高校数学の質問スレPart408

〜このスレの皆さんへ〜

現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣です

数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずにプログラムで解くような人物です
すぐにマウントを取りに来ます
鬱陶しい人物です
発達障害があると思われ説得しても無駄だと思われます
皆さん、一切関わらずに無視を貫きましょう

前スレ>>996-1000
cosθ=2が解けたことが自慢のキチガイｗｗｗ
低能口臭ハゲメタボ粘着高卒チンパンおつｗｗｗ

>>6
スレの始めからキチガイが湧いてるよｗ
早く死ね

同類

>>7
自己紹介おつｗ
さっさと首つれ

命題　「マウント猿 ならば (レイプ好き ならば 犯罪予備軍 である)」と同値である命題は以下のうちいずれか？

1 : マウント猿 ならば (犯罪予備軍 ならば レイプ好き である)
2 : レイプ好き ならば (マウント猿 ならば 犯罪予備軍 である)
3 : レイプ好き ならば (犯罪予備軍 ならば マウント猿 である)
4 : 犯罪予備軍 ならば (マウント猿 ならば レイプ好き である)
5 : 犯罪予備軍 ならば (レイプ好き ならば マウント猿 である)

どうせつまんねー自作問題ばっか投下されるんだから前スレで終わっとけば良かったのに

高校数学は、理系なら3年生で数学IIIとCだと思うのですが、
文系は３年生では何をしますか？

数学I,A,II,Bの演習問題でもするんですか？

>>12
同級生は文系でも数IIIをやっていた方が有利だからと
数IIIを履修していたな。
文Iに現役合格していたよ。

>>12
数Cは今は存在してないぞクソアホ。

なんでもいいから やっときゃいいのさ

>>12
お前高校行かなかったの？

外心と重心が一致する理由は？

行列の積について質問です。

１）行列の積が計算可能であるためには
左項l1,l2行列、右項r1,r2行列とすれば、l2=r1でなければならない。

行列A、B、x
結合法則：A(Bx)=（AB)x

Bxが計算可能（B_l2=x_r1）で、
その計算結果x'に対しAx'が計算可能(A_l2=x'_r1)でも、
ABが計算可能(A_l2=B_r1)であることは保証されなくないですか？

つまり行列の結合法則は一般に成立するというより
l2=r1が成立する場合のみという暗黙的前提がある？

>>17
広島には酔心というのがある。

荒らすためにスレ立てしたのかよ
もうあれからずいぶん期間が空いたのにどんだけ粘着してんだ

>>13
でも、数学IIIを選択しない文系３年生は
何を履修するんでしょう。

>>14
今の理系って、履修内容が減ったのか？
行列しないの？

日が変わってもまだ悩んでて馬鹿かコイツ
あちこちの学校のホームページでカリキュラム公開してるんだから
それを見ればいいだけだろ
邪魔だから死ねよキチガイ

>>17
なんで一致すると思ったんだ？
>>18
積の行数と列数をチェックしてみろよ

a,b行列とc,d行列を積した結果はa,d行列なんですね。
Bxが計算可能だからB_2=x_1が保証される
x'=Bxとするとx'はB_1,x_2行列
Ax'が計算可能だからA_2=B_1が保証される
ABではA_2=B_1が保証される必要があるがこれは
A(Bx)が計算可能である時点で保証されている
納得しました

積するがチェキするに空目した

大学に

sinx/((1-cosx)(1+cosx))=(1/2)((sinx/1-cosx)(sinx/1+cosx))
この式がなぜこうなるのかわかりません
調べてもわかりませんでした
教えてください

>>27
そんな恒等式は成り立たんよ。
右辺は(1/2)((sinx/(1-cosx))+(sinx/(1+cosx)))
の間違いじゃね？

>>27
>調べてもわかりませんでした
左辺-右辺のグラフをwolframに書いてもらって=0かみたら？
plot sinx/((1-cosx)(1+cosx))-(1/2)((sinx/1-cosx)(sinx/1+cosx))

>29の指摘通り
plot sinx/((1-cosx)(1+cosx))-((1/2)((sinx/(1-cosx))+(sinx/(1+cosx)))) なら=0のグラフを書いてくれる。

>>28
何年前に見たか思い出せんような謎謎だなー

>>22
なんで、そんなに切れてんの？

>>29
間違えました
ありがとうございます

積和の公式を使えば証明できますか？

>>34
単なる分数式の変換。sinxやcosxをA,Bで置き換えても成立する。

積分するために部分分数分解しようとしたんだなって１秒でわかる
それすらわからないアホどもが雁首ならべて馬鹿書き込みしてるのが笑える

>>33
おまえのようなキチガイみてると蹴り殺したくなるからじゃね？

確かにこんなにも社交上、横柄で傍若無人な奴は迷惑以外の何物でも無い奴は修正くらわしたい

自己紹介おつ

>10は真偽表を使う以外の解法ってあるかな？

>>10
朝の頭のラジオ代わりに
手書きだと間違えそうなので計算機で真偽表を作ってやってみた。題材は変えた。


問題：
シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)　という命題と同値な命題はどれか？

1 : シリツ医 ならば (裏口 ならば 馬鹿 である)
2 : 馬鹿 ならば (シリツ医 ならば 裏口 である)
3 : 馬鹿 ならば (裏口 ならば シリツ医 である)
4 : 裏口 ならば (シリツ医 ならば 馬鹿 である)
5 : 裏口 ならば (馬鹿 ならば シリツ医 である)


# PならばQ ≡　(P かつ (Qでない))ではない
'%=>%' = function(P,Q) !(P & !Q)

A = function(S,B,U) S %=>% (B %=>% U)
B1 = function(S,B,U) S %=>% (U %=>% B)
B2 = function(S,B,U) B %=>% (S %=>% U)
B3 = function(S,B,U) B %=>% (U %=>% S)
B4 = function(S,B,U) U %=>% (S %=>% B)
B5 = function(S,B,U) U %=>% (B %=>% S)

C1 = function(S,B,U) A(S,B,U) %=>% B1(S,B,U)
C2 = function(S,B,U) A(S,B,U) %=>% B2(S,B,U)
C3 = function(S,B,U) A(S,B,U) %=>% B3(S,B,U)
C4 = function(S,B,U) A(S,B,U) %=>% B4 (S,B,U)
C5 = function(S,B,U) A(S,B,U) %=>% B5 (S,B,U)

gr=expand.grid(c(T,F),c(T,F),c(T,F))

all(mapply(C1,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(C2,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(C3,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(C4,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(C5,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))

D1 = function(S,B,U) B1(S,B,U) %=>% A(S,B,U)
D2 = function(S,B,U) B2(S,B,U) %=>% A(S,B,U)
D3 = function(S,B,U) B3(S,B,U) %=>% A(S,B,U)
D4 = function(S,B,U) B4(S,B,U) %=>% A(S,B,U)
D5 = function(S,B,U) B5(S,B,U) %=>% A(S,B,U)

all(mapply(D1,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(D2,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(D3,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(D4,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))
all(mapply(D5,gr[,1],gr[,2],gr[,3]))

>>35
ありがとうございます

1/sinx の積分の証明を理解したくて
1/2(sin/(1-cosx))+(sin/(1+cosx))を積分する時に
f’(x)/f(x)を積分するとlog |f(x)|を使うらしいのですが
sin/(1-cosx)のときは、1-cosxを積分するとsinxになるので理解できるのですが
sin/(1+cosx)のときに、なぜ使えるのかが知りたいです

1+cos x の微分もできんのか？

M=1×2×3×・・・×2020+2121とするときMと2020の最大公約数を求めよ。

素因数分解したりしてみましたが最後の項の+2121をどう扱っていくのかが分かりません。よろしくお願いします。

2020=20×101と2121=21×101の最大公約数が101だから
2020k+2121と2020の最大公約数も101

ほらな、俺が昨日言った通り積分するための式変形だっただろ
ざまーみろ低能クソ馬鹿どもが

積分定数Cが実用的に意味を持つ場合ってあるんですか？
微分すると原始関数のCが消えるのは分かるんですが、
もし積分と微分が逆の関係にあるという発見が無かったら、
積分定数Cの必要性は何ですか？

>>47
ゲージ不定性。

>>44
試験会場じゃ無理だけど
Wolframに
gcd(2020!+2121, 2020)を入力すると
101がかえってくるから
2020!+2121と2020を101で割ればあとから理屈がついてくる。

>>44
gcd(a,b)とあったら aを bで割った余りに置き換えて計算してよい
(同様に bをaで割った余りに置き換えてもよい)
この性質は最大公約数の性質からすぐにでてくる
この性質を繰り返す用いる手法はユークリッドの互除法と呼ぶ

gcd(M,2020) を計算するのが問題だから
Mを2020で割った余りに置き換えて計算するという発想になる
Mの定義から それは 2121を2020で割った余り,つまり101に等しい
よって, gcd(M,2020) = gcd(101,2020) がいえる
2020 を 101で割った余りは 0 だから gcd(101,2020) = gcd(101,0) = 101
答えは 101

なんか一人キチガイが書き込みしてるなｗ > ID:qm3HB2h3
天罰が下って別のキチガイに殺されるといいね、こいつｗ

f(x) 　を　x の平方根（ルート　x）とする。
（１）f(100) - f(0)=100f'(c) となる　0<c<100 を求めよ。
（２）100　を　 b>0　に変えたらどうなるか。計算してみて下さい。
わからん

>>47
積分定数がなきゃ微分方程式が解けん
微分方程式ほど実用的なものが他にあるか？

一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHと球があり、立方体すべての辺の中点で球と立方体の辺が接している。
（球の半径は√2は求めました。）

3点A,F,Cを通る平面で球を切断したとき切断面の面積を求めよ

切断面が上手く想像できず行き詰ってます。よろしくお願いします。

>>54
球の中心は立方体の中心（正確な表現とは言えないかも知れないけど）だから、切断面と立方体の中心との距離、球の半径がわかれば求まるんじゃ？

球x^2+y^2+z^2=2
立方体(x,y,z)=(±1,±1,±1)
平面x+y+z=1
切断面は中心(1/3,1/3.1/3)で半径√(2-1/3)=√(5/3)の円
その面積は5π/3

