フランス語の数学記事・論文を読むスレ

oui

anneau:
un anneau
des anneaux
l' anneau
les anneaux

(en) ring
(jp) 環

https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_commutatif

un anneau commutatif:

(en) a commutative ring
(jp) 可換環

"Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. "

A commutative ring is a (unitary) ring in which the low of multiplication is commutative.

x low
o law

entier relatifって何

idéal:

un idéal
d'idéaux
l'idéal
les idéaux

(en) ideal
(jp) イデアル

"L’ensemble des entiers relatifs muni des lois d’addition et de multiplication ordinaires est l'archétype des anneaux commutatifs."

The set of integers provided the laws of ordinary addition and multiplication is the archetype of commutative rings.

gauche = left
droite = right

droiteはlineの意も

voisinage:

un voisinage
des voisinages
le voisinage
les voisinages

(en) neighborhood
(jp) 近傍

https://fr.wikipedia.org/wiki/Voisinage_(math%C3%A9matiques)

"En mathématiques, dans un espace topologique, un voisinage d'un point est une partie de l'espace qui contient un ouvert qui comprend ce point. C'est une notion centrale dans la description d'un espace topologique."

In mathematics, in a topoligical space, a neighborhood of a point is a family of the space which contains an open set which includes this point. This is central notion in the description of a topological space.

フランスにはVoisinさんがいますが、日本で言うところの近藤さんみたいなものでしょうか

https://fr.wikipedia.org/wiki/Morphisme_plat

(en) flat morphism
(jp) 平坦射

"En géométrie algébrique, un morphisme de schémas f: X → Y peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y.
La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille."

In algebraic geometry, a morphism of scheme f: X → Y can be seen as a family of schemes parametrized by the points of Y.
The notion of flatness of f is a sort of continuity of this family.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Diviseur_(g%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique)

diviseur:
(en) divisor
(jp) 因子

"En mathématiques, plus précisément en géométrie algébrique, les diviseurs sont une généralisation des sous-variétés de codimension 1 de variétés algébriques ;
deux généralisations différentes sont d'un usage commun : les diviseurs de Weil et les diviseurs de Cartier.
Les deux concepts coïncident dans les cas des variétés non singulières."


In mathematics, more precisely in algebraic geometry, a divisor is a generalization of subvarieties of codimension 1;
two different generalization are used in common: the Weil divisors and Cartier divisors.
The two concepts correspond in the case of non-singular varieties.

"Le Kronecker Jugendtraum, littéralement le rêve de jeunesse de Kronecker, et connu également comme le douzième problème de Hilbert,
suggère que les extensions abéliennes d'un corps de nombres doivent être contenues dans des extensions engendrées par des valeurs spéciales de fonctions analytiques."

The Kronecker Jugendtraum, literally the Kronecker's youthful dream, and also known.as the Hilbert's twelveth problem, suggests that the abelian extensions of a number field have to be contained in extensions generated by special values of analytic functions.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_modulaire

"En mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance.
La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec la théorie des nombres."

In mathematics, a modular form is a analytic function on the Poincaré upper half plane satisfying a certain kind of functional equations and a growth condition.
The theory of modular forms is therefore in the line of complex analysis, but the principal importance of the theory lies in it's connections with number theory.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_de_Galois

"En mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension normale séparable."

In mathematics, an extension of Galois (sometimes named Galois extension) is a regular separable extension.

"L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelée groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension, ainsi que ses sous-corps."

The set of automorphisms of the extension possesses a structure of group called Galois group. This structure of group characterizes the extension, as well as its subfields.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27image_ouverte

Théorème de l'image ouverte:
theorem of open image
Open mapping theorem (complex analysis)
開写像定理

"En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'image ouverte affirme que les fonctions holomorphes non constantes sont ouvertes."

In mathematics, more precisely in complex analysis, the open mapping theorem states that non-constant holomorphic functions are open.

"Soit U un ouvert connexe du plan complexe C et f : U → C une fonction holomorphe non constante ; alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de U vers des ouverts de C. "

Let U be a connected open set of the complex plane C, and f : U → C be a non-constant holomorphic function, then f is a open map, i.e. it sends the open subsets of U to open subsets of C.

"Nous voulons montrer que tout point de f(U) est intérieur, autrement dit est contenu dans un disque inclus dans f(U). "

We want to show that all points of f(U) are interior, in other words they are contained in a disk included in f(U).

