分からない問題はここに書いてね462

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね461
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/

(使用済です: 478)

>前スレ999
もう見てないかもしれんが、設定が同じなら、
前スレ1000の通り、その体感は錯覚である可能性が高い
原因は恐らく「見かけ上の幅」が違うからだと思われる
その場合、対応策としては以下のようなことが考えられる

A 環境における見かけ上の幅を測定し、それを a とする。
B 環境における見かけ上の幅を測定し、それを b とする。

(1) b = a となるように、幅の設定を調整するか、
　またはモニターとの物理的な距離を調整する。

(2) a : b = 300 : x となるように速度 x を設定する。

確率分布問題です
　ある国の大統領選に A, B の 2 人が立候補した．選挙予想をするために，有権者から無作為 に調査対象を選び出し，A, B どちらの候補者を支持するかアンケート調査をしたところ
無作為 に選んだ 300 人中 180 人が，A を支持すると回答した．
そのとき，以下の問いに答えよ
2-1. 標本比率（標本平均） x の値を以下の中から選択せよ
(1) 0.2, (2) 0.3, (3) 0.4, (4) 0.5, (5) 0.6
2-2. A の支持率 p の 97% 近似信頼区間を求めよ
(1) [0.5445628,0.6554372], (2) [0.5386231,0.6613769], (3) [0.5271397,0.6728603],
(4) [0.5010192,0.6989808], (5) [0.4916005,0.7083995]
１ばんめは0.6と分かります
２ばんめがわかりません

あるいは、「余白」と幅の比が違うことが錯覚の原因かもしれないな
A 環境では高さ 53cm の内、幅は 25cm だから、余白は 28cm
この比が他の環境でも同じになるように幅を調整すれば良いかもしれない
例えば B 環境では高さ 39cm だから、幅を x cm とすると余白は 39-x cm
この比が同じになるようにするためには、
25 : 28 = x : (39-x) を解いて x = 975/53 ≈ 18.396 cm ってとこか
プレイしやすいかどうかはわからんが

前スレ 展開図上に描かれた円が円錐で云々の件

展開図の円弧角: Θ’
円錐角(軸と母線の角): Θ とすると
・( r*cosθ, r*sinθ ) → ( r*sinΘ*cos(2πθ/Θ’), r*sinΘ*sin(2πθ/Θ’), r*cosΘ )
・Θ’ = 2π sinΘ 　{∵ 扇形でのΘ’ が円錐での一周に相当}
よって2次元→3次元対応は
( x, y ) → √(x*x+y*y) * ( sinΘ*cos(atan2(y, x) /sinΘ), r*sinΘ*sin(atan2(y, x) /sinΘ), cosΘ )
となる。あとは円を表すパラメータ曲線関数と合成すればよい。

例. https://imgur.com/a/LPeEo2Z
展開図の外に出た円は糊付けされた同じ展開図に描かれてると見なせば良い。
sinΘ = 1/n のときには n 枚の展開図で全象限を覆うことになる。
原点周りの1ループは 円錐では n ループとなる。

前スレ952
△PNAは2辺が5,斜辺が3√3の二等辺三角形で、等しい辺の片方は中点がMで、
△NMPにおいて余弦定理より、
NM=√｛(5/2)^2+5^2-2(5/2)5cos72°｝
NX=1+NM
=5.85021392731……

nを自然数として、以下のスターリングの公式
ln(n!) ≒ {n+(1/2)}*ln(n)-n+(1/2)*ln(2π)
が知られており、右辺は左辺の良い近似となっている。
では上式を正の実数xについて考えたとき、右辺は左辺の良い近似となるか。
すなわち{x+(1/2)}*ln(x)-x+(1/2)*ln(2π)はln{Γ(x)}の良い近似となっているか。

前>>6前スレで5.44409……とちょっと小さくなったのは、円錐の内側をショートカットしたからだと思う。それで、あ！　展開図の扇形の上で直線引いて最大値出せばいいな、と。

正方形Z:ABCDの頂点A上に駒Xが、頂点C上に駒Yが置かれている。
いまS君とT君が以下のようなゲームを行う。

『S君とT君はサイコロを振り、以下の通りに駒を動かす（S君の場合は駒X、T君の場合は駒Y）。
・出た目が3の倍数なら駒を動かさない
・出た目が3で割ると1余る数の場合、Zの反時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす
・出た目が3で割ると2余る和の場合、Zの時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす

まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
以後S君、T君、…と交互にサイコロを振り、駒を動かしていく。

相手の駒が置かれた頂点に自分の駒が到達した場合、勝利とする。』

(1)このゲームは後攻が必勝であることを証明せよ。

(2)このゲームに以下のようなルールを加える。
『T君が駒をちょうどn回動かした時点でT君が勝利していない場合、S君の勝利とする』
S君が勝利する確率をpとするとき、|p-(1/2)|を最小にするnを求めよ。

>>7
スターリングの公式はΓ(x)の漸近展開でもある
だから当然nだけでなく実数xの大きいところでの近似も与えてる

領域D1,D2の求め方がよく分からないのですが、どうやっているんでしょうか

http://iup.2ch-library.com/i/i020818799715874911279.jpeg

http://iup.2ch-library.com/i/i020818800815874011280.jpeg

>>11
その図の
y≠x^2というのは（その積分範囲では）x=√y
x+y≠2というのはx=2-y

記号の意味で質問です。集合 R とその元 x があったとき、R の右上に n ，右下に + が
ある場合、どういう意味になるのでしょうか？
https://dotup.org/uploda/dotup.org2219260.png

>>13
Rの右上にnはRをn個の直積集合。R^n={(x1,x2,x3,…xn)|x1∈R,x2∈R,x3∈R,…,xn∈R}
Rの右下に＋は正の実数全体の集合。R_+={x∈R|x>0}

>>13はこれらを合わせたものだから、つまりR_+をn個の直積集合。{(x1,x2,x3,…xn)∈R^n|x1>0,x2>0,x3>0,…,xn>0}
成分がすべて正の実数であるようなn次元座標の全体と思えばよい。たとえばRの右上に2、右下に＋ならばいわゆる第1象限を表す。

>>14
早速、有り難うございます。
やっぱ画像でも数式を提示すると話が早いですね。

提示した問題は、→　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10105842365
ですが、　私の方法では解答が違います。

30分後が34.7°なら、34.7 = 21 + Ce^-30k として Cをこの時点では確定できない数値とします。
一時間後にもう一度計測とありますが、それは午後12時30分だと思いますので、到着してから90分後
と思いました。　それなら
90分後が34.1°なら、34.1 = 21 + Ce^-90k　とし、さらにe^-kt = mとすると
13.7 = Cm、13.1 = Cm^3、　となり　m^2 = 13.1 / 13.7 となります。

ここから m = 0.977854794、　これを 0.6 = C(m – m^3) に代入すると、C = 14 となります。
それで34.7 = 21 + 14e^-ktから、t = 0の時死亡時には体温が 35°であり、死亡時間は、
初回検温時、午後11時30分より30分前の、午後11時だと思いますが、誤りがあれば
指摘して下さい。
なおYahoo解答の、死亡した人の平均平熱を36°とするなどは理解できません。

>>16
なんでt=0が死亡時なの？

>>5
円錐の上に蚊取り線香を乗っけてみた。頂点の角度は３０度×２

https://i.imgur.com/c13YyLZ.png

ある本の「2部グラフの最大マッチングと最小被覆の大きさは等しい。」という定理の証明に冗長な部分があるのではないかと思っているのですが、この定理について知っている人はいますか？

>>18
こういう作図をして円錐展開図(側面の長さが１、頂点の角度が２α）の上の点A(p,q）がどこに移動するかを計算した。

https://i.imgur.com/qOojo9N.png

どうやって検証したものか？

>>16
温度: T=T(t),　室温: u=21.0 {定数}
冷却法則: dT/dt = κ*(u - T)
dT/(T-u) = -κ * dt
∴ T(t)-u = C*exp(-κt) = C*α^{-t},　 α:=exp(κ)

{死亡時刻を 基準点: t=0 とする}
T(0)-u = 36.9 -21.0 = 15.9　{成人の平均平熱: 36.89° (←ググった)}
T(x)-u = 34.7 -21.0 = 13.7
T(x+1)-u = 34.1 -21.0 = 13.1
∴
(1)　C = 15.9
(2)　C*α^{-x} = 13.7
(3)　C*α^{-x-1} = 13.1

(2)÷(3) より α = 13.7/13.1
(2)より logC - x*logα = log(13.7)
x = ( logC - log(13.7) ) /logα
　= ( log(15.9) - log(13.7) )/( log(13.7) - log(13.1) )
　= 3.325...
　≒ 3時間20分
よって死亡時刻は
　11時30分 - 3時間20分 = 8時10分 と推定できる。
(目が腐るのでYahooの解答は追ってない)

>>17, >>21

解答に一般的な平均平熱が出て来るのは、今でも何かスッキリしませんが
ご指摘ありがとうございます。

展開図のどこに円を置くかで変わってくるな。
https://i.imgur.com/An5YvGR.png
https://i.imgur.com/sDW5Rdi.png

https://i.imgur.com/NQgdSZo.png
https://i.imgur.com/WmJCICs.png

>>22
死んだときに何度だったのかわからないんだからそこは推測するしかないだろう

>>18
中心をずらして配置すると
https://i.imgur.com/X7RuCbg.png

当然ながらいびつな形状になった。
https://i.imgur.com/V22Ce08.jpg

C_0 - C_0' = C_1 - C_1' かつ C_1' ⊃ C_0'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？

√(1-tan^2(t))の積分の解き方を教えてください。

これの0からπ/4の定積分は(√2-1)πになるらしいのですが、
公式：∫√(a^2-x^2)dx=1/2(x√(a^2-x^2)+a^2・arcsin(x/a))の公式で計算したところ違う結果になって困惑しています。

C_0 ⊃ C_0', C_1 ⊃ C_1', C_0 - C_0' = C_1 - C_1'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？

