分からない問題はここに書いてね460

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1585492157/

(使用済です: 478)

すいません修正しました

f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(y)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。

>>153
そんなg(x)とh(y)がとれるのは
f(x,0)/f(x,1)=g(0)/g/(1)
が定数になるときに限られる。

よろしくお願いします。

>>148
分かりにくい書き方にもかかわらずありがとうございます。
>>155にお絵かきしました。
４段目が10□7だと思うのですが、他がさっぱりで
お力を貸していただければ幸いです。

>>154
f(x,0)/f(x,1) = h(0)/h(1) なので定数なのでは？

ただ気になるのは、左辺は x = 0 で y の値に依らず常に定義されるが、
右辺は x = 0 で定義できない

>>157
f(x,y)=g(x)h(y)と分解できる必要条件が
f(x,0)/f(x,1)が定数となる事。
本問fx,y)=1/(x+e^y)では
f(x,0)/f(x,1)=(x+e)/(x+1)
は定数なので条件を満たすg,hはそもそも存在しない。

>>158
失礼しました
左辺が定数になるとは限らないという意味だったのですね

209700 ÷ 109 = 1923...93

>>148
除数も商も余りも合ってるのに、どうして被除数だけ間違えるのかなぁ。
そういう芸風かなぁ。

次の微分方程式の解を級数の形で表せ。
ただしy=f(x)である。
y(0)=0
yy'-2y'y''+yy''=(e^y - e^y')^2

前>>148
>>156あってたのか。難しかったよ。たまたま一瞬あった気がして、なんか違う気もして、まぁでもあってたんならいいや。

虫食い箇所が多すぎてプログラムを組む意欲も起きなかったなぁ。
パソコンの助けなしで答えられるのは凄い。

>>119
お願いします！！！

>>119
c1でいいなら
f(x,y)=∫[0 x]k(t,y)dtとおける。
F(x,y)=∫[u:0,x][v:0,y]k(t,u)dtduとおく。
(F(x+h,y)-F(x,y))h
=k(x+θ(h),y)h

>>166
あ、間違い、取り消し

>>129の仮定ないと無理かな？

nは4以上の自然数とする。
1,2,...,n-1の数字が1つ書かれたカードが1枚ずつ、計n-1枚のカードが袋に入っている。
袋からカードを無作為に1枚取り出し、書かれた数字を記録し、袋の中に戻す。これを3回行い、記録した数を順にa,b,cとする。
このときa+b+c<nとなる確率p[n]と、n→∞としたときのp[n]の極限値を求めよ。

>>119
> 微分可能なf(x,y)があったとき
> x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
なりません。

まず、微分可能性を仮定しても、偏導関数が積分可能かわからない。
より強く、fがC^1級とか仮定しても、区間が有界とは書いてない。

きちんとした教科書参照して仮定をチェックしてくれ。

>>169
1/6

台形ABCD（AD//BC,∠C＝∠D＝９０度)の対角線ACとBDの交点をE、
Eを通り上底下底（AD、BC）に平行な直線とAB,CDとの交点をF,Gとする。
EF=EGを初等幾何で証明したいのですがたぶん超簡単だと思うのでヒントを

>>172
C、Dが直角っている？

>>172
相似の比

底辺と高さが同じ三角形をたくさん描いて

それを同じ高さのとこで切ってみよう

AD と FG の距離 をp、FG と BC の距離をq とする。
FE = AD･q/(p+q）= BC･p/(p+q) = EG.

なお、△AED と △CEB は相似により
p：q = AD：BC
FE = EG = AD･BC/(AD+BC).

笠原 微分積分学 96頁
例4: f(x) = x^(x)^(1/x) の x -> +∞ のときの漸近展開
f(x) = exp( log(x) + 1/x * log^2(x) + 1/(2x^2) * log^3(x) + o(log^3(x)/x^2)
となるのはわかるのですが、
> log(x) は 無限大でこれだけ切り離せばあとは無限小となる。だから、
f(x) = {e^(log(x))} * {1 + 1/x* log^2(x) + 1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2)}
となる理由がわかりません。
教えてください。

