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ヘロンの公式よりs=(a+b+c)/2
△ABC=√s(s-a)(s-b)(s-c)
またC,Dがなるべく小さくなるようにC=D=πr^2=Eなる半径rの内接円Eがもう1個描ける。
△ABC=(a-2r)(r/2)+(b-2r)(r/2)+(c-2r)(r/2)+r^2√3+3×2r×r
=(a+b+c)r/2+(3+√3)r^2
ヘロンの公式からsを消して△ABC=(1/2)^2√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
=(1/2)^2｛2(a+b+c)r+4(3+√3)r^2｝
二次方程式4(3+√3)r^2+2(a+b+c)r-√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=0を解くと、
r=｛-(a+b+c)+√(a+b+c)^2+4(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝/4(3+√3)
最小値C=D=πr^2=π(2-√3)｛(a+b+c)^2+2(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)-(a+b+c)√(a+b+c)^2+4(3+√3)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝/48