面白い問題おしえて〜な 33問目

過去ログ置き場(1-16問目)
//www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
//www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

過去スレ
01 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
02 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
03 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
08 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
09 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/ (前スレ)

AとBの箱があり、中には100本ずつのクジが入っている。
今から1本クジを引くが、あなたはA、Bどちらを選ぶ？

A・・・100本全部当たりくじで賞金は8万円。
B・・・100本中85本が当たりくじで賞金は10万円、ただしハズレが15本入っていてハズレを引くと賞金は0円。

期待値の概念が分かってるなら当然Bを選ぶのだが、実際にはほとんどの人がAを選ぶ。
その心理を述べよ。

>>2
わたしが欲しいのはお金じゃないの。
当選者という肩書きなの。
とにかく当選がしたいの。

人間は不幸がないことを幸せと感じる
数学じゃないな

期待値はあくまでも試行を繰り返したときに収束していく値だから
分散が大きいとこの収束は遅くなるので、試行回数が少ないとき分散の違いによる心理的影響は大きい

1回しかやれないのなら、8万円賭けて1回しかやれないBの賭けをやるかってのと同じことだからな
期待値プラスだとしても2万円増やすために8万円賭ける人は少ない
と思ったけど競馬で1.2倍の超本命に掛けるのと同じようなものか
1.2倍以下の超本命がいるレースで実際に超本命が勝ったのは過去何％くらいなんだろうか
これが85％以下だとこの問題の場合もBに賭ける人は結構たくさんいるのかも知れない

未だにコロナをただの肺炎だと思ってる人がいることが信じられないわ
ただ致死率が低いだけで軽症でも９割近くに後遺症が残ると言われてるのに
医者が新型コロナは軽症でも肺が繊維化して後遺症で息苦しさがずっと続くこんな肺炎見たこと無いと言ってる
医学的な定義では軽症なだけで廃人になるレベルでの日常生活困難になったりするんだよ
ツイッターで感染者が後遺症を綴ってるの一杯いるから見てみたらいいよめっちゃ怖いから
見たらはっきり言って生き地獄

日本の競馬って胴元が25％だか抜いた残りを配分しているんだから全体で見れば期待値は-25％
ところがソフトで分析して長期的にプラスを出している人がいる
これって相当多くの人が-25％よりももっと期待値悪くなる買い方をしているってことだよな？

〔問題〕
n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、
・長さn+1の増加部分列があるか、あるいは
・長さn+1の減少部分列がある
ことを証明せよ。
　[前スレ.989]　[分かスレ４６２．763-764]

・参考書
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

s : a_1, a_2, …, a_{n^2+1}を相異なる整数からなる数列とする。
sは長さn+1以上の増加部分列を含まないと仮定する。
ここで、各k = 1, …, n^2+1 に対して
　l_k = (a_kから始まるsの最長増加部分列の長さ)
と定義する。
仮定により、l_k は {1,2,････,n} のいずれか。
n+1項以上の相異なるjが等しいl_jをもつことが鳩の巣原理により分かる。
等しいl_jをもつn+1項以上については、隣合う2項(a_j)が減少である。
（もし増加ならば l_j も増加する。)
∴ これらn+1項以上は減少部分列を与える。
[分かスレ４６２．768-769]

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

>>2
いわゆるプロスペクト理論で説明できる
低確率→過大評価
高確率→過小評価
の傾向がある
ついでにお金に関しても8万から10万へのUPは過小評価される
0から1万は過大評価、負でも同じね

3次元ユークリッド空間の中に9つの格子点（x座標、y座標、z座標がすべて整数である点）が与えられているとしよう。
これらの2点を結ぶ線分の1つの内部に格子点があることを示せ。

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

>>12
解答読んだら、ちょっと簡単すぎる問題だったかもしれません。

いやいや難しい････

x,y,z の奇数/偶数 により、8つ以下の組に分類する。
鳩ノ巣原理により、9点のうちの2点以上が同じ組に含まれる。
その2点の中点は格子点。

ただの鳩ノ巣原理の練習問題だろ
大学入試によく出るやつ

>>12
一般のn次元でも成立する？

>>16
格子点が 2^n + 1 個あれば同様だろ

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

を読んでいてよく分からないシュペルナーの補題（スペルナーの補題）を調べてみたら、証明法が奇抜で面白い問題を見つけました。

http://www.mathlion.jp/article/ar142.html

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

シュペルナーの補題の記述で分からないことがあります。
平面にどの3本の釘も1直線上にないように釘を打ち込む。3つの釘によって決まる三角形の領域という場合、その三角形の内部には釘は1本もないと
考えていいでしょうか？それとも、内部に釘を含んでいても三角形の領域というでしょうか？

三角形の内部には釘は1本もないと解釈せざるを得ない箇所を見つけました。

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

多分、難しい問題だと思います。aとcを結ぶ線分およびbとdを結ぶ線分は長方形の対角線になります：

長方形の板があり、その4頂点a, b, c, dに釘が打ってある。aとcは+の釘、bとdは-の釘である。そして、どの3本の釘も一直線上に並ばないようにかってに
+と-の釘を何本でも打ち込み、釘以外で意図が交差することがないように釘の間を糸で結び、もうこれ以上は交差せずには結べないところまで結ぶ（この
とき、長方形の内部の領域はすべて三角形であることに注意せよ）。このとき、+どうしを結ぶ糸だけを通ってaからcまで到達できるか、または-どうしを結ぶ
糸だけを通ってbからdまで到達できる。

宣伝やめてください

>>21

この問題の解答が理解できません。画像をアップロードしたら解説していただけますか？

ここって面白い問題を書くスレじゃないの？
分からない問題なら分からない問題スレでええやろ
回答がもらえるかどうかは知らんけど

4×nのサイズのチェス盤上の任意のマス目に、ナイトを1つ置く。4*n回の連続したナイトの動きで、チェス盤のナイトの置かれたマス目から
出発してすべてのマス目をちょうど1回通過してはじめのマス目に戻ることは可能か？

>>２５
答えは不可能です。

前>>3
>>21なんなの？　買ってほしいの？
どこ見てんのよ？
共立びよ〜げか〜♪

>>25 >>26
closed knight's tour

チェス盤には市松模様 (ルイ・ヴィトン模様) が描いてあり、
同じ色のマスには飛べナイト。
∴ 白 ⇔ 黒 を交互に飛ぶ。

また4列のうち、中央の2列を青で塗り、両端の列を赤で塗る。
赤→赤 は飛べナイト。赤マスの前後は青マスに限る。
また、赤マスと青マスは同数ある。
closed tour では 赤 ⇔ 青 を交互に飛ぶ。(*)

∴ {白,黒} と {赤,青} は 1：1 に対応することになる。(矛盾)

*) open tour では、最初と最後が赤マスで 途中に青→青を含む可能性あり。

4×3 open tour の一例
　1二、3一、4三、2二、4一、3三、2一、1三、3二、1一、2三、4二
　まで12手。
　両端が赤で、途中 3三→2一 が 青→青 です。

>>14
鳩ノ巣原理は動物虐待。
部屋割り論法という旧称を復活すべきｗ

3次元ユークリッド空間R^3の部分集合Aを
A={(x,y,z)∈R^3|x,y,zの少なくともひとつは整数}
とする
航路をAの部分集合に限った場合に、
(0,0,0)から(3,3,3)への最短の旅程を示せ
またその道程を答えよ

∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = ... の一般式を導出してみました。
単に驚きの共有といったところです。特に質問はありません。

https://imgur.com/wQw3Dov
留数計算と極限操作をしてるだけですが、
ε極限の収束は確定してるので、相殺予定の発散項は無視して計算するのが肝です。

以前に計算した事のある式
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n dx
　= 2nπ/(2n)!! Σ[k=0,⌊(n-1)/2⌋] C[n,k](-1)^k (n-2k)^{n-1}
これはもっと簡易化できるか？ nが非整数の場合はどうなのか？ を問うつもりだったのだけど、
Gradshtejn, Ryzhikov_Tablicy Integralov (※)の p.471 に cos(mx) 付きの公式(一部誤植あり)を見つけて
あらためて導出してみたわけです。 たぶんこれ以上は簡単にならないのでしょう。

※なんでも載ってる数学公式集だと 数学者(名前は忘れた)が twitterで言ってました。
ググれば pdf が転がってます。 ロシア語なので地の説明文は全然分からず、公式の探し方には苦労します。

∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^4 cos(5x) dx = 0
こんなのは一瞬で判定できるし...

∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^13 cos(9x) dx =
こんなのも...
n=13;m=9; Sum[ 2πn/(2n)!! Binomial[n,k] (-1)^k (n+m-2k)^(n-1), {k,0,Floor[(n+m-1)/2]} ]
⇒ 1361π / 159667200
厳密値が得られます。同じ計算機に頼りにしても数値積分(近似値)より遥かに強い結果です。

>>32
後半 ( n=1) のケース、複合同順みたいになってる箇所は間違い。
正しくは +{(m+1)＞0} +1/2 * {(m+1)=0} -{(m-1)＞0} -1/2 * {(m-1)=0}
( 中括弧の意味は {true} = 1, {false} = 0 )
最終結果は変更なしです。

つまりは(sinc(x))^nのフーリエ変換ですな

>>31
頂点が隣接する格子点である正方形を通過する経路を考えることになる
途中格子点を通らなければ通過する正方形は辺を共有するものを辿ってつながっているので折り目を開くと(0,0)と格子点(a,b) (a+b)=9を繋ぐ経路となる
よってその最小値は(a,b)=(4,5),(5,4)の時で√41
途中格子点を通るなら通った格子点の数＋1だけ同様の議論をすればそのような経路では√41以下にはできないとわかる

>>31
a=(0,1/4,1/5),b=(1/4,0,1/5),c=(1/4,1/5,0) として、例えば
4a、b、5c、6b、4a　のように合計20工程進む。この時の通過点は
(0,0,0)→(0,1,4/5)→(1/4,1,1)→(3/2,2,1)→(3,2,11/5)→(3,3,3)　で、
|a|=|b|=|c|=√(1/4^2+1/5^2)なので、距離は
20√(1/4^2+1/5^2)=√(5^2+4^2)=√41=6.40312...