つまりCがついててもついてなくても操作上の違いはない？

後で微分する予定の原始関数にCをつけるということ？

ゲージ不定性は意味が分かりませんでした

微分方程式の解が解けないというのがわかりやすいと思いますが、そこまで勉強してないようなのか知りませんが、そのレスは無視されていますね


速度がvの時の位置xを求めよ

dx/dt=v
x=vt+C(Cは積分定数)

このCがなかったら、初期位置が表現できませんよね

x=vtしか駄目ですよーってなったら、t=0のときはx=0しか許されない

物理ではそれはとっても不便なんです

バカは無理してレスしなくてもいいよ

画像の問題について質問
円錐の方程式と平面z=x-kを連立するとこれらの交わりのxy平面への正射影の式が得られるというのに違和感を感じます。というのも交わりは図を見ると明らかにz方向の成分を持つのに得られた式はxyしか含まないからです。これに対して自分なりに考えた理由付けが正しいか確認して貰いたいのです。
連立方程式の原理に立ち返ると
x^2+y^2=(z-a)^2かつz=x-k
⇔y^2=(a+k)^2-2(a+k)x-�@かつz=x-k-�A

�@から適当なyを定めるとxが求まり、さらに�Aよりzが求まるだから�@はxyしか含まないものの�Aも合わせて考えることにより交わりを正確に表せている

https://i.imgur.com/9S9mqrU.jpg
https://i.imgur.com/QLuuSiw.jpg
https://i.imgur.com/bP93mCK.jpg

>>60
加えて�@のxyの式が立体の正射影を表しているのがいまいちピンとこないので誰かに説明して貰いたいです

立体の交わりは
y^2=(a+k)^2-2(a+k)x-�@かつz=x-k-�A
これのxy平面への正射影は
y^2=(a+k)^2-2(a+k)x-�@かつz=0-�B

解答ではxyのみの式で書かれていれば、暗にz=0-�Bの条件が省略されている

>>59
お前だ

>>54
中心と切り口の距離が4√6/3
半径が√2
ピタゴラスの定理より、
(16×6/9)÷2=16/3
切り口の円の半径16/3かな？

>>55-56
遅くなりました、レスありがとうございます
断面図の図示はどのようにすればよいかヒント頂けませんか

前>>64絶対違う。
√2よりちっさなるはずやで。

>>65
平面は立方体を正三角形に切り、球を円に切る
球と立方体を合わせた断面図は正三角形と円を合わせた形になる
正三角形の3つの角が少しだけ円からツノのように出てる感じ

正三角形と円の6つの交点は平面と立方体と球の共通点であり
立方体の上面(z=1)では
球の式、平面の式にz=1を代入して
x^2+y^2=1,x+y=0
これを解いて(x,y,z)=(±1/√2,∓1/√2,1)の2点
同様に
立方体の左面(x=1)では(1,±1/√2,∓1/√2)の2点
立方体の右面(y=1)では(±1/√2,1,∓1/√2)の2点

これらは各面において
平面と立方体の交線である正三角形の辺(各面の対角線)
球の立方体の交線である円(各面で半径1の円)
の交点でもある

(2/3)πになっちゃった
なんか計算間違えてるのかな

間違いだった
(5/3)πだな

前>>66
>>54
一辺2の立方体の切り口ACFは正三角形で、
その一辺の長さは一辺2の正方形の斜辺だから2√2
面積は一辺1の正三角形の(2√2)^2倍になる。
△ACF=(√3/4)(2√2)^2=2√3
頂点A,C,Fはいずれも一辺2の立方体の中心から√3の距離にある。
△ACFを底面とし、一辺2の立方体の中心を頂点とする正三角錐の体積は、
高さをhとして(1/3)(2√3)h=(√3)(√3)(1/2)(√3)(1/3)=√3/2
h=(√3/2)/(2√3/3)=3/4
球の半径√2と切り口の一辺2の立方体の中心からの距離h=3/4についてピタゴラスの定理より、
円の半径=√(√2)^2-(3/4)^2=√(4-9/16)=√55/4

前>>70
円の面積=π(√55/4)^2=55π/16
∴問題は最後まで読まないといけない。

全然違う

>>54
これなんとなく解いてみて正解5/3πなんだろうけどピンとくる解説が欲しい　不勉強で申し訳ないが

>>73
自分の解き方も書いてみてはどうか

球の半径と球の中心から切断面までの距離から切断面の半径を求めて面積を出した
球の半径はすぐわかる
中心から切断面までの距離はACFHを頂点とする正四面体の各面の面積と体積から求めた

頂点の位置ベクトルを平均するだけでいいのでは？

立方体の８つの辺の中点で接する球のイメージからして湧いてこないな。６つの正方形の重心で接するなら直ぐにイメージできるけど。

問題を解くだけなら球をイメージする必要はないんじゃない？
球を平面で切断したら切断面は円なのでその円の半径がわかれば面積がわかる
円の半径は球の半径と球の中心から切断面までの距離がわかれば求まる
「立方体すべての辺の中点で球と立方体の辺が接している」とあるので球の中心は立方体の中心であり、
球の半径は立方体の中心から立方体の辺の中点までの距離だとわかる
あとは切断面までの距離の方が問題になるだけ

辺だけで構成された枠のなかに風船を入れてどんどんふくらませてちょうどはまる状態だと考えればなんとなくはイメージできる
実在するものだとこんなのに似たイメージ http://iup.2ch-library.com/i/i020958911915874111291.jpg

給水タンクで草

ある野球部の部員は、男子5人と女子3人の8人である。
この8人の中から、男子を少なくとも1人は入れて、渉外試合担当者を3人選びたい。選び方は何通りあるか。

答えは55通り(8C3-1)なのですが、男子5人の中から1人選ぶ(5C1)、残り7人から2人選ぶ(7C2)で5C1×7C2=105通りは、
何が間違っているのでしょうか？

その数え方だと例えば男Aを先に選んだときと
後から決めた2人に男Aが含まれるときが重複する

高校で習う範囲なら命題と条件は同じだと思って良いよって言われたんだけど、
これって例えば命題の「偶数である」を条件で表したときは「ｘは偶数である」って意味としてとらえて良いよって事ですかね？

>>81
＞高校で習う範囲なら命題と条件は同じだと思って良いよって言われたんだけど、
それは言ったやつが間違っている。

＞命題の「偶数である」
「偶数である」は命題ではない。

文脈次第だろ

>>81
趣旨は、
高校では命題と条件をきちんと区別してないから、全部条件だと思った方がいいよ、
くらいかな。

「ｘは偶数である」も「xは4の倍数である」も条件であって命題ではないけど、
「xが偶数ならばxは4の倍数である」になるとなぜか命題になる。
両者の区別をきちんとするのは面倒なだけで益が少ない。
しかも、「ならば」つきで考える場合は大抵必要条件、十分条件という扱いになるから、条件として考えた方が混乱が少ない。
詳しく言えばこんなとこだろう。

>>82
ありがとうございます
>「偶数である」は命題ではない。
についてもう少し詳しくお願いします

言われた事について自分なりに考えてみたのですが
「１２で割れる」ならば「３で割れるかつ偶数である」
これを「ｐ→ｑ∧ｒ」と表したときｒは命題ではなく
「ｘが１２で割れる」ならば「ｘは３割れるかつ偶数である」
って意味の省略としてとらえてｒは条件って事になる
質問を改めると
条件の「偶数である」は「ｘは偶数である」って意味としてとらえて良いよって事ですかね？

お願いします

>>84
って事は
>>85
は見当違いな事を言っている？

>>80
残り7人から2人を選ぶ(7C2)で、すでに選ばれた一人が重複しないようにしているのですが。

条件をp(x)とかpxって書くのは理解できるんだけど、
条件をpって書くのには何に対しての条件だよっていう違和感が常にある
俺だけかな？かな？

で、てめーら今年論文何本アクセプトされたの？
どーせゼロだろ？
消えろ無能低能

>>87
A BC （はじめにAが選ばれ次にBCが選ばれる）
B AC （はじめにBが選ばれ次にACが選ばれる）
これらは組としては同じになるがダブルカウントしてしまっている

sin(x)/(x+1) の原始関数がショ糖的な関数で表せないのはなぜですか

解析はそんなに甘くないってことさ

共に1以下の半径の2つの円（A，B）の交点の求め方で質問です。

このときAとBは重ならないとし、どの組み合わせでも必ず (1, 0) の交点を持つとします。

※つまり解の1つは分かっている


[A] (x-a)^2 + y^2 = rA^2　・・・中心は常にX軸上にある


[B] (x-1)^2 + (y-b)^2 = rB^2　・・・中心は常に（Y軸に平行な）x=1線上にある

a, b, rA , rB 全て0〜1の間　（円の半径＞0）

最初、教科書通りに x^2, y^2 の項を消して x と y の関係式を求め、x の2次方程式
を得ようとしました。

しかし、思いのほか複雑になった上に「折角、交点の1つは固定され分かっているのだから、

この有り難みを活かせないものかのう？」

と考え、ここで質問することにしました。


図は下記の感じです。

何か簡便な求め方はありますか？

https://dotup.org/uploda/dotup.org2287726.png

ゴメンなさい。
テキストファイルからコピペして投稿したら無駄な改行が増えてしまいました。

>>85
＞>「偶数である」は命題ではない。
＞についてもう少し詳しくお願いします

「偶数である」は命題でも条件でもない。
「xは偶数である」はxについての条件。
「12は偶数である」「5は偶数である」などは命題。


命題というのは真偽が定まる"文"のことで、「偶数である」は文になってないから命題ではない。

xについての条件というのはxの値を定めれば真偽が定まる文のことで、
「xは偶数である」はxの値によって真偽が変わる、すなわち真偽が定まっていないので命題ではないが
xになんらかの値を定めれば真偽が定まるので条件ではある。

コロナに感染すると肺が繊維化してしまうんだよ
本来風船のように収縮するはずの肺がテニスボールのようになって収縮しなくなり呼吸が苦しくなる
最悪なのは一度繊維化した肺はもう回復しないこと
元患者が後遺症についてネットで書いてるけどマジで地獄
自分がかかったり見ず知らずの他人に伝染すだけならまだしも油断してコロナ感染して
家族や同僚に伝染して死なせたり一生残る後遺症を与えてしまったら悔やんでも悔やみきれ無いよ