前スレ．950,958

O (0, 0, 0)
A (3, 0, 0)
B (-3, 0, 0)
M (3/2, 0, 2)
N (-3/2, 3(√3)/2, 0)
P (0, 0, 4)
とおく。

軸と母線のなす角をΘとすると
　sinΘ = 3/5,　cosΘ = 4/5,

展開図Eにおける極座標で (r,φ) の点Xは
円錐面S上ではデカルト座標で
X ((3/5)r･cos((5/3)φ), (3/5)r･sin((5/3)φ), 4-(4/5)r)

円錐面Sの全曲率 K=0 だから
　(dL)_s = (dL)_e,
　1 = L_s = L_e ≧ MX_e = √(25/4 -5r･cosφ + rr)

この条件で NX を最大にする。

連投すみません、
∫(x/(x^2-x+1)^2)dxの解き方を教えて頂けないでしょうか。
0から1までの定積分で1/27(9+2π√3)になるそうです。

C_0' ≠ C_1'とします。

>>31
なぜ存在しないと思うのか謎すぎる

簡単すぎで引っかけとしか思えんな

>>30
x-1/2 = y に変数変換

具体例を考えるって大事なことなのね

>>27
　tan(t) = x,
　t = arctan(x),
とおいたら
　dt = dx/(1+xx),
だよ。

√2 arcsin( (√2)sin(t) ) - arctan( sin(t)/√cos(2t) )


次の式で a=1/√2　とおく。
√{cos(t)^2 - aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan(a･tan(t)/√(1-aa)),
　|a|<1
森口･宇田川･一松: 「数学公式I」, 岩波全書221 (1956)
　p.204　中ほど

>>31
あえて釣られてみる
>>26の例（本当にあります）
C_0 := {1, 2}, C_0' := {2}, C_1 := {1, 2, 3}, C_1' := {2, 3}

>>28の例（本当にあります）
同上

空集合を考えれば明らかなんだけど、忖度して非自明（？）な例をご用意しました

>>34
ありがとうございます
x-1/2 = y とした判断基準を教えて頂けますでしょうか

ただの計算問題はWolfram大先生に聞けば「ステップごとの解説」でヒントがもらえるよね

>>36
ありがとうございます。助かりました。
公式に入れるためにxの次数と係数を直さないといけなかったんですね。

>>40
x^2-x+1 を平方完成

>>39
解答を確認できました。
詳しく過程を記述していただき、ありがとうございます。

>>41 Wolfram はそこまで万能ではない。
"∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))" で丸投げすると
定積分 ... = 1/2 (sqrt(2) - 1) π ≈ 0.65065
　→ "このクエリには「ステップ毎の解説」はありません。"
と出る。 (解説あったとしても無課金だと冒頭部分しか見えない)

値を表示してから微妙な間を置いて 数式 を追加で出してくるので、
数値計算の値と 内部テーブルを見比べて 1/2 (sqrt(2) - 1) π を拾ってきてるんじゃないかな。

座標平面上の点で，両座標が整数であるような点を格子点といいます．放物線 y=x2 は無限個の格子点を通ります．これに対して放物線 y=x2+√2

は格子点を通りません．

問題1　k=1,2,3,4
に対して，ちょうど k

個の格子点を通る放物線を見つけてください．(放物線の軸は座標軸に平行とは限りません．)

問題2　ちょうど 5 個の格子点を通る放物線があるでしょうか．

>>45
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
について言えば、不定積分が存在するでしょ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281-tan%C2%B2%28t%29%29+dt

無課金だと冒頭部分しか見えないのでヒントと書いたが、
冒頭だけでも続きは推測できる
上の例でいえば、∫ √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du までは無課金でも見えるので、この不定積分がわかればよくて、
大先生によればこうなるらしい
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281+-+u%5E2%29%2F%28u%5E2+%2B+1%29+du
これのステップごとの解説を覗くと（ｒｙ

>>36
の下の方の式は拙者の写し間違いでござった。
死んでお詫びを････ (AA略)

(訂正)
∫ √{cos(t)^2 -aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arcsin( a･tan(t)/√(1-aa) ),
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan( a･sin(t)/√{cos(t)^2 -aa} ),
　|a|<1


>>39
※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)t),

※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)tan(t)),
ですた。

ガウス関数に関して
f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ
f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtという
ところまではわかりました 次に進めません
∫【０→∞】e＾−x＾2dx =√π/ 2というのをつかうみたいですが

>>49
ありがとうございます

>>46
問題3
　放物線の軸が座標軸に平行なときは
　k≦2　または　k=∞
に限ることを示せ。

>>30
x - 1/2 = y
とおくと、被積分関数は
　(y+1/2)/(yy+3/4)^2 = y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
　= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4),
積分して
　-(1/2)/(yy+3/4) + (1/3)y/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (y/3 -1/2)/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (1/3)(x-2)/(xx-x+1) + (2/√27)arctan((2x-1)/√3),

0〜1 の定積分で (9+2π√3)/27 = 0.7364･･･ になる。

>>47
Wolfram大先生のヒントに従って定積分 I := ∫[0,π/4] √(1-tan^2(t)) dt を計算するとこんな感じか
まず u = tan(t) と置換すると
I = ∫[0,1] √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du
次に u = sin(s) と置換すると
I = ∫[0,π/2] cos^2(s)/(sin^2(s) + 1) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/((tan^2(s)/cos^2(s)) + (1/cos^4(s))) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/(1 + 3tan^2(s) + 2tan^4(s)) ds
最後に x = tan(s) と置換すると
I = ∫[0,∞] 1/(1 + 3x^2 + 2x^4) dx
= ∫[0,∞] 1/((1 + 2x^2)(1 + x^2)) dx
= ∫[0,∞] 2/(1 + 2x^2) dx - ∫[0,∞] 1/(1 + x^2) dx
= (√2 - 1) π/2

自然な計算かどうかは知らん

>>29
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010
のとき最大で
X ( 1.605907,　-0.884314,　1.555620)
N (-3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.918699
かな？

>>6
前スレの >>973 >>974 までは正しいけど、
>>975 以後は怪しいなぁ。
頂角 ∠NPM = ∠NPA = arccos(0.46) = 62.61289°

>>50
部分積分により
　f(x) = (x/2) e^(-xx) + (1/2)∫[0→x] e^(-tt) dt,
　f ’(x) = (1-xx) e^(-xx),
　f "(x) = 2x(xx-2) e^(-xx),
というのを使うみたいでつが･･･

pを0<p<1の実数として、表の出る確率がp、裏の出る確率が1-pのコインがある。
このコインをn枚同時に投げ、表が出た枚数を数える。これを合計k回繰り返し、m回目の繰り返しにおいて表が出た枚数をa[m | k,n]と書く。
例えば3枚のコインを2回投げ、各回で表の出た枚数がそれぞれ3枚,0枚であったならば、a[1 | 2,3]=3、a[2 | 2,3]=0である。

（1）S[n,k] = Σ[m=1,k] a[m | k,n]とする。
lim[k→∞] (S[n,k]/nkp)を求めよ。

（2）n=6mとする。2m≦(S[n,k]/nkp)≦4mとなる確率p[m]について、極限lim[m→∞] p[m]を求めよ。

>>5
動画みました。素晴らしい！記念に動画を保存しました。
これはGeoGebraで作成ですよね？

>>61
（１）をプログラム組んで推定させてみた。

> sim <- function(n,p,k=1e5) sum(rbinom(1:k,n,p))/(n*k*p)
> f=Vectorize(sim)
> n=2:20
> p=seq(0,1,0.1)
> z=outer(n,p,f)
> quantile(z,na.rm=T)
0% 25% 50% 75% 100%
0.9949167 0.9996160 1.0000000 1.0005092 1.0129500

どうやら１が答のようだな。

>>39 (自己レス)
※1 少しだけシンプルにできた。
∫ [t=0,2π] dt 1/ (1+sin²(t))
= 2 ∫ [t=0,π] dt 2/(2 + 1-cos(2t) ) = 2 ∫ [t=0,492π] dt 1/(3-cos(t))
= -2i ∫ dz 1/( 3z - (z² + 1)/2 ) = 4i ∫ dz 1/(z² -6z +1)
= 4i ∫ dz 1/((z-α)(z-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8) }
= -8π * 1/(α-β)
= -8π * 1/(-2√8) = π√2
もちろん不定積分( >>49 )を知ってるなら即堕ち計算である。

>>62 はいGeoGebraです。
周期運動と違って自由にグリグリ動かす動画は面倒だろと思ってたら、
前スレ >>991 のような画面キャプチャなら簡単だと気付きました。

>>63
グラフにしてみても１だな。
https://i.imgur.com/HjNdxyu.jpg

>>61
すみません、（2）が間違っていました。

（2）n=6Nとする。2N≦(S[n,k]/kp)≦4Nとなる確率p[n]について、極限lim[n→∞] p[n]を求めよ。

>>54
y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4)

すみません、ここの計算がうまくいきません。

以下の問題を数学オリンピックに出題したら正解率どれくらいになりますかね？

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。

>>67
すみません、確認できました。
ありがとございます。

>>68
テレンス・タオでも無理かな？

コインの問題は
試行の全体が二項分布になることを見抜けば
計算なしで出せそう

前>>8
5.8502……が最大だろう？

>>68
解ける人いないの？www

∫[-1→1] 1/x^2dx
を求める際、次のように議論して得られた値-2は正しくない。この議論のどこが誤っているか答えよ。

議論:f(x)=1/x^2とおくと、F(x)=-1/xはf(x)の原始関数であるから、次の定理を用いて、

(定理)fを区間［b,a］で定義された連続な関数、Fをfの原始関数とするとき、
∫[b→a] f(x)dx F(a)-F(b)
が成り立つ。

よって、
F(1)-F(-1)=-2と導かれた。

>>74の問題誰か教えてください！
f(x)が負の値をとらないのにどうしてこんなことが起こるんですか？

fが区間［-1,1］で連続なん違うやん

>>76
確かに！
ありがとうございました！

>>68
これエレガントに示すにはどうするんかな？
ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝﾍﾙﾀﾞｰの構造定理風に示すと面倒だけど以下のようして出来る

