大学学部レベル質問スレ 14単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 13単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577771353/

前スレの質問
999 １３２人目の素数さん[] 2020/07/15(水) 10:59:39.04 ID:GC4Nr3Jf
離散位相、密着位相という名前はなぜそうつけられたんですか？直感的な説明をお願いします。



例えば位相空間Xから実数Rへの連続写像を考えてみる

Xが離散位相ならば、この写像は完全に自由で良い
つまりXをバラバラに引きちぎってRに送れる

Xが密着位相ならば、この写像は1点に潰すしかない
つまりXの各点は全く離れたくないかのように振舞う

閉包＝くっついてる　でもいいな
密着位相で閉包は全部くっついてしまう
離散位相の閉包は全然くっつかない

kingの陰茎も閉方

自分は数学科ではないのですが、「悪魔の証明」って、対偶を利用すれば可能ではないのですか？
論理記号で表現できないのですが。素朴な疑問。

ワロタｗｗ

類体論周りの代数的整数論って、
ガロア理論とか関数論とかと比べてあまり標準的ではない割に退屈な理論を勉強しないといけないですよね
例えば、デデキント環の理論とか付値の理論とか位相群上の積分とか、…
皆さんはこういう理論を勉強するときにどうやってモチベーションを維持していますか？

一つの方法としては群のコホモロジーからアプローチする
デメリットは和書にそういう本が殆どない

勉強できる人はみんな強いモチベーションや先人への盲信を持ってるように見える
それか賢い人は次々に登場する概念の必要性を瞬時に理解できるからかも知れないけど

「数論やるなら類体論くらい知っておかないと」みたいな感じで始めても全然モチベーションが維持できないんですよね
なんというか、類体論そのものに面白さを見出せないというか
向いていないのかな

>>9
盲信も何も、数学者は普通に俺らより優秀じゃん
でも高校では数学ナンバーワンで自信満々で数学科に入ったのに心折られちゃった人は、その適応機制として数学者より自分のほうが正しいんだという思想に染まりやすいんだろうね
そんな根拠のない自信は持たないことが大事

歴史的な流れもあるかと思う
だから数学史を見ることで当時の問題意識などがわかって概念の理解しやすくなることもあるし
逆に現代的な統一的視点で見た方が分かりやすいこともある
当時の動機とは全く違う重要性が後に見つかって、そちらが現在では重視されていることもある
歴史の中の数学者は全員天才だけども概念や理論自体のあり方は絶対的なものではないはずで
もしかしたら全く別の体系・整備があったかもしれない
まあ、かといってそれを己で一から開拓するなんてのは難しいだろうから素直に歴史に従うべきだというのはあるが

>>10
意味分からん
理解できずに先行けるわけない
微積の小手先線形の小手先を面白いと思っているだけでは何にもならないのと同じなのだがそれが分からないというのが分からない

まず数論に対してどんなモチベがあるかだね
類体論やらなくても解析的数論や組み合わせ的数論で出せる結果もあるだろうから

>>13
個人的には、「役に立つけど面白くない理論」と「役に立たないけど面白い理論」があると思っていて、
類体論は前者に属すると思っています
私は前者を学ぶモチベーションが維持できないんです

(0,1)　1/√(x(1-x^2))
この広義積分ってどんな関数で上から抑え込めばいけますかね？
それとも発散しますか？

x→√yと変数変換したら
ベータ関数B(x,y)使って
B(1/4,1/2)/2
になるから
=Γ(1/4)Γ(1/2)/(2Γ(3/4))=√πΓ(1/4)/(2Γ(3/4))

ガンマ関数の乗法公式使うと
=Γ(1/4)^2/√(8π)=2.62....

評価についていうなら
積分範囲をA=[0,1/2]とB=[1/2,1]で分けて考えれば
3/4≦(1+x)(1-x) (x∈A)
3/4≦x(1+x) (x∈B)
だから
∫1/√(x(1+x)(1-x))≦2/√3(∫_A 1/√x + ∫_B 1/√(1-x))
=2/√3(√2+√2)=4√2/√3=3.26....
で抑えられる

>>2
Ω={0,1} O(Ω)={φ,{1},Ω}という位相空間を用意すると

Xが離散位相 ⇔ XからΩへの連続写像は任意(バラバラ可能)
Xが密着位相 ⇔ XからΩへの連続写像は定値のみ(1点に潰すしかない)

と書けるか

>>15
数学の本道に進まず
何にも成し遂げられないってことだよ？

>>5
具体的に書いて

>>20
何にも成し遂げられないことはないと思うけど

>>21
質問は十分具体的だと思うけど
まさか可能かどうかを尋ねる質問に対して答えを具体的に書けと言ってる？

>>23
悪魔の証明の具体例を書いてって言ってるだけ

>>22
そうかね

数学上の話ならそもそも「悪魔の証明」なるものは存在しない
証明もしくは反証できるものそもそも悪魔の証明にならないし、証明も反証もできないものは単にその公理系から独立してるだけというスタンス

画像の定理を証明してください
多変量正規分布の最尤推定に使う定理らしいのですが、全く分かりません...
参考になるサイトでも構いませんので、よろしくお願いします


https://i.imgur.com/gptqgco.jpg

うーん、少なくともΣ^(-1)Aが対角化出来るものとして考えれば、その固有値たちを使って
(Π(λ_i)^n(-exp(λ_i)))^(1/2)|A|^(-n/2)
と書けて、これを最大にするには各iについて
(λ_i)^n(-exp(λ_i))
が最大になれば良くて、それはλ_i=nのときだから
Σ ^(-1)Aが単位行列のn倍のとき
つまりΣ=A/nのときと分かるけどね

あ、微分していけるわ
Σ^(-1)A=BとしておいてBの各成分b_ijの多変数関数と思って最大を求める
元の式は
(|B|^n(exp(-trB)))^(1/2)|A|^(-n/2)
と書けて、これは
|B|^n(exp(-trB))
を最大にすればよい
∂/∂b_ij |B|=(B^(-1))_ji|B|
∂/∂b_ij trB=δ_ij
などに注意して微分すれば
B^(-1)_ji=1/nδ_ij
という条件を得る
つまり
B^(-1)=E/n (Eは単位行列) よって Σ=A/n

ありがとうございます！
質問なのですが、|Σ|^(-1/2)の部分が|A|^(-1/2)になっているのは、どのような計算をしたのですか？
初歩的・筋違いな質問だったら本当にごめんなさい

>>30
まず>>28の式のexpのとこ誤植
(Π(λ_i)^n(-exp(λ_i)))^(1/2)|A|^(-n/2) 誤
(Π(λ_i)^n(exp(-λ_i)))^(1/2)|A|^(-n/2) 正

タイミング的にまだ>>29の方は見てないですかね
Σ^(-1)A=Bと置いたからΣ=AB^(-1)
|Σ|^(-n/2)=|B|^(n/2) × |A|^(-n/2)
となってAの部分が出てくる
上のλ_iバージョンの式も同じ理由で|A|が出てます

>>31
なるほど！！！！！　それで|B|の方は左の括弧に組み込まれてるんですね！
完全に理解できました！　本当にありがとうございましたm(_ _)m

補足
上の証明でλ_i>0の範囲で最大を言ってるけど
正定値対称行列の積は対角化可能で固有値も全て正だから良さそう

F,G:正定値対称とするとそれらの積は
FG=√F(√G√F)^t(√G√F)√F^(-1)
とかけて
正定値対称な(√G√F)^t(√G√F)に相似だから
FGも対角化可能で固有値は全て正

>>20
実際どうやってモチベーションを維持しているの？
気合い？

>>34
モーチベーションは面白いから
分からなければそこでお仕舞い

>>35
難しいだけで面白くない理論の場合はどうしてる？
>>7にあるような理論とか、測度論とか

>>36
面白いが？

>>37
そっか…
面白くない理論に出会ったことがないか、
あるいはどんな理論でも面白いと思えるタイプの天才か
どっちにしても羨ましい

測度論は面白かった

>>18
thank you so much!!