>>85
＞条件の「偶数である」は「ｘは偶数である」って意味としてとらえて良いよって事ですかね？
これに対して律義に答えると、誤りですとなる。
・条件「xは偶数である」の主語を省略した「偶数である」は条件ではない。
・命題「6は偶数である」の主語を省略した「偶数である」は命題ではない。
これが数学的に正しい認識である。しかし、おそらくこれが欲しい答えではないのだろうとも思う。

「省略された主語を補って解釈していいですか？」が質問の趣旨だと私は思ったのでそのように回答するが
主語が省略されている文はそのままでは意味が通じないのだから、主語を補って解釈するのは当然のことである。

主語を省略してよいですか？ということについては、基本的には省略すべきではないが何もかも省略せずに書くのはあまりにも煩雑なので、
文意が誤解無く伝わる範囲での省略は許容されるだろうということになる。文脈によるとしか言いようがない。
これは数学の話ではなく言語の話である。日本語は欧米の言語に比べて主語が省略されることが多いという背景もある。
数学的には一切何も省略しないことが一番正しく、何をどこまで省略することが許容されるかは言語の話であり文化の話であり文脈による。

と、暇な老年ハゲメタボ

>>93
ABの法線ベクトルを適当な（必要な）長さ倍して(1，0)に継ぎ足せばいいんじゃね

>>99
A，Bはそれぞれ円の中心

>>93
2つの交点は2つの円の中心を結んだ直線について線対称

>>93
最初から rA = 1 - a, rB = b とすれば？

レス有り難うございます

>>99
円の中心を結ぶ線の法線ベクトルを（必要な）長さ倍？

>>101
なるほど

>>102
でもそれだと>>93で書いた「x^2, y^2 の項を消して x と y の関係式を求め・・・」
になって解の式が煩雑になるような

前>>71
>>54
球の式はx^2+y^2+z^2=2
切断面の式は-x+y+z=1
zを消去するとx^2+y^2+x-y-xy-1/2=0
(x+1/2)^2+(y-1/2)^2=xy+1
円の中心は(-1/2,1/2,0)
ABCD面の切り口の通過地点のうち球の表面にある点は(1/√2,1,1/√2)
円の半径はこの2点の距離だから距離の二乗は、
｛1/√2-(-1/2)｝^2+(1-1/2)^2+(1/√2)^2
=1/2+1/√2+1/4+1/4+1/2
=(3+√2)/2
∴円の面積は(3+√2)π/2

前>>104
>>79
8人に名前をつける。
男子は、あ人、い夫、う男、え郎、お介の5人、
女子は、か子、き美、く代の3人。
あ人が選ばれるとき、残りの7人から2人を選ぶ選び方は7Ｃ2=7×6/2=21
い夫が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人を避けて残り6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2=6×5/2=15
う男が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人とい夫を避けて残りの５人から2人を選ぶ選び方は5Ｃ2=5×4/2=10
え郎が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人とい夫とう男を避けて残りの4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2=4×3/2=6
お介が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人とい夫とう男とえ郎を避けて残り3人から2人を選ぶ選び方は3Ｃ2=3
21+15+10+6+3=55(人)

前>>104訂正。
>>54
球の平面による切断面は円で、円の半径をrとすると、△AFC上に球の切断面の外周が、すなわち円弧が点A,点F,点C付近に三つ描かれる。
一辺2√2の正三角形の高さは√6で重心は辺から高さの1/3の地点にある。
ABCD面に出ている球の立方体による断面は半径1の円だから、
ピタゴラスの定理よりr=√｛1^2+(√6/3)^2｝=√(5/3)
∴円の面積はπr^2=5π/3

前>>106訂正。
>>54
球の平面による切断面は円で、円の半径をrとすると、△AFC上に球の切断面の外周が、すなわち円弧が点A,点F,点C付近に三つ描かれる。
一辺2√2の正三角形の高さは√6で重心は辺から高さ1/3の地点つまり√6/3の距離にある。
ABCD面に出ている球の立方体による断面は半径1の円だから、
ピタゴラスの定理よりr=√｛1^2+(√6/3)^2｝=√(5/3)
∴円の面積はπr^2=5π/3

https://i.imgur.com/7JPwRXe.jpg

(2)の解答について
�B式は�@式を(m,n+1)→(m+1,n)と置き換えた式ですが、�@ではx=t^mと置換しているのに対し�B式ではx=t^(m+1)と置換している筈なので、同じtとして連立する事ができないのではないかと考えてしまいます。

何故解答のように書けるのかどなたかの説明を頂きたいです。

池沼かよ

>>84
>>97
詳細な説明ありがとうございます

例えば「アリならば昆虫である」の命題は正しくは「ｐ」とするべき
文脈によりこれを主語の省略されたｐ,ｑを使った「ｐ→ｑ」として説明される事もあるので日本語はややこしい
しかも主語を省略されてしまうとｐとｑが命題なのか条件なのかが確定しない

覚えました。

>>110
わけのわからんことを覚えるな。

例えば「アリならば昆虫である」の命題は正しくは「xがアリであるならばxは昆虫である」とするべき
しかし、省略して「アリならば昆虫である」と記述しても文意は誤解無く伝わると思われるのでこの程度の省略は許容されるだろうということ。日本語のややこしさとは無関係な話である。

＞しかも主語を省略されてしまうとｐとｑが命題なのか条件なのかが確定しない
そうではない。>>97が書いているのは、主語を省略すると命題でも条件もなくなるということ。

An ant is an insect.

日本語に限った話じゃなくないか？

前>>107
>>108
4.求積(2)
4・1(1)πa^2/2×(1/√2)=πa^2√2/4
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=(πa^3/3)(1/2)(2/3)=πa^3/9

すみませんlogについて習ったんですが
A = B + Cの式をlogにすると
logA = logB + logCってするのは無理というのは解りましたが
logA = log(B+C)みたいにするのはダメなんですか？

だめじゃないよ

真数条件の話？

例えば
　log(4) = log(2+2) = log(2) + log(2),
　log(6) = log(1+2+3) = log(1) + log(2) + log(3),

log(2+2) = log(4) = log(2×2) = log(2) + log(2)
log(1+2+3) = log(6) = log(1×2×3) = log(1) + log(2) + log(3)

前>>113
>>108訂正。
4.求積(2)
4・1(1)πa^2/2×(1/√2)=πa^2√2/4
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=∫[t=0→a/2]｛π(a-t)^2-t√(a-t)^2-t^2｝dt
=∫[t=0→a/2]｛πa^2-2πat+πt^2-(t^2/2)√(a^2-2t)+(t^2/2)/√(a^2-2t)｝dt
=∫[t=0→a/2][πa^2t-πat^2+πt^3/3-a^2t^2/2√(a^2-2t)+t^3/√(a^2-2t)+(t^2/2)√(a^2-2t)-t√(a^2-2t)]
=πa^2(a/2)-πa(a/2)^2+π(a/2)^3/3-a^2(a/2)^2/2√(a^2-a)+(a/2)^3/√(a^2-a)+(a^2/8)√(a^2-a)-a√(a^2-a)/2
=πa^3(1/2-1/4+1/24)
=7πa^3/24-(a^4-a^3+a^2)/8√(a^2-a)

前>>119訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/3-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/3-2/9)a^3

前>>120訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/6-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/6-2/9)a^3

>>87
男子１：５　女子６：８とすると
男子１を選んで、残り７人から二人を２，６を選んだ場合と
男子２を選んで、残り７人から二人と１、６を選んだ場合で
重複して数えている。

>>122
＞男子１：５　女子６：８とすると

男子を１，２，３，４，５、女子を６，７，８
と番号を付けるという意味

>>122
プログラムに組み合わせを列挙させて最後の方を表示さえてみた。

> re=NULL # 格納する変数
> for(m in 1:5){ # m: 1~5から順に一人目を選ぶ
+ # mを除いた7人から二人を選んで３人を組み合わせる
+ re=rbind(re,cbind(m,combinations(7,2,(1:8)[-m])))
+ }
> tail(re) # この方法での組み合わせの数　105通り
m
[100,] 5 4 6
[101,] 5 4 7
[102,] 5 4 8
[103,] 5 6 7
[104,] 5 6 8
[105,] 5 7 8

> tail(unique(t(apply(re,1,sort)))) # その105通りから重複を除いてカウント
[,1] [,2] [,3]
[50,] 4 6 7
[51,] 4 6 8
[52,] 4 7 8
[53,] 5 6 7
[54,] 5 6 8
[55,] 5 7 8

8Ｃ3−3Ｃ3＝55
じゃあかんの？

互いに素でない二つの自然数において、公約数で割って互いに素ならば、それが最大公約数となる。これを証明する方法はありますか?

a,bの最大公約数をdとするとa=dm, b=dn,でmとnは互いに素
これらを公約数eでわるとa/e=(d/e)m, b/e=(d/e)n
e<dとするとd/eは２以上の自然数なのでa/e とb/eは互いに素にならないのでe=dである

>>111
ありがとうございます。指摘部分を修正し復唱すると、

例えば、「１２で割れる」ならば「３で割れるかつ偶数である」
の「１２で割れる」「３で割れる」「偶数である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘは１２で割れる」ならば「ｘは３割でれるかつ偶数である」とするべき

例えば、「アリ」ならば「昆虫である」
の「アリ」「昆虫である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘがアリである」ならば「ｘは昆虫である」とするべき

主語が省略されている文はそのままでは意味が通じないのだから、主語を補って解釈するのは当然のこと
本来は主語が無いと文ではなくなるので命題でも条件でもないが、文意は誤解無く伝わると思われるので上記程度の主語の省略は許容されるだろう
ただし、当然数学的には一切何も省略しないことが一番正しい

覚えました。

t>0 とする。
(1)　B = 1+t,　C = 1+1/t　のとき　A = B + C　を求めよ。
(2)　log(A) = log(B) + log(C)　を示せ。

>>90
重複カウントしているから>79の計算での105をで割った105/2通りにはならないんだな。
なんでだろ？

>>130
３人とも男子のときはA−BC、B-AC、C-ABの三重カウント
２人が男子、一人が女子のときはA-Bc、B-Acの二重カウント
１人が男子、二人が女子のときはA-bcでダブリなし
よって5C1*4C2/3+5C1*4C1*3C1/2+5C1*3C2=55

>>131
解説ありがとうございました。納得できました。

朝飯前に練習がてらにプログラムでカウントさせてみました。

> print(head(res),q=F)
重複
[1,] A a b 1
[2,] A a B 2
[3,] A a c 1
[4,] A a C 2
[5,] A a D 2
[6,] A a E 2

,,,,,

> print(tail(res),q=F)
重複
[100,] E B c 2
[101,] E B C 3
[102,] E B D 3
[103,] E c C 2
[104,] E c D 2
[105,] E C D 3

> ans=0
> for(i in 1:3){
+ ans <- ans + nrow(res[res[,4]==i,])/i
+ }
> ans
[1] 55

>>129
こんなんも見つけたぞー

t>0 とする。
B=1+t+t^2、C=1+t 、D=1/t、A=B+C+Dのとき

log(A)=log(B)+log(C)+log(D)

>>132
いい加減にしろ
お前のは数学じゃなくて計算技術(1〜4級)だ

それでは…
t>0 とする。
B = 1 + 1/t + 1/t,　C = 1+t,　D = 1,　A = B+C+D のとき
log(A) = log(B) + log(C) + log(D).