まず上の集合をP、下の集合をP'としておくとP'⊆Pは明らか
P⊆P'を示す
B<Aに対して、これを延長して
A_0=A'_0<A'_1<…<B<A<…<A'_k=A_l
となる鎖を作れる(有限だから)

C<D,C'<D'として
C∩C',C∩D',D∩C',D∩D'を2×2に配置したとき
向かい合う組は同時に=か同時に<の関係にあり
<の場合、その差集合は一致することが示せる
(単なる集合の計算だけど、ここが面倒)

よって(A_i)∩(A'_j)を2次元的に配置することで
差集合A-BがA_iたちのどこかの差集合に一致することがわかりP⊆P'が言える

【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {{1}, V}
P = {∅, {2}}
A_0 := ∩ L = {1}
A_1 := ∪ L = V
{A_{1}-A_{0}} = {{2}} ∌ ∅

書いてないけどA<Bの定義でA≠Bは仮定されてるはず

>>79-80
間違えました。
Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。

【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, {1}, {2}, V}
P = {{1}, {2}, V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}

>>82
失礼、 V は P に属さなかった

>>81
VとかLとか記号が物騒だな

【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, V}
P = {V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}

>>85
いや、この場合 P = ∅ か？
条件をどこで考えるのかわからんな

>>56
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010473
のとき最大で
X ( 1.60590483,　-0.88430965,　1.55562000)
N ( -3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.9187000017

>>81
>AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
>P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
C∈L？？

>>78
少し簡略化できた

A-Bの各要素はA_i列のどこかで追加される
もし追加されるタイミングの違うx,y∈A-Bがあったとすると
A_iでxとyのどちらかだけを含むものが存在する
するとB⊂B∪(A∩A_i)⊂Aとなり矛盾するので
A-Bの全要素はあるA_iからA_(i+1)の段階で一斉に追加される
このときA-B以外の要素もA_iに追加されたとすると
上の議論をA'_kに適用することで矛盾がわかるので、
A_(i+1)-A_iはA-Bに一致する

>>79-80
書き足りないところがありました。

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A, BはLの要素とする。AはBの真部分集合で、C∈LかつA⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。

円錐側面の展開図の扇形上に線分Lをひく。
展開図から円錐を組み立て、展開図上でLであった線をCとする。

(1)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cは線分（すなわち直線図形）でないことを示せ。

(2)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cが1つの平面上に乗る（すなわち平面図形）ことはあるか。

>>91
(1)
Lが展開図の扇形の中心を通るとき
Cは折れ線であるので、線分ではないが直線図形ではある。

Lが扇形の直系の一部ではないとき
背理法で示す。Cが線分であると仮定する。
Lが扇形の半径の一部でないからCは円錐の母線の一部ではない。
したがってCのそれぞれの端点を通るような異なる2本の母線が存在する。
異なる母線は頂点で交わるので、この2本の母線を含む平面αは1つに定まる。
線分Cの端点がともに平面α上にあるから線分C全体が平面α上に含まれる。
またCは円錐側面上の図形でもあるから、Cは円錐側面と平面αの共通部分に含まれる。
しかし円錐側面と平面αの共通部分は2本の母線であるから、これに線分Cが含まれることはCが母線の一部ではないことに矛盾する。


なんか終始言葉遊びしているみたいでしっくりこないけど、自明なことを示せと言われているのだからこんなものか。スマートではない自覚はある。

>>90
細かく証明を書いておく

P={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}
P'={A_l - A_(l-1), A_(l-1)-A_(l-2), …, A_1-A_0}
とおいておく
P=P'を示したい
P'⊆Pは明らかなので以下、P⊆P'を示す
A-B∈Pをとる

主張1
x∈A-B(≠φ)に対して∃! i(0≦i≦l-1) s.t. x∈A_(i+1)-A_i
∵ xはB(∈L)の要素ではないのでA_0=∩Lの要素ではない
一方でx∈A⊂A_l=A_0+Σ(A_(i+1)-A_i)(非交和)なので
どこかのiでx∈A_(i+1)-A_iである

主張2
A-Bの各要素に対して上のiは同じ値である
すなわち∃! i s.t. A-B⊂A_(i+1)-A_iとなる
∵ もし異なるx,x'∈A-Bで
x∈A_(j+1)-A_j、x'∈A_(j'+1)-A_j' (j<j')であったとする
このときB∪(A∩A_(j+1))(∈L)はxを含みx'を含まないため
B⊊B∪(A∩A_(j+1))⊊Aとなるがこれは仮定B<Aに反する

主張3
A-B=A_(i+1)-A_iである
∵ B<Aを両側に延長することで増大列
(A_0=)A'_0<A'_1<…<B(=A'_s)<A(=A'_(s+1))<…<A'_k(=A_l)
を得るが上と同じ議論によって
∃! j s.t. A_(i+1)-A_i⊂A'_(j+1)-A'_j
しかしA-B(⊂A_(i+1)-A_i)であったからj=sであり
A_(i+1)-A_i⊂A'_(s+1)-A'_s=A-Bとなる


よってA-B∈P'となりP⊆P'が言えた

>>91
(2)を書いてなかったな。答えは「ある」
展開図の扇形の中心角が180°より大きいとき、Lが扇形の直径の一部となるようにとれば平面図形（頂点で折れる折れ線）になる。

（直径の一部って半径の一部じゃないの？）

>>95
中心を通るような線分をとれば半径の一部ではないが直径の一部ではある。

r=4sinθ(π/8 ≦θ≦　π/4)で囲まれた図形の面積

>>94
ありがとうございます。
（1）は自明なのに論証の仕方が分からず、（2）に至っては「多分あるんだろうけど例が挙げられない」状態でした。
証明と構成例を示していただきありがとうございました。

えっそれでいいんだ
てっきり
「二直線（軸を全て含む平面で切断）を除く円錐曲線（の一部）は円錐の展開図上で直線になるか？」
って問題だと思ってた
多分ないと思うけど

>>98
(2)は線分の延長が中心を通るもの以外の曲線を探しているんじゃないの？

>>99
展開図の中心を通る線分以外で
円錐化したら直線になる曲線はあるか？
という問題かと思った。

これから解答の端緒が見いだせるかな？

円錐角（母線と軸のなす角）がαの円錐側面の展開図を頂点を原点にｙ軸に対称に置く。
尚、円錐底面の円の展開は考えない。
円錐側面展開図上の点Aの座標を(p,q)とすると展開図を円錐化したときのAの三次元座標をp,q,θで表わせ。

>>102
円錐上に存在しうる直線（線分）は母線以外にないから探しても無駄な気がしてきた。

>>91
(2)
展開図の扇形に相似形の扇の円弧は円錐化したら底面と平行な円になるから同一平面にあるね。

>>102
誤入力訂正

円錐角（母線と軸のなす角）がαの円錐側面の展開図を頂点を原点にｙ軸に対称に置く。
尚、円錐底面の円の展開は考えない。
円錐側面展開図上の点Aの座標を(p,q)とすると展開図を円錐化したときのAの三次元座標をp,q,αで表わせ。

（円弧は線分ではないのでは？）

>>106
ご指摘通り。その縛りがあったのね。

（なんでこの人が答えるんだろう…？）

>>99-101
問題文が「扇形の内部に線分L」ではなく「扇形上に線分L」としているし、わざわざ直径ではなく半径の一部としているから
ミスリードさせる意図のひっかけ問題だと思うんだ。
それにしても(1)の「線分（すなわち直線図形）」の書き方が嫌らしいけどね。
線分でないことは示せるけど直線図形でないことは示せないんだから。

>>97
θの範囲を α≦θ≦β　とする。
(r,θ) を極座標とすると、与式は円
　xx + (y-2)^2 = 4
を表わす。
求める面積Sは、
(中心角2βの弓形の面積) = 4β - 2sin(2β) = π - 2,
から
(中心角2αの弓形の面積) = 4α - 2sin(2α) = π/2 - √2,
を引いたものだから
S = π/2 - 2 + √2 = 0.98501

あるいは、積分を使えば
(1/2)∫rr dθ
　= 4∫2(sinθ)^2 dθ
　= 4∫{1 - cos(2θ)} dθ
　= 4θ - 2sin(2θ),
これを α≦θ≦β で積分して
S = 4(β-α) - 2sin(2β) + 2sin(2α)
　= π/2 - 2 + √2
　= 0.98501

aは正の実定数とする。
xy平面上に点A(0,a)と曲線C:y=sin(x)がある。
Aを通り傾きが-1/4である直線は、Cと何個の共有点を持つか。aの値により場合分けをして求めよ。

極方程式r=1+cos(θ)により表されるxy平面上の曲線Cを、x軸の周りに一回転させてできる立体をKとする。
平面x=aでKを2つの部分に分割するとき、分割されたそれぞれの立体の体積が等しくなるような実数aを求めよ。

>>29
r = PX = 2.58456488
φ = 0.394546670
のとき最小で
X ( 1.227371115,　0.947813995,　1.932348096)
N ( -3/2, (3/2)√3, 0)
NX = 3.72771883923586

>>109
問題に解答というより展開図上の線分は
円錐に組み立てたらどんな方程式で表せるのだろうかと思った。

>>113
パスカルの蝸牛だっけ？

>>105
計算が込み入っていて、あっているかどうか自信がない。

x=sqrt(p^2+q^2)*sin(α)*sin(atan(p/q)/sin(α))

y=sqrt(p^2+q^2)/(tan(α)*sqrt(1+tan(α)^-2))

z=sqrt(p^2+q^2)*sin(α)*(1-cos(atan(p/q)/sin(α)))

>>113
数値積分で求めたら
> uniroot(function(x) vol(x)-V/2,c(0,2))
$root
[1] 0.7901378
という値になった。

数理解は賢者に任せた。

サイクロイドの定積分についての質問

x=a(θ−sinθ), y=a(1−cosθ)であるサイクロイド曲線の長さの計算を
t=0からt=2πではなく，t=kからt=2π+k までのものとした時,
曲線の長さが変わらず 8a となる理由を説明せよ。