3*3=9や、3+3√2=7.2426...や、3√5=6.7082...等より短い

>>35
こんなのが積分できる！と浮かれて全く気づきませんでした。なるほどそうなりますね。

∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = ... の件

一部修正のついでに 連続値の m に対応した。
せっかくなのでフーリエ変換 (n=1,2, .., 6 ) のプロットも追加した。
https://imgur.com/a/uGHMhTC

>>39
日本語縛りでもしてるの？
いや別に英語でもいいけど

>>40
英語だって if くらいしか使ってませんよね。
自分用の数式メモは、必要最小限にまで切り詰めるので自然言語はあまり残りません。
教科書にあり長い定理証明もノート1ページ、できれば半ページに収まるように頑張ってみたりします。

>>41
変わってますね
自分用のメモで後から見ても困らないならそれでいいと思いますが
人に伝えたいなら自然言語も使いましょうね

f(x + y) = f(x) * f(y)
f(1) = 10
を満たす関数はg(x) = 10^x以外に、無数に存在することを示せ。

>>32
「以前に計算した事のある式」は↓にある。

森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221 (1956)
　p.254　注3

1215
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>44
ああ載ってましたか、さすが岩波ですね。

昔書いたメモより
(a,b＞0) ∫[-∞,+∞] sin(at)sin(bt)/t^2 dt = π min{a,b}
の導出を追加しました。 https://imgur.com/a/uGHMhTC (前のと同じリンク)
sinc^2 積分の応用例となっています。
何かネタ元はあったはず。twitterの誰か(黒木とか)だったかも知れない。

それと、
　∫[-∞,+∞] sin(x^n)/x^n dx = ...
の導出過程も置いておきます。
普通に部分積分+αで求まってしまいます。きっとこれも公式集に載ってるでしょう。

そのフーリエ変換
　∫[-∞,+∞] sin(x^n)/x^n cos(mx) dx
は sinc^n より遥かに難しそうで、ちょっと常人には手の届かない感じです。
それでも個々の数値に対しては(例. n=7; m=1)には、解析解をひねり出すアルゴリズムが存在するようです。

昔のメモから見つけた積分ネタをもう一つ
∫ [0,∞] ( sin(x)-cos(x) ) log(x) /√x dx = π^{3/2}/√2

https://imgur.com/a/rLXSe0G
わりと短いのに中々エグい変化球で攻めています。
自分でも覚えていないのですが、どこかの拾いネタを整理して書き留めたのでしょう。

そしてやはりWolfram先生は答えを知っています。でもステップ解説はありません。
　Integrate[ (Sin[x]-Cos[x]) Log[x]/Sqrt[x], {x, 0,+∞} ] ⇒ π^{3/2}/√2 ≒ 3.9374

同値変形の式に対しては...
　Integrate[ Sqrt[2] x E^(x/2) Sin[E^x -π/4], {x, -∞,+∞} ] ⇒ ≒ 3.49091
数値積分計算を出して終わりです。しかも少数一桁すら合ってません。計算時間制限が短い無料枠の限界です。
まぁ sinの位相変動が激しすぎる、しかも振幅が無限発散て... 。むしろ、よく収束させたなと褒めるべきでしょうか。
同じ式を Wolfram Engine(無料, 要インストール)で評価すると長考の末に正解を吐き出します。

覚えてないならメモ役に立ってないじゃん
ネタ元書いとけよ

役に立つかどうかで数学やってんのお？

ここは自由帳じゃないぞ

自分みたい道楽者は 式の過程が追えればそれでいいですが、
本を書くような人はネタ元を気にした方がいいかもしれませんね。

>>47
∫ [0,∞] ( sin(x)-cos(x) ) log(x) /√x dx
はt^qのLaplace変換

∫ [0,∞] x^q e^(-sx)dx = Γ(q+1)/s^(q+1)

の両辺qで微分してq=-1/2、s=iの実部と虚部出しても出せるな
Γ'(1/2) (=√π(-γ-log4))とか出てくるけど消えるし

"高校数学の美しい物語" にあるBorwein積分の証明を見てて気づいたこと。

sin(aₖx)/x = ∫[0,aₖ]dξₖ cos(ξₖx)
Π[k=1,n] cos(ξₖx) = 1/2ⁿ Σ[全ての±組み合わせ] e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)}
と
sinc(x)のフーリエ変換
∫[-∞,+∞]dx e^{im} sinc(x) = if(|m|≦1, π, 0) (本来の境界値 π/2 (|m|=1)は計算に寄与しないので無視)
より
∫[-∞,+∞]dx {Π[k=1,n] aₖ*sinc(aₖx)} sinc(x) = ...
　= π/2ⁿ * Volume[ [-a₁,+a₁][-a₂,+a₂]...[-aₙ,+aₙ] ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
つまり、2つの超平面で角を削られた n次元直方体の超体積で表せます。
Borwein積分の条件 a₁+a₂+..+aₙ ≦ 1 は「削られない」条件て事ですね。

特に
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)^{n+1} = π/2ⁿ * Volume[ [-1,+1]ⁿ ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
です。
n=1, 2, 3 程度なら図形の切り貼りでも計算できます。
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)² = π/2 * (2 - 0) = π
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)³ = π/2² * (2² - 2*1/2) = 3π/4
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)⁴ = π/2³ * (2³ - 2* (2√2)²(√3 /2)(1/2) * √(3*2²/3²) /3 ) = 2π/3

>>55
Borwein積分みたいな式って結構昔から知られてるんですね。
もっと最近の話かと思ってました。

アレ？ホント？
“直方体”を超平面“Σxi=0”出切った面積にならない？

>>55
cos(b₁t) cos(b₂t) ････ cos(bₙt) が寄与しない理由を考えてみました。

sin(aₖt)cos(bₖt) = 1/2 *{ sin((aₖ+bₖ)t) + sin((aₖ-bₖ)t) }
と
Σ[k=1,n-1] |aₖ±bₖ| ≦ Σ[k=1,n-1] |aₖ|+|bₖ| ≦ aₙ
より
与式 = 1/2 * { (a₁+b₁)*... + (a₁-b₁)*... } = a₁ * ...
なるほど、うまくできてるものですね。

>>57
e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)x}
これが例えば ξ₁ にだけ負符号が付いてるケースを考えます
∫ [0,a₁] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ ∫ dx e^{ i(-ξ₁+ξ₂+...+ξₙ)x } sinc(x)
　= ∫ [0,a₁] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ If( | -ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 ) 　{∵ sincのフーリエ変換 }
　= ∫ [-a₁, 0] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ If( | +ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 )
このようにプラマイの組み合わせ毎にn次元空間の各象限が対応し、
それぞれに共通の条件 | +ξ₁+ξ₂+...+ξₙ | ≦ 1 が課されます。
総和で ∫ [-a₁, +a₁] dξ₁ ∫ [-a₂,+a₂] dξ₂ ... ∫ [-aₙ, +aₙ] dξₙ If( |+ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 ) = π * Volume[〜]
を計算せよ。 という話になります。

>>59
あれ？
だってsinc(x)のフーリエ変換が rect(t)でしょ？
定数は無視して
じゃあ(sinc(x))^3のフーリエ変換はrect*rect*rect(x)でその値は
rect*rect*rect(x) = ∫ rect(s)rect(t)rect(x-s-t) dsdt
で特にx=0の時は∫[|s|≦1,|t|≦1,|-s-t|≦1] 1dsdtになると思うんだけど

>>59
あ、わかった、ゴメン、その通りだ
>>60のnotationで-s-t=uとおいて(s,t,u)の空間では綺麗な正六角形だけど積分するために一文字消して射影することになるけど、その射影した像は“角を落とした直方体”になるな
吊ってくる

結局convolutionが平行移動と可換、すなわちPを平行移動作用素とする時P(f*g)=(Pf)*g=f*(Pg)と(定数倍無視して)Hをヘビサイド関数とする時sinc(x)のフーリエ変換がH(t+1)-H(t-1)と二つのヘビサイド関数の平行移動の差でかける事を認めればPをt軸方向へ-1の平行移動、Qをその逆写像として(sinc(x))^3のフーリエ変換はH*H*H=H(t)(1/2)t^2により(定数倍無視して)
(PH(t)-QH(t))*(PH(t)-QH(t))*(PH(t)-QH(t))
=(PPP-3PPQ+3PQQ-QQQ)H*H*H
=(1/2)(H(t+3)H(t+3)^2-3H(t+1)(t+1)^2
. +3H(t-1)(t-1)^2-H(t-3)(t-3)^2))
になる

恵羅夫妻は同伴で最近パーティに出席し、そこには他の3組の夫婦が同伴で出席していた。いろいろな人々の間で握手が交わされた。
どの人も自分の同伴者とは握手をせず、どの人も同じ人と2度以上は握手をせず、また当然だが、誰も自分自身とは握手をしなかった。
握手をしたあと、恵羅氏は彼の妻を含めた各人に、他と何回握手を交わしたかと尋ねた。驚いたことには、どの人も異なる回数を答えた。
さて、恵羅夫人は何回握手をしただろうか。

>>65
合計8人いる
自分と、自分のパートナーとは握手しないので、握手の最大回数は6回。最小回数は0回。
恵羅氏は7人に尋ねて、全て異なる回答を得たので、0回から6回までという回答が1回ずつあった。

恵羅氏を除いた握手の合計回数は6+5+4+3+2+1+0=21。全員の握手合計回数は偶数で無ければならないので、
恵羅氏の握手の回数は、1,3,5のいずれか。1あるいは5の場合、矛盾が発生するので、恵羅氏の握手の回数は3

さて、どこかに、6回の人Aがいる。その人とのパートナーaが必然的に0回。
1回と答えた人は、必然的に、Aとだけ握手した人bだ。そしてそのパートナーが5人と握手した人Bとなる。
2回と答えた人は、必然的に、AとBとだけ握手した人cだ。そしてそのパートナーが4人と握手した人Cとなる。
回答を得た7人のうち、6人つまり、AaBｂCcと命名した人物の握手回数は確定したが、
この中に「3人と握手した」と回答した人はいないし、その人のパートナーも現れていない。
従って、恵羅氏および、恵羅夫人は、二人とも3人と握手したと結論できる。

>>66
こういう解答ってOKなんですかね？
問題に欠陥がある場合には対応できないですよね。

前提条件を満たす解を下から組み上げていったら
a. 具体的な唯一解が得られた。 → 問題に欠陥なし
b. 解は存在しないか 複数ある事が分かった。 → 問題に欠陥あり
c. 途中で進め方が分からなくなった。 → 君(or 人類)にはまだ早すぎた問題だった

やろうと思えば全パターンを場合分けできるような問題で c はありえんでしょ。

結局最初の方のロジックで押し切ればいいんだな
対角は□は確定してる(自分とは握手してない)
6人と0人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□
◯□
◯□
◯□
◯□
◯□
5人1人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□
◯□◯□
◯□◯□
◯□◯□
4人2人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□□□◯◯
◯□◯□□□□□
◯□◯□◯□
◯□◯□◯□
3人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□□□◯◯
◯□◯□□□□□
◯□◯□◯□□□
◯□◯□◯□□□

合計8人いる。
自分や自分のパートナーとは握手しないので、握手の
最大回数は6回。最小回数は0回。
イナ氏は7人に尋ねて、全て異なる回答を得た。
0回の人、････、6回の人が1人(〜2人)いる。

6回の人Aは、{A自身、Aのパートナーa} を除く6人全員と握手した。
a以外の人は1回以上握手したので、0回はaのみ。
6回の人が2人いたら、0回の人がイナい。(矛盾)

5回の人Bは、{B自身、Bのパートナーb、a} を除く5人と握手した。
a,b以外の人は2回以上握手したので、1回はbのみ。
5回の人が2人いたら、1回の人がイナい。(矛盾)

4回の人Cは、{C自身、Cのパートナーc、a、b} を除く4人と握手した。
a,b,c以外の人は3回以上握手したので、2回はcのみ。
4回の人が2人いたら、2回の人がイナい。(矛盾)