一般には
D=(B+C)/(BC-1)
でファイナルアンサー

4項以上のときもtと1/tの多項式的なパラメータで書けるものがあるんかな

いや、一般にその方針でいけるのか・・・

B=1+(n-1)/t、C=1+t、D=E=…=1
か

定数多項式は含まない条件下で、tと1/tの多項式パラメトライズはあるか？

10n+1,10n+3,10n+7,10n+9

これらすべてが素数となるとき、
nの取り得る値が1しかないことを証明する方法はありますか?

素数は無数にあることは知られていますが、
nが1でない時は4つのうちのいずれかが素数でなくなるということも証明できれば良いのですが。

3の倍数判定を使うと簡単かと思いましたが、
2,4,8,10
3,5,9,11
4,6,10,12
5,7,11,13
1ずつ足していくと3の倍数が引っかかる、、、
これでは49に限らず素数の自乗を見つけられません。
証明として成り立たないので、質問してみました。

>>139 >>140
そもそも予想が間違っている
n=1 の他にもたくさんある
n = 10, 19, 82, 148, 187, 208, 325, 346, ...

おそらく無限個あるのだろうけれど この手の問題は未解決です

3の倍数に引っかからない合成数が49であることを考えると、オイラー素数の意味も見えてくる。

>>139
>>141
無限個あるという結論(仮)は Schinzel's hypothesis H という予想から導かれる:

[準備]
整数係数多項式f(x)に対して,
D(f(x)) = max{m∈N ; ∀x∈N m|f(x)} とおく
つまり, 「どんな自然数xに対しても f(x)がmで割り切れる」
となるような最大の自然数mを D(f(x))で定義する

今, k個の既約整数係数多項式が与えられたとして,
それのk個の積で定まる多項式をQ(x)とかくことにする
もし, D(Q(x))=1 ならば k個の多項式が同時に素数値を取ることは無限に発生する
これを　Schinzel's hypothesis H という

これを用いるなら まず4つの整数係数多項式,
10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9 はどれも既約
(つまり1次有理数係数多項式の積に書けない)
そして Q(x)= (10x+1)(10x+3)(10x+7)(10x+9) とおくとき
gcd(Q(1),Q(2))=1 であるから D(Q(x))=1 であることがいえる
よって　 Schinzel's hypothesis H が正しいならば
問題の4つの式が同時に素数値を取ることは無限回発生する

一部タイプミスの修正
最後から5行目

[誤] つまり1次有理数係数多項式の積に書けない
[正] つまり1次以上の有理数係数多項式の積に書けない

あとはたぶん大丈夫そう

>>141
ありがとうございます。数字和(3の倍数)で素数を追うには147,369には対応できても258には無力だということを思い知らされました。

奇数mで次の条件を満たすものはありますか。
「m+2^n (n=1,2,3,…) がすべて合成数」

>>146
基本的には その手の問題は 2^k-1 のprimitive prime divisors を考えるのが筋
それは 古くはSierpinskiの covering set という考え方に基づくもの

2^(2^k)-1 の形の数が持つ primitive prime divisors を考える

2^64 - 1 = 3*5*17*257*641*65537*6700417 に注意する

たとえば 以下の合同式を満たすようにmを設定すれば条件を満たす:
m≡1 (mod 2)
m≡2 (mod 3*5*17*257*65637)
m≡ 333 (mod 641)
m≡ 6700415 (mod 6700417)

具体的には m = 8233406372846257083

(1) 9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1 が素数ならば nは36の倍数であることを証明せよ
†(2) nが36の倍数のとき, (1)の数が素数になることはあるか

>>136
　A1 = 1 + t,
　A2 = 1 + 1/t,
　A3 = 1 + t/(tt+t+1),
X=Anの漸化式は
　A1 + A2 + ････ + A_{n-1} + X = A1･A2････A_{n-1}･X,
より
　X = (A1+A2+･････+A_{n-1})/(A1A2････A_{n-1} - 1),

>>149
有理式でいいならそりゃそうだけどさ
そもそもA1〜A(n-1)を好きな有理式(ただし積≠1)にしてもAnは有理式になるわけだし

>>150
和と積が一致するパラメタ
A[1] = n
A[2] = 2
A[3] = ... = A[n] = 1

これで すべて整数係数多項式
"異なる"とかそういう条件が入ると難問だろう

>>151
だから>>138に定数多項式は含まない、と書いたんだけどな

でもtと1/tの整係数多項式で全て非定数で異なるのも簡単だった
A1=Σ[i=2,n]Ai、A2=2/t^((n-1)(n-2)/2)、 A3=t^1…= An=t^(n-2)
とかでいい

>>141
数字和で3の倍数フィルターが258になることを必要条件とすると、
n=3x+1が成り立つのは理解できますが、
それだけでは不十分なので、何か別の条件があるはずです。
そうでないと49,77,133,169が素数でないことを立証できないからです。

質問なんですが、六芒星をとがった部分から直線を

滑る感じで回転するときの軌跡ってどうなりますか？教えてください！

回転というか1回転した時の軌跡です！

プレミアム率25%ってどういう意味?

>>136
n=3
ΔXYZ は直角三角形でないとする。
　B = tan(x),　C = tan(y),　D = tan(z)

----------------------------------------
sinの加法公式(*)は
sin(x+y+z)
　= cos(x)cos(y)sin(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + sin(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
　= cos(x)cos(y)cos(z) [ tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) ],
また、題意より
　x+y+z = π,　sin(x+y+z) =0,
　cos(x)cos(y)cos(z) ≠ 0,
したがって
　tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) = 0,

*)　exp の加法公式
　cos(x+y+z) +ｉsin(x+y+z) = e^{ｉ(x+y+z)}
　= e^{ｉx} e^{ｉy} e^{ｉz}
　= (cos(x)+ｉsin(x))(cos(y)+ｉsin(y))(cos(z)+ｉsin(z)),
の虚数部をとる。

>>157
実は元の>>133はその形を特殊化して導いた

x=π/2-α+β、y=α-γ、z=π/2-β+γ
s=tanα、t=tanβ、u=tanγとおくと
B=(1+st)/(s-t)、C=(s-u)/(su+1)、D=(1+tu)/(t-u)
というパラメータ表示を得る
ここでs=1+t、u=0と特殊化すると>>133の式になる

n=3,
ﾁｮﾄ追加
x+y+z = π とする。
B = tan(mx),　C = tan(my),　D = tan(mz),
B = cot(m'x),　C= cot(m'y),　D = cot(m'z),
ここに mは整数　m' = m + 1/2.

対称的なパラメータ形としては
x=α-β、y=β-γ、z=γ-αとおいて
B=(s-t)/(1+st)、C=(t-u)/(1+tu)、D=(u-s)/(1+us)
が得られる

>>154
三角形

>>161
意味わからないんですけど・・・・・・・・・・・

>>154
何が回転したときの何の軌跡かを指定しないと意味不明な問題だぞ。

>>148
(1) F(n)=9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1
n≧1のとき F(n)≧27
3|F(n) if n≡1 (mod 2)
5|F(n) if n≡2 (mod 4)
13|F(n) if n≡4,8 (mod 12)
19|F(n) if n≡6,12 (mod 18)
nが36の倍数でなければF(n)は3,5,13,19のいずれかを約数にもつ合成数である

(2) 高校数学で解けるの？

>>154
「滑らずに転がる」だったらこんな感じになる
http://imgur.com/476ENXZ.gif
滑る感じで回転ってのはよくわからない

半径rの円の場合 (サイクロイド)
　x = r(θ - sinθ),
　y = r(1 - cosθ),

軌跡の長さ：　L = 8r,
　円周(2πr) の 1.27324 倍
面積：　S = 3πrr,
　円の面積 (πrr) の 3.0 倍
　外接長方形の面積の 0.75 倍

幅：　2πr
高さ：　2r
外接長方形の面積　4πrr,

>>162
六芒星は三角形が2つだから乗り換えせずに
線を滑れば1つの三角形しか描けんだろ

好き勝手に解釈できてしまうのは>>154が曖昧すぎるのが原因なので致し方ない

数学IIBってどの順番でやっていくのがいいの？

前>>121
>>154
動画によると、
軌跡の長さ=2π(√3/3)(60°/360°)×2+2π1(60°/360°)×2+2π(2√3/3)(60°/360°)
=2π√3/9+2π/3+2π√3/9
=(6+4√3)π/9
直線上の通過面積=π(√3/3)^2(60°/360°)×2+(√3/3)(1/2)(1/2)×2+π1^2(60°/360°)×2+(√3/3)1(1/2)×2+π(2√3/3)^2(60°/360°)
=π(1/3)(1/6)2+√3/6+π/3+√3/3+(4π/3)(1/6)
=π/9+√3/6+π/3+√3/3+2π/9
=2π/3+√3/2