サイクロイドの図を見ると何となく長さが変わらないことは理解できるけれど, それを計算式で表す方法がよく分からないので教えて欲しいです。
場合分けすればいいのかな

>>119
周期性より
L(0,k) = L(2π,2π+k)
これに L(k,2π) をたせば
L(0,2π) = L(k,2π+k)

ここに、
L(b,c) = ∫(b,c) √{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ
　= 4a∫(b,c) (1/2)sin(θ/2) dθ
　= 4a [ -cos(θ/2) ](b,c)
　= 4a{cos(b/2) - cos(c/2)},

>>113
全体積 V= lim{ Σ π y² δx }
　= ∫[θ=0,π]dθ π (r*sinθ)² * -d(r*cosθ)/dθ
　= π ∫[θ=0,π]dθ (1+c)² s² (s + 2cs)
　= π ∫[θ=0,π]dθ (1+c)²(1+2c)(1-c²) s
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+2c+c²)(1+2c)(1-c²)
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+5c²)(1-c²)　{∵関数の偶奇}
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+4c²-5c⁴)
　= π (2+8/3-10/5) = 8π/3

[θ=0,α]で体積半分になるとして ξ=cosα と置く
4/3 = ∫[c=ξ,+1]dc (1+2c+c²)(1+2c)(1-c²)
　= ξ⁶/3 +ξ⁵ +ξ⁴/2 -4ξ³/3 -2ξ² -ξ +5/2
ξ⁶/3 +ξ⁵ +ξ⁴/2 -4ξ³/3 -2ξ² -ξ +7/6 = 0 を [0,1] 範囲で解く
数値計算解: ξ = 0.51987146393... 　{ たぶん厳密解(数式解, 数理解? )は出せない }
a = r*cosα = (1+ξ)ξ = 0.79013780294...

>>118
カージオイドの体積が8/3πなので
aは
31/12 - (1/2 (x + x^2 - (2 x^3)/3 + 1/6 (1 + 4 x)^(3/2))) = 4/3 　, 0<x<2
の解までは出せたが、これが解けないので
Wolframにお願いして
x≒0.79013780294837779465を得た。

f(x)=sin(x^100)をx=0を中心にテイラー展開せよ
ただしsinxのテイラー展開を既知として用いてよい

ようするに合成関数のテイラー展開ってどうすればいいんですか？

>>124
http://kanim.hatenablog.jp/entry/20160527/1464361049
ここらへんでしょうか

なるほど
F(x+t)=ΣF^(n)(x)t^n/n!
を使って2通りに
h(x+t)=ΣF^(n)(x)t^n/n!
f(g(x+t))=f(Σg^(k)(x)t^k/k!)=f(g(x)+T)=Σf^(i)(g(x))T^i/i!
(T=Σ[k=1〜∞]g^(k)(x)t^k/k!とおいた)
(T^i/i!=ΣΠ(g^(k)(x)/k!)^(q_k)/(q_k)!×t^(Σk(q_k))(多項展開))
と計算して両方のt^nの係数を見比べる感じか

当然sin(x^100)を計算するのには必要ないけどね

>>125
はえ〜ありがとうございます

>>126
そうですね
論理として知っておけば、実際の計算はサイトの最初の記述通りで難しくない

>>118
他の人との結果が一致したので結果に自信がもてました。

https://i.imgur.com/6nHgxU3.png
形からaは0.5〜1.5の間であろうと思って
モンテカルロで出したグラフ
https://i.imgur.com/zQzcoPJ.png

シミュレーションと一致すると気分がいい。

>>121
どうもありがとう！

実数列{a[n]}はn→∞でa[n]→0である。
このときlim[n→∞] (n^p)*a[n]が0でない定数に収束するような有理数pは、存在しても高々1つであることを証明せよ。

>>131
有理数p,qについて lim[n→∞] (n^p)*a[n]=s≠0 , lim[n→∞] (n^q)*a[n]=t≠0とする。
lim[n→∞] {(n^p)*a[n]}/{(n^q)*a[n]}=s/t であるから lim[n→∞] n^(p-q)=s/t
したがって p=q かつ s=t である。

1/(2+cosx)の原始関数は？

単純なのにいろいろやってできないからwolfram先生に聞いたらえっぐい答え出してきたんですけど、なんとか簡単に解く方法ないんですかね…

先生ちゃんと簡単に解いてるじゃん

>>133
dx/(2+cosx)
=2dt/(3+t^2)
=(2/√3)arctan(t/√3)
=(2/√3)arctan((1/√3)tan(x/2))

>>135
やっぱり置換は必須になる感じですかね

0〜9が書かれたカードが一列にランダムに並んでいる
そこから何枚かカードを抜き、残ったカードの間に上手く挿入することで0〜9か9〜0の順に並べ直すことを考える
例えば2,8,9,6,5,3,4,1,0,7の状態なら2,9,4,7の4枚を抜き、
残った8,6,5,3,1,0の間に入れると9,8,7,6,5,4,3,2,1,0に出来る
どんな並びでも8枚以上抜く必要がないことはすぐわかる
7枚抜く必要がある並びは存在するか？

f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ


E[n] = ∫[0→+∞] (t^n)e^(-t^2) dt と置いて、部分積分
E[n] = [ { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2) ]_(0→+∞) - ∫[0→+∞] { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2)・(-2t) dt
= { 0 - 0 } + { 2/(n+1) }∫[0→+∞] t^(n+2) e^(-t^2) dt
= { 2/(n+1) } E[n+2].
よって、
E[2] = (1/2) E[0] = √π/4,
lim[x→+∞] f(x) = E[0] - E[2] = √π/4,
lim[x→-∞] f(x) = ∫[0→-∞] (1 - t^2)e^(-t^2) dt = ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) (-du)　； t = -u
= - ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) du = √π/4.
このようなやり方でやった場合ｆｘのｘ＝±１、±√２のときはどうやって
求めますか

2^n + 3^m = (n-m)!
を満たす自然数の組(n,m)は存在するか。
ただしn>mとする。

偶奇を考えれば明らかじゃね

>>139
>>140 の通り
2^n+3^mは奇数なので(偶数と奇数の加算なので当然)、n-mが2以上のとき明らかに満たさない(階乗に必ず2を含むから)
n-m=1のとき2^n+3^mが1になる(n,m)は存在せず満たさない
よって存在しない

>>136
必須？
楽じゃん

>>137
どこかの4枚の組は必ず整列しているか
か、3枚なら出来るけど...

>>123
カージオイドの全体積をモンテカルロでやってみた。

> IO <- function(N=1e7){
+ x=runif(N,-0.25,2)
+ y=runif(N,-1.3,1.3)
+ z=runif(N,-1.3,1.3)
+ v=diff(range(x))*diff(range(y))*diff(range(z))
+ v*mean(
+ (x>=0 & z^2+y^2 < 1/2*( sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2))
+ |
+ (x<0 & (z^2+y^2 < 1/2*( sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2)) &
+ (z^2+y^2 > 1/2*(-sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2)))
+ )
+ }
> IO() ; 8/3*pi
[1] 8.375686
[1] 8.37758

N=1000マンコでやったが、わりと近似している。

b,cは実数の定数とする。
放物線C:y=x^2+bx+cはx軸と相異なる2点P,Qで交わる。
またCとy軸との交点をR、3点P,Q,Rを通る円をKとする。
このとき、Kはb,cによらない定点を通ることを示せ。

c = 0 の場合が考慮されていないのは問題としておかしい

>>146
3点ならんやン

てかb,cが定数ならP,Q,Rは定点でKは定円やん

>>147
R が P, Q と異なるとは書いていないからな
ナンセンスな自作問題の臭いがする

>>148,149
は？

２つの解をα,βとすると
(α,0)(β,0)(0,αβ)の3点を通る円である
この円の方程式を求めると
x(x-(α+β))+y(y-(αβ+1))+αβ=0
である

この円は必ず点(0,1)を通る

y=(x-p)(x-q)
(x-p)(x-q)+y^2=ky
pq+(pq)^2=kpq
k=pq+1
(x-p)(x-q)+y^2=(pq+1)y
-(x-q)=qy
-(x-p)=py
(x,y)=(0,1)

てか、図形的に分かるか

S=(0,1)とするとOPSとORQが相似になるから
OPQRは向かい合う角が180度であり同円上にある

>>153
誤 OPQR
正 SPQR

>>150
だからb,cは定数って書いてあるのに、b、cによらずってのがそもそもおかしい
わからんの？

∫1/(2+cos(x)) dx
　= (1/√3) arctan((2/√3)tan(x)) - (1/√3) arctan((1/√3)sin(x))
　= (1/√3) arctan((√3)sin(x)/(1+2cos(x)))
　= (2/√3) arctan((1/√3)tan(x/2),

>>156
大学入試の問題文なんていい加減なもんスよ

百発百中の大砲百門は、一発必中の大砲一門に匹敵する。

これを証明してください。

面白いと思って書いてるんかこれ?

