高校範囲での極限の難問とのことですが、初期条件の黒板の枚数・位置に関わらず1に収束するという結論が理解できずにいます。
時刻t=nでの黒板の枚数は計算できず、評価の仕方も分かりません。
よろしくお願いします。


【問題】
平面が合同な正三角形の板で隙間なく敷き詰められている。どの板も白色である。

時刻t=1において、1つの板を黒く塗る。
その後、各時刻t=2,3,...において、その時刻に存在する黒い板と辺を共有する白い板をすべて黒く塗る。時刻t=nにおける黒い板の枚数をa[n]とおく。

さて、時刻t=1において、平面上の任意のk枚(k≧2)の板を黒く塗り、上記と同様の操作で板を塗っていくことを考える。
t=1での板の塗り方（位置）によって、kが同じでも時刻t=nにおける黒い板の枚数は変化する。その最小値をm[n,k]、その最大値をM[n,k]とする。
このとき以下の極限がいずれも1に収束することを証明せよ。

lim[n→∞] m[n,k]/a[n]
lim[n→∞] M[n,k]/a[n]