大人6人、子ども3人の計9人を3人ずつ3つのグループにわける
どのグループも大人2人と子ども1人からなる分け方は何通りあるか

解答を見て納得はしました
最初は
大人6人から2人選ぶ時と、子ども3人から1人選ぶときで　6C2×3C1
そして、残りの大人4人から2人、子ども2人から1人選ぶときで　4C2×2C1

これらを足せば良いと思ったのですがこの解答がおかしい理由を教えてください
そもそもの組み合わせの利用の仕方がおかしいのでしょうか

>>177
大人をABCDEF、子どもをxyzとすると
最初にABxを選んで次にCDyを選ぶ場合と、最初にCDyを選んで次にABxを選ぶのは同じ組み合わせなのにダブって数えている
ってか、「これらを“足す”」ってまるっきりおかしいと思うんだけど

>>177
足すんじゃなくて、掛け合わせる。
まず、１号室、２号室、３号室に収容するグループ分けを
考えればいい。１号室に入る大人２人、子ども１人の選び
方は6C2×3C1通りあり、そのそれぞれの場合について、
２号室に入る大人２人、子供１人の選び方は4C2×2C1通り
あるんだから、場合の数は掛け算でしょ。

で、>>179が言うように、同じ分け方でも部屋が違う組み
合わせがあるが、それは分け方１つにつき、3P3通りある
ので、部屋の番号を区別しないグループ分けの場合の数
は6C2×3C1×4C2×2C1/3P3となる。

質問です
実数全体や空集合は閉区間でも開区間でも無いですか

>>181
全体集合は開集合
空集合は開集合かつ閉集合

実数全体は開区間だろ
閉区間は端点がなきゃ

f(x)=x^(1/x),g(x)=logf(x)
極限lim(x→+0){f(x)}の値とy=f(x)のグラフの概形を書くにはどうすればよいですか？

>>176
イナさんが初めてＡＶ動画見たのは何歳の時ですか？

前>>276
>>277
大人6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2
大人4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2
子供1人目をどの大人グループに入れるかは3通り
子供2人目をどの大人グループに入れるかは2通り
(6Ｃ2)(4Ｃ2)×3×2=(6×5/2)(4×3/2)×6=15×6×6=540(通り)
重複してなければ。

積分についてなんですけど、定積分はまぁ分かるんです、インテグラル記号は言ってしまえばsum、シグマの意味であって指定の範囲分の和を出すと。dxはΔxの極限取ったもんだって
んじゃ不定積分ってこれ実際どういう操作して何を求めてるんでしょう。面積の概念どこに消えたんでしょうか。
よろしくおねがいします。いやー現役の頃はこれ分かってたのかな俺

フーリエ変換について質問です。
複雑な振幅、周波数の波形をフーリエ変換することで基本的な波形に分解できると学びました。
糞バカなんで自分なりに例えて聞きますが
例えば5という波形をフーリエ変換して構成する波形2と3が求められたとします。
このとき5のフーリエ変換の解はこれ以外にも1と4のようにいくつか存在するのか
それともたったひとつの組み合わせしか存在しないのかどっちなんでしょう

前>>187アンカー訂正。前々>>176
>>177
大人6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2
大人4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2
子供1人目をどの大人グループに入れるかは3通り
子供2人目をどの大人グループに入れるかは2通り
(6Ｃ2)(4Ｃ2)×3×2=(6×5/2)(4×3/2)×6=15×6×6=540(通り)
重複してなければ。
>>186
24歳ぐらいかなぁ。10本1万円だったと思う。代引きで。
1本5分ぐらいのVHSで50歳ぐらいの老獪なおっさんと30歳ぐらいの女の人が全編室内。画像はモノクロに近い荒さで、となり同棲カップルでもう一方は大家さんちのベランダが隣接してたから音がほとんど出せなくて、順に観ていって4本目か5本目ぐらいにベッドシーンがあった気がする。ああもうこのあとはないかぁっていう7本目8本目9本目10本目だよね。これ1本で入るじゃん！　正味1時間切ってっじゃん！　ていう感じ。そんな感想。

>>188
原始関数、操作としては積分定数を付けるだけ
>>189
たったひとつ

>>191
フーリエ変換の質問者です。
逆に言うとどんな波形をどのように組み合わせても
偶然同じ波形が出来てしまうことは絶対にあり得ないということ？

A の波形と B - A の波形を足せば B の波形ができる

>>188マジスレすると不定積分とはaからxまでの定積分

異なる四つの正の整数がある。これらのうちから二つを選んで和と差（大きい方の数から小さい方の数減じて得た数）を算出して、その全てを大きい順に左から並べたところ、次のとおりになった。

109　99　87　64　57　52　45　42　35　22　12　10

この時、四つの整数の和はいくらか。

121

144

151

154

173

151

パズルの問題だな
15＋27＋37＋72＝151

体系的な解き方があるのか気になる

F(a)=-C⇔∫[t=a,x]f(t)dt=F(t)[t=a,x]=F(x)-F(a)=F(x)+C=∫f(x)dx⇒定積分の積分始点が不定の場合が不定積分

説明割愛要素を無くしつつ間抜き書きで要約すると此んな感じでせうか？もっと濃ゆ〜く出来れば御願い仕度候う｡
間抜き=理解渋滞を招くほど間抜け説明に成る事を厭わず間を抜く事。間を重んじる芸人業界や関西人が特に忌避する行為｡

0<a<b<c<d とすると
　c + d = 109,
　b + d = 99,
　a+d または b+c = 87,
　2b + 4c + 6d = 109 + 99 + 87 + ･････ + 12 + 10 = 634,　(*)
　4文字で方程式4つ
・b+c=87 のとき
　(a, 77/2, 97/2, 121/2)　∴ 不適
・a+d=87 のとき
　(a, a+12, a+22, 87-a) ただし 0<a≦32,
これらのうち、和&差 が一致する組合せを探す。

*)
　(a+b) + |b-a| = 2b,
　(a+c) + |c-a| = (b+c) + |c-b| = 2c,
　(a+d) + |d-a| = (b+d) + |d-b| = (c+d) + |d-c| = 2d,

質問です
コーシーの平均値の定理の証明はどのサイトを見ても細工した関数にロルの定理を使って示していますが
ノーマルな平均値の定理と媒介変数の微分法で明らかなことではないでしょうか
コーシーの平均値の定理の左辺は分子がf(x)の増分,分母がg(x)の増分
S=f(x),T=g(x)とすると局所的にSはTの関数で左辺はその平均変化率
右辺はある値T=αにおけるdS/dTの値
それは(dS/dx)/(dT/dx)のある値x=cにおける値→まさに定理の左辺
αとcの対応も中間値の定理で問題なし
この考え方のどこに穴がありますか？

<n>　で　n番目の大きさの数を表すこととする。例えば、<1>=109,<2>=99,<3>=87,..,<12>=10

<1>-<2>=10=<12>
<1>-<3>=22=<10>
<1>-<4>=45=<7>
<1>-<5>=52=<6>
<1>-<6>=57=<5>
<1>-<7>=64=<4>
<1>-<8>=67=<->
<1>-<9>=74=<->
<1>-<10>=87=<3>
<1>-<11>=97=<->
<1>-<12>=99=<2>

４数を大きい順に、a,b,c,d　とすると、<1>=a+b、　は確定
a+b　から、　a±c,a±d,b±c,b±d　を減じると、再び、x±y　型の数が現れる　(x,y∈{a,b,c,d})
a+b　から、a-b,c+d,c-d　を減じると、x±y　型にはならない。（ただし、偶然なることは否定できない）
上の計算から、<8>=45,<9>=42,<11>=12　が　a-b,c+d,c-d　のいずれかに対応していることが確定
c+dとc-dの偶奇は一致するので、a-b=45、c+d=42、c-d=12が確定。
a+b=109なので、a+b+c+d=109+42=151

>>197
４数を大きい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとしたとき
１２個の数の最大のものはＡ＋Ｂだし、総和は６Ａ＋４Ｂ＋２ＣだからＡ＋ＣとＢ−Ｃも確定する
あとは和がＡ＋ＢやＡ＋Ｃの２数の組み合わせ、差がＢ−Ｃの２数の組み合わせを探し出してパズル的に解く

行列の転置について質問です！

xは列ベクトルの行列、Tは転置記号として

(
x1T
x2T
x3T
)T

↑x1,x2,x3が要素の列ベクトルの転置

これが
(x1 x2 x3)になるのがわかりません。。。

(
x1
x2
x3
)
にならないんですか！？

>>203
マルチポストです。

>>204
申し訳ございませんでした

>>197
機械的にするなら
リストの最大の数m、和f、2乗和g、3乗和hという4つ情報から4つの未知数(a>b>c>d)を決定できる

具体的には方程式
48X^3-24(f-2m)X^2+(6(f-3m)^2+18m^2-2g)X-f^3+12f^2m+fg-2mg-54fm^2+84m^3-h=0
の解からaを、順次b=m-a、c=f/2-2m-a、d=√(g/6-a^2-b^2-c^2)を決める
最初が3次式なので(a,b,c,d)は3通りあり、この中から正整数で大小が正しいものを選ぶ

>>206
訂正
方程式最終項の-hは正しくは-2h

しかし、このリストの作り方は隠れた対称性がありそうで気になる
例えば{1,2,3,4}と{0,1,2,5}だと同じリストを与える

>>208
確かに同じリストができるようです。
201式で、復元できるか確かめてみました。

与えられるリストは、
7,6,5,5,4,3,3,2,2,1,1,1

最大数から、残りを引くと、
_,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6,6
_ + + + + + - + + + - -

対応が無い(元)メンバーの数は、3,1,1
a+b=7、で、a-b,c-d,c+d　のいずれかが、　1,1,3　に対応すると考えると、
確かに、{1,2,3,4}と{0,1,2,5}が復元できる

3次方程式の解から作る3パターンは
a,b,c,d
(a+b+c-d)/2, (a+b-c+d)/2, (a-b+c+d)/2, (-a+b+c+d)/2
(a+b+c+d)/2, (a+b-c-d)/2, (a-b+c-d)/2, (a-b-c+d)/2
になるようだね
これらのリストは一致する

