>>27
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
　= ∫d{tan(t)} cos²(t) √(1-tan²(t))
　= ∫[x=0,1]dx √(1-x²) /(1+x²)　　{ x=tan(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt cos²(t) / (1+sin²(t))　　{ x=sin(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt (1-sin²(t)) / (1+sin²(t))
　= -π/2 + ∫[t=0,π/2] dt 2/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * ∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * π√2　　{※1}
　= π/2 * (√2 - 1)　{ 数値積分でもチェック済 }

※1
∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -i*∫[t=0,2π] d{e^{it}} e^{-it}/(1+sin²(t))
　= 4i*∫dz　z/((z²-α)(z²-β)) 　　{ z=exp(it) ※2 }
　=-8π* ((+√α)/(2(+√α)(α-β)) + (-√α)/(2(-√α)(α-β)) { 留数定理 }
　= π√2

※2
(1/z)/ ( 1 - (zz -2 + 1/zz )/4 )
　= -4z/(z⁴ - 6z² + 1)
　= -4z/((z²-α)(z²-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8), |α|<1, 1<|β| }