>>177
x^x^1/x = exp{ logx * x^1/x } = exp{ logx * exp{ 1/x * log x } }
= exp{ log x * [ 1 + 1/x * log x + 1/(2! x^2) * log^2 x + 1/(3! x^3) * log^3 x + ... ] }
= exp{ log x + δ }
= exp{ log(x) } * { 1 + δ + δ^2/2! + o(δ^2) }
=exp{ log(x) } * { 1 + 1/x * log^2(x) +1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2) }

δ := 1/x * log^2(x) + O{1/x^2 * log^3(x)}
δ^2 = 1/x^2 * log^4(x) + O{1/x^3 * log^5(x)}

Tax=ax(1-x)、X=Iについて、0<a<1とするとき、x=0は漸近安定であることを示せ。

タックスヘイヴン

>>172
AB // CD ではないから、点Xで交わる。
AD < BC としてもよい。
△ADX ∽ △BCX
∴（AX/BX)(CX/DX）= 1,
XEの延長線とBCの交点をMとおくと
チェヴァの定理より
　(BM/MC）= 1,
∴　MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。

質問です。よろしくお願いします。

命題「Pである⇒Qである」から対偶命題「Pでない⇒Qでない」が導ける
というときの"導ける"の意味は"必ず正しく演繹される"という意味でいいのでしょうか？

もしそうであるならば、
"導ける"の否定"導けない"は"必ずしも正しく演繹されるわけではない"という意味
でいいのでしょうか？

さらにそうであるとすると、"導けない"を使った次の命題
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は絶対に導けない
とは違った意味になりますか？

>>179
お願いします。

対偶命題「Pでない⇒Qでない」　P，Q逆では？

>>152
題意より
　ay/(y-1）> a,
　b/(1-xy）> b,
　c/(1-x）> c,
しかし xyy=1 に沿って y →∞, xy→0, x→0 とすれば、
　ay/(y-1）→ a,
　b/(1-xy）→ b,
　c/(1-x）→ c,
∴ Max{a,b,c｝に近付く。

次の等式を成立させる非負整数a,bが存在することを示せ。
331777=(2^a)(3^b)+1

331777 = 331775 + 2
　= 25･13271 + 2
　= 25･23･577 + 2
　=（24+1)(24-1)(24^2 + 1) + 2
　=（24^2 - 1)(24^2 + 1) + 2
　= 24^4 + 1
　=（2^3･3)^4 + 1
　= (2^12)(3^4) + 1,

a=12, b=4

331776を素因数分解するだけと違うのか

局所系係数のホモロジーの計算例の中で以下のような式が出てきたのですが
右辺のマイナスがなぜ出てくるのかわかりません、どなたかご教示願います

Sを2単体�竸2上の加群の局所系として、�竸2の頂点をe0,e1,e2とする
また|e0e1|でe0からe1へ向かう辺をあらわすとして
S(|e2e1|)S(|e1e0|)= -S(|e2e0|)

自分では、e2からe1を経由してからe0へ行く道はe2から直接e0へ行く道とホモトピー同値なので
右辺はプラスになるのではないかと考えたのですが

>>190ですが条件を勘違いしていました
正しい条件で計算したらちゃんと合いましたので質問を撤回します

>>182
対偶のPとQはすでにある通り逆ですね

命題論理では、「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」が導けるというのは推論規則を適用して変形できるということです
推論規則を適用して変形できるというのは、例えば¬¬PからPに変形してもよい、といった必要最低限のルールを定め、それを上手く組み合わせればたどり着けるということです
「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」を導けるというのも、推論規則を色々組み合わせて変形していけばたどり着けるからです(パズルになるのでここではやりませんが)
したがって導けないということは、推論規則というルールをどんなに組み合わせて使っても絶対にたどり着けないということなので、絶対に導けないといっても同じことを表すと思います

6桁の整数A=331777を考える。
Aの下から数えてk桁目の数字をnに置き換えた整数をN(k,n)とする。
例えばN(1,9)=331779、N(3,0)=331077、N(6,4)=431777である。
ただし1≦k≦6かつ0≦n≦9で、N(6,0)は定義しないものとする。

N(k,n)≠Aのとき、N(k,n)=(2^a)(3^b)+1を成立させる非負整数a,bは存在しないことを示せ。

>>185
>>192
有難うございます。
対偶のとり方を間違えていました。
>>192さんに書いていただいたことは理解できたと思います。

ということは、>>182の
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は 真 であるということですよね？