例えば
(10 4 3 1)、(9 5 4 2)、(8 6 5 1)
は同じリストを与える

やはり総和a+b+c+dが対称性の鍵になってるから、もしかすると上手い計算で総和だけはすぐ求められるのかも

>>200
「微分可能なら導関数が連続」を証明する必要がある

>>210-211
s=a+b+c+d
σ:(a,b,c,d)→(s/2-d, s/2-c, s/2-b, s/2-a)
τ:(a,b,c,d)→ (s/2, s/2-(c+d), s/2-(b+d), s/2-(b+c))
とおくと、関係式
σ^2=id、τ^2=id、στσ=τστ
より、これらは3次対称群の4次元表現Φとなる
指標を計算すると、既約分解が
Φ=(自明表現)+(自明表現)+(標準表現)
であることも分かる
例えば(a,b,c,d)=(3,2,1,0),(1,1,0,0)が各自明表現の基底である

2点A(0 ,1),B(0,-1)をとる。

点Pは∠APB=π/6を満たしながら動く。点Pの軌跡を求めよ。

点Pは∠AQB=5π/6を満たしながら動く。点Qの軌跡を求めよ。


ベクトルで計算していったのですが
｛x^(y^2-1)｝^2=3/4｛x^4+2(y^2+1)+(y-1)2^｝
となって円の方程式になりません、おねがいします

×公式はミニプログラム　○公式はアルゴリズム

本当に内視鏡技師か怪しいなプログラム爺は

大人ABCDEF 子供xyz
x x y y z z x x y y z z
[1,] A B C D E F [46,] B E C D A F
[2,] A B C E D F [47,] B E C F A D
[3,] A B C F D E [48,] B E D F A C
[4,] A B D E C F [49,] B F A C D E
[5,] A B D F C E [50,] B F A D C E
[6,] A B E F C D [51,] B F A E C D
[7,] A C B D E F [52,] B F C D A E
[8,] A C B E D F [53,] B F C E A D
[9,] A C B F D E [54,] B F D E A C
[10,] A C D E B F [55,] C D A B E F
[11,] A C D F B E [56,] C D A E B F
[12,] A C E F B D [57,] C D A F B E
[13,] A D B C E F [58,] C D B E A F
[14,] A D B E C F [59,] C D B F A E
[15,] A D B F C E [60,] C D E F A B
[16,] A D C E B F [61,] C E A B D F
[17,] A D C F B E [62,] C E A D B F
[18,] A D E F B C [63,] C E A F B D
[19,] A E B C D F [64,] C E B D A F
[20,] A E B D C F [65,] C E B F A D
[21,] A E B F C D [66,] C E D F A B
[22,] A E C D B F [67,] C F A B D E
[23,] A E C F B D [68,] C F A D B E
[24,] A E D F B C [69,] C F A E B D
[25,] A F B C D E [70,] C F B D A E
[26,] A F B D C E [71,] C F B E A D
[27,] A F B E C D [72,] C F D E A B
[28,] A F C D B E [73,] D E A B C F
[29,] A F C E B D [74,] D E A C B F
[30,] A F D E B C [75,] D E A F B C
[31,] B C A D E F [76,] D E B C A F
[32,] B C A E D F [77,] D E B F A C
[33,] B C A F D E [78,] D E C F A B
[34,] B C D E A F [79,] D F A B C E
[35,] B C D F A E [80,] D F A C B E
[36,] B C E F A D [81,] D F A E B C
[37,] B D A C E F [82,] D F B C A E
[38,] B D A E C F [83,] D F B E A C
[39,] B D A F C E [84,] D F C E A B
[40,] B D C E A F [85,] E F A B C D
[41,] B D C F A E [86,] E F A C B D
[42,] B D E F A C [87,] E F A D B C
[43,] B E A C D F [88,] E F B C A D
[44,] B E A D C F [89,] E F B D A C
[45,] B E A F C D [90,] E F C D A B

>>217
内視鏡は国家資格がないと施行できんよ。
内視鏡技師なんてのは民間資格。

>>215
Pがある円周上にあるとすると、
中心角は　∠AOB = 2∠APB = 60°
中心は　O (±√3, 0)

Pの軌跡　(|x|-√3)^2 + y^2 = 4,
Qの軌跡　(|x|+√3)^2 + y^2 = 4,

>>190
グループ分けして松竹梅の部屋に各グループを入れるというのでなければ>218に示した90通りだと思う。

>>216
0 = 2(6a^3 + 4b^3 + 2c^3) + 12{abb+(a+b)cc+(a+b+c)dd} - 2h
　= 12a^3 + 8b^3 + 4c^3 + 12abb + 12mcc + 2(m+n-a)(g-aa-bb-cc) - 2h
　= 12X^3 +8(m-X)^3 +4(n-X)^3 +12X(m-X)^2 +12m(n-X)^2 +2(m+n-X){(g-6mm-6nn)+12(m+n)X-18X^2} - 2h
　= 48X^3 - 48(m+n)X^2 + {24(mm+mn+nn) -2g}X - 4(m^3 +3mmn +2n^3) + 2(m+n)g - 2h,
　= 48(X')^3 + {8(mm-mn+nn)-2g}(X') + (4/9)(m-2n)^3 -4mmn + (4/3)(m+n)g - 2h,
ここに
　X' = X - (m+n)/3,　f = 4m+2n,
とおいた。
3つの実根をもつ場合は cos の3倍角公式で解ける。

>>220
Pがある円周上というのは円周角の定理の逆ということですか?

>>220
なぜ2倍になるのでしょうか?

>>214
前々から謎だった順序a>b>c>d>0の構造がだんだん分かってきた
これに対称性のある構造を乗せるにはあえてdだけはc+d>0を満たす範囲で負も許す方がいいのかもしれない
互換ε=στσ=τστは正規でない部分群を生成するから、これを潰して見たままではただの集合になってしまう
不定な3つの大小(3番目は通常見えていない)
(a+d,b+c)、(a-d,b+c)、(a+d,a-d)
に三次対称群の元τ,σ,εが互換として作用する
これらはΦのうち自明表現1つと標準表現1つを使って作る置換表現の直交基底に対応している
リストの12要素のうち
自明表現の基底に対応する(a+b),(a+c),(b-c)を不変にし
残り9要素が3要素の3つ組を同時に置換する
(a+d),(b+c),(a-d)
(b-d),(a-c),(b+d)
(c-d),(a-b),(c+d), (b-c)
ただし大小関係としてb-cは三段目のどこかに位置し
縦方向には順序を固定された12本の"直線"を持つ
(a+d)>(a-c)>(a-b)
(a+d)>(a-c)>(b-c)
(a+d)>(b+d)>(c+d)
(a+d)>(b+d)>(b-c)
(b+c)>(b+d)>(c+d)
(b+c)>(b+d)>(b-c)
(b+c)>(b-d)>(c-d)
(b+c)>(b-d)>(b-c)
(a-d)>(b-d)>(c-d)
(a-d)>(b-d)>(b-c)
(a-d)>(a-c)>(a-b)
(a-d)>(a-c)>(b-c)

>>190
イナさんが初めて買ったパソコンのCPUは何ですか？俺はＰ3の700Ｍｈｚ

>>227
リストの3番目と4番目が(a+d),(b+c)というのは一般には判定できないけどね
(a+d),(a-d)の可能性がある

元々の問題>>195としてはリストの3番目と4番目の和が奇数のときはそれがa+b+c+d、というのが最良の解答か

うむ。
>>197 の期待に少しは応えられたかな？

>>228　の場合は
　a = (o+p)/2,
　b = m-a,
　c = n-a,
　d = (o-p)/2,
かな

前>>190
>>226
王冠でC3POとR2B2を見たことある。
買ったことはない。そもそもあの手のジュースを飲んだことがない。コーラだったかな？
ただ街のゴミ箱やら焼却炉やらグランドやらに落ちてるのを拾いあつめた。

前>>232
P700iやったかな？
けっこう長く使ってたよ。
二つ折りのな。

>>227 の場合は
・m = a+b,　n = a+c,　o = a+d,　p = b+c,
　(a,b,c,d) = ((m+n-p)/2, m-a, n-a, o-a) = (72, 37, 27, 15)
・m = a+b,　n = a+c,　o = b+c,　p = a+d,
　(a,b,c,d) = ((m+n-o)/2, m-a, n-a, p-a) = (121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
のいずれか。

　o+p = a+b+c+d,
　m+n-o-p = a-d,
　{2mn+op-(m+n)(m+n-o-p)}/2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd,
　g/6 = aa+bb+cc+dd,

　a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2,
を根とする2次式は
(2X-m-n+p)(2X-m-n+o)
　= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + (m+n)(m+n-o-p) + op
　= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + mm+nn + (m+n-o-p)^2 -g/6,

しかし >>228 が指摘したように
・m = a+b,　n = a+c,　o = a+d,　p = a-d,
　(a,b,c,d) = ((o+p)/2, m-a, n-a, (o-p)/2) = (151/2, 67/2, 47/2, 23/2)
もある。
これも含めれば
　o+p = a+b+c+d　or　2a,
　m+n-o-p = a-d　or　b+c,
　g/6 = aa+bb+cc+dd,
　
　a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2, (o+p)/2,
を根とする3次式　>>222　となる。

10y^2−24xy−5＝0
x^2＋y^2＝1

もともとは三角比の問題で、sinθcosθをそれぞれxyに書き替えて解こうとしたら
絶望的な流れになって、何度ごちゃごちゃやってみても解けません。
この連立方程式は簡単そうに見えて実は解けない、あるいは難しいのでしょうか？
アドバイスいただけると助かります。

x だけ y だけにすれば 4次方程式になるだけだろ
何の問題があるのだ？

答えだけなら簡単
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=10y%5E2-24xy-5%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2%3D1

�@ 10yy-24xy-5=0
�A xx+yy=1

�@+8×�Aより 18yy-24xy+8xx=13
�B y=(2/3)x+√(13/18) または
�C y=(2/3)x-√(13/18)

�Bを�Aに代入して (13/9)xx+(4/3)√(13/18)x-5/18=0
x = 1/√26, -5/√26 これを�Bに代入してyを求める
(x,y) = (1/√26, 5/√26),(-5/√26, 1/√26)

同様にして �C より
(x,y) = (5/√26, -1/√26),(-1/√26, -5/√26)

