>>536
問題の対称行列をAとする
ここで漸化式
f(0)=0, f(1)=1, f(n+2)+4f(n+1)+f(n)=0
を考えると、これは特性根α=-2+√3を使って
f(n)=(α^n-α^(-n))/2√3と解ける

n次行列Bをこのf(x)と階段関数θ(x)を使って
Bij= θ(i-j)f(i-j)-f(i)f(n+1-j)/f(n+1)
と定めるとこれがAの逆行列になっている

実際
恒等式f(n+1)f(i-j)=f(i)f(n+1-j)-f(n+1-i)f(j)からBは
Bij=θ(j-i)f(j-i)-f(j)f(n+1-i)/f(n+1)
とも書ける(対称行列である)が、この２通りの表示を使うことでAの逆行列であることが以下のように確かめられる
f(n)が漸化式を満たすことにより
縦ベクトル{f(i)}_iはAの第n行以外の横ベクトルたちと
縦ベクトル{θ(i-j)f(i-j)}_iはAの第j行と第n行以外の横ベクトルたちと
縦ベクトル{f(n+1-i)}_iはAの第1行以外の横ベクトルたちと
縦ベクトル{θ(j-i)f(j-i)}_iはAの第j行と第1行以外の横ベクトルたちと直交している
よって上の2通りのBの表示から縦ベクトル{Bij}_iはAの第j行以外の横ベクトルたち{Aik}_k(i≠j)と直交している
そして第j列の横ベクトル{Ajk}_kとの内積は1×(-θ(j+1-j)f(j+1-j))=-f(1)=1となる
これはAB=Eを意味している

うーん、もっといい表示と証明があるかも
まあ実際に行列を書いてみれば上の証明でやってることはとても単純な計算