1=0.999…は証明しません．「定義」です．

このように定義する理由は，感覚的な違和感を除き，これで何ら不都合が起きないから．
1≠0.999…
とすると不都合が起きます．

「異なる数の間には必ず数がある」
のが数直線の性質．
1>0.999…
ならば
1>a>0.999…
を満たす数 a が存在するはず．

ところがそれを具体的に表すことができない．
つまり，1>0.999…は数直線の性質に対して不都合が起きているわけです．

「真実かどうか？」は数学では無関心．
というより数学には真実はありません．すべては仮説です．
感覚的な違和感はどうあれ，数学ではより合理的な仮説を採用します．