フルヴィッツ・クーラントの楕円関数論の翻訳書ってどれくらいの予備知識があれば読めますか？

前書に書いてないんか？

R^nの開球U = { x | |x| < 1}からR^nの開集合への連続な全単射fがあったとき、
逆写像f^-1: f(U)→Uは連続ですか？

領域の不変性ってのを使えば言えそう
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain

>>44
ありがとうございます！

証明ないじゃん

無限基数って全部アレフ_αっていう形で一意的に漏れなく表せれるのに
何で一々｢κは無限基数である｣みたいな表現するんかな
前々からずーーーーーっと思ってるんだが？

整数は全部10進法で表せるのに
何でいちいち「nは整数である」みたいに書くのかね〜？

>>48
すみません、どうやるのか分からないのですが
整数全部10進法で表してみてもらえますか？

>>49
じゃあその前に無限基数全部アレフ_αで表して

>>50
僕は>>47では無いのでそれもどうやるか分からないです
整数全部10進数で表せる方なら無限基数全部アレフ_αで表すこともできるので、それについても教えて頂けると助かります

>>51
じゃあ助けないよ

皮肉が分からない人だ

どの整数も十進法で表すことができるが
すべての整数を十進法で表す為には
この掲示板には余白が足りない

>>48
ワロタｗｗ
一応お前の中では皮肉を頑張って言ってみたんだろうけど、
整数が10進法で表せる事といちいち｢ｎは整数である｣と断る事の関係性言ってみｗ

>>48
>>55と大体同じ事だけど、｢ｎは整数である｣と一々断る必要性が無い根拠を言ってみ

>>48
追加で課題
大体同じ事だけど、その皮肉を言う事によって>>47の何に問題があると言いたかったのかも言ってみ

>>47
せめて連続体の基数をアレフ_αで表してみろ

悔しくて死にそう
> ID:7pRPm+5q

アホに因縁つけられたのに言い返してるだけで別に悔しい要素ないやろ
偉そうに言った割りに突っ込まれたら何も言い返せないID:H/LImTquが悔しくて死にそうというなら分かるけど

この掲示板て何桁の整数を表わせるんだろ

>>61
この掲示板で表せる最大桁数の整数の10倍の整数

よく分かってないけど、可算無限個のものをすべて書き下せないということと、ある基数の大きさについて記述できないこと(ZFCから独立)って少し種類が違うように思うんだが
それとも論理体系をゲーデル数化(?)してみると根本では同じ問題とか？

世の真理

アホは論破できない
アホは自分がアホだという事が自覚出来ない

>>63
後者は公理系に対して証明する問題だが
前者は公理系に関係ない

すいません。2番と3番を教えてください。
ちなみに2番の問題文のs^2の部分はΣのつけ忘れです。
https://imgur.com/a/DIfWsBb

>>64
『非学者、論に負けず』と言う諺だな

課題の中で「直積集合S=Z×(Z/{0})の元(m,n)」ってあったんですけど、ということはｎ=0ってことですか？バカ丸出しだったらすいません。

Z/{0}=Z

つまりただ単にS＝Z×Zとして考えればいいってことですか。。。

Z/{0}≅ZではあるけどZ/{0}=Zではなくないか
ところで集合A,Bに対して{x|x∈Aかつx∉B}をA\Bと書く

俺、｢○○と書いても誤解の余地が無い時はそのようにする｣って言うやり口大嫌いだわ

>>72
面倒くさい奴だなｗ

位相空間や群環体や測度空間とかもいちいち台集合だけでなく組として明示するの？
(コ)ホモロジーの系列とか一つ書くだけですごく時間掛かりそうだね

Z/{0}=Z/1=Z:整数
Z＼{0}=Z-1≠Z:零元以外の整数

>>71
うわぁ…
文字コード被りの被害者を初めて見たｗ

いまさら

偏微分の問題ですが分かる方いたらお願いします
https://i.imgur.com/X5WrLhq.png

偏微分の問題かなー？
y(t) = ∫ u^2 dx として y の微分方程式を出せばいいんじゃないの？

>>79
その方針で一度試したんですけど微分して条件式代入した時に出てくる
∫uu_{xx} dxの項が上手く評価出来ないんですよね
部分積分使ってもuu_{x}が出てきて邪魔になってしまって

>>75
>Z/1=Z
ん？
Z/1={0}やろ

>>80
微分方程式を見ると成り立つと思えるのに不思議だね
この直感を数式にできれば解けるんだろうが…

VをdimV=nの線形空間とし,
Vからn個の一次独立なベクトルを取ることができたとする。
それらをv_1‥v_nとするとき
span(v_1…v_n)=V

はいえますかね(´・ω・`)

span(v_1…v_n)=Vでないならv_1,…,v_nの一次結合で表されないVの元v_{n+1}が存在する
同様に元をつけ足していけばn+1個以上の元からなるVの基底が作れるので次元の一意性より矛盾

>>84
なるほど、ありがとうございます

今見たらそのやり方だとVの基底が作れることが言えねえわ
n個の元からなる基底から一次結合で表せないものとってこないと

そもそも基底の存在定理の証明見てわかるように基底=極大一次独立系ですし次元は基底を構成する元の個数ですし
当然n個の元からなる一次独立系が基底にならなければ極大性に反する

>>83
当たり前だ

のクラッカー

古っ　今でも売ってんだよね

はい、得ます金

>>80
∫ uu_{xx} dx = [uu_{x}] - ∫u_{x}u_{x} dx
だけど、問題文の真ん中の等式からuとu_{x}はx→±∞で0になるので、
∫ uu_{xx} dx = - ∫(u_{x})^2 dx

なので、
(∂/∂t) ∫ u^2 dx = ∫-(u_{x})^2 - x^2 u^2 - u^4 dx < 0
で、∫ u^2 dxが単調減少までは言える気がする
t→∞で∫ u^2 dxが0になるかどうかは分からなかった

位相空間論の問題です
閉集合の部分被覆は、任意の開集合の部分集合になっている？　みたいな問題です
どうかお助けください...
https://i.imgur.com/QDTW4QX.jpg

議論を開被覆に帰着させたらいいだけじゃね?
見た感じ定義から直接的な議論で証明出来そうな気がするが

補集合を考えるだけか

https://i.imgur.com/QDTW4QX.jpg
ヒントをくれた方、ありがとうございます！
とりあえず回答を書いてみたのですが、合っているでしょうか？
O_ ⊂ K_ より、K_はO_の開被覆で〜って所から結構曖昧です

曖昧だというのはOの補集合がコンパクトかどうかかな？
コンパクト空間の閉集合はコンパクトだからokなんだけど、もしこれを知らないのであれば、K_λの補集合たちにOを追加すればXの開被覆が作れるからコンパクト性を使えばいい

>>96
>>93と全く同じ画像に見えるのは俺だけ？

俺も同じに見えるけど>>97が普通にレスしてるからバグかと思ったわ

画像貼り間違えてました... ごめんなさい

>>97
まさしく疑問に思っていたのはそこです！
あとはO_とOは共通部分がないから、∪Kから勝手に取っても大丈夫で...って感じですかね
ご回答ありがとうございましたm(_ _)m

「コンパクト空間の任意の閉部分集合はコンパクト」って基本的な事実だよね
もし知らないならこの機会に勉強したほうがいいと思う

ハウスドルフ性っていらないんでしたっけそれ

>>102
いらない
というか証明も>>97の議論と同様にしてできる

ハウスドルフが必要になるのはコンパクトなら閉の方だね

どっちも違うやんけ

ソートの話

何か巷ではクイックソートが最強みたいな感じでソートの話題になるといつもクイックソート(ﾄﾞﾔｯ)ってなるんだが、
度数ソートの方が早いんだろ?
で、データのならび具合によってはクイックソートでもO(n^2)掛かる事あるんだろ?
だったら、マージソートの方が早いんじゃね？って感じるんだが、なぜマージソートや度数ソートが陰に隠れて雑魚扱いされるのか押してくれ

クイックソートはシンプルなのに早い
それにわざわざ遅くなるようなデータ順になってないことが多い

Javascriptでクイックソート
Q = A => A.length<=1? A :[
...Q(A.filter((x,i)=> i>0 && x<A[0]))
,A[0],
...Q(A.filter((x,i)=> i>0 && x>=A[0]))];
https://ideone.com/yXp8GZ


Pythonでクイックソート
def Q(A):
if len(A)<2: return A
p = A[0]
return Q(filter(lambda x: x<p, A)) + \
filter(lambda x: x==p, A) + \
Q(filter(lambda x: x>p, A))
https://ideone.com/TSgpzy

