f(x)=x³-x²-x-1, g(x)=x²-x-1 とする

(1) xの方程式 f(x)=0 はただひとつの実数解αをもち、それは 1<α<2 であることを示せ
(2) xの方程式 g(x)=0 の正の解をβとして、αとβの大小を比較せよ
(3)α²とβ³の大小を比較せよ

(3)の一般に想定される解法はβの具体的な値を求めてから、その値を字数を下げた式
β³=β･β²=β(β+1)=β²+β=(β+1)+β=2β+1
に代入し、1<α²<4 と比較するものです

しかし、もっと鮮やかな解法がありそうな気がします。もし思いついた人があれば教えてください。