サイクロイドの定積分についての質問

x=a(θ−sinθ), y=a(1−cosθ)であるサイクロイド曲線の長さの計算を
t=0からt=2πではなく，t=kからt=2π+k までのものとした時,
曲線の長さが変わらず 8a となる理由を説明せよ。

サイクロイドの図を見ると何となく長さが変わらないことは理解できるけれど, それを計算式で表す方法がよく分からないので教えて欲しいです。
場合分けすればいいのかな