>>145
題意より y=x²+bx+c = (x-α)(x-β) 　( α,β∈R, α≠β ) としてよい。
{ b,cが自由に動けるのは重複無しの2解がある範囲でという事だろう }

円中心のx座標は自明なので
　円K:　(x - (α+β)/2)² + (y - y₀)² = r²　(未知数: y₀, r )
3点通過条件より
・((α-β)/2)² + y₀² = r²
・((α+β)/2)² + (αβ - y₀)² = r²
これより y₀ = (αβ + 1)/2, r²=(α²+β² +α²β² +1)/4

2変数多項式: f(α,β) := (x - (α+β)/2)² + (y - y₀)² - r² 　{x,yは定数}
　= (x - (α+β)/2)² + (y-αβ + αβ-y₀)² - r²
　= x² -(α+β)x + (y-αβ)² + (y-αβ)(αβ - 1) + 0
　= x²+y²-y -x (α+β) +(1-y) αβ
f(α,β) が恒等的に0となるのは
(x,y) = (0,1) の時のみである。

つまり 円K は常に 点 (0,1) を通る。そのような点は他にない。

>>137
これ分かる人いたら頼む

>>159
ベイズ的には誤りだね。

問題じゃないんですけど
複素直交行列　O(n,C)
と
ユニタリ行列　U(n)
って何が違うんですか？

(1/√2) * {{1, i}, {i, 1}}はユニタリ行列であるが、複素直交行列ではない。

>>165
共役を取るか取らないかって話ですかね

>>156
はぁはぁ

>>137
https://mathtrain.jp/szekeres より
　Erdos-Szekeresの定理：a,b を正の整数とする。各項が相異なる長さ ab+1 の数列があるとき，以下の二つのうち少なくとも一つは必ず存在する。
　1：長さ a+1 の部分列で，単調増加なもの
　2：長さ b+1 の部分列で，単調減少なもの

a=b=3 とすることで、各項が相異なる長さ10の数列には長さ4の単調増加または単調減少な部分列が存在することが分かる
よって、7枚抜く必要がある並びは存在しない

>>169
数学科の方ですか？
どうしてそういうサイトに行き当たれるのか教えてください。

>>169
ありがとうございます！
確かに検索方法が気になります

>>170
「部分減少列」でググった

BC=a,CA=b,AB=cの△ABCの内部に、2つの円CとDを以下のように置く。
CとDの面積を求めよ。

・Cは辺AB,BCに接する
・Dは辺BC,CAに接する
・CとDは外接する
・Cの面積とDの面積の和は、可能なCとDの配置の中で最小となる

>>173
イメージが沸くように作図だけしてみた。

https://i.imgur.com/spjsgnH.png

ここまではできたけど、

https://i.imgur.com/yZAuaWn.png

a,b,cが数値で与えられていないから、あとはどう処理するかだな。

計算が面倒そう

数学は解析・幾何・代数の3分野に分類されると聞きますが、
集合論はどの分野になるのでしょうか？

>>177
基礎論？

https://youtube.com/watch?v=fK_JGVti5y8

上記動画の数学の世界地図で各分野について説明してる

>>179の説明をみる限り
線形代数→代数
微分積分→解析
は当たり前だから、幾何学の側に集合・位相があるということは
幾何学の分野と考えていいんですかね

動画最後までみてたら集合論は基礎論って言ってますね
すみません

分からないので教えていただきたいです！

0では無い実数α、βに対して関数1/((x-α)(x-β))をべき級数に展開せよ。また、得られたべき級数の収束半径も求めよ。

おねがいします！

>>182
(1/(x-α))(1/(x-β))

>>183
わからないんですね

>>184
コーシー積取れということだろう
わからなかったか

「表面に穴がひとつ空いているトーラス」と位相同型な図形ってなんですか？

どんな答えを求めてるか透けては見えるがそもそも質問にすらなってないなww

Xの角度は？（立体ではなくて平面図）
https://i.imgur.com/iv18hkk.png

>>182
部分分数分解をして、1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... を使う

>>188
点Aの直線OCに関して対称な点をA'とすると、
△OBA'正三角形、△BAA'≡△BAC、△CAA'正三角形がわかる

スレチだったらすまん
In=∫(0→1) x^n/(1+x) dx とおいて
In=-In-1 +1/n となることを示せって問題が解けない
色々部分積分してみたけどうまくInで表せないんだけどどうすればいいのでしょう

x^n/(1+x) = x^(n-1) - x^(n-1)/(1+x)

>>190
Wolfram大先生によると、多項式の割り算をすると良いらしい
1/(x+1)
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
x^2/(x+1) = x - 1 + 1/(x+1)
…

>>191
In=-In-1 +1/n 

途中送信してしまった
In=-In-1 +1/n 
のかたちにそこからどうもってたらいいかな

>>192
ごめんどういうことかいまいちわからん…
理解力がなくて申し訳ない

∫(0→1)(|log(x)|^(3/2))/√x
この積分の解き方教えてください。広義積分です。

log(x)=-2t→Γ

>>194
積分しろ

>>195
帰納法で一般項を証明すれば良い

>>198
あ、なるほどすまんありがとう〜

>>196

x = e^(-2t)　とおくと

∫(0→1)(|log(x)|^(3/2))/√x dx
= 2∫(0→∞) (2t)^(3/2) e^(-t) dt
= 4(√2)∫(0→∞) t^(3/2) e^(-t) dt
= 4(√2)Γ(5/2)
= 4(√2)(3/2)(1/2)Γ(1/2)
= 3(√2)(√π)
= 3√(2π)
= 7.519884824

・α≠β のとき
　Σ[k=0,∞] (1/α^{k+1} - 1/β^{k+1})/(β-α)・x^k,

・α=βのとき
　(1/α^2)Σ[k=0,∞] (k+1)(x/α)^k,

>>182
αとβが極だから、収束半径は近い方までの距離。
　収束半径 = min{|α|, |β|}

△ABCの外側に△PBCを、△ABC∽△PCBとなるように作る。
BC=1,AB=b,AC=cのとき、比（△ABCの面積:AP^2）を求めよ。

p:=AP、S:=△ABC、s=(a+b+c)/2
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
|p|^2=a^2+b^2+(a^2+b^2-c^2)

>>188 を 解析幾何的に解こうとして気づいたんですが、
　 c = cos(20°)
　16*c^4 -8*c^3 -12*c^2 + 4*c + 1 = 0
が成り立つみたいです。この関係式どうやったら証明できますか？
4倍角公式とか全然違うし cos(80°) になったからって何も簡単にならないし...

一辺の長さが2√3である正三角形Tの外心をOとする。
また、Oを中心とする半径rの円周で、Tの周または内部に含まれるものの長さをL(r)とする。
0<r<3の範囲でL(r)が微分可能であるかを調べよ。

>>188
�儖BCが二等辺三角形じゃなくて
20°を16°、80°を82°にすると三角関数なしでは解けそうにないな。

完全混合を理想とする
１０リットルの容器に　１リットル／時間　入れていき同時に　１リットル／時間　排出されていく
容器の濃度が５０％のとき時間ごとの濃度推移を積分で示しなさいって言う問題がわかりません

>>210
どちらの液体も純水である
よって塩分濃度は常に0であるから
積分を用いて表すと
∫[0,T] (t-t)exp(-t) dt
となる

>>209
答えが整数値なら何らかの方法はあるかも知れないけどね
ラングレーの問題とかと似てる

がちがちの問題ばっかでお門違いならすまんが。

台形abcdにおいて
ad//bc,　ab=4,　ad=5,　bc=11
であり、aを通りabcdの面積を半分にする直線を引きbcとの交点をeとする。このとき、beの長さをもとめよ。
https://f.easyuploader.app/eu-prd/upload/20200810112911_724b614e41774b753258.png

>>213
(11+5)/2=8
AB=4は必要の無い条件

>>208
0<r<1 で L(r)=2πr , L'(r)=2π
1<r<2 で L(r)={2π-6arccos(1/r)}r , L'(r)=2π-6arccos(1/r)-6r/{r(√r^2-1)}
2<r<3 で L(r)=0 , L'(r)=0

r=1 , r=2 では微分可能でない。

>>213
高さをh、BEをxとおくと
(5+11)*h/2 = x*h/2 * 2
(8-x)h = 0
h>0よりx = 8

中学入試問題とかにありそう

https://imgur.com/Gs95gDh.jpg
上のカットセットの二つの定義が等価であることの証明を教えて下さい。

e_1, …, e_nをカットセットとする。e_1以外のすべてのカットセットの辺を除去する。カットセットの定義から除去後のグラフも連結である。
e_1 = (v_1, v_2)とする。v_1からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_1とする。v_2からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_2とする。
V_1とV_2を結ぶ辺全体の集合は{e_1, …, e_n}に一致する。

みたいな感じで証明すればいいのかと推測します。

>>216
俺が全然勘違いで見当違いの式作ってたわ
ありがとうスッキリした

>>214
三角形の高さをｈとして面積の公式にいれたらABの長さは計算に無関係と気づくけど、
AB=4の代わりに∠DCE=120°とか書かれていたら、すっかりそれに気が取られてしまうなぁ。

>>211
俺もここから先に進めないな

時間tのとき
w(t):溶媒
s(t):溶質
c(t):濃度
とすると
w(0)=5
s(0)=5
c(0)=s(0)/(w(0)+s(0))
c(t)=s(t)/(w(t)+s(t))
w(t+dt)=w(t)+dt
s(t+dt)=s(t)-c(t)*(w(t)+s(t))*dt

e_1 = {v_1, v_2}, e_2 = {v_3, v_4}, …, e_i = {v_{2*i-1}, v_{2*i}}, …, e_n = {v_{2*n-1}, v_{2*n}}をグラフG = (V, E)のカットセットとする。
e_1以外のすべてのカットセットの辺をGから除去したグラフをG'とする。カットセットの定義からG'も連結である。
G'上でv_1からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_1とする。G'上でv_2からe_1を利用することなく到達可能な点の集合をV_2とする。
V_1 ∩ V_2 ≠ 空集合だと仮定する。v ∈ V_1 ∩ V_2となる点vが存在する。v_1からe_1を利用することなくvに到達可能であり、
v_2からe_1を利用することなくvに到達可能である。∴v_1からe_1を利用することなくv_2に到達可能である。このことから、G'から
さらにe_1を除去してもグラフは連結であるが、これはe_1, …, e_nがカットセットであるということと矛盾する。
よって、V_1 ∩ V_2 = 空集合である。