3回の人Dは、{D自身、Dのパートナーd、a、b、c} を除く3人と握手した。
残るD,dのペアは3回ずつ。

題意により、イナ氏はD、dのいずれか。


(問題)
ｉの握手回数を n_i とする。
　ｉとｊが握手　⇔　n_i + n_j ≧ 7,

よくよく考えたら「自分の伴侶とは握手しなかった」という条件はほとんど使ってなくて「全員と握手したと答えた人はいなかった」で確定するな

>>70
エラ夫妻かと思ったら人気者のイナ氏夫妻がモデルだったのか？

(問題)
ｉの握手回数を n_i とする。
　ｉとｊがパートナー　⇔　n_i + n_j = 6,

ni=0,6の時は明らか、nj=0,6も同じく
∴夫婦3組の場合に還元される
以下ry

>>68
> n=8
> (co=combn(n,2)) # 8人から2人選ぶ
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3
[2,] 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 4 5
[,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27] [,28]
[1,] 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7
[2,] 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8
> (pair=co[,-c(1,14,23,28)]) #(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)は除外して24通り
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3
[2,] 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 5 6 7
[,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24]
[1,] 3 4 4 4 4 5 5 6 6
[2,] 8 5 6 7 8 7 8 7 8

2^24=16777216通りの組み合わせ

>>75
2^24=16777216通りの組み合わせを総当りで求めたら４８通りが該当。

1,2がイナ夫妻の握手した人数

> SHAKES
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 3 3 0 6 1 5 2 4
[2,] 3 3 0 6 2 4 1 5
[3,] 3 3 1 5 2 4 0 6
...
..
[46,] 3 3 5 1 4 2 6 0
[47,] 3 3 6 0 4 2 5 1
[48,] 3 3 6 0 5 1 4 2

１，２をイナ夫妻として握手した数が
[1,] 3 3 0 6 1 5 2 4
になる場合、どういう組み合わせになるかを図示してみた。

○が握手した組み合わせ

https://i.imgur.com/jZgkoZv.png

ちょっと簡単かもしれませんが。

人々のどんな集団にも、知り合いの人数が同数であるような2人がいることを証明せよ。

>>2
なんでもかんでも期待値って高校生までにしないか？

>>77

　 3　3 　0　6 　1　5 　2　4
　-------------------------------------
4　○ ○　× ○　× ○　＼／ 　C
2　× ×　× ○　× ○　／＼ 　c

5　○ ○　× ○　＼／ 　○ ○　B
1　× ×　× ○　／＼ 　× ×　b

6　○ ○　＼／ 　○ ○　○ ○　A
0　× ×　／＼ 　× ×　× ×　a

3　＼／ 　× ○　× ○　× ○　D
3　／＼ 　× ○　× ○　× ○　d
　-------------------------------------
　 d　D 　a　A 　b　B 　c　C

>>78
n人の集団で可能な知り合いの人数は0〜(n-1)人のnパターンだけど知り合いが0人の人と(n-1)人の人は同時に存在しないので、実際はn-1パターン
鳩ノ巣原理で同じ知り合いの人数の人がいる

前>>27
>>70
4人のご夫人のうち少なくとも1人が潔癖症であったなら、パートナーである某氏はだれとも握手ができない。恵羅氏以外の7人が7様の答えをしたわけで、ある夫婦2人がともに0人というのはおかしい。つまりどちらかがうそを吐いている。うそを吐いてまでして2人の潔癖を守ったのだ。ああ、なんということだ。
また逢いたい。イナ氏はそう思た思う。
うーぬ。
――戻ってこいやああああ!!!

量子の世界では鳩ノ巣原理は成立しないという。
一つの巣箱に鳩を複数入れるのは動物虐待。
量子の世界は動物愛護の精神が活きているｗ

前>>82
>>83いい名前ですね。けど妻が潔癖症か否かにかかわらず、妻の名前を出す必要はないと考えます。すなわちあと3組の夫婦が夫婦別姓ではないと読みとれるからです。

定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。

定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。

定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。

Rを木Tの任意のノードとする。

RからRを除くn-1個の各ノードへは一意的な道が存在する。

AをRとは異なる任意のノードとする。

R→…→A''→A'→Aという一意的な道が存在する。Aに辺A'-Aを対応させる写像φ : V(T) - {R} → E(T)を考える。
φは単射である。なぜなら、仮に、φ(A) = φ(B)となるような異なる2点A, Bが存在したとすると、
B = A'でなければならないが、道R→…→A''→A'→AのR→…→A''→A'がRからA' = Bへの一意的な道で
あるからφ(B) = φ(A') = A''-A' ≠ A'-A = φ(B)となって矛盾が発生するからである。
φは全射である。仮に、φ(A) = A'-AとなるようなノードA∈V(T) - {R}が存在しないような辺A'-Aが存在したとする。
RからA'、RからAへの一意的な道がそれぞれ存在する。これらの道には辺A'-Aは含まれていないことは明らかである。
RからA'への道、辺A'-A、AからRへの道を考えれば明らかなように、Tに閉路が存在することになってしまうが、これは
矛盾である。∴φは全射である。以上より、n-1 = #(V(T) - {R}) = #E(T)である。

>>85は多分このようなことを言いたいのだろうと推測しましたが、どなたか>>85の文章を解読できる方いますか？

図のように半径2cmの円が6個あります。
となり合う円はすべてぴったりとくっついているとします。
周りにひもをたるまないようにかけました。
このひもの長さを求めなさい。

http://sansuu.ciao.jp/essei/img43/image89[1].jpg

404ertor

>>87
円に接触している部分の紐の長さ: 2π r ( r = 2 cm )
(「接触円の中心」から「紐の上の点」に向かうベクトルがどう動くか考えれば分かる)

接触していない部分の紐の長さ: 6 * 2r
(見れば明らか)

以下略

前>>84
>>87
4×6+2π×2=24+4π
=36.5663706144……(�p)

前>>90
>>87
円環状に配置したときがもっとも陣地は広くなる。葡萄島のとき、一個一個となりあわせで陣地広げるばかいないだろ。

前>>91
>>87
答え書き忘れた。
∴約36.566cm

前>>92
>>87
もし５つの円が円環状に並び、そのうちの１つが外側のもっともほかの円と離れるように外接円を持つならば、
4π+12+4×4sin63°=28.1303967111……
∴約28.13cm

前>>93どうせなら4人ぐらいで葡萄島やる場合の面積出す問題のほうが面白そう。

これが中学入試の問題なんだよなぁ。
鎖の形よらないのには驚き。

同じ大きさのコインが10枚あり，9枚は鎖状につながって並んでいます。
図のように，コインCを9枚のコインのまわりをすべることなく回転させます。
ただし，その途中で9枚全部に接していきます。
一周してもとの位置にもどるまでに，コインCは何回転するでしょうか。

https://i.imgur.com/urVrSjo.jpg

n枚の輪なら(1+n/3)回転か

2+n/3じゃない？

>>95
>>86 の考え方にちょっと加えると解ける。 >>96 の2倍になる。

間違えた。
2 * ( 1 + (n*π/3) / 2π ) で >>97 が正しい。

あーそっか
全体としての1回転もあるから(1+π/3)+1か

>>100
ミス
(1+n/3)+1

前>>94
>>95
コインCは5回転して戻ってくる。
∴公転周期が2年なら10年かかる。

ま、がんばれ

前>>102訂正。
公転→好転

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

平面上のどの2本も平行でなく、かつどの3本の直線も一点で交わらないようなn本の直線によって決定される領域の個数を求めよ。

普通に解くのではなく、オイラーの公式を利用してください。

>>102
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？

>>108
いや、∴以降にミスがあるからいつもの芸風
蛇足の故事の好例とも言える

>>109
なるほど、自転と公転を入れ替えていたか、やはり、芸人の達人技だわｗ

自分で計算した答えがイナさんと一緒だと不安になるよね

云うまでもない

>>105
各直線は n-1本の他直線により n個の区間に分割される。
両端の半直線（「毛」と呼ぶ）を省いて n-2個の線分を残せば
閉グラフになり
　v = n(n-1)/2,
　e ' = n(n-2),
閉領域の個数はオイラーの定理により
　f ' = e ' - v + 1 = (n-1)(n-2)/2,
また、半直線(毛)が2n本はえているから開領域の個数も2n。
よって
　f = f ' + 2n = n(n+1)/2 + 1,

前>>104
周期間違えて5年で帰ってきたりせんやろか。

前>>114てかもう間違えてる余裕ないねん。

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

一見簡単そうに見えて、かなりの難問だと思った問題です：

3-正則グラフで1-因子を持たないグラフの例を示せ。

【注釈】
3-正則グラフとは、各点の次数が3であるようなグラフのことです。
1-因子とは各点の次数が1であるような全域部分グラフのことです。（完全マッチングをもつグラフのことです。）

訂正：
誤り：（完全マッチングをもつグラフのことです。）
正しい：（完全マッチングのことです。）

k4は？

>>118
K4は4-正則グラフです。

前>>115前でいう婚活サイトってやつ。言葉にするとあまりに陳腐な物語だよね。

なんで？
k4って各点から出てる分岐3でしょ？

>>121
すみません。勘違いしていました。確かにK4は3-正則グラフですね。
でも、1-因子は明らかに持ちます。

玉3つのサクランボみたいなやつ。

持たない方か

┏┳┓
┣┫┣━A
┗┻┛
のコピー３つをAでつなぐ３つのふ房のうち２つはAとペアリングできない
Aとペアリングできない房は5頂点のグラフになるので内部で完全マッチングできない

>>125
正解です。

□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□

2^n × 2^nのチェス盤から
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は
以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ

□
□□

>>127
前スレで終わってる
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/964

面白い問題見つけてきました。私も証明してみましたが、エレガントさに関しては模範解答に完敗してしまいました。

1から2nまでの整数のなかから任意にn+1個の数を選び出したとき、その中に一方が他方を割り切るような2整数が必ず存在することを示せ。

1〜2n の各数は、奇数または奇数と2の累乗の積として一通りに表わせる。
奇数は 1,3,5,････,2n-1 のn個だから、n組に分類される。
　{1,2,4,8,････}
　{3,6,12,････}
　{5,10,････}

n+1個の数を選ぶと、ディリクレの部屋割り論法により、
2つは同じ組に属する。(終)

なお、n+1,n+2,････,2n のn個はすべて別の組に属する。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~ksakai/puzzle-solu.pdf
坂井公氏のHP
下の方にある「数理的ヒラメキで解くパズル」
問題１ (b)

http://www13.plala.or.jp/isemba/PUZZLE/b211.pdf
問題３ (2)

貼り直し…
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~ksakai/index.html

>>128
追加問題

[前スレ.988] のように
短辺が 1, 2, …, 2^{n-1} であるn個のL形に分解して、
それを更に分解したものに限るか？

[前スレ.994]

