ちょっとした具体例の計算などは勿論必要だと思います。

また、ある程度ボリュームのある問題を1〜2週間かけて考えるという経験は重要だと思いますが、別に技巧的な問題の上手い解き方をひらめく訓練は必要ないかと。

1. Σfnがある領域上で一様収束することを示したい
2. そのために各fnを収束する定数列で上から押さえられることを示す
3. そのために各fnがコンパクト集合上の連続関数になることを示して、その最大値の数列が収束することを示す

みたいな道筋を立てて、各部分問題を正確に論ずることができれば良いと思います。
そして、それは普通に大学で演義や講究をちゃんとこなしていれば身に付く能力だと思います。