>>107
自分で考えた「区間2分ソート(仮称)」(最悪 n log n)
がググっても見つからないのがオドロキ

単位球 B:={x∈Rn:|x|<1} の境界 ∂B={x∈Rn:|x|=1} 上の外向き単位法線ベクトルを ν とする．
また，熱方程式の基本解 E(x,t) に対して w(x,t):=logE(x,t) とする．このとき，任意の x∈∂Ω に対して ∂w(x,t) / ∂ν= ?1/2 となるような t の値を答えよ。(半角数字)

ちょっとこの問題が意味分からんです
ベクトルで微分してるのにベクトルじゃなくて実数値？？　ってなって困惑しております

アホな質問だったらごめんなさい

文字化け失礼
∂w(x,t) / ∂ν= -(マイナス)1/2
です

>>111
ν・∇w = -1/2 の意味だろ

>>111
> ベクトルで微分してるのにベクトルじゃなくて実数値？？　ってなって困惑しております
方向微分の定義を確認して下さい。

Hをヒルベルト空間、LをHの閉凸部分集合とする
いまx∈Hに対してd(x,L)=|| x-a ||となるa∈Lが一意に存在している
このとき任意のy∈Lに対して (x-a,a-y)≧0 を示せ

射影定理の話だと思うのですがなかなか示せず困っています
わかる方いたらお願いします

(x-a, a-y) < 0 となる y があったら b = a + ε(y-a) として || x-b || を展開してみるといい

すみません、この問題の1_(A_n)ってのは一体どう意味なんでしょうか？
誤植でもないっぽいんですが
https://i.imgur.com/yvcS46T.jpg

>>117
台関数じゃないかな
ω∈A_nのとき1、そうでなければ0、という関数

台関数とは言わないか
指示関数、特性関数、定義関数などの名前があるらしい

>>118,119
ありがとうございます！
A_nが座標だと誤解しててずっと迷宮入りしてましたw

>>116
試したことありますが展開しても分からなくないですか？
内積以外の項を上手いこと評価出来ればいいけど私のやり方が間違ってるのか

>>115
(x-a,a-y)≧0におけるxとaは何？

あ、もしかしてRe(x-a,a-y)≧0てことか

そうだとすると
c=(1-t)a+ty∈L(ただし0≦t≦1)として
||x-c||^2=||a-y||^2t^2+2Re(x-a,a-y)t+||x-a||^2
となるけど
これの(0≦t≦1)における最小値は問題の条件により||x-a||^2(これはt=0切片)でなければならない
よって、このtに関する2次関数の中心軸(t=-Re(x-a,a-y)/||a-y||^2)はゼロ以下の位置になければならない

>>121
|| x-b || = || x-a+ε(a-y) || = (|| x-a ||^2 + 2ε(x-a, a-y) + ε^2 || a-y ||^2)^(1/2)
= || x-a || + ε(x-a, a-y)/|| x-a || + O(ε^2)
(x-a, a-y) ≧ 0 でないと || x-a || が最小でなくなる

無限の値を取る確率変数の平均が存在しない場合があるけれど
現実にはあり得ない状況のように思える
確率概念はそういう状況を自然に排除できるようになっているべきではなかろうか

不便でしょうがない
自分だけでやるんだな

特性類の本を読んでいるのですが次の証明がなぜ言えているのかわかりません

ファイバーの次元が奇数ならオイラー類の位数は2という命題の証明で
奇数次元のベクトル束は向きを逆にする同型(b,v)→(b,-v)をもち
ベクトル束の向きを逆にするとオイラー類は符号が変わるのでe(ξ)=-e(ξ)とあります
この最後の等号はなぜ言えるのでしょうか

自己解決しました

代数幾何で見かける、引き戻しf^*、f_*の定義が分かりません
引き戻し(ファイバー積)の定義はwikipediaやレンスターのBasic Category Theoryを見て勉強していますが、*についての記載がありません

例えばスキームの圏だと、Spec(Z)は終対象なので、対象X,Yに対して引き戻し(ファイバー積)X ×_{Spec(Z)} Yが存在しますが、
この状況において射fやf^*、f_*は何を指すことになるんでしょうか？

>>129
インデューストマップでしょう
考えてるカテゴリーで定義違いましょう

>>130
確かに、引き戻しの文脈で誘導された射を考えることがあるような記憶はあります

ところで調べていて思ったのですが、引き戻し(pullback)の対義語としてpushforwardがあるようですが、引き戻し(ファイバー積)の対義語、というより双対はpushoutですよね

このあたりについて調べてみます

普通プッシュアウトと言います

>>132
引き戻し(ファイバー積)のwikipediaにはpushoutしか記載されていませんので、そう思っていましたが、pushforwardと共に検索してもそれなりに記事がありました

調べる中で、
https://en.wikipedia.org/wiki/Pullback
に答えと思われることがありました
pullbackはprecompositionとfiber-productという2つの異なる、しかし関連するプロセスのことだそうです
pushforwardもこちらに記載がありました
引き戻し(pullback)には異なる定義があるようですが、
日本語のファイバー積のwikipediaだけを見るとそれが分からないので、中々ややこしいですね

ご回答ありがとうございました、ヒントが得られました

ワキペディアだよりでなく本をみろ
どこかには買いてあるだろ
教科書ならば

ワキが甘い

[前スレ．398] に補足

t/T≠整数 のとき
{t/T} = t/T - [t/T]
　= t/T - floor(t/T)
　= t/T + 1 - ceiling(t/T)
　〜 1/2 + arctan(tan(π(t/T-1/2)))/π,

>>89
>>90
俺がこんなに強いのも…

前田製菓(株)
http://atarimaeda.com/
http://www.youtube.com/watch?v=5lMVJ7SI_Ao 03:23,

てなもんや三度笠 (藤田まこと)
http://www.youtube.com/watch?v=g1mpDfTkydU 00:51,
http://www.youtube.com/watch?v=vi9AdfCN6IQ 02:42,

集合A, B, C, Dについて、包含関係
(A∪B)△(C∪D) ⊂ (A∪C)△(B∪D)
を示したいのですが、どうすればよいでしょうか。△は対称差です。
x ∈ (左辺)としてx ∈ (右辺)を出そうとしているんですが、なんかゴチャゴチャになってしまって。

>>138
対称差の定義って
A△B := (A-B)∪(B−A)
だっけ
それなら一般には成り立たなくね
例えば A := {1, 2}, B := {2, 3}, C := {4}, D := {5} とすれば、
A∪B = {1, 2, 3}
C∪D = {4, 5}
より (A∪B)△(C∪D) = {1, 2, 3, 4, 5} だが、
A∪C = {1, 2, 4}
B∪D = {2, 3, 5}
より (A∪C)△(B∪D) = {1, 3, 4, 5}

記号の対称性から ⊂が成り立てば逆も言えて等しくなるわな

(A△B)△(C△D) ⊂ (A△C)△(B△D)
なら成り立つかな

誠に申し訳ありません。とんでもない入力ミスです。正しくは
(A∪B)△(C∪D) ⊂ (A△C)∪(B△D)
でした。

真理値表でやるのが機械的で速いだろう

>>142
それならほとんど明らかじゃね
x ∊ (A∪B)-(C∪D) ⇒ x ∊ A-C または x ∊ B-D
x ∊ (C∪D)-(A∪B) ⇒ x ∊ C-A または x ∊ D-B
の成立を確認するだけでしょ

>>142
ブール代数の演算でやったら簡単だぞ
集合A,B⊆Xに対し、A⊆BとはA∩X＼B=φである
これに対応するブール代数の演算はa･b~=0

>>142
さっき検算したが、成立が確認出来た。
単項式4つ×単項式4つの計算で結構しんどいが、力技でいける

AΔBはab~+a~bという式に対応する、。ってので展開してやるだけ

>>144
ありがとうございます。その方針で解決出来ました。
x∈(左辺)として、それをゴチャゴチャいじっていたら、泥沼にハマってしまっていましたが、別に難しく考えることないですね。

>>145
ブール代数ですか。
ブール代数について、ボクは特に何も知らないので…。

今野一宏『リーマン面と代数曲線』に出てくる解析的形成体の説明が分からないのですが教えてもらえますでしょうか
解析的形成体でググってもあまり参考になりそうなものが出てこなくて、行き詰っています。
本に書いてある説明は大まかに以下の通りです。