次に、e_1, …, e_nはすべてV_1の点とV_2の点を結ぶ辺であることを確認する。
e_1はもちろんそうである。e_i（2 ≦ i ≦ n）がV_j（j = 1 or j = 2）の2点を結ぶ辺であると仮定する。
G'からe_1を除去し、e_iを付け加えたグラフをG''とする。カットセットの定義からG''は連結である。
点v_1と点v_2を結ぶG''上のパスPが存在する。このパスはe_iを含まなければならない。もしe_iを含まないとすると、
G'上でe_1を含まないv_1からv_2へのパスが存在することになってしまい、V_1 ∩ V_2 = 空集合であるという上で示した結果と矛盾してしまう。
ところが、e_iの端点はV_jの点であるから、どちらの端点もG'上でv_jからe_1を利用せずに到達可能である。よって、e_iの端点を結ぶe_1を利用しないG'上のパスが存在する。
Pに含まれるe_iを削除し代わりにこのパスを利用すると、v_1とv_2を結ぶe_1を利用しないG'上のパスが得られるがこれは、V_1 ∩ V_2 = 空集合という上で示した結果と矛盾する。
よって、e_i（2 ≦ i ≦ n）はV_j（j = 1 or j = 2）の2点を結ぶ辺ではない。これでe_1, …, e_nはすべてV_1の点とV_2の点を結ぶ辺であることが確認できた。

V_1とV_2の点を結ぶGの辺がe_1, …, e_n以外にはないことを次に示す。仮に、V_1とV_2の点を結ぶようなe_1, …, e_n以外のGの辺e = {w_1, w_2}（w_1∈V_1, w_2∈V_2）が存在したとする。
G'からe_1を除去したグラフをG'''とする。G'''はカットセットの定義から非連結である。u, vをG'''の任意の2点とする。
u∈V_1, v∈V_1の場合、v_1からuへのG'''上のパスおよびv_1からvへのG'''上のパスが存在するから、uからvへのG'''上のパスが存在する。
u∈V_2, v∈V_2の場合、上の同様にして、uからvへのG'''上のパスが存在する。
u∈V_1, v∈V_2の場合、v_1からuへのG'''上のパスおよびv_2からvへのG'''上のパスが存在する。
w_1∈V_1, w_2∈V_2だからv_1からw_1へのG'''上のパスおよびv_2からw_2へのG'''上のパスが存在する。
ゆえに、uからvへのG'''上のパスが存在する。
ゆえに、G'''は連結であるが、これは矛盾である。

ゆえに、V_1とV_2の点を結ぶ辺の集合は、Gのカットセットとちょうど一致する。

(V_1, V_1とV_1を結ぶGの辺の集合)はもちろん連結である。(V_2, V_2とV_2を結ぶGの辺の集合)はもちろん連結である。

逆は明らかだから、二つの定義は等価である。

前>>72
>>173
ヘロンの公式よりs=(a+b+c)/2
△ABC=√s(s-a)(s-b)(s-c)
またC,Dがなるべく小さくなるようにC=D=πr^2=Eなる半径rの内接円Eがもう1個描ける。
△ABC=(a-2r)(r/2)+(b-2r)(r/2)+(c-2r)(r/2)+r^2√3+3×2r×r
=(a+b+c)r/2+(3+√3)r^2
ヘロンの公式からsを消して△ABC=(1/2)^2√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
=(1/2)^2｛2(a+b+c)r+4(3+√3)r^2｝
二次方程式4(3+√3)r^2+2(a+b+c)r-√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=0を解くと、
r=｛-(a+b+c)+√(a+b+c)^2+4(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝/4(3+√3)
最小値C=D=πr^2=π(2-√3)｛(a+b+c)^2+2(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)-(a+b+c)√(a+b+c)^2+4(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝/48

E={(x,y);0≦x, 0≦y, 1≦xy≦2, -2≦y-x^2≦2}とするとき
∫∫_E (1/x)+2(x/y) dxdy の値を求めてください

変数変換かな？と思ったのですがなかなか上手くいかず
実際に積分範囲を求めようにも3次方程式が出てきて値が綺麗に求まらない次第です
分かる方お願いします

>>226
正三角形なら、最小値C=Dとなるけど、それ以外だと違うんじゃない？

>>207 自己解決。
多項式の因数分解と3倍角公式でいけました。
c = cos20°
16*c^4 -8*c^3 -12*c^2 + 4*c + 1
　= (8*c^3 - 6*c - 1)(2*c - 1)
　= ( 2*(4*x^3 - 3*x) - 1 )(2*c - 1)
　= ( 2 cos60° - 1 )(2*c - 1)
　= ( 2 * 1/2 - 1 )(2*c - 1) = 0

ついでに >>188 の解析幾何的な解法
OC = 2 * OB * cos40°
OA = OB

余弦定理より
AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 OA*OC * cos20°
　= OB^2 * ( 1 + 4*(cos40°)^2 -4*cos40°cos20° )
　= OB^2 * ( 1 + 4*(2*c^2-1)^2 -4*(2*c^2-1)*c )
　= OB^2 * ( 16*c^4 - 8*c^3 - 16*c^2 + 4*c + 5 )
　= OB^2 * ( 16*c^4-8*c^3-12*c^2+4*c+1 + 4*(1-c^2) )
　= OB^2 * ( 4*(1-c^2) ) = OB^2 * 4 * (sin20°)^2
(c = cos20°)

正弦定理より
sin∠OCA / OA = sin20° / AC
　sin∠OCA = sin20° / 2sin20° = 1/2
　∴ ∠OCA = 30°

x = ∠ACB = ∠OCB - ∠OCA = 40° - 30° = 10°

こうなるとプログラムで作図して計算した方が速いと思う。

Xの角度は？（立体ではなくて平面図）
https://i.imgur.com/yNDUuDU.png

Lick my Dick!
https://i.imgur.com/PHXyMkw.gif

正規分布表のみかたがわかりません
　ある大学の学生の体重 X が正規分布 N (70,2＾2) に従うとき，体重が 75 kg 以下である確率も求め方がわかりません

> pnorm(75,m=70,sd=2,lower.tail=TRUE)
[1] 0.9937903
> # 平均0、標準偏差0の正規分布に標準化するなら、(75-平均)/標準偏差 =2.5
> (75-70)/2
[1] 2.5
> pnorm(2.5,m=0,sd=1,lower.tail=TRUE)
[1] 0.9937903
>

>>188
△OAB内に、△ABDが正三角形になるようにDを設けると、
△DAO≡△DBO≡△ABCであることから、たちまち、x=10°が求まる

4 を法として 3 に合同な素数は
1 に合同なものよりも多いかね？

Φ(z)が標準正規分布の分布関数をあらわすとき
Φ(1.27) 、 Φ(−2.17) の場合は値をどうもとめますか
またΦ(z)=0 .99224 という場合はｚはいくつになりますか

>>233
答えがふたつあるのですか?
見るのは標準正規分布です

>>235
算術級数の素数定理によれば同じくらい

>>237
答は同じ。
ソフトウェアだと内部で標準化して計算してくれる。
正規分布表でみるなら自分で標準化。

前>>226
>>228
CもDもおっきなったりちっさなったりすんだから、
C=Dが最少でいいじゃないか。
△ABCがどんな三角形かは数学的に言ってわからない。

>>236
> # φは累積分布関数(φ(z)は確率密度関数を-∞からzまで積分した値)=pnorm(z)
> φ <- function(z) integrate(function(x) 1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),-Inf,z)$value
> φ(1.27) ; pnorm(1.27)
[1] 0.8979577
[1] 0.8979577
> φ(-2.17) ; pnorm(-2.17)
[1] 0.01500342
[1] 0.01500342
> # φの逆関数がqnorm
> qnorm(0.99224)
[1] 2.420012

>>240
それが最大かもしれん

標準正規分布の上側 1.7% 点はこの中でどれですか
(1) 0.017, (2) 0.102, (3) 0.983, (4) 1.27, (５)2.12

次のデータを得た
7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5
データは正規分布に従うとする．そのとき，以下の問いに答えよ
1. 標本平均 x の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
2. （不偏）標本分散 s2 の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
3. （不偏）標本標準偏差 s の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
4. 自由度 7 のティー分布の両側 0.1 点 t7 (0.1) の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.8595, (2) 1.8946, (3) 2.3060, (4) 2.3646, (5) 3.4995
5. 母平均 &micro; の 90% 信頼区間をを以下の中から選択せよ
(1) [5.685135,8.314865], (2) [5.660315,8.339685], (3) [5.369412,8.630588],
１、２、３は７、４、２になりましたが割り切れなかったので自信ないです

>>235
>>238
チェビシェフの偏りってのがあるらしいぞ

ある工場で生産される精密部品を 25 個無作為抽出して長さを測ったら，平均値 x は x = 30 (mm) であった．過去の製造データの蓄積により, 製品の長さは標準偏差が 4 mmの正規分布に 従うことが分かっている．
抽出された 25 個の製品に対して，以下の問いに答えよ
1. 母平均 &micro; の 95% 信頼区間をもとめよ
2. 母平均 &micro; の 95% 信頼区間の区間の幅をもとめよ

3. 区間の幅を 2.0=2×1.0 以下としたい．少なくとも何個の標本が必要か

>>246
> 30+qnorm(.975)*4/sqrt(25)
[1] 31.56797
> 30-qnorm(.975)*4/sqrt(25)
[1] 28.43203
> 2*qnorm(.975)*4/sqrt(25)
[1] 3.135942
> # 2*qnorm(.975)*4/sqrt(n)<2
> # n >
> (qnorm(.975)*4)^2
[1] 61.46334

>>243
> qnorm(1-1.7/100)
[1] 2.120072

>>234
�儖BCが二等辺三角形になるように問題が設定されているから可能な技だな。

正規分布って-∞から∞まであるから
それに従うって現実的ではないね。

>>245
へー知らなかった
平方非剰余なほうに偏るのか

>多くの数学者の努力を経て、RubinsteinとSarnakによってπ(x;3,2)>π(x;3,1)が99.9%のxに対して成り立つことが1994年に証明されています。
>100%でないことは真に驚くべきことであって、不等号の向きが逆転するような整数xが無数に存在することまで示されているのです！！！
integersブログ

2から数えてi番目の素数をp[i]とし、2=p[1]からp[n]までの積p[1]p[2]...p[n]=P[n]と定める。

また自然数kが与えられたとき、
e[k] = |f(k)/P[k] - 1|
と定める。
ここでf(k)はある自然数mを用いてf(k)=m^2と表される自然数であり、かつ、e[k]を最小とするものである。

