平面にn個の円を描くと、平面はいくつかの領域に分割される。“境界弧を共有して隣り合う”領域が同じ色にならないように、平面全体を2色
で色分けできる。

証明：
n = 1のとき、縁の外側を白、内側を黒で塗る。
“円の個数がnのとき正しい色分けが可能である”と仮定する。円の個数がn+1のときを考える。いま、n個の円で領域が分割されている場合を
想定しよう。帰納法の仮定より、これは正しく色分けできる。次に、n+1番目の円を加えて、その円の外側の領域の色はそのままにして、内側の
領域をいままで塗ってあった色と反対の色にする。この色分けの仕方は正しい色分けを与えること以下で確認しよう。
上述の色分けの仕方は、n+1番目の円以外のn個の円の弧だけを境界とする領域については仮定により正しい。なぜならば、弧の両側の領域の
色は、その領域がn+1番目の円の内側にあれば両方とも変わり、またその領域が外側にあれば両方とも変わらないからである。また、n+1番目の
円の弧が領域の境界になるときは、その前に1つだった領域が弧を描いた後に2つに分割され、このうちの内側は色を変え、外側は不変だからである。
これで証明は完了した。

以下の部分の日本語が分かりません。一体何が言いたいのでしょうか？

「上述の色分けの仕方は、n+1番目の円以外のn個の円の弧だけを境界とする領域については仮定により正しい。なぜならば、弧の両側の領域の
色は、その領域がn+1番目の円の内側にあれば両方とも変わり、またその領域が外側にあれば両方とも変わらないからである。また、n+1番目の
円の弧が領域の境界になるときは、その前に1つだった領域が弧を描いた後に2つに分割され、このうちの内側は色を変え、外側は不変だからである。」