(a)2つのローラン級数P(t),Q(t)は高々有限個の項からなる主要部を持ち、あるρ＞０に対して0 < |t| < ρで収束
(b)任意の異なるt1,t2∈{|t| < ρ}に対して (P(t1),Q(t1))≠(P(t2),Q(t2))のとき、組(P(t),Q(t))を関数要素と呼ぶ
(c)関数要素の同値関係として、(P1(t),Q1(t))〜(P2(t),Q2(t))であることを、
　「t=0の近傍で収束するべき級数τ(t)=c1t+c2t^2+・・・（但しc1≠0)が存在して、P2(τ(t))=P1(t)、Q2(τ(t))=Q1(t)」となることと定め、同値類を[P(t),Q(t)]と書く
(d)関数要素(P(t),Q(t))(|t|<ρ)に対し、|t0|<ρなるt0をとり、t=t0のまわりで展開し、τ=t-t0とおくことで新しい関数要素(P_t0(τ),Q_t0(τ))が得られる。
　これを(P(t),Q(t))の直接接続と呼ぶ。
(e)関数要素全体を、(c)の同値関係で類別して得られる同地類全体の集合をＳとする
(f)(P(t),Q(t))の直接接続の同値類がなす集合をp=[P(t),Q(t)]∈Ｓのρ近傍と定める。これによりＳは位相空間となる。
(g)Sの連結成分を解析的形成体と呼ぶ

補題：P(t)が定数でない関数要素(P(t),Q(t))は、以下のいずれかの形の関数要素(z(τ),w(τ))と同値である
（１）正整数mと複素数ｃがあって、z=c+τ^m、w=Q1(τ)
（２）正整数mがあって、z=τ^{-m}、w=Q1(τ)

解析的形成体は可能な限り解析接続継続していきリーマン面を作るという思想でリーマン面を表現したもの、とのことですが
具体的にどう対応しているのかがわかりません。
補題を見ると、P(t)の方は座標に対応していて、Q(t)の方は解析接続を行う関数に対応しているのかなという気もするのですが
(a)-(g)の解析的形成体の定義ではP(t)とQ(t)が対称に見えるので、PとQのどちらかが座標でどちらかが解析接続を行う関数という訳でもないのかなという気もします。

大まかな方向性でもいいのでアドバイスいただければと思います。

しらないが
P/Q　= z/wとなるやつだろ
(c+τ^m)/Qとかが候補

解析接続はおおまかにわかってるつもりだけどこんなのは初めてみたな
どれであってもべき級数τが出てきてたのか? じぶんが忘れただけか

スキームの剰余体について教えてください

スキームの剰余体はスキームの点xに対して構造層の茎O_{X,x}の剰余体として定義されると思いますが、
スキームの点とは、底空間である位相空間の元とZ値点のどちらになりますか？
ザリスキ位相との対応を考えると前者のように見えますが、幾何的点における剰余体を考えると幾何的点は後者なので後者のように見えます

>>148
リーマン面はどちらが座標とか関数とかはない
分岐がある関数では逆関数でリーマン面を描く必要がある
そういうわけで両方向から見てリーマン面を描く

>>152
そうなんですね
複素平面を繋げたものがリーマン面というよりは、関数で表される曲面自体がリーマン面というイメージなんでしょうか

根に持ってるコンプレックス二次元

ガロ
阿呆理論

>>153
関数のグラフ曲面自体だね
x軸もy軸も忘れて

n∈N、f:Rn→Rが連続で、A=｛x∈Rn ｜f(x)≠0｝で定義されるRnの部分集合AはRnの開集合であることを示せ。

また、B、CをRnの閉集合とする時B∩CはRnの閉集合であることを示せ。



お願いします。

お願いしますってなんだよ
(1) 連続写像の定義を思い出す
(2) 閉集合の性質を思い出す
これだけの話だと思うが

>>157
閉集合の定義は人によって違うから書いて

R - {0} が開集合てとこから証明するんかね

RとR^2の濃度が等しいことって選択公理必要？
RからR^2への全射は作れるんだが

全単射が作れるじゃん
有理点以外は小数1つ置きで全単射だし
有理点は可算で全単射

R〜(0,1) 開区間
(0,1)の2つの元を小数展開して交互に組み替えてやれば(0,1)^2から(0,1)への単射が作れる
よってR^2からRへの単射が作れる
RからR^2への単射はふつーに作れる
ベルンシュタインの定理に選択公理は必要ない、したがってR^2とRが対等であることは選択公理なしに証明可能

0.391949...の扱いが難しい気がする

>>161
(0,∞)＼Q=Sとおいて
S×S≡SはS×Sの成分のそれぞれの十進数表示を互いに組んで一つにすれば良い
S≡RはQ'=Q+√2、T=S＼Q'として
S=T+Q'、(0,∞)=T+Q+Q'
を考えれば良い

理解した
ありがとう

>>165
|Q|=2|Q|って選択公理使わず証明できる？

「単調収束定理」の主張において，正値であっても単調でない確率変数列では結論が成り立たないことを，例を挙げて示せ．

なお、単調収束定理は

確率変数 X_n (n=1,2,...) に対し、
X_n が非負値で、かつ X_n が単調増加ならば
lim_{n→∞} E[ X_n ] = E[ lim_{n→∞} X_n ]

全く思いつきません...どなたかお願いします

>>167
この場合の分子分母に辞書式順序入れてf:Q→Nを
f(x)=#{y | y≦x }
とすればいい

>>168
[0,1]のルベーグ測度で
Xn(x)=max{ 6n^3x(x-1/n),0 }
でいいやろ

https://i.imgur.com/xDZqMVY.jpg
初歩的な質問だったらごめんなさい
この�堵(z)F_n(dz)というのはどういう計算なのでしょうか？
ルベーグ積分というやつですか？

>>169
なるほど
さんくす

>>171
そうだねルベーグ(スティルチェス)だね
でも多分前の方に定義は書かれてるんじゃないの？離散型と連続型を区別せず統一して書いてるだけでg(x)F_n(x)の積分(和)でしょ

俺はスティルチェスが発音できない！

捨てるゲーム
捨てるチェス

なるほどー

コンウェイ安らかにお眠りください

イデアルの指数関数は考えられますか

当然

n≧2、Aをn次複素正方行列とする
A^(n-1)が対角化不可能、A^nが対角化可能であればA^n=0となることを示して下さい

位相空間論の同相によって"遺伝"する性質としない性質の違いについての研究って何かありますか?

>>180
Aによる作用でn次元ベクトル空間をR=k[x]加群とみなしたものをMとおく
S=k[x^(n-1)]、T=k[x^n]とおく
Mの直既約成分にR/(x-a)^i (i≧2, a≠0)が有ればMがT加群として完全可約である事に反するのでそのような直既約成分はない。
もし一つでもR/(x-a) (a≠0)となる成分をもてば全ての成分はR/(x)^i (i≦n-1)の形かR/(x-b) (b≠0)の形となりMはS加群として完全可約となるのり仮定に反する
以上により全ての因子はR/x^iの形であるがi=nであるものがなければやはりMはS加群として完全可約となり仮定に反する

そんなに難しく考えなくても、
ジョルダン標準形のべき乗と（加法的）ジョルダン分解の一意性を使えばいいんじゃないの？

>>183
まぁそうだけどこのジャンルやってる人間にとっては正方行列の作用でk[x]加群作るのは定石
ちなみにjordan理論も既約k[x]加群が代数的閉体上の既約加群がk(x)/(x-a)^iの形をする事に対応してる
なので上の証明はまさにjordanの理論を加群の理論で書いたに過ぎない
この読みかえは定石中の定石だから、それをわざわざもう一回jordan理論に戻す意味もない
もちろん一回生レベルの話に落とし込めるのはメリットかもしれないけど、まぁ意味ないね

>ちなみにjordan理論も既約k[x]加群が代数的閉体上の既約加群がk(x)/(x-a)^iの形をする事に対応してる
と書くあたり、jordan理論に戻す意味もない訳ではないことを認識してると思うけどな

同じことだけど加群の言葉は少し難しいからな
天与の標準形で行列計算した方がわかりやすい学部生も多そう

>>181
位相空間論は同相で変わらない性質のみを研究する
同相で変わってしまう性質があれば、それはもはや位相空間論ではない
普通、遺伝的といった場合、部分空間に対して同じ性質が成り立つことを言うはず

>>187
完備性は遺伝しないから一様同相って概念があるだろ

>>188
まず性質と構造の区別をしておく必要がある
距離構造や一様構造は位相空間上の構造であって性質ではない
つまりその話は同相で距離が保たれないものがあるという話と本質的に同じ

もしかして元の質問は性質と構造の違いについて聞きたかったのか

位相不変量の話じゃないの？

研究ってレベルじゃない、てーのが答

>>190
んじゃ、性質と構造の定義もしくは違いは?