このとき、以下の命題が真であることを証明せよ。
　
『Nが十分大きいとき、
Σ[k=1,...,N] e[k] < Σ[k=N,...,2N-1] e[k]
が成り立つ。』

>>188 , >>230
変数: α = ∠B/2,　 β = ∠CAD での 一般解法( 解析幾何的に... )

AB = 1　 (角度はスケール不変なので)
∠A = 90° - α/2 + β
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 90° - 3α/2 - β
BC = cos(2α)+sin(2α)cot(∠C) = cos(2α)+sin(2α)tan(3α/2 +β)
CD = √{ 1+BC^2 - 2*BC*cos(α) }
x = ∠C - arcsin( sin(α)/CD )

プログラム例 (好みの言語に読み替えてください)
calcX(a, b) = {
my(BC,CD,C,x);
a *= Pi/180;
b *= Pi/180;
C = Pi/2 - 3*a/2 - b;
BC = cos(2*a) + sin(2*a)/tan(C);
CD = sqrt( 1+BC^2 - 2*BC*cos(a) );
x = C - asin( sin(a)/CD );
return( x*180/Pi );
}

calcX(20, 20)
⇒ 9.9999999999999999999999999999999999999

calcX(18, 18)
⇒ 10.268038134266935017594064993971120014

キリのよい組み合わせは、ざっとこんな感じ
α,　β,　x
12, 18, 12
20, 20, 10
20, 30, 10
12, 42, 12
どれも初等的に解けるのかもしれない。

>>254
やはり、α＝βとなる組み合わせは２０°のときしかありませんね。

>>254
レスありがとうございます。
複素平面に作図して偏角の差で計算したa=b=18°での値は
> (Arg(D-C)-Arg(A-C))*180/pi
[1] 10.268038134266938
と自分のプログラムの結果とも一致しました。

>>253
逆やろ？

r=4(1+cosθ)　(π/2≦θ≦3/2π)　この曲線の長さを求めよ　どうやって解けばいいんですか...

>>258
極座標の弧長の公式使うだけやろ
それが理解できんのなら、極座標から直交座標に直せ
r(1+cosθ)にcosθをかければx座標に、sinθをかければy座標になる
そこで直交座標の弧長の公式使うだけ

公式使うだけなのに何でできない？
日大すら受からんぞw

>>259
川崎医大なら受かると思う。
任意の寄付が必要かも。

>>258
モンテカルロ法でやってみたら１になったけどあってる？
> # Monte Carlo
> N=1e7
> x=runif(N,-1,0)
> y=runif(N,-4,4)
> r=sqrt(x^2+y^2)
> theta=atan(y/x)
> s=diff(range(x))*diff(range(y))
> s*mean(r<4*(1+cos(theta)))/diff(range(y))
[1] 1

>>261
積分したら、 16 (2-√2)が答だな。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt%28%284%281%2Bcos%28x%29%29%29%5E2%2B%28-4sin%28x%29%29%5E2%29dx+from+pi%2F2+to+3pi%2F2+&;lang=ja

頼みます
ある集団の身長の平均は170cm,分散は64で、正規分布に従う。
(a) この集団の中から無作為に1人取り出した時、その人の身長が182cm
以上である確率はいくつか。小数点以下第4位まで答えよ。
(b) この集団には身長が168cm 以上 182cm以下の人は約何%いるか。小数
点第1位まで答えなさい。
(C) 遊園地のある乗り物は身長が一定以上でないと乗れない。この集団の
98%以上が乗れるとき、身長制限は何cmか。小数点以下は切り上げて
答えよ。

z×√64)+170


(1) z≧(180-170)/√64 の面積を読む
(2) z≧(168-170)/√64 ≦ z ≦ (182-170)/√64 の面積を読む
(3) z≧(x - 170)/√64 の面積が0.02となる x を求める

>>264
Rが使えるなら
(a)pnorm(182,170,8,lower=FALSE)
(b)pnorm(182,170,8)-pnorm(168,170,8)
(c)qnorm(0.98,170,8,lower=FALSE)

>>267
使えないです…

(a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+182%5D&;lang=ja

(b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+182%5D-CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+168%5D&;lang=ja

(c) https://www.wolframalpha.com/input/?i=CDF%5BNormalDistribution%5B170%2C+8%5D%2C+x%5D+%3D+0.98&;lang=ja

>>268
無料だし、今後も役立つから使えるようになるといいぞ。
>18みたいな遊びにも使えて楽しい。
処理速度に難があるけど。

宿題を丸投げしているような気がしたから、あえて少数表示せずにレスした。

87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16　9 4 1


規則性を見つけてくれ〜(^_^)ﾉ

>>210
10時間後の濃度って
50*(0.9^10)%でいいのかな？

>>272 は

nを1〜44まで変化させた2n−1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの

0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0

このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？

2. 事象 A と事象 Bが起こる確率はP(A) = 0.6, P(B) = 0.7 である。条件
付確率 Pa(B) = 0.8であるという。Pb(A) を求めよ。
事象 A と事象 Bが起こる確率は P(A) = 0.8, P(B) = 0.7 である。P(A∪B) = 0.94がわかっている。このとき事象 A と事象Bが独立であるか
否かを説明しなさい。
答を教えて頂けたら幸いです

前>>240
>>213
△abe=台形aecdだから、
ad+ec=beすなわち5+3=8
be+ec=8+3=11
∴be=8

前>>240
>>213
△abe=台形aecdだから、
ad+ec=beすなわち5+3=8
be+ec=8+3=11
∴be=8

>>274
k - | k - n |

ある鉱石に含まれる鉄分含有率 (%) を調べたところ，次のデータを得た
7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5
鉄分含有率は正規分布に従うとする．そのとき，以下の問いに答えよ
1. 標本平均 x の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
2. （不偏）標本分散 s2 の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
3. （不偏）標本標準偏差 s の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
4. 自由度 7 のティー分布の両側 0.1 点 t7 (0.1) の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.8595, (2) 1.8946, (3) 2.3060, (4) 2.3646, (5) 3.4995
5. 母平均 µ の 90% 信頼区間をを以下の中から選択せよ
(1) [5.685135,8.314865], (2) [5.660315,8.339685], (3) [5.369412,8.630588],
(4) [5.327975,8.672025], (5) [4.52548,9.47452]


１番は3.5
２番は4
３番は2になりました
４番以降がわからないです

出来そうでできません。

n番目の素数は2^nより小さいことを証明せよ。

>>280
ベルトラン=チェビシェフの定理を使えば
p_n≦2^nならば
2^n<p≦2^(n+1)なる素数pが1つは存在するので
p_(n+1)≦2^(n+1)もわかり
帰納法で示せたことになる

>>274
数列:
a(n) = {
i = ceil( (-3 + sqrt(8*n+9))/2 ) ; \\ row
j = n - (i-1)*(i+2)/2; \\ column
return( -1 + min( i- (2<j)*(j-2) , j ) )
}

a(1)〜a(65)
0, 0,
0, 1, 0,
0, 1, 1, 0,
0, 1, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0,
(i<j の時に改行)

プログラムコードじゃなくて
wolfram 入力可能な数式化したい

>>281
証明を与えていただきありがとうございます。
証明する事柄が自明にしか見えないので、高校数学程度の知識で示せると直感的に考えたのですが、そうでもないのでしょうか。

17 11
15 10 5
13 8 4 1

Table[2n-1+C(0,(21mod n)-1),{n,1,9}]

nが小さい時の式はつくれる
nが大きくなると破綻する

>>279
R使って
x=c(7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5)
mean(x)
var(x)
sd(x)
qt(1-0.1/2,df=7)
t.test(x,conf.level = 0.9)
で終了。

>>282
慣れた言語に移植して続きを出力してみました。

0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

あっているかな？

>>284
素数に関することは自明そうでも難しいことが多いと思う
これに関しては何か上手い別の方法で示せるかもしれないけどね

>>282 は総和が95

>>287 は総和が715 ならあっている

総和を出力する関数

(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48　

>>289
>287の総和
> sum(unlist(d))
[1] 715

f(x) = 1+a*sin(x)+b*cos(x)に対し、
g(x) = ∫[0,x] (x-t)f(t) dt
とおく。
このとき任意の実数x,yについて
g(x+y)+g(x-y) ≧ 2g(x)
が成り立つような実数a,bが満たす条件を求めよ。

>>292
要は常に下に凸ってことだから恒等的に g''(x)≧0 となるようにすればいいんじゃね？

>>113
これみてこんな問題を思いついた。

カージオイドr=1+cosθ
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Cardioid.PNG/200px-Cardioid.PNG
で囲まれた面をｙ軸の周りに回転させてできる立体の体積をVとする。直線x=aを軸に回転させてできる立体の体積がV/2であるようなaの値はいくらか？

くだらねぇ問題はここへ書け
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/

体積問題は単純な計算問題にしかならないんで
丁寧に式変形しても 外野から「Wolfram先生に頼ったんだろw」とケチを付けられて終わる。
体積半分条件も大抵は数値計算に帰着するしかないんで数学的な面白みは薄い。

積分問題は積分可能性がかなりアルゴリズム化されてるから、ほとんどのケースで手計算でやる意味はあんまりないと言えばないからな
積分がexplicitにできるかどうか不明であるケースはかなり少なくなってきてる
まぁ素人が適当に作った問題なんか高校生でもできるか、explicitには計算不能のどっちかにしかならない

前>>277
>>294左←審判が白の選手を殴って制したのはわかる。
青の選手を蹴ったのは青の選手がなにか暴言を吐いたんだろうか？

>>286
Rって何ですか？

>>294
Vを計算（数値積分）

> (vb - vg)*2
[1] 24.90338

>>299
【R言語】統計解析フリーソフトＲ 第6章【GNU R】 [無断転載禁止](c)2ch.net
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501755792/

nを自然数の定数とする。
xy平面において、極方程式r=1+(2^n)*cosθで表される曲線をCとする。
C上の格子点の個数をnで表せ。

双曲線→pell方程式

>>301
Rの使い方がわかりません

あの普通の中学生が質問しても大丈夫ですか？

3axy-2axをカッコで括るとき
ax(3y-2)とa(3y-2)xはどっちが正しいのですか？

あとカッコの外に出した文字はカッコの前後どちらに付けるのか決まりがあるんでしょうか？

ついにそこに気がついてしまったか

>>302
とりあえず、作図（n=3）のとき。
https://i.imgur.com/l4d7V8x.png

>>306
どっちも正しい。好みの問題。

abc順なら左だな

>>282 の演算子を取り除いて
数式に変換してくれ〜(^_^)ﾉ

最後のは ブール値である False, True と 0, 1 を区別しない言語に特有の記法
そうでない言語も多い。

幅10cmの正五角形の中心点から頂点までの長さは何cm何mmですか？

>>302
ｎによらず５個かなぁ？

>>314
幅って下図の２と６を結ぶ長さのこと？
https://i.imgur.com/ia8g3GS.png

a n i = div (n-(abs $ n-2*i)) 2

main = do
mapM_ print $ take 10 $ [[a n i|i<-[0..n]] | n<-[0..]]