>>239
へー、よく完全平方を思いついたねぇ。

＞13(2x^2-1)=12
＞26x^2=1

これはあかん

>>236
＞10y^2−24xy−5＝0
＞x^2＋y^2＝1

10y^2−24xy−5(x^2＋y^2)＝0
5y^2−24xy−5x^2＝0
(5y＋x)(y−5x)＝0
−5y＝x または y＝5x

−5y＝xとx^2＋y^2＝1より26y^2＝1
よって(x,y)＝(−5/√26, 1/√26), (5/√26, −1/√26)

y＝5xとx^2＋y^2＝1より26x^2＝1
よって(x,y)＝(−1/√26, −5/√26), (1/√26, 5/√26)

>>236
定数消去して因数分解でもいける

前>>242
>>243なにがあかんじゃ。
グラフ描いてこれがベストやないか。

>239
�B�Cの答えが出るのか理解するだけで苦労しました。
平方完成(こういう綺麗な形の時は240さんおっしゃるとおり完全平方？)を
思いつくのがスゴいと思います。

>242
丁寧な回答ありがとうございます。
238にあるリンク先で、グラフの外形を見て驚きました。
まさかここまで複雑な難問とは思いもしませんでした。
円じゃない方のグラフの形を見ると高校数学外な気もしますが…
どちらにしても、示してくださった回答が非常に複雑で、今まだ解読中です。
でもまずは先にお礼を申し上げます。

>244
いちばん納得できる、わかりやすい回答でした。
でも、この形はとてもじゃないけど私じゃひらめきません。
答が先に示されたとしたらなんとか…みたいなレベルです。

xがsinθ yがcosθで、�@の式が
10cos^2θ-24sinθcosθ-5=0
のときの tanθを求める問題で、両辺にcos^2θをかけるとうまくいくのが「模範解答」
なんですが、思いつかずなんとなならないか試行錯誤して今回の質問に至りました。
ところがどうやら模範解答の方が救いのある発想なようで…(^^;

練習を重ねていくうちにcos^2θをかけるなんていうひらめきができるようになるのか、とても不安です。
皆さんのおかげで、あるいみスパッと気持ちを切り替えることができました！
なんでも代入して(簡単に)解けると思ったら大間違いだったんですね。
肝に銘じておきます。

間違えました。
「cos^2θをかける」んじゃなくて「cos^2θで割る」が正しいです。
tanってあまりつかうことないので、なかなか思いつきません…。
2年3年と進むにつれて使うことが多くなるのなら頑張れるのですが
今のところその気配はないようで…。

前>>246計算間違いか。訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=12+13=25
x=±5/√26,y=干1/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)

>>249
ようやく読み解けました。
倍角の公式なんですね。
こんなところでうまく使える自信はまったくありませんが、
自分の知識だけでなんとか解けることを知れたことがうれしいです。
特に「169cos^2(2θ)=144」のところは気持ちいいです。
計算が合ってる自信というか、正解にたどり着けそうな雰囲気というか。
こんな工夫を知ったことは、この先何かの糧になるかもしれません。
できる限り頭の隅にとどめておきます。
本当にありがとうございました！

２次同次式は倍角と半角で次数下げがセオリー

>>251
後だしだっせぇ〜

ちなみに無知な馬鹿どものために教えてやる。これは自治医科大の過去問。

なんで顔真っ赤にしてんのw？

>>254
顔真っ赤にするのが大好きだからだよ

ほかに顔真っ赤にする理由があるのかよクソが。

なんで怒ってんの？

>>252
俺は違う解法書いてる

>>258
頓馬は黙ってろ

関数f(x)が、f(0)=0, f'(x)>0, f''(x)<0　を満たすとき
任意の正の定数cに対して、f(x+c)/f(x) はx→∞で1に収束すると言えるますか。

f(x) = 2x + 1 - exp(x)

>>212�d
導関数の連続性はどこで使いますか？
中間値の定理はg(x)の連続性だけだと思うのですが

>>261
f'(x)=2-exp(x)がどうしたの？

>>260
言えそうだよね。

上に凸なグラフで単調増加だから、f(x)<f(x+c)<f'(x)c+f(x)
f(x)>0で除して、1<f(x+c)/f(x)<cf'(x)/f(x) +1

x→∞でf(x)が有限な値に収束する場合はf'(x)→0
x→∞でf(x)→∞の場合でも、f''(x)<0 よりf'(x)は単調減少
なので、0<f'(x)<f'(0)となり 0 < f'(x)/f(x) <f'(0)/f(x)
でf'(x)/f(x) →0
ってことで、x→∞でcf'(x)/f(x) +1 →1となるので、
f(x+c)/f(x)→1

>>260

f '(x) は単調減少で正だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = m ≧ 0.

f(x) ≧ f(0) + ∫[0,x] m dt = mx　(x>0)

任意の ε>0 に対して、十分大きいxをとれば
　mx ≦ f(x) < (m+ε)x,
m=0 のときは成立
m≠0 のときは
1 < f(x+c)/f(x) < (m+ε)(x+c)/(mx),
1 ≦ lim[x→∞] f(x+c)/f(x) ≦ (m+ε)/m,
ε>0 は任意だったから
lim[x→∞] f(x+c)/f(x) = 1,

おっと f'(x) > 0 だったか f'(0) > 0 に空目した！
ならば >>260 の答は YES だ
証明は 2つに場合に分ける
lim f(x) < ∞ の場合：lim f(x) = M > 0 が存在するから
lim f(x+c)/f(x) = (lim f(x+c))/(lim f(x)) = M/M = 1
lim f(x) = ∞ の場合：lim f'(x) = M ≧ 0 が存在して
f(x+c) = f(x) + c f'(ξ), x ≦ ξ ≦ x+c だから
lim f(x+c)/f(x) = lim(1 + c f'(ξ)/f(x)) = 1 + c M/(lim f(x)) = 1

正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=１,PB=２,PC=３のとき正方形の面積を求めよ。

　AB = CD = l,
　BC = DA = m,
　P(x,y)
とおく。
　3 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - xx　より
　x = (l-3/l)/2,
　5 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - yy　より　
　y = (m-5/m)/2,
これを
　xx + yy = 1,
に入れて l=m とすれば
　l^4 - 10l^2 + 17 = 0,
　l^2 = 5 + 2√2,
　S = l･m = l^2 = 5 + 2√2 = 7.8284271

>>270
135/34 ?

まちがえた、225/34?

すまん、なんか全然間違えてたｗ

>>271
相変わらずお見事。書き込み直前に確認すれば
恥をかかずにすんだのに、、、残念ｗ

l^2=5-2√2はどうやって排除するの？自明な気もするが。

うわあ証明がいっぱいだ！
ありがとうございます！　>>267-269

l^2 = 5-2√2 の場合は
l√2 = 2.08402
PC = 3 だから PはABCDの内部の点でない。
∴ 題意に不適。

それより
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{7+(3-√3)φ} = 3.0085852 のとき
(1)　∠PAB を求めよ。
(2)　面積は 5π/2 より大きいか小さいか。
φ = (1+√5)/2 = 1.618034

>>278
プログラムで計算させた

（座標を書いてベクトルの内積からacosでだすと）
∠PAB は
rad deg
0.7930288 45.4372053


lm = function(a,b,c) {
b1=sqrt(2)*b
(1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
}

面積は
> lm(PA,PB,PC)
[1] 7.854102

> 5*pi/2
[1] 7.853982

よりわずかに大きい。

>>277
なるほど、2l^2 =10-4√2 < PC^2=9 だから除外できるのか。
頭いいな。

Ｘ²−Ｙ²＝60を満たす自然数をもとめよ！

この問題の解説お願いします！

>>282
因数分解してかけて60になる組み合わせを調べるだけ

XX-YY = (X+Y)(X-Y),
X+Y と X-Y は共に偶数 or 共に奇数。
本問では両方とも偶数。
(X+Y)/2 = s,　(X-Y)/2 = t　(s>t>0)とおくと
st = (X+Y)(X-Y)/4 = (XX-YY)/4 = 15,
(s,t) = (15,1)　or　(5,3)
(X,Y) = (s+t, s-t) = (16,14)　or　(8,2)

>>278
m = 1/2 + √{13/4 + (3-√3)φ}
　= φ√3
　= 2.80251708
らしい…

>>282
x^2 - y^2 = 60
xとyは偶奇が等しく,x＞y だから
x = y + 2z (z:自然数)とおけるので
(y+2z)^2 - y^2 = 60
よって z(y + z) = 15
zはy+zより小さいので,zは√15未満の15の正の約数である
よって,z=1,3 の場合だけを調べればよい
z=1 のとき y=14 だから (x,y)=(16,14)
z=3 のとき y=2 だから (x,y)=(10,2)

最下段は計算ミス
z=3 のとき y=2 まではOKで (x,y)=(8,2) が正しい

>>284
いつもながら華麗な解答だねぇ。文句なし。

単調増加で下に凸な関数はｘが無限に行くと無限大に発散しますか？

1/xとかどうですか？

>>289
発散する。任意の点における接線で下から評価すればよい。

>>290
1/xは十分大きいxに対して上に凸である。

先日の大阪都構想開票報道で100万人の結果が3000人のサンプルでピッタリ合ってたので驚きました
１0万人の結果を300人のサンプルでは当てられないですよね
母数１億人だったら何人ぐらい調べたらいいですか

>>285
　PA=1, PB=2, AB=l=φ√3,
　∠PAB = ?
う〜む

質問です。　反復試行の確率でなざCがでてくるのでしょうか。　当たる順番が大切だからと言われてもピンときません。

馬鹿かよ

バカじゃないならこんなとこで聞くわけないわな

i=√-1で、-i=-√-1という理解でよいのですか？

>>297
対偶は
　こんなとこで訊く　なら　バカだわな

>>298
√-1 をどう考えてるかによる
本来は意味のない表現だからな

>>294
　第二余弦定理で

A〜Eの5人
月曜日、火曜日、水曜日の3日間について、1日2人ずつの宿直を決める。
1回も宿直に当たらない人はいてもよいが、1人で3日すべて宿直に当たるのはナシとするとき、
3日間の宿直の割り振り方は何通りありますか？

