【千日手】「トゥエ・モース数列」すげえええええ

Thue-Morse数列
0→01→0110→01101001、というように全体の反転を付け足して行ってできる無限バイナリ列
0110100110010110…
同じ数列の3回以上の繰り返し(010101など。こう言った繰り返しを英語の理論ではcube、と言うみたい)となる部分が存在しないらしい
これは将棋の千日手が「同一手順連続3回」という規定だった時、同一局面に戻る最善の応酬が2通りしか無かったときでも上の数列に従ってその2通りを繰り返せば延々と時間稼ぎできることを意味する

更に階差Thue-Morse数列
1,0,-1,1,-1,0,1,0,-1,0,1,-1,1,0,-1,…
ABCの文字列に当てはめれば
ABCACBABCBACABC…
こちらは同じ数列の2回の繰り返し(square)も無いらしい
将棋の千日手は「同一局面4回」に改定されたが、もし「同一手順連続2回」に改定してたとしたら3つ以上の同一局面に戻る応酬があったら問題が解消しないことが分かる
こう言ったABCの文字列は無数にあるだろうが、ABCの順列を繰り返している点が美しい

参考文献
Wikipedia
Thue-Morse sequence
https://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Morse_sequence

Square-free word
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_word

トゥエ・モース数列の無立方性の証明
https://alg.kus.hokkyodai.ac.jp/2014/koshin2014aug.pdf
(↑なんで「教員免許状の更新講習」でこんなことをやってるんだ？笑)

また、現在注文中で届いてないが「ロジカルな将棋入門」にトゥエ・モース数列のことが載ってるそうだ

最後のリンクによれば、チェスでも元は局面ではなく手順で判定されていて、1929年にトゥエモース数列を使えば無限に繰り返せると指摘されたとある
現在のチェスは「同一局面3回」、すなわち繰り返し2回に相当するルールだから階差トゥエ・モース数列を用いて指摘されたのかと思ったが
軽く調べた感じ元は将棋と同じ同一手順3回、だったみたいだな
手順から局面に修正されるときに繰り返しの回数も減らされたみたいだ

指摘したのはチェス世界チャンピオンのマックス・エーワ

あーる日突然、二人だまーるの♪
あんなにおしゃべり、していたけーれど♪
同じー、言葉がー、繰りー返すと、
私には、わかっていーたの♪

ttps://www.youtube.com/watch?v=WAgcKOAFEik

https://www.google.co.jp/amp/s/shogipenclublog.com/blog/2018/12/21/sennichite-2/%3famp=1

将棋ペンクラブは何かの検索結果に引っかかる度にすごい有意義なことを教えてくれる神サイトだが
これは今まで見た中でもかなり面白い
当時千日手を改正した武者野棋士が最初からトゥエ列を指摘している
チェスの知識があったのか数学の知識があったのか自分で思いついたのかは知らないが

この棋士、不戦敗しまくりのような不祥事もあったみたいだけどこのページを見るにすごい将棋界に貢献した方なんだな

整数nを平衡3進法で表わすと
　n = Σ[i=0,h] (3^i) t_i
　t_i ∈ {-1,0,1}
このとき、階差T-M数列の第n項は
　b_n = σ(t_h) ◦ … ◦ σ(t_1) ◦ σ(t_0) (0)
と表わせる。
ここに σ(t) は集合 {-1,0,+1} 上の三つの置換で
　σ(-1)　：　-1と0との入れ替え
　σ(0)　：　恒等置換
　σ(+1)　：　0と+1との入れ替え

数学セミナー, 1998年7月号/10月号、日本評論社 (1998)
　エレガントな解答をもとむ
　出題：山田修司 先生
　嶺上開花氏の解答 (の直接表現)

エレガントな解答をもとむ

出題２
　とある年中無休の研修所のお昼ご飯は選択の余地がなく、カレーライスか牛丼か親子丼
かスパゲティかのどれか一つ、利用者全員が同じ種類のものを食べます。しかしながらこ
の研修所の食堂のおじさんのモットーは、利用者を飽きさせないように４品を出す順番を
工夫して、どの日から何泊してる人にとっても、お昼ご飯のパターンが連続して繰り返す
こと (たとえば･･･親親･･･とか･･･カ牛カ牛･･･とか･･･牛ス親ス牛ス親ス･･･とか) がないよう
にすることです。さて、このおじさんはどのような方法で毎日のメニューを決めていけば
よいでしょうか。
　誤解を防ぐために、数学用語で問題を言い直しておきます。数列{a_n}が繰り返し部分
をもつとは、a_{k+i}=a_{k+L+i} (i=0,…,L-1)を満たす整数kと1以上の整数Lが存在す
るときをいいます。1,2,3,4だけを要素とする無限列で繰り返し部分をもたないもの (を
生成するアルゴリズム) を見つけてください。

(続き)
　たった4品のメニューで頑張っていたおじさんでしたが、BSE禍の折、食の安全確保の
ため牛丼を除く3品にメニューを減らすことになりました。さて、このおじさんのモット
ーは依然として実現可能でしょうか。余裕のある人はこの問題も考えてみてください。

　ヒント：繰返し部分をもたない短い数列から、その中の1,2,3,4をそれぞれ適当な有限
列に置き換るというフラクタル的な操作で、繰返し部分をもたない長い数列が作れます。

BSE

異常プリオン蛋白に感染しても、
遺伝子 〜 蛋白質のアミノ酸配列までは正常。
しかし蛋白質の高次構造は異常(βシート)。
蛋白質の最終工程に「異常プリオン」が干渉する(?)

異なる動物のプリオンを注入しても発症せず、
自分のプリオン蛋白でのみ発症する。