>>190
何だ。こいつ消えたの?
こんな奴の下らん言葉遊びに付き合わせられたってワケか…

ある数学的概念に対してその定義に使った構造のみで書ける条件はその概念の性質で、他の構造を追加して書いた条件は(付加)構造もしくは新たな概念に対する性質と見なされる
(数学的概念は構造の追加によって下部から上部へ階層化されていることが多く、どの階層から見るかでこの区別は変わる)

線形空間論において内積やノルムは構造、次元は性質
環論において付値は構造、局所性やネーター性は性質
位相空間論において距離は構造、距離化可能性は性質

最後の例のように「ある構造が入るかどうか」自体は性質になることがあり混同されることもある

>>195
あ〜、完備性って言ってる時点で、単なる位相空間だけじゃなしに、距離関数の存在までをも含めて言及してるから、それを位相空間ってレベルで捉えるなっていいたいのか
でも結局はそれは完備性って言葉に噛みついただけか。

でもそれだと、俺の最初の質問の答えになってないし、｢同相で変わってしまう性質は位相空間論の対象では無い｣は答えになってないというか
どこまで言及すれば同相でも変わってしまうのか、どの程度まで言及を抑えておけば同相で維持出来るのかの境目辺りを知りたいって疑問には未だ答えになってない
というかこれは数学基礎論の話になってしまうのか?

つまり、>>195の理解に立てば、言及が構造にまで及べば同相で遺伝させれない例(完備性)が出てくるって言いたいわけだ

遺伝遺伝言ってるけど遺伝って言うか？

同相写像は開集合を開集合に、閉集合を閉集合に写し、位相的構造を保つ。つまり、位相空間としての性質（コンパクト性、連結性など）を一切変えない。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/位相同型


これが全てでしょ
完備性が位相空間としての性質として扱われてない理由は、自分で書いてるから分かるだろう

>>196
位相(あるいはそれより下部の)構造の言葉のみで書かれた条件が同相写像で保存されるのは当たり前で、それは条件の言明を見ればただちにわかる
一方で、付加構造の言葉で書かれた条件が任意の同相写像で保存される(位相不変である)かは自明ではない
しかし、そういう条件があったとしても結局それは位相(あるいはそれより下部の)構造で記述出来てしまうというのが歴史の示唆するところ
というか、位相不変であることを示すとなるとそれが位相の言葉で書けることを示すパターン以外になさそう…
これは常にそうなりそうな感じはするけど、確かに基礎論的に定式化する必要があるかもね

>>200
位相不変な性質である時点で「付加構造の取り方によらないwell-definedな性質」として位相の言葉で語れてないか
もちろん自明な付加構造を取れる必要はあるけど

距離から導かれる位相が同相なら完備性も同じって証明できなかった？

>>202
Rと(0, 1)は同相だけどRは完備で(0, 1)は完備じゃない

>>201
超越的にはそうだけどその条件を位相の言葉で記述しきること無しに位相不変性が示せるんだろうか
仮に超越的に示せたとしてそれが位相の言葉でどうやっても記述出来ないことは可能性としてはある(ないと思いたいが)
それと自明な付加構造が入らない場合も多いから、その場合も考えたい
まあ、この場合は病的な付加構造を与えて位相空間のクラスを厳しく制限することで位相的に記述できないが位相不変になるような条件が作れるかも

>>202
そんなことはない

>>204
無知で申し訳ないんだけど、「超越的」っていう用語があったりするの？
それと>>201のどこで位相の言葉以外を用いているか教えて

>>205
超越的は「〜を満たすもの全てを集めてその共通部分をとる」みたいな構成とか存在定理のようなものを経由して示されてることのイメージで使った(用語ではないけどたまに使われてると思う)

なるほど、言いたいことがわかった
「任意に1つ(その付加構造)を入れて、そこで(その条件)を満たす」てのを条件と考えれば付加構造自体は量化子で束縛されてるから文として位相的記述になってると見なすべき、ということか

量化子で束縛は謎すぎ撤回、自明な付加構造を選べばいいか
その上で記述すれば自明な付加構造は位相的に記述されてるはずだから良いのか

自明な付加構造を持ってない状況だと位相不変な条件が位相的に記述できるかは明らかじゃないよね？

高級な言葉で煙に巻こうと必死になってて、自分でも何言ってるかよくわからなくなってるんじゃないですか？

まあ数学的な議論というよりはお話だからそう言われても仕方ないが、煙に巻こうなんて1ミリも思ってないよ

>>206
超越的は初めて知ったわ
さんくす

大方言いたかったことが伝わったみたいでよかった
簡単のために構造と付加構造として集合と位相空間を考えると、位相空間に定義される性質(命題)Pが集合に対して不変っていうのは
∀A∈Set,∀O,O'∈{Aの開集合系},P(A,O)⇔P(A,O')
ってことだと思う
で、このときAは離散位相をもつから
∀A∈Set,∀O∈{Aの開集合系},P(A,O)⇔¬∀O∈{Aの開集合系},¬P(A,O) (※)
ゆえにAが性質Pを持つことは
∀O∈{Aの開集合系},P(A,O)
とか
∃O∈{Aの開集合系},P(A,O)
とか表せると思う
ただし位相と距離だと{Aの距離関数の全体}が空の場合があって(※)の辺りからが上手くいかない
みたいなことを言いたかった

>>203
なるほどー　納得

哲学論争みたいで萎える

>>212
学部受験数学でイキリ立ってる方がド変態なんやで

イキリ勃ってのはてめえの息子だろ

>>213
理論そのものの話じゃ無いからさ

>>214
横から済まんがもう随分と勃っていない

おじいちゃんがいますね

みんなそうなる

RとRのZ上のテンソル積は、Rベクトル空間として有限次元ですか？

>>219
RはZ加群としてQの非可算直和らしい(選択公理必要？)から非可算次元になりそう

>>219
は？dim_Q Rは何だ？

そうやね dim_Q R と同じ次元やね

いやまて勘違いだ

R 上で 1⊗0 と 0⊗1 から生成できるから 2次元だな

>>223
R otimes R over Z = R otimes R over Q = R otimes Q^dim_Q R =R^dim_Q R

>>224
√2 otimes 1 ≠ 1 otimes √2

>>224
それ零元

>>219
無限次元だろう

ベクトル空間構造左右で違うから注意な

>>227
自分でも気がついて己の馬鹿さに絶望した！
大体、Z上のR⊗RのままじゃRベクトル空間でねーじゃん
自然な定義も一意じゃねーし(>>229)

>>230
Rベクトル空間だがよ

右か左か、どっちのことを言ってんだ？

テンソル積は有限次元だろう。
違うかい？

ちがう

>>232
右も左もRベクトル空間の旦那様

>>229 の意味を分かってねーだろ

>>236
それ俺が書いたんだがよ

左手系と右手系

分かってなくて書いたんか

>>239
は？>>226も俺だが？

で、何が分かってるの？

>>241
右と左でベクトル空間の構造が異なるから注意してなってことだけど
君こそ何書いているのか理解してないんじゃ無いの？

なるほど、その意味が分かってないのか

>>243
しょーも無いな

右と左の定義は？

いや右手系と左手系だって言われたら2ch〜5chで尋ねる前に検索しなさいよ

右手系 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A6%E6%89%8B%E7%B3%BB
理系各分野にて右手系を正系とする事から左手系について専用ページ分けせず同項目で一括言及としている

右手系と左手系の話ではない

空間の向きじゃなくて作用の話だろ……上から目線で的外れな指摘って恥ずかしいやっちゃな>>246
*をテンソル積としてr(a*b)=(ra)*bと(a*b)r=a*(br)は異なる(整数倍では一致)ってだけでしょ