難しいと思いますが、一応出題しておきます。

以下の図の5個の単位立方体を横に5個重ね合わせた立体をSとする。Sの5×1のサイズの4側面の各々に、重複することなくすべて異なる色が現れるようにできるか？
できるならばどのように5個の単位立方体を配置すればいいか？

https://i.imgur.com/IsTcwpS.jpg

前>>120
>>133
同じ色が並んじゃうよ。
せやて五色しかないんやで？

>>133
bとwは計7つ消えないといけないが1,2,4からは一個ずつしか消せないから3,5から4個消さないといけない
∴ 3:wgry、5:ygrwが残る
124からはw2個、bygrが一個ずつ消えるがygrは1,2,4から1個ずつしか消せない。
1,2,4からygrのいずれが消えるのかで6通りの可能性があるが、それぞれb,wが一個、二個と消えるのは1からywが消える場合のみ
∴1:bbrgが残る
ここで(i)2:bwyg, 4:bwryが残る、(ii)2:bbyr,4:wwgyが残る
のいずれか
(i)のとき
1がbbが繋がっているので2,4で残るbもつながる
2:bwygとしてよく、yが重ならないことから4:ybwrときまる
y,rから5:wrgyと決まるが、3の入れようがなく不適
(ii)のとき
4:wwgyとして良い
wの位置で場合わけして3:grywか3:rywgのいずれかしかないときまるが前者だと5の入れようがなく不適
∴3:rywg、5:ygrwときまる
この時1:grbb、2:bbyrと1:gbbr、2:brybはいずれも条件を満たす
この２つの解にD4(4次二面体群)を作用させた軌道の全体が解である

>>135
ちょっとその解答は難しくて読む気がしませんが、ロバースの本にある解答は、グラフを利用して解くというものです。
ただ、グラフを利用するのが本質的なのかどうかが分かりません。単に、立方体を頭の中でイメージして回転したりさせるよりも、
グラフ上で考えたほうがそのような作業が不要になるから楽に解が見つかるというだけのことかもしれません。

あとでロバースらの解答をアップロードします。

https://imgur.com/a/X0JQwO2

これが解答です。
コンピュータを利用した機械的で効率的な解法に結びつきますか？

前>>134
>>133
ルービックキューブが3個。
消しゴムだな。消しゴム2個だな。

>>128

□
□□


2x2の4マスだと欠損がどこにあっても
100%設置可能はすぐわかる

2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと
欠損で35マス、3の倍数にならないから
設置不可能になるのもわかる

同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは
欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能
か否かもわかりません(>_<)

>>139
10*10は出来るね
□□
□■
■■
□□
□■
■■
□□
□■
□■■□■□□■□□
□□□□■■□■■□
10*10の一部であるこれがこのように敷き詰められるから残りの部分に欠損が来るようにすれば、それは8*8に1つの欠損がある盤ってことになるから敷き詰め可能

まだ問題の意味も理解していませんが、解答が4ページにわたっているため難問だと推測します。
ロバースの本にはa_n = ***であることを証明せよとなっていますが、ノーヒントで出題することにします。

n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_nを求めよ。

ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案)　136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407

の問題の中で一番難しい、とっておきの問題だと思います。

この問題の後は、簡単な事実の紹介だけでこの本は終わります。

今まで一度も数学書を最後まで読めたことはないのですが、ロバースらの本が最初の本になりそうです。
>>141の解答さえ理解すれば最後まで間違いなく読めるからです。

解答がない場合には、明日、a_n = ***を書き込みします。それ以後はa_n = ***であることを証明せよという問題に変わります。

>>142
問題を解くことを完全に放棄して解答を理解するだけでも大変です。
翻訳書ということもあって、何が言いたいのか理解するのに時間がかかります。

>>142
解答の中に、読者自身検証せよという箇所を見つけてしまいました。

答えはまぁ2n-4何だろけどな

>>147
素晴らしい！よく分かりますね。
ということで予定より早めて問題を変更します：

n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_n = 2*n - 4であることを証明せよ。

>>148
今、この問題について調べたところ、1971年に証明されたとのことです。

a_(n+1)≦(a_n)+2はすぐ分かるからa_n≦2n-4は示せるけど、それが本当に最小かどうか示すのが難しそう

>>150
ロバースの証明の「第1段」で、まさにその不等式からa_n ≦ 2*n-4を導いています。
a_n ≧ 2*n-4の部分が難しくてまだ理解できません。

>>141
各人を頂点とし、時刻tにi-jで通話がある時、i-j間にラベルtをつけた線を引いたグラフを考え、コレをGとする
時刻tの通話が終わった時点でvの獲得した情報をS(v,G,t)とする
nを頂点の数とし、辺の集合が2n-4未満の反例があるとして辺の数が最小となるもの(所謂最小反例)をとる
まず最小反例には二重辺がない事を示す
もしそうでないとしてvw間に二重辺があるとする
n=4なら辺の数が2n-4=4未満なら二重辺があると連結にすらならないのでありえない
そこで新しいグラフHをグラフGから頂点v,wを除き、新しい頂点xを追加し、辺は端点がv,wを含まないときはそのまま、いずれか一方のみがvかwのときはv,wに繋がってる端点をxに取り替え、両方ともv,wのときは完全に取り除く
コレで得られるHは頂点の数がn-1で辺が二個以上取り除かれている反例となり、nの最小性に矛盾
以上で二重辺がない事は示された
v-w1をラベル最小の辺としてv-w1、v-w2、‥v-wiをvに繋がっている辺全体としてラベルをt1<t2<‥<tiとする
この時新しいグラフHを頂点はvを取り除いたものとし、辺はvに繋がっているもの全部を取り除き、新たに辺w(ι-1)-wιを追加し、ラベルtιをのせる
このグラフはやはり反例を与えるのでnの最小性に反する

n=4のときは、

{A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_4 ≦ 4

n=5のときには、n=4のときの前後に{A,E}を加えて、
{A1, A5}, {A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}, {A1, A5}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_6 ≦ 6

以下同様にして、n = k+1のときには、n = kのときの通話列の前後に{A1, A_{k+1}}を加えれば、
すべてのゴシップがすべての人に伝わります。

以上から、a_n ≦ 4+2*(n-4) = 2*n-4

>>152
多分あっているんだろうと思いますが、ジャッジできません。
多分、ロバースらの解答と同じ解答なのだと思いますが、ロバースらの解答も>>152もよく分かりません。

前>>138
>>133
〼〼〼｜１｜２｜３｜４｜５
上の面｜ｂ｜ｙ｜ｗ｜ｇ｜ｒ
手前面｜ｙ｜ｒ｜ｇ｜ｂ｜ｗ
下の面｜ｇ｜ｂ｜ｒ｜ｗ｜ｙ
向こう｜ｗ｜ｂ｜ｙ｜ｒ｜ｇ
あれ?!

前>>155
あってる。
2のｂｂがとなりあうのは構わない。
1×5の面が4つとも五色に並んでる。

>>141の解答です：
https://imgur.com/a/Ufu3MRl

補題6.2.1が分かりません。通話列Tがm-1人のすべての情報をm-1人全員に伝えていることの理由が分かりません。
解説をお願いいたします。

https://mathworld.wolfram.com/Gossiping.html
>>141は1971年にR. Tijdemanにより証明されたそうです。

>>133

プログラムで探索しました。
独立な配置法は下の4通りだと思われます。

[wgyb] [rbby] [yrgw] [bwrg] [gywr]
[wgyb] [bbry] [yrgw] [rwbg] [gywr]
[rgbb] [bbry] [gryw] [ywwg] [wygr]
[rgbb] [bbry] [yrgw] [wwyg] [gywr]

http://codepad.org/H1IcR4J6

前>>156
>>159俺のは2行目のと同じですね。

問題
https://pbs.twimg.com/media/EhxY3l0UYAAnYo5.jpg

解答
https://pbs.twimg.com/media/EhxcmvYUcAAhCwV.jpg

ツイッターのグラフ界隈すごい

前>>160
>>161
マッチが1本から2本に増えただけやないか。
向き互い違いにして、しかも1本目ちっとも動いてへんし。
問題は1本動かせってなってるやん。
4本じゃないし。1本のマッチ動かして4本の残像を描けってこと？

欠損がセンター4マスに集中している時は
面積四倍サイズのL字に依存しなくても
敷き詰められる

□□□□
□■■□
□■■□
□□□□

− y ＋ 1　⇒　｜y｜− 1
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。

− y ＋ 3/2　⇒　｜y｜− 3/2
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。

ぜんぶで4本動かした。

ひらめき問題
https://pbs.twimg.com/media/EefK0dyUYAE_97z.jpg

x^2/4+y^2/4+(1/2)xy sin135°
=(1/4)(x^2+y^2+√2)
=(1/4)(x^2+y^2-2xy cos135°)
=100/4
=25

前>>163
>>166
AB=x,CD=yとおくと、
x^2+(x+y√2)^2=100
2x^2+2xy√2+2y^2=100
x^2+xy√2+y^2=50――――(イ)
△AED∽△BECで2△AED=△BECだから、
AD=5√2
△AED：△ECD=AE：EC=x：y√2
△AED：y^2/2=x：y√2
△AED=xy^2/2÷y√2=xy/2√2
△BEC=xy/√2
∴ABCDE=△ABE+△BEC+△ECD
=x^2/2+xy/√2+y^2/2
(イ)を代入し、
=25

>>108
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？

受験問題で答えだけ出せばいい場合ならとりあえずズルして答え出すけど、
ひらめき問題って書かれてるってことは何か簡単にわかる方法があるってことなんかなあ

自分は△ABEを右上Dまでスライドさせて
その形を4枚合わせて一辺10の正方形を作りました

なるほどなあ
それは気づかん

前>>168
>>169たまたまだよ。
今回も、チェバとメネラウスで遊びたかったけど答えが出てしもて。

BCの中点をMとすると AM=DM=5, ∠AMD=90°
A,M,Dを頂点とする正方形の残りの頂点をFとすると
�僊BM≡�僊EF, �僂DM≡�僞DF
それぞれについて, 左辺を切り取って右辺に重ねることにより
(5角形ABCDE)=(正方形AMDF)=5^2=25

これなら割と簡単に思いつくのでは？

　∠CBD = β,
　BC = 2R,
とおく。題意より
　β + γ = ∠BEC = ε,
�僊BC = AB･AC/2 = RR sin(2γ),
�傳CD = BD･CD/2 = RR sin(2β),
ΔABE = AB^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2γ)}/tan(ε),
ΔCDE = CD^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2β)}/tan(ε),
この4つを足して2で割ると
S = RR{cos(ε) - cos(2ε)cos(β-γ)}/sin(ε),

　∠ACB = γ,
　∠CBD = β,
　BC = 2R,
とおく。題意より
　β + γ = ∠DEC = ε,
でした。

BA,CDを延長して交点をFとし（Eは�僥BCの垂心）,
線分AF上にAG=ABとなる点G, 線分DF上にDH=DCとなる点Hを取ると
�僊BE≡�僊GE
�僖CE≡�僖HE
�僞BC≡�僭EF≡�僣FE

(5角形ABCDE)　[上の3種のパーツ1つずつ]
=(4角形FBEC)/2　「(上の3種のパーツ2つずつ)/2」
=((EF*BC)/2)/2　[BC⊥EF]
=((10*10)/2)/2=25

前>>173
やっぱり>>168が面白い。まともに三角形の相似で立式したら答えが出てしまってなにも遊ばせてもらえないところが、してやられた感が半端なく、面白い。

点AとDの組合せは一意じゃないんだな。

司法試験予備試験より

〔第 27 問〕
地球の大きさは，紀元前３世紀頃にエラトステネスによって初めて求められた。次の文章を読み，エ
ラトステネスが求めた地球の大円の円周の長さは，実際の長さの何％に当たるか，最も近いものを，後
記１から５までの中から選びなさい。
当時，エジプトのアレクサンドリアに住んでいたエラトステネスは，夏至の日に太陽が頭の真上から
7.2 度南に傾いて南中することを知った。その南方に位置するシエネ（現在のアスワン）では，夏至の
日に太陽の光が天頂から深い井戸の底を明るく照らすことが知られていた。エラトステネスは，これら
に基づいて，地球が球形であること，地球と太陽の距離は極めて遠いことを仮定し，地球の大円の円周
の長さを求めた。なお，シエネはアレクサンドリアの 925 �q真南にあるとする。