"Soit w0 = f(z0) un point arbitraire de f(U) (avec z0 dans U)."

Let w0 = f(z0) be an arbitrary point of f(U) (with z0 in U).

"U étant ouvert, il existe d > 0 tel que B, le disque fermé de centre z0 et de rayon d, soit inclus dans U."

Since U is open, there exists d > 0 such that B, the closed disk whose center is z0 and radius is d, is included in U.

"f étant non constante sur U et U étant connexe, f est non constante sur B."

Since f is non-constant on U and U is connected, f is non-constant on B.

※ もしfがB上定数関数なら、一致の定理よりU上でも定数関数となる

"La fonction g(z) = f(z) – w0 est analytique non constante, et admet z0 comme racine ; d'après le principe des zéros isolés, nous pouvons donc choisir d pour que g n'ait pas d'autres racines dans B. "

The function g(z) = f(z) - w0 is non-constant and analytic, and z0 is its root ; since zeros of analytic functions are isolated, we can choose d such that g doesn't have other zeros in B.

"Soit alors e le minimum de |g(z)| pour z sur le cercle frontière de B , et soit D le disque de centre w0 et de rayon e."

Let e be the minimum value of |g(z)| for z in the border circle of B, and D be disk of center w0 and radius e.

"D'après le théorème de Rouché, la fonction g(z) = f(z) – w0 a le même nombre de racines (comptées avec multiplicités) dans B que f(z) – w pour tout w à une distance strictement inférieure à e de w0. "

According to Rouché's theorem, the function g(z) = f(z) - w0 has the same number of roots (counting multiplicity) in B as f(z) - w for all w whose distance from w0 strictly less than e.

"Ainsi, pour chaque w dans D, il existe au moins un z1 dans B tel que f(z1) = w. Le disque D est donc contenu dans f(B), sous-ensemble de f(U) ; w0 est donc un point intérieur de f(U)."

So, for every w in D, there exists at least one z1 in B such that f(z1) = w. The disk D is therefore contained in f(B), a subset of f(U); w0 is therefore an interior point of f(U).

>>30
h(z) = f(z) - wとすると

|g(z)| ≧ e > |w - w0| = |g(z) - h(z)|

"Ce théorème est un exemple des importantes différences entre les applications holomorphes et les fonctions R-différentiables de C vers C :
la fonction de variable complexe z ↦ |z| est R-différentiable et de classe C^∞, mais n'est clairement pas ouverte."

This theorem is an example of impotant differences between holomorphic maps and R-differentiable functions from C to C :
the function of complex variables z ↦ |z| is R-differentiable and of C^∞, but clearly not open.

"Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R puisque son image est l'intervalle fermé [0, +∞). De même, il n'y a pas d'équivalent pour les fonctions de variable réelle."

It's not open even as map from C to R since its image is the closed interval [0, +∞). Likewise, there is no equivalent for real variable functions.

神スレ

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Forme_diff%C3%A9rentielle

Forme différentielle:
une forme
des formes
la forme
les formes

differential form
微分形式

"En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité."

In differential geometry, a differential form is the data of a field of alternative multilinear maps on the tangent spaces of a differential variety possessing a certain regularity.

"Le degré des formes différentielles désigne le degré des applications multilinéaires."

The degree of differential forms means the degree of multilinear maps.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_fondamental

"En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique.
Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, p) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base p.
C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs."

In mathematics, more specifically in algebraic topology, the fundamental group or Poincaré group is a topological invariant.
The fundamental group of pointed topological space (X, p) is, by definition, the set of homotopy classes of loops (closed pathes) of X of base p.
This is a group whose law of internal composition is induced by the concatenation (juxtaposition) of the arcs.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cohomologie_des_groupes_profinis

"La cohomologie des groupes profinis est une théorie cohomologique, reposant sur la théorie des groupes profinis.
Elle consiste en un raffinement de la cohomologie des groupes classique, principalement par la prise en compte de la nature topologique des groupes profinis.
Elle s'est développée par la motivation essentielle que constitue la cohomologie galoisienne et ses applications en théorie des nombres."