>>245
右に有るRと左に有るRてだけ
別に右左で無く1番2番でもイイが？

>>246
>いや右手系と左手系だって言われたら2ch〜5chで尋ねる前に検索しなさいよ
R otimes R otimes R
ならどう言うつもり？

大体1次元方向に伸びるだけでなくても良いわけで
Rの積が可換だからグラフのノードにR置いて
辺で（Z上の）テンソル積とかでもイイ

ループあってもできるの？

繋がり方は関係ない
識別できれば良いから1次元で充分

Z/4Z×Z/6Z×Z/9Zの指数3の部分群の個数の求め方を教えてください。
あと、群論を独学しているのですが、演習不足で中々定着しません。おすすめの演習書あれば教えてください。

>>254
G=Z/4Z×Z/6Z×Z/9Zの指数3の部分群はHom(G,Z/3Z)の0でない元と一対一に対応するから、その数は#Hom(G,Z/3Z)-1
ここで
Hom(G,Z/3Z)
= Hom(Z/4Z×Z/6Z×Z/9Z,Z/3Z)
= Hom(Z/4Z,Z/3Z)×Hom(Z/6Z,Z/3Z)×Hom(Z/9Z,Z/3Z)
= {0}×Hom(Z/3Z,Z/3Z)×Hom(Z/3Z,Z/3Z)
となる
一般にnが3の倍数でなければHom(Z/nZ,Z/3Z)={0}
n=3mの時には短完全列
0→Z/mZ→Z/nZ→Z/3Z→0
にHom(〜,Z/3Z)をヒットして得られる左完全列
Hom(Z/3Z,Z/3Z)→Hom(Z/nZ,Z/3Z)→Hom(Z/mZ,Z/3Z)
の最後の→は0写像になる(∵Z/mZの生成元は3+mZ)
故にnが3の倍数のときはHom(Z/3Z,Z/3Z)とHom(Z/nZ,Z/3Z)は同型になる

再帰的定義って集合論的にどうやってるの？
例えば加法N×N→Nを定義する時にm+nを
m+0=m
m+s(x)=s(m+x)
とやるけど、これで何で({m}×N)×Nの部分集合が定義できるのか分からない

>>256
公理的集合論の外のと中のがあるけど
中のは置換公理か何か使うんでしょ

>>256
m+ := { (m,n,k)∈({m}×N)×N | m+n=k }　⊆ ({m}×N)×N
じゃアカンの?

>>257
そんな感じのアレか

>>258
m+の定義に+が使われてるけど俺が分からないのは写像+:N×N→Nの存在をどうやって証明するかというところ

増大部分関数列{(m,0,m)}⊂{(m,0,m),(m,1,m+1)}⊂{(m,0,m),(m,1,m+1),(m,2,m+2)}⊂... の和集合とか？
プログラム意味論での再帰関数の定義は、そんな感じだった

>>259
こう書けばいいか？

mを任意の自然数とする。
数学的帰納法の定理より、plus_m:N→Nが一意に存在して、
plus_m(0)=m
plus_m(S(n))=S(plus_m(n))
が成り立つ。
(mに応じたplus_mの存在が単なる存在ではなく、一意に存在するから、選択公理を使わずして)列(plus_m)_{m∈N}が取れる。

+:N×N→Nを(m,n)→plus_m(n)
で定義すれば良い。

同一のことだが、こうとでも書けるかな

上述の一意存在により、
PLUS：N→(写像：N→N)　を　m→plus_m で定義出来る
+：N×N→N　を　(m,n)→PLUS(m)(n) (=plus_m(n)) で定義すれば良い

全く同一のことだが、
+ ：= { ((m,n),k)∈(N×N)×N | plus_m(n)=k }
と定義すれば良い

合ってるか分からないけど

a_0=a,a_{n+1}=f(a_n)となる列(a_n)を定義する
これには任意のn∈Nに対して(x^n_m)が一意的に存在して(((x^n_m)が長さn+1の有限列)∧x_0=a∧(m<n→x^n_{m+1}=f(x^n_m)))が成り立てばa_n=x^n_nとして定義できる
以下上記の条件を∀n∈N,P(n)と書く
(x^0_m)はx^n_0=aとしてP(0)
P(n)ならば,m<=nに対してはx^{n+1}_m=x^n_m,m=n+1に対してはx^{n+1}_m=x^n_nとしてP(n+1)
よって数学的帰納法により∀n∈N,P(n)が示せた

後ろから2行目x^{n+1}_m=x^n_nはx^{n+1}_m=f(x^n_n)のtypo

数式のマナーとして、添字が先、冪乗が後
もうこの時点でイラついたわ

>>266
べき乗ではなく右上の添字です

みにくい
二重数列 x[n, m] でええやん

>>267
表記上の話じゃ
で、断りもない冪乗の添字使ってる時点でお前は死ね
お前みたいな相手側の理解に頼った表記する奴は死ね

>>260
その証明だと{(m,0,m)},{(m,0,m),(m,1,m+1)}...という列の存在を仮定していて、その列は再帰的に定義されているから循環論法に陥る
>>261
数学的帰納法は自然数に関する1変数述語Pに対してP(0)かつ∀n∈N,P(n)→P(n+1)ならば∀n∈N,P(n)というものであって、最初の質問は帰納的定義をこの数学的帰納法のフォーマットで記述する方法を教えてっていうものだと思ったんだけど
>>268
確かに

>>267
全然問題ないよ

>>270
絶対何らかの形で置換公理使うと思うな

>>272
ああなるほど
「列」の定義に写像であることが含まれているから関数クラスを定義するだけではだめで、写像として定義するためには確かに置換公理が必要っぽいね

公理的集合論のあまり厚くない本でおすすめはありませんか？

自分より頭の悪い奴が相手は理解してないんじゃねって思い込んで分かりきったことを一々説明してきた時って、心から死ねって思うな

>>256,259
返事は無いんか？

>>255
助かりました、ありがとうございます。

些細なことにイラつく奴が数学できるんか？

>>276
>>261の「数学的帰納法の定理より、plus_m:N→Nが一意に存在して、」が分からない
集合{0, ..., n}か不等号のどちらかを使うと思うんじゃないかと思うけど、そいつらはどうやって定義する？
自然数がs(a)=a∪{a}みたいに具体的に定義されていれば{0, ..., n}はs(n)のことだからいいけど
ペアノの公理から存在はいえるんだろうか

×使うと思うんじゃないかと思う
○使うんじゃないかと思う

>>268
よく考えたら(x^n_m)を二重列として扱うのはダメだから二重列の表記は不適切だ
二重列として扱うためには二重列を帰納的に定義する必要が出てきて循環論法になってしまう
飽くまでも「各nに対して有限列が一意的に存在する」という形で述べる必要がある

>>279
>自然数がs(a)=a∪{a}みたいに具体的に定義されていれば{0, ..., n}はs(n)のことだからいいけど
そもそもNを定義するための公理的集合論の論理式はあるのかな？
もしかしたら無いんじゃない？
本質的に公理的集合論の外側で話を進めるべきということでは？

そもそも論理式は可算個しかないので
定義できるのも可算個だけ
個々の自然数は全部定義できるけど
その全部
という言い方ができるかどうかがそもそもの疑問でしょ？
なら自然数全体だって定義できないのかもよ

>>282
ZFなら無限公理からごちゃごちゃやってNの存在が証明できる

>>281
えっ
じゃあ結局>>264は間違ってるの？

>>285
「各nに対して有限列が一意的に存在する」という形で述べてるから間違っていないはず

>>286
なら「各 n に対して有限列 x[n, m] が一意的に存在する」でええやん
添え字を分けるのと第一成分を固定するのと何が違うの？

>>287
ニュアンスの問題といえばそうだけど、x[n, m]はN×N→Vの元のxという対象の(n, m)成分を表す記号であって、N→N→Vのようなものの元を表す記号としてはx^n_mの方が適切だと思う
確認だけど中身は読んだ？

>>288
中身は読んでない
二重数列に違和感があるのなら、 x[n][m] とすればいい
添え字を分ける表記の正当性は示されていない
x[n, m] がそのように定義されるというのなら、 x^n_m はどのように定義され、
それらはどのように違うのか述べよ

>>289
というか n に依存して列が決まるなら、
x[n](m) とか x[m](n) とかでもいいよね

>>284
ふーん
勉強できるような資料がネットに転がってませんかね？
Nが作れるんなら何とかなりそうな

ウィキペディア見れば充分

>>279
>「数学的帰納法の定理より、plus_m:N→Nが一意に存在して、」が分からない
松坂和夫｢代数系入門｣327ページで、X=N、x_0=mとしてそのまんまの証明が載ってる