１．85％
２．95％
３．105％
４．115％
５．125％

925km × 360°/7.2°=46250km=40000km×115.625%

>>181
結局、地球の大円周の長さを知っているかを問う問題だよね。

法関係だし、メートル法の歴史についての知識を問う試験でね？

前>>178
>>180
地球の半径をrとおくとその外周は2πr=925×(360°/7.2°)
=46250(km)
地球の外周は北極と南極を結ぶ方向だと赤道よりやや短くなる。おそらく地球の自転により遠心力がかかり赤道上ではやや膨らんでるんだ。
それはさておき南北方向だと地球の外周は40009kmとのこと。
46250/40009=1.155……
∴4番　115%

> ai=31.20194
> ak=29.91611
> bi=24.08889
> bk=32.89972
> u=pi/180
> A=c(cos(ai*u)*cos(ak*u),cos(ai*u)*sin(ak*u),sin(ai*u))
> B=c(cos(bi*u)*cos(bk*u),cos(bi*u)*sin(bk*u),sin(bi*u))
> AB=sqrt(sum((A-B)^2))
> d=843
> # asin(AB/2)*2*R=d
> R=d/(asin(AB/2)*2)
> R
[1] 6366.11
> 2*pi*R
[1] 39999.45
>

alexandria = (31.20194, 29.916)
aswan = (24.08889,32.89)
geodesic = 843

toPos (latD,londD) = let
[lat, lond] = map (*(pi/180)) [latD ,londD]
in [(cos lat)*(cos lond), (cos lat)*(sin lond), sin lat]

angle pA pB = let
dist = sqrt $ sum $ map (^2) $ zipWith (-) pA pB
in 2*(asin $ dist / 2)

main = do
print $ (geodesic /) $ angle
(toPos alexandria) (toPos aswan)
----
6368.58913787278

あ、データ入れ損ねた

6366.109509462394

ですな

前>>184
>>186
南北方向に一周40009km
赤道上を一周40075km
半径の比は、極：赤道上＝40009：40075
843kmと2地点の緯度、2地点の経度により赤道半径は一意に決まる。
同じ北緯なら半径は同じなんだけど、
極と赤道で40075-40009=66(km)違う。
アレキサンドリアとアスワンでは緯度が違うから半径も違う。
アレキサンドリアの半径は北緯31.20194°だから、
40075-66×31.20194/90
アスワンの半径は北緯24.08889°だから、
40075-66×24.08889/90
おそらく球体上の正弦定理で、正確な値が出て、
40075kmに近い値になる。

実数 t の関数 F(t) を広義積分
F(t) := ∫[0,∞] cos(tx)/(1 + x^2) dx
によって定める。
F(t) = (π/2)*e^(-|t|)
となることを示せ。

F(0) = ∫[0,∞] 1/(1+xx) dx = [ arctan(x) ](0,∞) = π/2,
t≠0 のとき
F "(t) - F(t) = 0,
F(t) = c1･e^t + c2･e^{-t},

nを2以上の自然数とする
棒にランダムにn個の点を付ける(棒上一様分布)

それらの点を折る位置として、棒を折ったときに(n+1)角形を作ることが出来る確率を求めよ.

赤道半径を R
極半径を 0.9966471893 R　とする。
　(扁平率 1/298.2572221)

緯度 31.20194ﾟN における断面の
　半径r = 0.8545742 R,
　赤道面からの距離　0.51758809 R,


緯度 24.08889ﾟN における断面の
　半径r = 0.9124013 R,
　赤道面からの距離　0.40792452 R,

2都市の距離 (大圏)
　0.132420 R

R = 844.59 / 0.132420 = 6378.137　(km)
2πR = 40075.0167　(km)

>>195
n個の片方の端点からの距離をy1〜ynとする
条件y1<y2<‥<ynを科しても確率は変わらない
n+1角形ができる条件はyn<1/2である
一方でn次元ユークリッド空間の領域xi>0,Σxi<1から一様に(xi)を選びy1〜ynをyi=x1+〜+xiと定めたとき、コレは測度空間の同型を与えるのでこちらで測ってよい
(xi)の中での全空間の方程式は
xi>0,Σxi<1
でありn+1角形ができない条件は
xi>0,Σxi<1/2
であるからn+1角形ができない確率は(1/2)^n
よって求める確率は1-(1/2)^n

>>196
楕円体上の測地線の長さはどうやって出したん？

測地線の長さ？
そのまま出したんぢゃ、このスレの趣旨にそぐわねゑ。
そこでまづ
楕円面Eの中心よりも 0.003118744609 R だけ南の点を中心とし、
半径が R' = 1.0007160850259 R である仮想球面Sを考える。
そうすれば、
EとSは、緯度 31.20194ﾟN と緯度 24.08889ﾟN で交わる。

仮想球面S上の測地線はもちろん大円だから、長さは
　2R 'arcsin(直線距離/2R ')

アレキサンドリア と アスワン のの直線距離は
　√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
　= 0.1322268142 R
より測地線の長さ
　0.1323231927 R

>>199
その仮想球面上の測地線と元の楕円体の測地線はズレない？

>>197
素晴らしい
正解です

>>201
楕円面からちょとズレてる。そこで別法を････

楕円面の中心　O(0,0,0)
アレキサンドリア　A(0.8534158039522 R, 0.0444808325706 R, 0.5175880864657 R)
シエネ　S (0.9124012924417 R, 0 R, 0.4079245187835 R)
とすると、平面OASは
　z = 0.447088893133175･x + 3.05829092742856･y

この平面と楕円面の交線 (大圏コース) に沿って移動すると
　0.1323225665 R

こっちは楕円面上だけど、測地線からズレてる。

>>197
なるほど

まぁ実際回転楕円体上の測地線を明示的に求めるのは無理なんだろな
オイラーラグランジュ方程式立式するのだけでもなんか難しそう
立ててもどうせ解けないんだろうと思うと立式してみるのも億劫になる
いい勉強にはなりそうだけど
まだ計算機で近似解求めるアルゴリズム作る方がやる気出るかな

Oの 19.89 km ほど南にSの中心 O ' がある。
O ' から楕円面 (緯度 24.08889° 〜 31.20194° の帯) までの距離は
　R ' 〜 R ' + 0.00001012393 R
の範囲に収まっている。
仮想球面Sが最も深い所は、緯度27.6657742°で
　0.00001012393 R ≒ 64.5 m

一方、直線ASの深さは
　R ' - √{(R ')^2 - (直線距離/2)^2} = 0.0021863157 R ≒ 13.94462 km

>>199 と >>203 の差は
0.1323231927 R - 0.1323225665 R
　= 0.0000006262 R
　≒ 3.994 (m)
かなり小さい････

>>203 を改良･･･
0.13232408676 R

0.13232408676 R - 0.1323231927 R
　= 0.00000089406 R
　≒ 5.702 (m)

この作業意味あんの？
ホントに測地線距離求めたかったらまずもって測地線求めないと
楕円体上の2点について、それらを結ぶ測地線は一般に同一平面にのらんのでは？

仰るとおり。
この場合は変分法で数値的に詰めるのが早いと思う。

前>>192
やっぱり現地を歩いて測らないと。
伊能忠敬のように。

>>195
>>197
最大の辺は yn の右とは限らず、左端でも途中でもよいので
n+1 通りを全体から引いて
1-(n+1)(1/2)^n
が正解かな

計算で出すなら、yn の座標を棒の中点を原点に置き直して
中点 → 右端：0 → 1/2
左端 → 中点：1/2 → 1
とすると、n個の点がつねに連続となって
全体は xi>0,Σ(i=1〜n)xi<1
除く領域は xi>0,Σ(i=2〜n)xi<=1/2
と数式を修正でき、等しい値が求まる

>>211
一定の歩幅で歩き、歩数から距離を測る「歩測」の手法が採られた。
精度は劣るが簡便。
近距離では使えそうだが････

では遠距離では？
夜は天体観測で その地の緯度と方位を導き出した。
星が空に最も高く上る子午線通過時の高度を観測した。
その星と天の北極のなす角（既知）を差し引いて、
各地の緯度を算出。

深川(江東区) − 青森(上北郡)野辺地
間の距離を 146.6275 里 (= 575.846 km),
両者の緯度の差を 5.2°とし、
緯度１°= 28.1976 里 (= 110.740 km)
とはじき出した。

毎日夕刊　6/18,　8/20

１里 = 3.927272727 km

三角測量でも局地的に正確な地図は作れる。
しかし、それらをつなぐ際に歪んでしまう。
大域的に正確な地図を作るには天体観測によって
補正するのが有効と言われていた。
長久保赤水（1717〜1801）の地図は天文学を取り入れた
ことで、日本で初めて経線と緯度が書かれたのが特徴。
　「改正日本輿地路程 全図」(1779)
は庶民に広く流通した。
しかし、他人のデータの寄せ集めなので、
肝心要の所が抜けたり、つながりが悪かったりで、
精度はあまり良くなかった。
それを見て、どこを直せば良いか考えたのが
御隠居の伊能忠敬（1745〜1818）
　「大日本沿海輿地全図」(1821)

日経夕刊　5/14

緯度 1" の距離
http://ja.wikipedia.org/wiki/緯度

1 rad あたりの距離
ds/dθ = R(1-ee) / [1 - ee(sinθ)^2]^{3/2},

楕円面　rr + zz/(1-ee) = RR,
r = R cosθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
z = R(1-ee)sinθ / √[1 - ee(sinθ)^2],

赤道半径　R = 6378.137　(km)
離心率の2乗　ee = 0.006694380229

平面上に円のみ描かれている

コンパスによる作図のみでその円の中心を特定するにはどうしたらよいか？？

へー
調べたら定規とコンパスで作図できる点はコンパスのみで作図できるという定理があるのか

>>219
以下“作図可能”は“コンパスのみで作図可能”の意味とする
補題1
与えられた２点PQと自然数nに対し|RS|=n|PQ|となるRSを作図可能
∵) まずPQを一辺とする正三角形を作図し、その新たにできた辺を一辺とする正三角形を作図し‥とすれば良い
補題2
半径rの円と|PQ|=a<rである２点が与えられたとき、|RS|=a^2/rであるR,Sを作図可能である
∵) 円周上に3点R,X,Yを|RX|=|RY|=aであるようにとる
XYの中点をZ,RZを2:1に外分する点をSとする
これはX,Y中心の半径aの2円の交点のうちRでない方なので作図可能
容易にRS=a^2/rである事が確かめられる
主張
半径Rの円が与えられたとき|RS|=rであるR,Sをコンパスのみで作図可能である
∵) |PQ|=a<rである２点PQを任意に選ぶ
補題2により|XY|=a^2/rとなるように作図可能
自然数nをna^2/r>aとなるように選べば補題1により|ZW|=na^2/rとなるZ,Wが作戦可能
そこで再び補題2より|UV|=a^2/(na^2/r)=r/nとなるUVが作図可能
そこで再び補題1により|RS|=rとなるRSが作図可能