[0]
[0,0]
[0,1,0]
[0,1,1,0]
[0,1,2,1,0]
[0,1,2,2,1,0]
[0,1,2,3,2,1,0]
[0,1,2,3,3,2,1,0]
[0,1,2,3,4,3,2,1,0]
[0,1,2,3,4,4,3,2,1,0]

>>312
wolfram で出力可能な数式化という意味

>>316
それは正七角形ですね

正五角形の
赤線1本の長さです。
https://i.imgur.com/vjXzMrI.jpg

知らんがな。

今のは >>318 宛て

>>316
正五角形だった。

複素平面に作図して計測
p=ngon(5)
o=mean(p[1:5]);pt(o)
seg(o,p[1]);seg(p[2],p[4])
10*abs(o-p[1])/abs(p[2]-p[4])
[1] 5.257311

約５ｃｍ２６mm

sqrtとceilingはwolframで出力できる
columnは無理

>>322
半径１の円に内接する５角形の対角線の長さは２sin（２π/５）
対角線の長さが１０なら、半径は
> 10 / ( 2*sin(2*pi/5))
[1] 5.257311

>>323 row と column は ただのコメント文っす

ある三角形の内心I、傍心I‘として
線分II’の中点が線分II‘と三角形の外接円との交点になるのは何故ですか？

>>312
◆sqrtとceilはwolfram形式にできた

Table[n-(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)-1)*(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)+2)/2,{n,1,40}]


式の判定部分をwolfram入力形式に変形してくれ〜(^_^)ﾉ

return(-1+min(i-(2<j)*(j-2),j))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B+%28n-%28abs+%28+n-2*i+%29%29%29+%2F+2%2C+%7Bn%2C1+%2C10%7D%2C+%7Bi%2C0%2Cn%7D%5D&;lang=ja

>>327
そのキモいAAを消したら変形したるわw

>>326
内心　傍心　外接円　でgoogle先生にお願いしたら一番上に知恵袋の解答が出てきた。

(x-y)e^(-x^2-y^2)の極値って求められますか？
∂xf=∂yf=0の(x,y)がうまくいかなかったのですが

積分するのが難しい関数はあるのに微分するのが難しい関数がないのはなぜ？

どなたか
>>9の答えを教えて下さい

>>9
1-3-1なら先攻勝ちやろ？

>>9
素直に読んだら後攻必勝ではないから、(1)が証明できるためには相当ひねくれた無茶苦茶なルール解釈が必要となる。

例えば
＞まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
＞続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
の部分について、サイコロを“何回”振ると書いていないので3の倍数が出てしまったら連続で何回でも振りなおすと解釈すると
先攻は絶対に勝利しない、後攻が勝つことはある、永久に勝利者が現れないこともあるのでこの状態を後攻必勝と表現できなくもない。

この解釈だと(2)はp=(1/2)^nとなるのでn=1のときの|p-(1/2)|=0が最小である。

>>309
ありがとうございます！
夏休み明けにテストがあったんで不安でしたが
やれる気がして来ました！

>>330
自分の検索能力カスすぎて草

前>>277
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
以下再検討。
y^2-5^2=｛x-√(x^2-5^2)｝^2
125-50√5+25-25=x^2-2x√(x^2-25)+x^2-25
125-50√5=2x^2-2x√(x^2-25)-25
x^2-x√(x^2-25)-75+25√2=0

tを実数とし、f(t)=sin(t)+cos(t)+√2とする。

（1）f(t)≧0 を示せ。

（2）xy平面において、極方程式f(r)=sinθcosθにより定まる曲線をCとする。C上を点A(a,b)が動くとき、g(a)=(a+1)(b+1)を最大にするAの位置を求めよ。

(3)g(a)を最大にするaをpとおくとき、定積分∫[0,p] e^(-x^2) dxは有理数か。

Table[Floor[Abs[n-(Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)^2/2]-1/2-Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)/2])]],{n,1,100}]

{0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2,
1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4,
3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2,
1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4}

yz=2wx
zx=2wy
xy=2wz
x^2+y^2+z^2=1

w,x,y,zの実数解は？

>>339
a,bは非有界

前>>338
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
(5√5-5)^2/4=x^2-(10-x)^2
150-50√5=4(20x-100)
75-25√5=40x-200
40x=275-25√5
8x=55-5√5
x=(55-5√5)/8
=5.47745751406……
∴約5cm5mm

>>541
x=0のときy=0 or z=0
(x,y)=(0,0)なら(z,w)=(±1,0)
xyz≠0のときw≠0
x,y,z,wのうち負であるものは偶数個であり
(x,y,z,w), (-x,-y,-z,-w),
(-x,-y,z,w), (-x,y,-z,w), (-x,y,z,-w),
(x,y,-z,-w), (x,-y,z,-w), (x,-y,-z,w),
のいずれかは全て正
よってx,y,z,w>0の場合を考えれば良い
xy/z=zx/y=yz/xよりx^2=y^2=z^2
∴ x=y=z=2w=1/√3
以下ry

>>344
解は8通り？

>>340
数えはじめの修正が必要

87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16　9 4 1


惜しい(^_^)ﾉ

xy平面上に、一辺の長さが2√3の△ABCと動点Pがある。
tをt>2√3の実数とする。

（1）動点PがPB+PC=tを満たしながら平面上を動く。Pの描く軌跡と辺ABが交点を持つときの、tの取りうる値の上限を求めよ。

以下、tは（1）の上限を超えないとする。

（2）（1）において、Pの描く軌跡と辺ABの交点をTとする。BTをtで表せ。

（3）（1）において、Pの描く軌跡上でAから最も近い点をSとする。ASをtで表せ。

（4）点Pは以下の条件を満たす。
・PA+PB+PC=r, r>0
・Pの描く軌跡は△ABCの内部にある
rの取りうる値の範囲を求めよ。

>>343
> 次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
> (5√5-5)^2/4=x^2-(10-x)^2
10-xって何？

>>314
正五角形の
外接円の半径と1辺の長さの比はかなりややこしい
対角線と1辺の長さの比はいわゆる黄金比
いずれもググると見つかるからそこから外接円の半径と対角線の比を求めて計算したほうが早い
イナはすぐに思い込みで適当やことをやって間違えるから信用しちゃダメだよ

nを1以上の整数とする。
(n^2+1)(5n^2+9)は平方数でないことを示せ。

>>331
∂f/∂x = {1-2x(x-y)}e^(-xx-yy)
∂f/∂y = {-1-2y(x-y)}e^(-xx-yy)
これらを0とおくと
　x+y = 0,
　(x,y) = (1/2,-1/2)　(-1/2,1/2)

あるいは 軸を45°回して
　u = (x+y)/√2,
　v = (x-y)/√2,
とおくと
　f = (√2)e^(-uu)・v･e^(-vv) = g(u)・h(v),
　g '(u) = -2(√2)u e^(-uu),
　h'(v) = (1-2vv)e^(-vv),
　(u,v) = (0,±1/√2)
∴　(x,y) = (1/2,-1/2)　(-1/2,1/2)

>>346
じゃ、これとの和と言うことで
Table[{n,89-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)},{n,1,44}]

>>347
(1)2√3<t<4√3
(2)BT=xとする。△BCTで余弦定理
(t-x)^2=(2√3)^2+x^2-4(√3)xcos60°
x=(t^2-12)/(2t-2√3)
(3)AS=3-√{(t^2/4)-3}

I=[-a,a]としてf,f'がI上連続であるとき
∫_[-a,a]xf(x)dx = (2/3)a^3 f'(b)
となるb∈Iが存在することを示して下さい

>>350
a[n] = (n^2 + 1)
b[n] = (5n^2 + 9)
と置く。 a[n]b[n] が平方数でないことを示せばよい。
a[n] と b[n] の最大公約数 gcd(a[n], b[n]) を考える。
-5a[n] + b[n] = 4
より、 gcd(a[n], b[n]) は 4 の約数である。
a[n] が 4 で割り切れることはないので、 gcd(a[n], b[n]) は 1 か 2 のいずれかである。
したがって a[n] と b[n] の偶奇を調べれば、
n が偶数のとき、 gcd(a[n], b[n]) = 1
n が奇数のとき、 gcd(a[n], b[n]) = 2
となることがわかる。
以下、 a[n]b[n] が平方数でないことを n の偶奇に分けて示す。

【 n が偶数のとき】 gcd(a[n], b[n]) = 1 より、
もし a[n]b[n] が平方数ならば、 a[n] および b[n] も平方数である。
しかし、 n > 0 のとき n^2 < a[n] < (n+1)^2 より a[n] は平方数ではないので矛盾する。

【 n が奇数のとき】 gcd(a[n], b[n]) = 2 より、
もし a[n]b[n] が平方数ならば、 a[n]/2 および b[n]/2 も平方数である。
ここで n = 2k - 1 と置くと、 b[n] = 20k^2 - 20k + 14 より
b[n]/2 = 10k^2 - 10k + 7
となる。
すると b[n]/2 を 5 で割った余りは 2 となるが、平方数を 5 で割った余りは 2 にはならないので矛盾する。