The cohomology of profinite group is a cohomology theory based on the theory of profinite groups.
It consists of a refinement of the classical group cohomology, mainly by taking into account the topological nature of profinite groups.
It developed by the essential motivation that constitutes Galois cohomology and its applications in number theory .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_point_fixe_de_Lefschetz


"En mathématiques, le théorème du point fixe de Lefschetz est une formule qui compte le nombre de points fixes d'une application continue d'un espace compact X dans lui-même en utilisant les traces des endomorphismes qu'elle induit sur l'homologie de X. Il est nommé d'après Solomon Lefschetz qui l'a démontré en 1926."

In mathematics, the Lefschetz's fixed point theorem is a formula which counts the number of fixed points of a continuous map from a compact space into itself by using the traces of endomorhisms induced on the homology of X. It is named after Solomon Lefschetz who proved it in 1926.

当たり前だけど、日常会話で使われる単語の方がフランス語独自のものが多いので、数学記事よりそちらの方が難しく感じる（笑）

数学記事読むだけならフランス語のハードルである時制や活用を覚えなくてよいのは嬉しい

フランス語も“恒久の真実”は現在形で桶なの？

直接法現在で合っていると思います

>>45
merci beaucoup

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%80_quelque_chose_pr%C3%A8s

up to something

well-definedのフランス語版はなかった

"En mathématiques, l'expression « à quelque chose près » peut avoir plusieurs sens différents."

In mathematics, the expression 'up to something' can have many different senses.

"Elle peut indiquer la précision d'une valeur approchée ou d'une approximation. Par exemple, « a est une valeur approchée de x à ε près » signifie que la condition |a-x| < ε est vérifiée."

It can indicate the precision of a approximate value or an approximation. For example, 'a is an approximate value of x up to ε' means that the condition |a-x| < ε holds.

"Elle peut aussi signifier que des éléments d'une certaine classe d'équivalence doivent être considérés comme ne faisant qu'un. "

It can also mean that elements of certain equivalence classes have to be considered as one.

"Dans l'expression à xxx près, xxx représente alors une propriété ou un processus qui transforment un élément en un autre de la même classe d'équivalence, c'est-à-dire en un élément qui est considéré comme équivalent au premier."

In the expression "up to xxx", xxx then represent a property or a process which transforms a element into another in the same equivalence classes, i.e. an element which is considered equivalent to the first one.

"Dans l'expression à xxx près, xxx représente alors une propriété ou un processus qui transforment un élément en un autre de la même classe d'équivalence, c'est-à-dire en un élément qui est considéré comme équivalent au premier."

In the expression "up to xxx", xxx then represents a property or a process which transforms a element into another in the same equivalence classes, i.e. an element which is considered equivalent to the first one.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(de_modules)

Faisceau de modules

(en) sheaf of modues
(jp) 加群の層

"En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé (X, O_X) qui possède une structure de module sur le faisceau structural O_X."

In mathematics, a sheaf of modules is s sheaf on a locally ringed space (X, O_X which possesses a structure of module over the O_X structural sheaf.

"Sur un espace localement annelé (X, O_X), un faisceau de O_X-modules (ou un O_X-Module) est un faisceau F sur X tel que F(U) soit un O_X(U)-module pour tout ouvert U, et que pour tout ouvert V contenu dans U, l'application restriction F(U) → F(V) soit compatible avec les structures de modules: pour tous a ∈ O_X(U), f ∈ F(U), on a

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}.

Les notions de sous-O_X-modules et de morphismes de O_X-modules sont claires."

On a locally ringed space (X, O_X), a sheaf of O_X-modules (or a O_X-module) is a sheaf F on X such that F(U) is O_X(U)-module for any open sets U, and that for any open sets V contained U, the restriction map F(U) → F(V) is compatible with the structures of modules: for any a ∈ O_X(U), f ∈ F(U), we have

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}.

The notions of sub-O_X-modules and morphisms of O_X-modules are clear.

"Le faisceau structural O_X est un faisceau de O_X-modules. Les sous-modules de O_X sont des faisceaux d'idéaux de O_X."

The structure sheaf O_X id a sheaf of O_X-modules. The sub-modules of O_X are sheaves of ideals.of O_X.

"Si f:F→ G est un morphisme de faisceaux de O_X-modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de f sont des faisceaux de O_X-modules. Le quotient de G par un
sous-O_X-Module est un O_X-Module."