ツイッターで拾った問題です
三辺の長さがsin(π/7),sin(2π/7),sin(3π/7)である三角形の面積は√q(qはある有理数)となります
qを求めてください

a,b,cを3辺とする三角形の面積は
(1/4)√(-a^4-b^4-c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
一方でθ=π/7とおく
cosθ,cos2θ,cos3θは方程式
8x^4-8x^2+1=4x^3-3x
のx=1以外の3解だから
8x^3+4x^2-4x-1=0
の3解
sin^2(θ),sin^2(2θ),sin^2(3θ)は
-8(1-2x^2)^3-4(1-2x^2)^2+4(1-2x^2)+1
=64x^6-112x^4+56x^2-7=0
の3解でそれぞれa,b,cとすれば
a^4+b^4+c^4=21/4, a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=7/8
よって面積は
1/4√(-21/16+7/4)=(1/16)√7=√(7/256)

θ=π/7としてsinθ、sin2θ、sin3θ=sin4θの対角の大きさはθ、2θ、4θ
特に外接円の半径は1/2
よって面積は2R^2sinθsin2θsin4θ=(1/2)sinθsin2θsin4θ
f(x)=8x^3+4x^2-4x-1とおいて
7=f(1)=8(1-cosθ)(1-cos2θ)(1-cos4θ)
=64(sinθsin2θsin4θ)^2
∴ sinθsin2θsin4θ=(√7)/8
よって面積は(√7)/16=√(7/256)

前>>211
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)

正七角形と円周角を考慮すると
その三角形は複素平面で1/2,1/2ζ,1/2ζ^3と表せる
(ここでζ=exp(2πi/7)でありζ^7=1を満たす)
よってその面積Sは
S=1/2|Im(1/2ζ^3-1/2)(1/2ζ-1/2)*)
=1/8|Im(ζ^3-1)(ζ^6-1)|
=1/8|Im(ζ^2-ζ^3-ζ^6+1)
=1/8|(ζ^2-ζ^3-ζ^6-ζ^5+ζ^4+ζ)/(2i)|

ところで
(ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6)^2
=ζ^2+ζ^3-ζ^4+ζ^5-ζ^6-ζ^7
+ζ^3+ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7-ζ^1
-ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1+ζ^2
+ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2-ζ^3
-ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2+ζ^3+ζ^4
-ζ^7-ζ^1+ζ^2-ζ^3+ζ^4+ζ^5
=-6ζ^7+ζ+ζ^2+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^6=-7(ガウス和)
より
ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6は±i√7のいずれか(実際は+i√7)
よって
S=1/8|±√7/2|=√7/16、q=7/256

　sin(7θ)/sinθ　は θ = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7 で 0 だから,

　sin(7θ)/sinθ
　= -64Π[k=1,3] {sinθ - sin(kπ/7)}{sinθ + sin(kπ/7)}
　= -64Π[k=1,3] {(sinθ)^2 - sin(kπ/7)^2}
ここで θ→0 とすれば
　7 = {8 sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7)}^2,
∴　sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7) = (√7)/8,

なお、sin(7θ)/sinθ = U_6(cosθ) = -f(cosθ) f(-cosθ),

前>>225
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
q=7.53654936671
∴√q=2.74527764838

前>>228訂正。
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
∴q=7.53654936671

ツイッターで拾った難問
https://pbs.twimg.com/media/Ehf8RS6WsAY6gi-.jpg

超難問
https://pbs.twimg.com/media/EhYCb9IXcAUeqdH.jpg

>>230
大先生曰く40°

>>231
大先生曰くx=48°, y=48°

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2F%28sin%28pi%2F30%29sin%28pi%2F36%29%29sin%288pi%2F15-x%29%2F%28sin%28pi%2F60%29+sin%282pi%2F15%29%29++at+x%3D+8pi%2F15++++++++++++&;lang=ja

あれ？違った
どっちか0?

違った
24°？

>>233
上左側の角度は5度ではなく3度です

81°っぽいけど大先生が断言してくれないorz

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2F%28sin%286pi%2F180%29sin%2851pi%2F180%29%29-sin%2896pi%2F180-x%29%2F%28sin%283pi%2F180%29+sin%2824pi%2F180%29%29++++++++at+x%3D81pi%2F180++++++++&;lang=ja

確認済み
x=81°

前>>229
>>230
10°+30°=40°
∴a=40°

>>231
底辺を A(0,0)　B(1,0)　とする。
　∠A = 9°,　∠B = 75°,　∠C = 96° (=x+y),
　C (tan(75)/{tan(9)+tan(75)}, tan(9)tan(75)/{tan(9)+tan(75)})
　= ( 0.95928876 , 0.15193641 )

　∠DAB = 3°,　∠DBA = 51°
　D (tan(51)/{tan(3)+tan(51)}, tan(3)tan(51)/{tan(3)+tan(51)})
　= ( 0.95928876 , 0.050274193 )

　CD = 0.10166222
　BC = 0.15729615
　CD = 0.06469080
正弦定理から
　y = ∠BCD = 15°
　x = 96° - y = 81°
う〜む
AB ⊥ CD を使うのかな？

前>>239
>>231
x+y=96
x=72
y=24

xを決定する方程式は
sin(96-x)/(sin24 sin3) = sin(x)/(sin6 sin 51)
変形して
sin(96-x) sin6 sin51 = sin(x)sin24 sin3
変形すればtan(x)=...の形になるので(0,π)には唯一の解しかない
x=81のとき
LHS×4=cos198+cos120+cos48+cos30
RHS×4=cos162+cos144+cos30+cos13
∴ LHS×4-RHS×4 = cos48 + cos36 - cos12 - 1/2
cos12 = aとすればこの右辺の2倍は
16a^4+8a^3-16a^2-8a+1
一方でb=cos24+isin24の最小多項式は
(x^15-1)(x-1)/((x^3-1)(x^5-1))
=8(x^8+1)-4(x^7+x)-8(x^6+x^2)+4(x^5+x^3)+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4-8x^3-16x^2+8x+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4+8x^3-16x^2-8x+1

よくよく考えたらx=81よりy=15を求めた方が楽だったのかな？

前>>239
CDを延長したらなんでABと直交するんだろ？　不思議。
AD上に点Eをとり点Eを頂角として△EACを底角６°の二等辺三角形にすることはできる。
∠BCE=90°
BDの延長線がACとの交点をFとして∠BFC=60°
∠ABC=75°
だから∠BCE=90°
ここまでできたんだけどな。

前>>245
y=90-75=15
または75-60=15
こういう図が描けないかな。

前>>246
>>231初等幾何的に解いたほうが面白いと思う。

>>243
cos48+cos36-cos12-1/2=0を示せば十分

からは

=-2sin30sin18+cos36-1/2
=-cos72+cos36-1/2‥�@
ここで底辺1/2, 底角が72°の二等辺三角形の斜辺はcos36であるが、一方の底角の二等分線と対辺の交点で1/2とcos72に分かれるから
cos36=cos72+1/2‥�A
�@�Aより主張を得る

でもできるな

辺長が１の正５角形ABCDEを考える。
頂点Aから対辺CDに垂線AHを下すと
　CH = DH = 1/2,
B,EからAHまでの距離は
　cos(36),
　cos(72) + 1/2,
と2通りに表わせるから
　cos(36) = cos(72) + 1/2　… �A

でもできるな

同じ事やん

そりゃ、正5角形では辺・対角線の交角が36°の倍数だから…

θ = 72°　とおくと
cos(48) + cos(36) - cos(12) - 1/2
　= cos(120-θ) + cos(180-2θ) - cos(θ-60) - 1/2
　= - cos(2θ) - cosθ - 1/2
　= - {cos(-2θ) + cos(-θ) + cos(0) + cosθ + cos(2θ)}/2
　= 0,

でもできるな

*　{2(2xx-1) +2x +1}^2
　= (4xx +2x -1)^2
　= {T_5(x) -1} / (x-1),

x = cos(72) とおくと
　(4xx +2x -1)^2 = {T_5(x) -1} / (x-1)
　= {cos(360) -1} / {cos(72) -1}
　= 0,

>>240
　AC = sin(B)/sin(A),
　CD = sinβ/sin(β+γ),
ここに　α = ∠CAD,　
　β = ∠DBC = 30°,　γ = ∠DCB = 10°,
正弦定理
　sin(150-α)：sinα = AC：CD,
より
　1/tanα = AC/(CD･sin(30)) - 1/tan(30),
　α = 40°

>>241
　BC = sin(A)/sin(C),
　BD = sinα/sin(α+β),
ここに　α = ∠DAB = 3°,　β = ∠DBA = 51°,
正弦定理
　sin(156-y)：sin(y) = BC：BD,
より
　1/tan(y) = BC/(BD･sin(156)) + 1/tan(156),
　y = 15°
　x = 96°- y = 81°

>>231
暇つぶしにプログラム組んで計算させてみた。

# y=tan(A)(x-a1)+a2 ,y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}

# coordinates -> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(rad=bac,deg=bac*180/pi))
}


c=koten(0,0,9, 1,0,180-75)
d=koten(0,0,3, 1,0,180-51)

B=1+0i
C=c[1]+1i*c[2]
D=d[1]+1i*d[2]
BAC(D,C,B)

実行結果
> BAC(D,C,B)
rad deg
0.2617994 15.0000000

>230

> a=koten(0,0,80,1,0,180-40)
> d=koten(0,0,30,1,0,180-10)
> A=a[1]+1i*a[2]
> D=d[1]+1i*d[2]
> C=1+0i
> BAC(D,A,C)
rad deg
0.6981317 40.0000000

>>231
作図できれば角度は計測できるので
数値を変えても計算できるように関数化してみた。

f <- function(
# https://pbs.twimg.com/media/EhYCb9IXcAUeqdH.jpg
DAB=3,
DAC=6,
DBA=51,
DBC=24){
# return the intersection point of two lines
# y=tan(A)(x-a1)+a2 & y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
if(tan(A)==tan(B)) return(NA)
else
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}

# coordinates of B,A,C-> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(degree=bac*180/pi))
}
A=0i
C=koten(0,0,DAB+DAC, 1,0,180-(DBA+DBC))
D=koten(0,0,DAB, 1,0,180-DBA)
B=c(1,0)

c(x=BAC(D,C,B),y=BAC(D,C,A))
}
f()

> f()
x.degree y.degree
15 81

前>>247
>>230
50°+30°=80°
10°+30°=40°
頂角=180°-(80°+40°)=60°
各頂点から三又の分岐点までの直線を対辺まで延長し、交点を結ぶと相似な三角形の組が3対でき、
適宜メネラウスの定理を使い、αを頂角とする二等辺三角形が示せれば底角70°,α=40°となるんじゃないかと。

>>255（補足）
>230の方は数値を変えて
> f(10,30,30,50)
x.degree y.degree
20 40

てす
やっとソフバンスマホ全規制消えた？

測地線の求め方検索してもうた
1975年ですでにミリ単位まで計算できたのね

前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？

前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？

sin(A+Δ)sin(A-B+90)sin(B-Δ)
=sin(Δ-A+B+X)sinΔsin(90-A+B-X)
が成り立つとき
sin(B+Δ)sin(B-A+90)sin(A-Δ)
=sin(Δ-B+A+X)sinΔsin(90-B+A-X)
も成り立つ
(AとBを入れ替えた等式が同値になる)