他にも解答してる人居るけど、俺の解答が一番的確だから。

>>289
ここでの(x^n_m)という書き方自体が略記なのでここにおける意味ではなく本来の記号の意味を説明すると、x^n_mはN→N→Vの元のnにおける値のmにおける値を表す記号
N×N→VとN→N→Vは集合として異なるのでその元は一般に一致しない
そもそもZFCで関数クラスを構成するのは好ましくなく関数記号も扱いが面倒なので、本来は略記を用いずより厳密に「任意のn∈Nに対して(x^n_m)が一意的に存在して」の部分を「任意のn∈Nに対してxが一意的に存在して」の形で書いて、「x^{n+1}_m」などを「n+1に対して一意的に存在するxの第m成分」などと書くべきで、記号を改めるなら冗長だけどこっちの方がまだいい
慎重な議論のためにある程度慎重に記号の使い方を選んでいるので批判するなら中身を読んだ上で批判をしてほしい

>>294
>ここでの(x^n_m)という書き方自体が略記なのでここにおける意味ではなく本来の記号の意味を説明すると、x^n_mはN→N→Vの元のnにおける値のmにおける値を表す記号

それをちゃんと書かなきゃダメじゃん
結局みにくいことに変わりはないんだから、「その意味で x[n][m] と書く」と一言書けばいいのでは？
人に伝えたいなら読みやすく

>>295
とりあえず一度中身を読んでから話を聞く

っていうか、松坂の代数系入門の326ページからはペアノの公理をスタート地点としての厳密な定義(自然数の体系の一意性、和積の定義、整数の定義)がされてる
質問者は恐らくこの辺りやってないだけ。2週間もあればきちんと理解出来るぞ

厳密な、自然数→整数→有理数→実数→複素数　の構築は素朴集合論でいける
ZFで、集合論の公理→自然数　の構築がされる

>>296
中身には興味ない
俺はみにくい「証明」は読まないことにしているので

>>292
>ウィキペディア見れば充分
どこ？

>>297
>松坂の代数系入門の326ページからはペアノの公理をスタート地点としての厳密な定義(自然数の体系の一意性、和積の定義、整数の定義)がされてる
探してみよっと

>>297
>松坂の代数系入門の326ページからはペアノの公理をスタート地点としての厳密な定義興味有るのはZF内での自然数全体Nの定義
ここに書かれてる厳密性っていうのは
ZF内で自然数を厳密に定義したのを「全部集めて」っていうのではないんですよね？

>>302
まぁ、人様に質問させて頂くんなら、それなりの言葉遣いあるからな
お前みたいな奴に答える気は起きんわ
んじゃ

f(x + y) = f(x) * f(y)
f(1) = 10
を満たす関数はg(x) = 10^x以外に、無数に存在することを示せ。

>>256
の質問って下の質問と関係ある？


ある本に、関数f : N -> Nを
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≧ 2)
と定義するというのはおかしいと書いてあります。その理由は、これから定義しようという関数f : N -> Nを使ってfの値を定義しようとしているというものです。
そのかわり、関数f : N -> Nで
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≧ 2)
を満たすものが存在することを証明しています。

なんだか分かったような分からないような気がするのですが、上に書いたことは正しいのでしょうか？

1115
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>305
体系外で把握出来ることを体系内に式として表して把握したい、っていう要望か
こういうのは厄介な式変形だったり集合操作で把握するのにちょっと時間掛かるが出来るな

フィボナッチ数列では前の2項を使って新たに値を定義するけど、
ZFC集合論だと、もっと一般に、それまでの値全部を使って現在の新たな値を定義出来るっていう定理もある

>>291
確かここにNの存在の証明があったはず
https://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042
https://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/09/100000

>>303
あーらら
まあ読めば分かるから探してみよっと
>>309
サンクス

>>309
ありがとう
これでNが定義できてますね
たぶん>>297で紹介してくれている
松坂の代数系入門のp326〜もここに書かれているようなものなのだろうなあ
そちらにもありがとう

大体を言うと
後継者a+=a∪{a}
空集合φを含み含んでいる元の後継者を含む無限集合が存在するので（無限公理）
その中で一番小さいものを決めるために分出公理（置換公理の単純版）を使う
そうして得たものが1つしか無いことを証明する
ということなのね

>>305
おかしいというものではないよ
ただ
公理的に考えなくてはならないという前提での質問なら
後者の方がスッキリする
前者も特に問題はないはずだが
公理的に示すのは面倒そう

パターン1つの使い回しで充分

>>314
えーっと、足し算のケースは上で解決済みだけど、>>313はどうやって解決すんの?
示してみ

>>314
あれ？パターンだから>>313も同じで良いんじゃねぇの?
お前自分で言っておきながら答えれへんのか？
頭の状態は大丈夫か?

>>297
p.327の帰納的定義の原理（定理1）って難しいですね。

p.328のB'' := B - {(σ(k), z)}が条件(a), (b)を満たすことの証明は以下であっていますか？

(a) (0, x_0) ∈ Bである。また、p.326の公理N2により、0≠σ(k)であるから、(0, x_0) ≠ (σ(k), z)。∴(0, x_0) ∈ B''である。

(b) (n, x) ∈ B''であるにもかかわらず、(σ(n), φ(x)) ∈ B''でないと仮定する。(n, x) ∈ Bだから(σ(n), φ(x)) ∈ Bである。
∴(σ(n), φ(x)) = (σ(k), z)でなければならない。p.326の公理N1により、σは単射であるから、n = kでなければならない。
∴(n, x) = (k, u)でなければならない。すると、(σ(n), φ(x)) = (σ(k), φ(u)) = (σ(k), z)となってしまうが、これはφ(u) ≠ zである
という仮定に反する。

>>315
解決済みなの？

答える気を亡くさせるのがうまいな

無く、じゃなくて、亡く、か…

(-人-)南無…

>>317
その本の証明をちょっと確認したけど、Aに"余分な列"が入っていたら取り除いたとしても依然(x0,φ)集合のままであるが、
Bの最小性を考えると、"余分な列"は存在し得ない　っていうロジックだな

>>317
はあっていますか？

松坂和夫著『代数系入門』の付録を読み終わりました。謎が解明されたという感じは全くせず、ただ責任を公理に添加しただけという感じが拭えません。
ただ、帰納的定義の原理は、これがあるとスッキリしますね。

>>317
>∴(n, x) = (k, u)でなければならない。
なぜ？

>>323
>ただ責任を公理に添加しただけという感じが拭えません。
どういう意味?

>>323
てか確かペアノの公理だけでは加法の構成はできなかったんじゃなかったけかな
で、加法の存在だけ仮定したプレスバーガー算術とか加法と乗法の両方の存在仮定したロビンソン算術とかあったと思う
その辺の細かい話は基礎論専攻するつもりでない限りはこだわりすぎない方がよさげ

なるほどなるほど

そのモヤモヤした感情の原因は、松坂の代数系入門の付録に載ってる公理は、素朴集合論を前提としたペアノの公理だから、かもな
ZFCの公理を見せず、集合操作を直観的に行ってる当たりに、公理的議論をしてる感じが伝わってこないってことかもしれないんじゃね？

>>327
松坂のそれ見たいなあ
どこかに落ちていないかしら

>>328
13dlって知ってる?ｗ

島内剛一の数学の基礎はおすすめでしょうか？

>>329
知らない

>>331
検索すら出来ない無能はもうダメだこりゃ

>>330
>島内剛一　数学の基礎
おすすめ
心して完読せよ

>>333
ありがとうございました。読んでみます。

>>332
知ってる？って質問に知らないと答えてこれはなぁ

>>332
盗人猛々しい

検索する気もなくなった

(Z/8Z×Z/8Z×Z/3Z)/(Z/4Z×Z/4Z×Z/3Z)はZ/2Z×Z/2Z×｛1｝すなわち(Z/2Z)^2に同型である、という議論は可能ですか？
具体的には次の2つが可能であるかどうか知りたいです。
・(Z/6Z)/(Z/2Z)がZ/3Zに同型である、といったような通常の分数の割り算を思わせる計算。
・直積を分けて考えること。上の例では(Z/8Z)/(Z/4Z)がZ/2Zと同型、(Z/8Z)/(Z/4Z)がZ/2Zと同型、(Z/3Z)/(Z/3Z)が｛1｝と同型、よってこれらの直積を取って(Z/2Z)^2に同型であるという議論をした。
出来る場合と出来ない場合がある時はどのような時に出来てどのような時に出来ないのか教えてください。よろしくお願いします。