If f: F → G is a morphism of sheaves of O_X-modules, then the kernel, the image and the cokernel of f are sheaves of O_X-modules. The quotient of G by a sub-O_X-modules is a O_X-module.

http://www.numdam.org/article/ASENS_1974_4_7_4_507_0.pdf

"Formes modulaires de poids 1"

(en) Modular Forms of weight 1
(jp) 重さ1の保型形式

※ Qの代数閉包（Qの上にバー）は、Q^で書きます。

"La décomposition en produit eulérien, et l'équation fonctionnelle, des séries de Dirichlet associées par Hecke aux formes modulaires de poids 1 suggèrent que celles-ci correspondent à des fonctions L d'Artin de degré 2 du corps Q, autrement dit à des représentations de Gal(Q^/Q) dans GL2(C). C'est une telle correspondance, conjecturée par Langlands, que nous établissons ici."

The decomposition into Euler product, and the functional equation, of Dirichlet series associated by Hecke with modular forms of weight 1 suggests that these correspond to Artin's L functions of degree 2 of the field Q, in other words representations of Gal(Q^/Q) in GL2(C). This is such a correspondence, conjectured by Langlands, that we establish here.

"Les trois premiers paragraphes sont préliminaires. Le paragraphe 4 contient l'énoncé du théorème principal, et quelques compléments. La démonstration occupe les paragraphes 5 à 9. Son principe est le suivant:
on commence par construire, pour tout nombre premier l, une représentation de Gal(Q^/Q) en caractéristique l (cf. §6);
on montre ensuite que les images de Gal(Q^/Q) dans ces diverses représentations sont « petites », ce qui permet de les relever en caractéristique 0, et d'obtenir la représentation complexe cherchée (§§ 7 et 8);
la « petitesse » en question résulte elle-même d'une majoration en moyenne des valeurs propres des opérateurs de Hecke (Rankin, cf. § 5).
Le paragraphe 9 contient une estimation des coefficients des formes modulaires de poids 1."

The first three sections is preliminaries. The section 4 contains the statement of the main theorem, and some complements. The proof occupies the section 5 to 9. Its principle is as follows:
we start by construncting, for any prime number l, a representation of Gal(Q^/Q) of characteristic l (cf. §6);
we show then that the images of Gal(Q^/Q) in those various representations are « small », which makes it possible to lift them to characteristic 0, and to obtain the complex representation to be sought (§ 7 and 8).
the « smallness » in question results itself from an increase of average of eigenvalues of Hecke operators (Rankin, cf. §5).
The section 9 contains a estimation of coefficients of mofular forms of weight 1.

"Signalons que nous avons utilisé en un point essentiel (§6, th. 6.1) des résultats démontrés par l'un de nous (P. Deligne), mais dont aucune démonstration complète n'a encore été publiée; en attendant une telle publication (ainsi que celle de SGA 5, dont ils dépendent), nous demandons au lecteur de bien vouloir les admettre."

Let us mention that we've used at an essential point (§6, th.6.1) results proved by one of us (P. Deligne), but of which no complete proof has yet been published; pending a such publication (as well as that of SGA5, on which they depend ), we ask the reader to admit them.

そもそも英語力が無い

http://www.numdam.org/article/SB_1971-1972__14__319_0.pdf

Congruences et formes modulaires

"Diverses fonctions arithmétiques sont définies comme coefficients de fonc-
tions modulaires. Citons notamment :"

Various arithmetic functions are defined as coefficients of modular functions. These include:

"Ces fonctions sont liées entre elles par de nombreuses congruences, qu’il n’est guère possible de résumer en un exposé ; on en trouvera des échantillons dans [1], [9], [10], [11], [15]. Je me bornerai à un théorème de structure (§ 1) et à deux applications :
l’une aux valeurs des fonctions zêta aux entiers négatifs (§ 2), l’autre aux représentations l-adiques attachées aux formes modulaires (§ 3). La méthode suivie est due à Swinnerton-Dyer [18]."

These functions is connected with each other by numerous congruences, which which it is hardly possible to summarize in a presentation; we can find examples in [1], [9], [10], [11], [15]. I limit it to a theorem of structure (§1) and two applications :
the one to the values of zeta functions with negative integers (§ 2), the other to l-adic representations attached to modular forms (§ 3). The method followed is due to Swinnerton-Dyer [18].

areです

見直すとひどい英文だ

あああああ。

> En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique.
> Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, p) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base p.
> C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs.

数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群またはポアンカレ群とは、ある位相不変量である。点付き位相空間(X, p)の基本群は、定義より、Xのpを基点とする閉路（閉じた道）のホモトピー類である。これは、道の結合を乗法とする群になる。