前>>259-260
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin75°
BC=sin9°/sin75°

前>>262訂正。
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin96°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
AC=sin75°/sin 96°=0.97124641577……

前>>263
sin51°sin6°siny=sin3°sin 24°sinx
=sin3°sin 24°sin(96°-y)
=sin3°sin 24°(sin96°cosy-cos96°siny)

sin ^2y=0.2113248654
siny=√0.211324865
y=27.36……
y≒27.37°

>>265
{sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)) + cos(96)}sin(y) = sin(96)cos(y),
　sin(96) = cos(6),　cos(96) = - sin(6)　を入れて
{sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}sin(6)sin(y) = cos(6)cos(y),
すなわち
　(2+√3) sin(y) = cos(y),
両辺を2乗して
　(2+√3) sin(y)^2 = (2-√3) cos(y)^2,
移項して
　(√3){sin(y)^2 + cos(y)^2} = 2{cos(y)^2 - sin(y)^2},
　√3 = 2cos(2y),
　2y = 30°
　y = 15°

前>>265なるほど>>266そうするのか。
>>231
AB=1とすると、
△ABCにおいて正弦定理より、
AB/sin96°=BC/sin9°=CA/sin 75°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
CA=sin 75°/sin96°=0.97124641577……
△ABDにおいて正弦定理より、
AB/sin126°=BD/sin3°=AD/sin51°
BD=sin3°/sin126°=0.06469079958……
AD=sin51°/sin 126°=0.9606052368……
△ADCにおいて正弦定理より、
AD/sin(96°-y)=CD/sin6°
CD=ADsin6°/sin(96°-y)
=ADsin6°/(sin96° cosy-cos96° siny)
△BCDにおいて正弦定理より、
BD/siny=CD/sin24°
siny=BDsin24°/CD
=sin3°sin24°sin(96°-y)/sin126°ADsin6°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin126°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin51°sin6°
=sin3°sin24°(cos6°cosy+sin6°siny)/sin51°sin6°
=(sin3°sin24°cos6°/sin51°sin6°)cosy-(sin3°sin24°/sin51°)siny
(sin51°-sin3°sin24°)siny/sin51°=(sin3°sin24°cos6°/sin 51°)cosy
sin^2y=｛(sin3°sin 24°cos6°)^2+sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝/｛sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝
cos^2y=0.00624238744……/0.00669057069
=0.93301270238……
cosy=0.96592582654……
cos15°=0.96592582628……
ちょっと誤差があるけど、
y=15°

前>>268
>>266-267は誤差がないっぽい。式変形で解いとるんだなぁ。
y=15°でぴったり決まっとんだなぁ。

まぁホントはほとんどごまかしてるのが多いけどなww

一次方程式2+3=x×0を解きなさい。

前>>269
cosy=(√6+√2)/4
siny=(√6-√2)/4
とすると、
cos^2y=(8+4√3)/4^2=(2+√3)/4
sin^2y=(8-4√3)/4=(2-√3)/4
cos^2y-sin^2y=√3/2
(cosy+siny)(cosy-siny)=√3/2=cos30°=sin60°

前>>272つづき。
cos^2y-sin^2y=cos2yだから、
cos2y=√3/2=cos30°
2y=30°
∴y=15°
違うやん、仮定したで出ただけやん。

立方体を対角線方向へ射影した図形は正六角形である
では4次元立方体を対角線方向へ射影した図形はどんな形になるか？
(ヒント:これは3次元図形でありwikiに名称のある多面体となる)

また、この多面体の体積は元の4次元立方体の超面(面といってもこれは立方体である！)の体積の何倍になるか？

>>274
対角線方向へ射影という言い方がマズいですね
(一番長い)対角線に垂直な方向への射影です

四次元超立方体の16個の頂点は
(0,0,0,0),(1,0,0,0),‥,(1,1,1,1)
として良い
A=(1,0,0,0),B=(0,1,0,0),C=(0,0,1,0),D=(0,0,0,1)、
N=(1/2,1/2,1/2,1/2)
として超平面N・P=0への射影を考える
A〜Dの射影をa〜dとして
a=A-1/2N、b=B-1/2N
∴ |a|^2=3/4, a・b=-1/4
∴a,b,c,dは一辺の長さが√2の正四面体の頂点をなす
適当に回転させて
a(-1/2,1/2,1/2), b(1/2,-1/2,1/2), c(1/2,1/2,-1/2),
d(-1/2,-1/2,-1/2)
と座標をとりなおせは
a+b=(0,0,1),a+b+c=(1/2,1/2,1/2)
により求める図形は一辺の長さが1の立方体の各面に高さ1/2の四角錐を張り合わせたもの(名前知らん)
体積は1+1/6×6=2で元の超立方体の面の体積の2倍

>>276
はやい！正解です！

名称は菱形12面体と言うそうです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8F%B1%E5%BD%A2%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93

形状はともかく体積だけならすぐ求まるんだな
d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい
その内積は±1/√d
内積が+の面の影だけ考えればよい
その数はdで総面積もd。
射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される
∴影の面積は√d

Z(>0)∋m，n m<n m≠1として
f(n，n)=f(n，1)=1
f(n，m)=m*f(n-1，m)+f(n-1，m-1)
で定義される関数fを求めよ。

第二種スターリング数
相異なるn個のものをm組に分ける方法の数

f(n,m) = (1/m!)Σ[L=0,m] (-1)^{m-L} C(m,L) L^n,

Σ[0≦m≦n] (m!/n!) f(n,m) x^n y^m = １/{1 - (e^x -1)y},

数セミ増刊：「数学100の問題」日本評論社 (1984)
　p.58

Σ[0≦m≦n] (1/n!) f(n,m) x^n y^m = e^{(e^x -1)･y},
に修正…

>>274
これ>>276を元に一般次元で考えると
まず(n+1)次元の単位ベクトルたちの影e0,e1,…,enが
n次元に重心原点で辺長√2の超四面体Δを作る
超立方体の影Sは射影の線形性によりeiたちを使って
S={Σαiei|0≦αi≦1(i=0〜n)}
と書け、この影は順序組(eσ(1),eσ(2),…,eσ(n))ごとに
錐(0,eσ(1),eσ(1)+eσ(2),…,Σeσ(i))という(n+1)!個の基本領域に分割できる
この錐の体積は錐(0,eσ(1),eσ(2),…,eσ(i))の体積と同じであり、これは超四面体Δの1/(n+1)
よって影Sの体積はΔの体積のn!倍
一方で一辺が√2の超四面体の体積はCayley-Mengerを使って1/n!√(n+1)と計算出来るから
結局、影Sの体積が√(n+1)と分かる
(これ自体の計算は>>278の方法がはやい)
Δの重心から頂点までの距離は
|ei|=|(0,…,1,…,0)-1/(n+1)(1,…,1)|=√(n/(n+1))
となっているから
逆に重心から頂点までの距離が1の超四面体の体積は
1/n!√((n+1)^(n+1)/n^n)となり
さらにこの頂点ベクトルたちをfi(長さは1)とすると
S={Σαifi|0≦αi≦1(i=0〜n)}という領域の体積は
√((n+1)^(n+1)/n^n)となる
とてもキレイな形だけど、これを直接計算する方法あるんだろうか

「菱形12面体」
12個の菱形はすべて合同で、鈍角は 109.47°(4面体角)
空間充填多面体である。
ある平面に投影すれば、平面充填多角形。
2種類の菱形になる。
　太い方は 108°と 72°
　細い方は 144°と 36°
周期性を持たないが、5回対称性があり
「ペンローズ(*)・タイル」と呼ばれる。
ある種の準結晶のモデルと考えられる。

* 今年のノーベル物理学賞（ブラックホールの関係で）

ペンローズタイルが5次元の格子からの射影で得られる話はなんとなく見た覚えがあったけど菱形12面体タイルからも得られるのか
菱形12面体自体は数字5と無縁に見えるんだが・・・

ところで一般にn次元立方体の対角射影図形は(n-1)次元空間充填図形になる感じなのかな

3次元を2次元に射影する場合
ある整数の組み(a,b,c)において(a+0,1,b+0,1,c+0,1)の８点の凸包からなる立方体を格子立方体とよび、Kabcで表す
これらの平面
α:x+y+x=0への射影を考える
補題
２つの格子立方体の内点の像は完全に一致するかdisjoint
∵ K000の内点(p,q,r)とKabcの内点(s,t,u)の像が一致するにはs=k+p,t=k+q,u=k+rとなる整数kが存在することが必要
このときa=[p]=k,b=[q]=k,c=[r]=kでありK000の像とKabcのそれは完全に一致する
系
格子立方体の集合Sで相異なる二元の内点の像がdisjointであるものの中で極大であるものをとればSに属する格子立方体の閉包の像はαを被覆する
系の条件を満たすSを一つとる
Sに属するKabcの面の射影像を考える
光源は(+,+,+)方向にあるとして直接光の当たる面が３つあり、Kabcの像はコレら3面の像の合併になる
またコレら３面の像の内点はdisjointである
以上によりSに属する格子立方体の面のうち光の直接当たっている面の全体の像はαを充満する

あ、間違えた
(p,q,r)と(s,t,u)はそれぞれx+y+z=3/2,x+y+z=a+b+c+3/2上としてよい
を追加

>>283
　それは 菱形12面体 (第2種) の方でござるよ。

投影図に5回軸が現れるなら、
各面 (合同な菱形) の対角線比は黄金比φ のはず。
鈍角は　arccos(-1/√5) = 116.57°

次の5種類がある。
・菱形6面体 (尖った方)
・菱形6面体 (平たい方)
・菱形12面体 (第2種)
・菱形20面体
・菱形30面体

これらは空間充填多面体ではあるが、平行移動だけでは不可能で、
非周期的な充填となる。
その二次元投影図は ペンローズ・タイル と呼ばれ、3種類がある。

>>285-286
ウソ書いた
訂正
記号はそのままで
X=∪[a+b+c≧0]Kabc、Y=∪[a+b+c<0]Kabc、F=∂X=∂Y
とおく
光線の方向ベクトルn=(1,1,1)としてX上の点からnの方向に向かった点はまたXの点である
実際(p,q,r)がKabcの点ならa=[p],b=[q],c=[r]であるから容易に示せる
したがってp∈Fの各点についてそれが余次元2以上の単体の点でない所謂一般の点のときp∈Kabc, a+b+cなるa,b,cが一意に決まる
何故ならばp∈Fが一般の点の時pを含む単体は高々２つであるが、pを含む単体がXの中に二つ以上あるとpはXの内点となりp∈∂Yに反する
以上により全ての光線lにおいてF∩Fが一般の点のときp∈KabcでXに含まれるものがただ一つ決まる
よって∪[〜]Kabc∩F)の射影像はαを充満する

前>>273
>>267
なんで{sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1}sin(6°)/cos(6°)=2+√3なの？
なんで？