>>304
RをQベクトル空間と見て1の生成する所以外は適当なべき乗でに

環上の加群で極小な生成系をもたないものはありますか？

ワイ数学科、数学が分からない
https://swallow.5ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1599300107/

>>340
極小な生成系というのがよくわからないけど
例えばQ上の代数Aを非負の実数でパラメトライズされた基底Xaてはられるベクトル空間にに積をXaXb=Xa (a≦b)で定めた代数としてMをその極大イデアルとする
この時集合SがMを生成する
⇔∀a>0∃b>a Xb∈S
だから“極小な生成系？”はない

定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。

定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。

定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。

>>342
SがMの極小な生成系である⇔SがMを生成し、任意のSの真部分集合はMを生成しない
のつもりです
Aは単位的でない環のようなので極大イデアルをもたないと思うのですが

>>344
不等号逆だ
XaXb = Xb (a<b)
X0が単位元
m=<xa | a>0>
が唯一の極大イデアル
SがMのgenerator ⇔ inf{ a | Xa∈S } = 0

>>345
その場合{Xa+X{2a}| a>0}もMを生成するので同値が成り立たないと思います

>>346
Xa+Xb=Xa(1+Xb)
で小さい方で生成される

君ら、逆行列が存在する条件ってちゃんといえる？

>>348
行列式で？階数で？

諸々の条件とかをエスパーする問題じゃないの？

>>349
何でもいいよ

正方行列は外せないな

もはや満身創痍どころかゾンビ

独り言も気持ち悪いな

uを全順序集合とする。v⊆uとする。
ｖはuの共終部分集合の定義は↓のどっちですか？
・∀x∈u∃y∈v ( x≦y )
・∀x∈u∃y∈v ( x<y )

>>355
https://i.imgur.com/WNfuu6u.jpg
の(1)と(2)の同値性を見ると、
定義では
・∀x∈u∃y∈v ( x≦y )
だが、同値性の証明には
・∀x∈u∃y∈v ( x<y )
が必要に見えるのだが?

その資料て極限順序数しか考えてないね

>>357
そもそも共終数ってのは実際上は極限順序数しか考えないもの。
でも定義上は一般の順序数で考えてる

ちなみに、書籍は｢公理的集合論｣(田中尚夫)

ｐ123 https://i.imgur.com/WNfuu6u.jpg
ｐ124 https://i.imgur.com/pteSkJz.png
例4の ∀α＜アレフ1 [ v-f''α≠φ ] (p124)って言う議論は
・∀x∈u∃y∈v ( x<y )
という性質を使ってるとしか思えないんだが。

・∀x∈u∃y∈v ( x≦y )
だと、≠φっていう結論を出せないと思うんだが

>>355
どっちでんよか

共終の概念は ≦ の方だな
証明は極限順序数だけで成り立つと明記すればいいだけ

>>362
>>360の同値性の証明を≦のケースで出来る？

訂正
>>356の同値性

ユークリッド幾何学の1階の理論の決定可能性の証明を読みたいのですが、書籍や文献を教えて頂きたいです。出来れば日本語でお願いします。

>>363
最大がないことを使えば簡単

>>366
順序数αが極限数なら確かに分かるけど、後続順序数S(γ)の時は(1)⇒(2)は言えない気がするんだが
(S(γ)⊆∪Rng(f)が言えない…¬γ∈Rng(f)な気がする)

だから極限数しか考えてないと推察できるのさ
自力で正しい結論を出せるんだから教科書が全部正しいなんて思うなよ

定義から他の定理を援用せず直接帰結出来るような命題については大体は自分で行間埋めれるけど、
証明の行間を埋めてる時もそうだけど、｢やっぱりテキストの言う通りに理解したらおかしい気がするんだよなぁ｣とは思いつつ、
｢やっぱり俺の力では気づけていない点がどこかにあるかも｣という気も捨てきれないから、
自分の中で区切りを付けて先に進めない時が多々がある。

○○は位相空間でもベクトル空間でも軍でも何でもいい
　∀基数κ∃○○空間X |X|=κ
って一般に真?

群(G,・,e)が
∀a,ae=ea∧∀a,∃b,ab=ba=e∧∀a,b,c,(ab)c=a(bc)
で定義される代数系であるのと同様に
∀a,b,a=b
で定義される代数系も考えられる
これの台集合は一元集合に限られる

>>370
少なくとも位相空間と群は真だな
ベクトル空間だとcardinal cに対して
∃V: vector sp. |V|=c iff c;infinite or 素数冪

サンクス
何となく気になっただけです

偽であるような代数系としては体があるな
そもそも有限濃度の場合ですら素数冪じゃないとだめだし

f_1(a,0) := a
f_1(a,b+1) := f_1(a,b)+1,

f_2(a,0) := 0
f_2(a,b+1) := f_1(f_2(a,b),a),

f_3(a,0) := 1
f_3(a,b+1) := f_2(f_3(a,b),a)
によって、f_i(a,b) (i=1,2,3)を定義する。

すると、一般に
f_{n+1}(a,b+1) := f_n(f_{n+1}(a,b),a)
と定義したくなる。
f_{n+1}(a,0)は何と定義すべきか?

>>372
位相空間は infinite でも証明できんだろ

>>376
集合がなんでも離散位相で位相空間

間違えた
ベクトル空間は infinite でも証明できんだろ
だった

>>377
Xの濃度が無限ならF2係数のXではられるベクトル空間の濃度はXに等しい

2^X だろ

>>380
は？

>>379
と思うよね？

0倍は当然0にしかならんのだから、F_2係数のベクトル空間span(X)はXの(形式的)有限和全体になってその濃度はXの有限部分集合の全体の濃度に等しいのでは？
可算集合Xの有限部分集合全体の濃度は2^Xではなく可算濃度でしょ

位相空間における基底って何で濃度についての最小性が定義に含まれて無いんかな

フィルター、開集合族、イデアルetc.

単なる生成系の意味で基底と呼んでるものの方が多くね？何らかの最小性を課したい気持ちはわかるけど、なんかもう気にしたら負けかなって

田中尚夫｢公理的集合論｣の具体的な内容について聞きたいんだけど、読んでる人いないよな？

>>386
積ん読した

そういえば、なんで二重極限を定義する前に当たり前のようにコーシー列を扱ってるの？

>>388
なんの話?

メギョウ

よろしくお願いします。
http://or2.mobi/index.php?mode=image&;file=287992.jpg
上の式がキューネンの数学基礎論講義に出てくる置換公理なのですが、少し弱いと思いました。
下の論理式のように包含関係を弱めたものと同値と思って良いですか？
頑張ったんですが論理的同値が、示せなくて良くわからなくなってしまいました。

>>391
上の式合ってる？
BとしてVersus classとってくればいつでも成立してしまう気がする

>>392
http://or2.mobi/index.php?mode=image&;file=288045.jpg
あってると思います
すみませんVersus classがなんなのかわかりません
公理的集合論のモデルということなら成り立って当然なのではないのですか？

>>392
ZFCでは
>>393
分出公理(内包公理図式)を認めると
∃B'∀y(y∈B'⇔y∈B∧∃x∈A,φ(x, y))
で→が言える
たぶんだけどその本は置換公理→分出公理を言わない立場で分出公理は使ってもいいと思う

その本の置換公理って俺が今まで見てきた置換公理
∀x,y,z(P(x,y)∧P(x,z)⇒y=z)⇒∀a∃z∀y(y∈z⇔∃x∈a P(x,y))
と違うよな

>>393
その本BG流のハズ
BG流じゃなきゃそんなの成立するハズないし

良く見たら、その本、巾集合公理でも逆向きの矢印が書かれてないな
じゃあ、逆向きは部分集合公理を使えば良いって言うことなんだろうな

基礎論でどっかのテキストに書いてた文言コピペ↓
G.Boolos, [The Logic of Provability] cambride university press (1993)
　第二不完全性定理の証明が詳細

J.Barwise, [Handbook of Mathematical Logic], North-Holland 1977
入門者から専門家まで必携の読める辞典

R.Shoenfield [Mathematical Logic] Addison-Wesley 1967
基礎論の専門化を目指す人が一度は手にする最高級の教科書

あ、しまった
ZFだね

"BG流" 集合論 でググっても2chしかひっかからねえ