他のスレの論争を見ていて、
(1)命題からその裏の命題は導けない
という主張に
(2)命題からその裏の命題が必ず導けるとは限らない(導かれないこともある)
の方が正しいという理由で(1)は間違いであると主張している人を見かけて気になっているのですが、
(1)が正しいと考えてよいでしょうか？

>>194
正確に話すと非常にややこしい話ですが、
「P⇒Q」から「Pでない⇒Qでない」は導けないことが導けますね
というのも、
Aを前提にBを導ける、というのをA |- Bという風に書き、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない　とはならないことを導きたいわけですが、
これを示すためここでは、A |- Bであることが、Aが真であるような真理値の全ての割り当てに対してBもまた真である、ということと同値である事実(命題論理の完全性定理)を利用します
どういうことか、実際にやってみますが、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない　が成り立つことは、
Pに偽、Qに真と偽を割り当てた2パターン、およびPに真、Qに真を割り当てたパターンについて、「Pでない⇒Qでない」もまた真になることと同値です
ところが、Pに偽、Qに真を割り当てたパターンでは「Pでない⇒Qでない」は偽になります
従って「P⇒Q |- Pでない⇒Qでない」が成り立たないことが導けます

>>186
0<ε<1 に対して
　xy = 1/y < ε/2,
とすれば
　x < (ε/2)^2 < ε/2,
　Max{ y/(y-1), 1/(1-xy), 1/(1-x)｝< 1/(1-ε/2）< 1+ε,
Max{a,b,c｝= M とおけば
　M < Max{ ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)｝< M(1+ε),

Sを自己交差がなくて凸な閉曲線とする
Sの直径/Sの長さの最大値はπであるような気がするのですが、どう示したらいいでしょう？
なおSの直径とはsup{||a-b||;a,b∈S}で定義します

>>197
Sの長さ/Sの直径の間違いですね

∫ cos(sin(x)-nx) dxは特殊関数でしょうか。そうだとしたら何か有名な名前がついているのでしょうか。

>>198
> >>197
> Sの長さ/Sの直径の間違いですね

perimeter diameter inequalityでぐぐったら、
perimeter/diameter ≦π
は正しいようです。最大値を与えるのは、等幅領域
証明は知りませんが、
http://emis.matem.unam.mx/journals/JIPAM/images/016_99_JIPAM/016_99.pdf
にリストがありました。

>>200
ありがとうございます
円以外もあったのは意外でした

>>197
S を含む円で、直径が S の直径に一致するようなもの（つまり S の「外接円」）がとれるような気がするんだけど、
反例あるかな？

>>202
ルーローの三角形かそれに近いものでも出来る？

二つの全単射 f:X→Y,g:Y→Zについて
　（g○f）^−１=ｆ^−１○g^−１
を証明せよ

すみません、どなたか教えてください

gof(x)=g(f(x)) くらい自明な式に見えるけど

>>203
実際に定規とコンパスで描いてみましたが、無理でした

ルーローの三角形の幅は正三角形の頂点から対角辺の方向に垂直に下した線の外周までの長さと一致するが、
この線の中点を円の中心にすると、残りの2つの頂点の近くがはみ出てしまう
また、正三角形の外接円はルーローの三角形に外接するが、
この外接円の直径は明らかにルーローの三角形の幅よりも大きくなってしまう

>>204
自明すぎて何を要求されてるのかわからんので、糞ほど丁寧に書いてみた。

書くの面倒だから f^-1=f~ と略記する。
また、計算の優先順位を表すカッコが関数の引数のカッコと紛らわしいので
計算の優先順位のカッコはすべて中カッコで書いておく。(本来はただのカッコ)

任意の x∈X について
{{f~〇g~}〇{g〇f}}(x)={f~〇g~}({g〇f}(x))=f~(g~({g〇f}(x)))=f~(g~(g(f(x))))=f~(f(x))=x
∵f(x)∈Y であるからg~の定義から g~(g(f(x)))=f(x) , x∈X であるからf~の定義から f~(f(x))=x

任意の z∈Z について
{{g〇f}〇{f~〇g~}}(z)={g〇f}({f~〇g~}(z))=g(f({f~〇g~}(x)))=g(f(f~(g~(z))))=g(g~(z))=z
∵g~(z)∈Y であるからf~の定義から f(f~(g~(z)))=g~(z) , z∈Z であるからg~の定義から g(g~(z))=z