前>>289
>>267
(sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°)
=3.73205080757……
=2+√3
たしかに値は合致した。
けど式変形で示さないと、
Google検索でいちばん近い値が15°だと特定した俺のやり方と同じじゃないか。

もうバレてますが。>>270

>>290
2+√3=tan(75°)　に注意すると、成立して欲しい式は
sin(51°)/{sin(3°)sin(24°)} = tan(75°)/tan(6°) + 1

この式の　右辺-左辺　を　4 sin(6°)cos(75°)sin(3°)sin(24°) 倍すると

4 sin(3°)sin(24°){sin(75°) cos(6°)+sin(6°)cos(75°)} - 4 sin(51°)sin(6°)cos(75°)
=4 sin(3°)sin(24°)sin(81°) - 4 sin(51°)sin(6°)sin(15°)
=2sin(3°){cos(57°)-cos(105°)}-2sin(15°){cos(45°)-cos(57°)}
=2sin(3°){sin(33°)+sin(15°)}-2sin(15°){sin(45°)-sin(33°)}
=2sin(33°){sin(3°)+sin(15°)+2sin(15°){sin(3°)-sin(45°)}
=4sin(33°)sin(9°)cos(6°)-4sin(15°)sin(21°)cos(24°)
=2{cos(24°)-cos(42°)}cos(6°)-2{cos(6°)-cos(36°)}cos(24°)
=-2cos(42°)cos(6°)+2cos(36°)cos(24°)
=-cos(48°)-cos(36°)+cos(60°)+cos(12°)
={-cos(48°)+cos(12°)}-cos(36°)+cos(60°)
=2sin(30°)sin(18°)-cos(36°)+cos(60°)
=2*(1/2)*(√5-1)/4 - (√5+1)/4 + 1/2
=0
となることから、2+√3　が、厳密値であることが確認できます。

前>>290
>>292
tan75°=2+√3は、
1:2:√3の直角三角形の上に、
2辺が2で底角15°の二等辺三角形をくっつけて載せ、
確認できた。
51°+24°=75°が胡散臭いと思った。
図を正確に書くことでy=15°がわかりそうな気がした。
わかれば答案はこれでいい。
90°=51°+24°+y
∴y=15°

前>>293
→ABと→CDが直交することがわかれば、
つまり→AB•→CD=0が示せれば、
y=90°-(51°+24°)=15°
正確な値が示せる。

前>>294
B(0,0),C(c,0),AB=1とすると正弦定理より、
1/sin96°=AC/sin75°=c/sin9°
sin96°=cos6°だから1/cos6°=ACsin75°
Aから半直線BCに引いた垂線の足をHとすると、
AH=sin75°=(√6+√2)/4
BH=cos75°=(√6-√2)/4
ACsin6°=(√6+√2)/4
c+ACcos6°=(√6-√2)/4
(つづく)

前>>295
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)
→CD=→CB+→BD=(-c,0)+……考え中。
→BA=((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)

>>294
tan(3x)=tan(x)tan(60°-x)tan(60°+x)
tan(5y)=tan(y)tan(36°-y)tan(36°+y)tan(72°-y)tan(72°+y)
という公式があります。（wikiの「三角関数の公式の一覧」の最下部を参照して下さい）

x=9　→　tan(27°)=tan(9°)tan(51°)tan(69°)
　⇔　tan(9°)=tan(21°)tan(27°)tan(39°)

x=27　→　tan(81°)=tan(27°)tan(33°)tan(87°)
　⇔　tan(3°)=tan(9°)tan(27°)tan(33°)

y=3　→　tan(15°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)tan(69°)tan(75°)
　⇔　tan^2(15°)tan(21°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)

これらから、tan(15°)=tan(27°)tan(33°)tan(39°)　が得らます。
逆数にして、両辺にtan(3°)を掛けると
tan(3°)tan(75°)=　tan(3°)tan(63°)tan(57°)　tan(51°)
tan(3°)tan(51°+24°)=tan(9°)tan(51°)=tan(3°+6°)tan(51°)

これは、例の図において、AB⊥CDであることを示しています。

前>>296
>>297これはWikipediaに載ってるから公式です、というだけで途中過程が示されないと示されたことにはならない。
図を描くと15°+12°=27°は出る。
BDの延長線がACと60°をなすのもわかる。
その公式が公式か否かじゃない、どう立式してるかちゃんと示しなさい。
このままじゃ認めません。

前>>298
ABとCDのなす角は、
51°+24°+y=75°+y
または180°-(75°+y)=105°-y
これらが等しいならy=15°と特定できる。
tan9°/tan3°=tan75°/tan51°なら、
双方の傾きの割合が等しいから、
底辺ABと支軸となる直線CDの延長線が直交することは、
公式かどうかはともかくとして理解できる。

前>>299
tan75°=2+√3
は、辺の比が1:2:√3の直角三角形の上に、
底角15°の二等辺三角形をぴったりくっつけて載せることで理解できる。
あとはtan3°とtan9°とtan51°が少数じゃなく分数でわかれば、
ABとCDが直交するか否かが厳密にわかる。

>>299
CからABに下ろした垂線の足をM
DからABに下ろした垂線の足をN

CM=AM*tan(3°+6°)=(BN+MN)*tan(51°+24°)
DN=(AM+MN)*tan(3°)=BN*tan(51°)

これらから、
(BN+MN)*tan(51°+24°)*(AM+MN)*tan(3°)　=　AM*tan(3°+6°)*BN*tan(51°)
　ここで>>297の　tan(3°)tan(51°+24°)=tan(3°+6°)tan(51°) を使うと、
(BN+MN)*(AM+MN)　=　AM*BN　→　MN = 0 →　MとNは一致

>>301
tan(75°)=tan(30°+45°)=[tan(30°)+tan(45°)]/[1-tan(30°)tan(45°)]=(1+1/√3)/(1-1/√3)=2+√3
の方が簡明

tan3°等を、根号と四則演算で表現することは可能だが、複雑。
すでにいくつかの方法で、「厳密」に正しいことは確認されている事

ここは解と係数やろ

前>>301
>>297そんなだれにも知られずに眠ってる式は、非公式って呼んでやってください。
なんとか式変形でy=15°を導くことがこの問題の答えだよ。
(2+√3)=tan9°/(tan3°)(tan51°)=tan(3×3°)/(tan3°)tan(3×17°)
tan75°/tan51°=tan9°/tan3°
tan3°/tan51°=tan(3°+6°)/tan(51°+24°)
AB⊥CD
51°+24°+y=90°
∴y=15°

まぁしかし>>297の公式を例え知らなかったとしても、こんな公式があるけど証明できる？って言われてこんな程度の公式の証明付けられないようじゃ見込みないけどな

前>>304
BC/BD=AC/AD⇒AB⊥CD⇒y=15°
AB=1,BC=a,CA=b,B(0,0)とおくと、
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4),C((√6-√2)/4-cos6°,0)
AD,BD,CDの延長線とBC,CA,ABの交点をそれぞれE,F,Gとすると、
△ABEにおいて正弦定理よりAB/sin(180°-3°-51°-24°)=BE/sin3°
1/sin102°=BE/sin3°
1/sin78°=BE/sin3°
BE=sin3°/sin78°
△ABFにおいて正弦定理よりAB/sin120°=BC/sin9°=CA/sin75°
2AB/√3=a/sin9°=b/｛(√6+√2)/4｝
b=(√6+√2)2/4√3=(√6+√2)/2√3=(√6+√2)√3/6=(3√2+√6)/6
bsin6°=ABsin75°=(√6+√2)/4
sin6°=(√6+√2)/4b
4b=(6√2+2√6)/3
sin6°=3(√6+√2)/(6√2+2√6)
=3(√6+√2)(6√2-2√6)/(6√2+2√6)(6√2-2√6)
=3(√6+√2)2(3√2-√6)/(72-24)
=(√6+√2)(3√2-√6)/8
=(6√3-2√3)/8
=√3/2
=sin60°
おかしい。

前>>306
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
tan75°=2+√3
tan3°,tan9°,tan51°が無理数の和の分数のような形で表せさえすれば、
AB⊥CDが示されると思う。

筋悪だがこの場合可能
やりたければやればいい
高校数学の範囲内で可能
実行するための公式はもう全部知ってるやろ
できるかできないかは素頭次第

前>>307
tan3°が残りそう。

１°ずつ角度を増やすと作図して計算した方が早いと思う。
当然ながらきりのいい数値にはならない。

https://i.imgur.com/x9ZEiwR.jpg

> f(4,7,52,25)
x.degree y.degree
17.22932 74.77068

>>310
作図なんかして近似出しても解いたうちになどはいらん

>>311
座標の交点を連立方程式を解いて値をだすのだから、近似値というわけでもないぞ。

>>312
一部の代数系処理をしてくれる処理系ならともかくRではデフォルトは数値計算のみ
例え15.00000と表示されたとしても15°と結論できない

>>313
ベクトルの内積からacos使って角度を出すから
どの言語を使っても半端な角度なら近似値しかえられないと思うんだが？

>>314
と思ってるからダメなんだよ
計算機で出来ることの知識がイナとたいして変わらん
何のために三角比というものが導入されたのか、何で高校の数学の時間に“整式の割り算”なるものを習ったのか意味がわかってない
少なくともこのスレのレス読めばある程度はわかるだろうに

>>315
では>310を近似値でなくて御解答くださいな。

>>316
それが代数的な解がないと結論付けるための理論なんだよ
それがわかってないからそういう妙チキリンなレスつけるんだよ

なんだ近似解しか出せないじゃん。

計算機でも近似解の出し方しか知らないにんげんはもちろん近似解しか出せないけどちゃんと高2で習う整式の割り算の理論がわかってる人間は厳密解が計算可能である場合には厳密回が出せる
しかしそれだけではアルゴリズムとはいえない
その段階では機能的枚挙可能recursively enurrmatative)でしかない
アルゴリズム(=帰納的recursive)と言えるためには代数的には解けない場合には代数的に解けない判定を下しせないといけない
そこまで理解するのは大学でガロア理論を勉強しないとわからない
しかしそこまでの高級な話ではない
厳密解答が出せる場合に厳密解をだす(高校数学の範囲)すらクリアできてない

前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。

今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。

がわかってるだけまだイナの方がわかってるんだよな

前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。

>>322

そのままでは、袋小路
tan(3°)は、ただの記号としてしか使われていない。
2-√3=tan(15°)=tan(5*3°)だから、
例えば、「tan(5x)=2-√3 を満たすtan(x)の一つが、tan(3°)」という事に相当する条件が
どこかで使われなければ、道は開けない。

イナの求めてる解答は
tan3°= ((1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))/(-(-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))
を利用して証明したいんだろう
コレ自体は高校数学の範囲内でもちろん導ける
しかしこの式をイナが導き出した式に代入して等しいことを確認するのは原理的にはできてもとてもやる気起こらないけどな
そして何よりこのような実の冪根の形で三角比が表示できる方が特例で普通は不可能、例えば中学お受験レベルでも時々出てくるtan10°とかは不可能
なのでこういう方針に頼ってる限り所詮は頭打ち
結局>>323さんの言う通り高2の整式の処理で習う技術を使えるようにならない限りお受験レベルの数学ですら解けるようにはならない

tan(3°)の値を直に使うのなら
tan(3°)=tan(75°-72°)
=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]
=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
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