・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)｝
・ｄ/ｄｘ・ｆ(ｘ)
ここで記法「・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)}」の意味は・・・の中の計算が完了してから
・・・の中のｙにｆ(ｘ)を代入するということである。

なんだ、合成関数の微分か
それならその「証明」ではダメで、有名な回避方法がある
記号の使い方がイマイチなのが気になるが

>>336
どんな方法ですか？

>>337
微分の定義を、商を使わない形に書き換える
解析概論に載っている方法なら、 y = f(x) について、 Δx ≠ 0 のとき
Δy = f'(x)Δx + εΔx
と置くと、 x を固定すれば、 Δx → 0 のとき ε → 0 になる
ただし、 Δx = 0 のときは ε = 0 と定義する
逆に、 Δx ≠ 0 のとき、A = A(x) を x に依存するが Δx には依存しない定数として
Δy = AΔx + εΔx
かつ Δx → 0 のとき ε → 0 と仮定すると、 A = f'(x) が成り立つ

ボードゲームの必勝法の存在等の質問はどこでしたらいいですか?

総論的な話ならここでいいんじゃないでしょうか

コネクト4(7x6の重力つき四目ならべ)が先手必勝であると証明されているとwikipediaに記載がありました。

重力つき四目ならべのルールは...
タテヨコのマス目に下に地面が存在
2人のプレイヤーが交互に、コマをおく
列を作るために下にコマがない場所(空中)にコマを置く事は出来ない
タテ・ヨコ・ナナメのいずれかに4個ないしそれ以上の数を先に列を作れば勝利


1.実際にその論文を読む方法、読んだ方、説明・要約できる方等について聞きたいです。
また、コンピューターで総当たりした等の証明ですか?

2.先手必勝である理由は、盤面が有限だからという事が関わってきますか?

3.高さが無限であれば、先手必勝ではなく最善手同士ならば永久に勝負がつかないですか?
またはそのようにあなたは予測しますか?

4.左右も無限である場合の予測はどうですか。

5.コネクト4(7x6マスの玩具)に限った話で、終盤でのハメ手の例を思いついたら教えて下さい。

0.ルールの記載に不備ありましたら、指摘と意図を汲んだ修正をお願いします。

>>341
まさにそのwikipediaにリンクが張られているんだから読めばいいやん。
https://tromp.github.io/c4/c4.html

ベルトランの仮設の拡張として
nとmを1以上の整数としたときに
mn<p<(m+1)n (1≦m≦n)
となる素数pが少なくとも一つ存在する

という命題が成立すると考えられます。

>>343 訂正
×ベルトランの仮説
〇ベルトラン＝チェビシェフの定理

>>342
感謝です。
あっ、91ページのpdfは見つけました。

アホは○○○、○○○ばかり言っているが
整数論は、その学者しかいないと思っているんだろうか？

笑える

>>281
チョト改良････
　μ = (n+1)p - 1/2 + (p-1/2)/{12(n+1)p(1-p)},
　σ^2 = (n+1)p(1-p),
非対称な（歪度≠0）ものを対称関数で近似するのはナニだが。

放物線y=x^2と、y軸上に中心がある円x^2+(y-a)^2=r^2が接するような実数a,rの条件を求める問題が出ました。
円の式に放物線の式を代入して
y+(y-a)^2=r^2
とyの方程式を作りました。
そこから(i)2点で接する場合、(ii)1点で接する場合に分けて、それぞれ異なる2実数解・重解を持つようにa,rを定めたのですが、答案はバツでした。
何か致命的な勘違いをしているのでしょうか。よろしくお願いします。

（どうして採点者に聞かないんだろう…）

>>348
横だけど、作った方程式ってあってる?
1点の場合って多分原点だよね?
先に場合分けした方がいいかもしれん?

>>348
共有点の個数が３〜４個の場合は
そのやり方ではどう見分けるんでしょうね？

接してるのか交わってるのか区別つかんよね
まあ、1交点はたまたま1接点になるけど

>>347
　σ^2 = {n+1 -1/(2(n+1))}p(1-p),

>>348
その方針からスタートして誤答ではない答案を作成することは可能なため、あなたのその書き込みからバツの原因は特定できません。

nは自然数とする。
nの2以上の約数dで、(n^2+1)/dが整数となるようなdを全て求めよ。

>>355
存在しない
(n^2+1)/d=((n^2)/d)+(1/d)
(n^2)/dは整数で(1/d)は整数でないからその和が整数となることはない。

1

>>348
接するのはどれだろ？
https://i.imgur.com/1Igmigk.png

>>358
２点で接するなら
接点(p,p^2)
2p*(p^2-a)/p=-1
2(p^2-a)=-1
p^2=a-1/2
x^2+(y-a)^2=r^2
p^2+(p^2-a)^2=r^2
a-1/2 + (-1/2)^2=r^2
a=r^2+1/4
かなぁ？

接点１箇所ならa=-r
接点１箇所交点２箇所ならa=r

>>359
作図して検証

https://i.imgur.com/1avu8gg.png

xyz空間の放物線z=x^2(y=0)の0≦x≦1の部分をz軸の周りに一回転してできる曲面をCとする。
いま、曲面Cで囲まれる領域D(0≦z≦1)にz軸の正の方向から水を注いでいっぱいにする。z軸の正の方向からDに球を近づけていき、Cに接するまで水の中に沈めていく。

（1）球がDに完全に沈み込むような、球の半径の最大値を求めよ。

（2）球の半径をrとする。Dからあふれ出す水の量をrで表せ。

https://i.imgur.com/RKRRdna.jpg
知ってる人も居るかも知れんが、わしはこの答えに納得してない

２種類のくじがあり、一方は一万分の一の確率で「当たり」があり、
もう一つは、百分の一の確率で「当たり」があるとする。

この２種類のくじを一つづつ引いて、どちらかが「当たり」だったとする。
引いた当たりは、どちらの「当たり」であった可能性が高いか？
当然、百分の一で起こる当たりの可能性の方が高いと考えるだろう。


希にしか起こらないことを「当たり」と呼ぶこととしよう。

陽性と判定されるのは、
実際に感染していて、検査も正しく判定された場合と、
実際には感染していないが、検査が誤った場合がある。

実際に感染している「１万分の１の当たり」か、誤判定という「１００分の１の当たり」か
どちらを引いたと考える方が、可能性が高いと考えられるか？

まあ、心にストンと落ちるとは限らんよね
人間心理というか、脳のヒューリスティックな「論理学」や「確率論」は多分に本能的な感覚なんだから