>>199
この関数は比較的簡潔な形をしている微分方程式の解なので、何かあるのかと思い質問しました。

前>>163
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC――�@
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB――�A
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC――�B
�@�A�BよりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE

前>>210円番号がスマホだと表示されないみたいだから数で書いてみる。
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC――1
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB――2
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC――3
1,2,3よりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE

g○f≠g(f(x))となる例はありますか？

(g○f)(x) の定義を述べよ

(f○g)○h≠f○(g○h)となるような例はありますか

((f○g)○h)(x) と (f○(g○h))(x) の定義を述べよ

>>199
ベッセル関数らしいということが分かりました

>>213 で終わっとるな

>>199
J_n(z)=1/(2π)∫[0→2π] cos(nx-z sinx)dx
公式集の第１行目に載っとるがな

次の問題が全く分かりません。
スレ違いかもしれませんがよろしくお願いします。

（問題）{0^n 1^n 2^n | n≧1}を受理するTuringマシン（どんな種類でもよい）を与えよ。

ググれば出てくるけど、{0^n 1^n | n≧1}の応用
でも「どんな種類でもよい」ってのが引っかかる
多テープチューリングマシンで別のテープをカウンタ代わりにしたらもっとスマートにできそう

ttps://www.classes.cs.uchicago.edu/archive/2015/winter/28000-1/Lec13.pdf

>>219
０が続いた回数ど同じ数の０をテープに書いて、
１が続いた回数と同じだけテープを戻し
２が続いた回数と同じだけテープを進める
折り返し点で回数をチェックしたら簡単にできそう

>>220 >>221

回答ありがとうございます。
実はまだよく分かっていませんがもう少し勉強してみます。
これくらいのことになじめない自分がいやになりますが。

「ある実数列についてコーシー列ならば収束列であり収束列ならばコーシー列であることを示せ」
これの答えを先生が「ε>0をとる」から始めていたんですけど、εは0に近ければ何でもいいんではないんですか？なぜ0より大きいとするんですか？

ε=0のときが言えてしまうなら、N<n, mですべてのn, mのときにa_n = a_mがいえてることになるわけど
そんな強い主張はしてない

極限の定義だからしょうがない

εが近いときという定義ができない
εが大きいときは自明だから全てのε＞0にしておけば問題ない

てことは定数列はコーシー列じゃないんですね
ありがとうごさいました

ワロタ

四次元対称群S4の元(1,2,3,4)で生成される部分群Hを考える。S4のHによる右剰余類で(1,2)を含むものの元を全て書け。

ただの計算問題

>>227
定数列は距離の公理から距離0なのでコーシー列

>>229
詳しくお願いします

詳しくも何も…
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ

任意の ε>0 に対応して番号Nが定められて
　m>N, n>N　なるとき　|a_m - a_n| < ε
なることを俗に「コーシー列」と云う････

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第１章、§6　p.11　定理8

なんで「俗に」と断ってるのかと思ったらカントールが導入したからなのか

コーシーの収束判定法が前にあったのね

aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。

前>>211
>>237
P(a√3+α,α^3-3a^2α)
とりあえず保留。
この書き込みでええよ。

微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？

>>239
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？

f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。

連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？

>>239
xが有理数のとき f(x)=x^2
xが無理数のとき f(x)=0
f(x)は x=0 でのみ微分可能

にゃるほど

>>240−241
ありがとうございました。

開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？

1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。

2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。

正規分布N(μ,σ^2)に従うX1,...,Xnがあったとき、対数尤度関数のヘッセ行列が半負定値だということは示せますか？

>>216
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
　= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
　+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
　+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
　= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
　zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。

同次形微分方程式　
(1)dy/dx＝2y/x+x/y

(2)dy/dx＝x+2y/2x+y

一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式

(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx

(2)dy/dx-2xy＝e^x2

(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
　
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？

大学の課題は自力でやれ

局所系の係数版のポアンカレ双対定理を円周S^1について直接計算して確かめろという問題がわからず困っています
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Zと同型になる場合は2種類の局所系があり
(特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので)
その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました

しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません
どのように考えればよいのか教えてください

lim(1+2^n)^1/n
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；

上から抑えるのに1+2^n≦2^n+2^n=2^(n+1)を使う
下からは1を落とせばいい

２項公式から
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････

∴　2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),