>>492
(3) y'+y/x = x^m y^m
これはWolframでカンニング
　DSolve[ y'[x]+y[x]/x == x^m y[x]^m, y[x],x ]
　... {{y[x]→(x^(1 + m)/2 - 1/2 m x^(1 + m) + x^(-1 + m) C[1])^(1/(1 - m))}}
よく分からんが ○^(1/(1 - m)) が肝なのだろう。 (こんなの思いつくわけがない...※)
f(x) = y^{1-m} と置いて
f' = (1-m) f/y * y' = (1-m)　f * (x^m /f - 1/x )
∴ f' -(m-1)f/x -(1-m)x^m = 0
f' -p(x) f - q(x) = 0 タイプの方程式解 ((2)でも使えるパターン) ...
f(x) = e^{+∫dx p} ∫dx( q e^{-∫dx p} )　　{p=(m-1)/x, q=(1-m)x^m}
= x^{m-1} ∫dx ( (1-m)x^m *　x^{1-m} )
= (1-m) x^{m-1} ( 1/2 * (x^2　- C^2) )　　{積分定数は後知恵で整えた}
よって
y = { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C^2 - x^2 ) }^{1/(1-m)}　　( -|C| ≦ x ≦ |C| )
(もちろんWolfram解と等価である)

※手持ちの本をよく見たら、これはベルヌイの方程式のパターンだそうだ。
　たぶん見た事あるけど忘れてた。