無条件で２人ずつ選ぶ場合の数から、１人が３日すべて宿直する
場合の数を引く。これでは５人のうちの２人が３日すべて宿直
する場合が二重にカウントされて引かれてるので、それを加える。

(5C2)^3 - 5×(4C1)^3 + 5C2 = 1000 -320 + 10 = 690 通り

京大実践模試　理系数学　2017 第1回　第3問について質問です。
[問題]
さいころを投げて、他のさいころと同じ目が出ているさいころをすべて取り除く。
例えば、7回投げて
1,2,3,4,4,5,5または1,2,3,4,4,4,4
と出たときは1,2,3が出た3個だけを残すことになる。
n個(n>=7)のさいころを投げたとき、さいころがちょうど5個だけ残る確率をp,およびちょうど4個だけ残る確率qを求めよ。


[質問]
pは求まりましたが、qが分かりません。
インターネット上で最終的な値だけは見つかったのですが、自分の答えと一致しません。
qに関して、過程も含めて解答お願いします。
一応下にネットで見つけた値(恐らく正しい値だとは思います)。



[答え]
p=(1/6)^(n-1)×n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
q={(1/6)^(n-1)×5n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^(n-5)-n+4}

q = [Binomial(n, 4)×4!×{2^(n-4)-2×(n-4)}×Binomial(6, 4)]/6^n = {(1/6)^(n-1)×5n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^(n-5)-n+4}

説明が難しいです。

Binomial(n, 4)は生き残った4つのサイコロの出た目の数字の集合が何通りあるか。
{�@, �A, �B, �C}
{�@, �A, �B, �D}
{�@, �A, �B, �E}
…
{�B, �C, �D, �E}

あ、間違えました。

Binomial(6, 4)は生き残った4つのサイコロの出た目の組み合わせの数。

Binomial(n, 4)はNo.1からNo.nまでのn個のサイコロのうち、生き残る4個のサイコロを選ぶ組み合わせの数。

4!は生き残った4個のサイコロに割り当てる4つの異なる数字の割り当て方の数。

{2^(n-4)-2×(n-4)}は取り除かれてしまうn-4個のサイコロの目の出かたの数。

>>305

>>305-312
分かりやすい説明ありがとうございます。場合の数に分けるのが上手ですね。理解できました。

�@�A�B�Cが生き残る4つのサイコロの出た目の数の組み合わせとすると、
他のn-4個のサイコロの出た目は�Dか�Eで�Dも�Eも2回以上出ていないといけない。

n-4個のサイコロを投げたとき出る目が�Dか�Eであるような目の出方の数は、2^(n-4)通り。
そのうち�Dがちょうと1回でるような目の出方の数はn-4通り。
そのうち�Eがちょうと1回でるような目の出方の数はn-4通り。

2^(n-4) - (n-4) - (n-4)通りの目の出方は、�Dも�Eも（あれば）2個以上含む

すみません。説明するのが苦手で自分で書いてて意味不明になってきました。

>>315-316
いえいえ。非常にわかりやすかったです。qを一発で求めに行く発想はなかったので面白かったです。
自分の解答に重複して数えたりした部分がなかったか確認したいと思います。

ありがとお

>>302
プログラムを組んで690を列挙してみた。　最初とと最後の10個を書き出すと

> print(head(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[1,] C D A B A B
[2,] C E A B A B
[3,] D E A B A B
[4,] B C A C A B
[5,] B D A C A B
[6,] B E A C A B
[7,] C D A C A B
[8,] C E A C A B
[9,] D E A C A B
[10,] B C A D A B
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[681,] C E C D D E
[682,] A B C E D E
[683,] A C C E D E
[684,] A D C E D E
[685,] B C C E D E
[686,] B D C E D E
[687,] C D C E D E
[688,] A B D E D E
[689,] A C D E D E
[690,] B C D E D E

>>302
# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
# 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。

と条件を変更すると

> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[171,] B C A D D E
[172,] B C A E D E
[173,] A B B C D E
[174,] A C B C D E
[175,] A D B C D E
[176,] A E B C D E
[177,] A C B D D E
[178,] A C B E D E
[179,] A B C D D E
[180,] A B C E D E
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[171,] B C A D D E
[172,] B C A E D E
[173,] A B B C D E
[174,] A C B C D E
[175,] A D B C D E
[176,] A E B C D E
[177,] A C B D D E
[178,] A C B E D E
[179,] A B C D D E
[180,] A B C E D E
>
１８０通り

さらにこんな条件を追加してみた、すなわち、

# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
# 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。
# (Aの彼女をBが寝取ったためAとBとを同じ日に宿直させると刃傷沙汰になるため)AとBは別の日に宿直させなければならない。
> print(head(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[1,] B E A D A C
[2,] B D A E A C
[3,] D E B C A C
[4,] A E B D A C
[5,] B E B D A C
[6,] C E B D A C
[7,] D E B D A C
[8,] A D B E A C
[9,] B D B E A C
[10,] C D B E A C

> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[117,] B C A C D E
[118,] B D A C D E
[119,] B E A C D E
[120,] B C A D D E
[121,] B C A E D E
[122,] A C B C D E
[123,] A D B C D E
[124,] A E B C D E
[125,] A C B D D E
[126,] A C B E D E

１２６通り

>>320
># 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
># 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。

この条件のほうが現実的な割り振りの仕方だね。
誰か１人が２日やるので、その選び方５通りあって、その
人をどの曜日に割当るかは3C2=3通り。そのそれぞれについ
て、その人が当たってない日に誰がやるかは4C2=6通りで、
さらにそのそれぞれについて、残りの２人をどっちの曜日
につけるかが2通りと、都合5x3x6x2 =180通り

AとBは別の日という条件を加えるということは,
AとBが同じ日になる場合の数をさっぴけばよい。
どの曜日に同じになるかは３通り。それぞれに
ついて、残りの２日をACDEに割り振るのは4C2=6通り。
また、BCDEに割り振るのも6通り。CDEに割り振る
のは誰を2日やらせるかで3通り、そのそれぞれに
ついて残りの２人の曜日のとり方が２通りなので、
都合 3x(6+6+3x2)=54通り
よって180-54=126通り

>>304
他のどのサイコロとも異なる出目のサイコロを「孤立サイ」と呼ぶ。

n個(n≧7)投げて、孤立サイk個が生き残り、(n-k)個が取り除かれたとする。
取り除かれた(n-k)個のサイコロの出目は(6-k)種のいずれかである。
総計 (6-k)^{n-k} とおりの順列のうち、孤立サイが無いものを求める。
特定のｊ個が孤立している順列は P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j} 個。
孤立サイが無い順列は、ド・モルガンの法則を使って
　Q(n,k) = Σ[j=1,6-k] (-1)^{6-k-j}・Binomial(6-k,j)・P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j} 個,
n個(n≧7)投げて、孤立サイk個が生き残る確率は
　Binomial(n,k)･P(6,k)･Q(n,k) / (6^n),
ここで
　Binomial(n,k)　はn個のサイコロのうち、生き残るk個を選ぶ組合せの数。
　P(6,k) = Binomial(6,k) × k!　は生き残ったk個の孤立サイの出目の順列の数。
　Q(n,k)　は取り除かれる (n-k)個のサイコロの出目の順列の数。

上記の
　Q(n,k) = Σ[j=1,6-k] (-1)^{6-k-j}・Binomial(6-k,j)・P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j},
を具体的に書けば
　Q(n,5) = 1^{n-5} = 1,
　Q(n,4) = 2^{n-4} - 2(n-4),
　Q(n,3) = 3^{n-3} - 3(n-3)･2^{n-4} + 3(n-3)(n-4),
　Q(n,2) = 4^{n-2} - 4(n-2)･3^{n-3} + 6(n-2)(n-3)･2^{n-4} - 4(n-2)(n-3)(n-4),
　Q(n,1) = 5^{n-1} - 5(n-1)･4^{n-2} + 10(n-1)(n-2)･3^{n-3} - 10(n-1)(n-2)(n-3)･2^{n-4} + 5(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),
　Q(n,0) = 6^n - 6n･5^{n-1} + 15n(n-1)･4^{n-2} - 20n(n-1)(n-2)･3^{n-3} + 15n(n-1)(n-2)(n-3)･2^{n-4} - 6n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),

>>301
　∠PAB = (PA^2 + AB^2 - PB^2)/(2･PA･AB),

>>322
宿直１人で現実的な問題を考えてみた。

A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日までのある７日の宿直を割り当てる。
　1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
　誰も2日続けて宿直してはならない
割り当て方は何通りあるか？

プログラムで最初と最後の１０個を列挙させてみた。

> print(head(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[1,] A B A B C D E
[2,] A B A B C E D
[3,] A B A B D C E
[4,] A B A B D E C
[5,] A B A B E C D
[6,] A B A B E D C
[7,] A B A C A D E
[8,] A B A C A E D
[9,] A B A C B D E
[10,] A B A C B E D
>
> print(tail(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[7791,] E D E C D A B
[7792,] E D E C D B A
[7793,] E D E C E A B
[7794,] E D E C E B A
[7795,] E D E D A B C
[7796,] E D E D A C B
[7797,] E D E D B A C
[7798,] E D E D B C A
[7799,] E D E D C A B
[7800,] E D E D C B A

7800通り

A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日までのある７日の宿直を割り当てる。

# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
# 誰も2日続けて宿直してはならない
# 誰においても7日の宿直日数の上限は２日である
という条件にすると

> print(tail(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[6591,] E D E C B C A
[6592,] E D E C B D A
[6593,] E D E C D A B
[6594,] E D E C D B A
[6595,] E D E D A B C
[6596,] E D E D A C B
[6597,] E D E D B A C
[6598,] E D E D B C A
[6599,] E D E D C A B
[6600,] E D E D C B A

6600通り

A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日まで１週間の日の宿直を割り当てる。

# １週間のうち1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
# 誰も2日続けて宿直してはならない
# 前週の土曜日の宿直者を日曜日に宿直させてはならない
# 誰においても7日の宿直日数の上限は２日である

という条件にすると
１週間の宿直割当は何通りあるか？

前>>249
>>327
日曜日だれでもいい。7通り。
月曜日、日曜日入ってない人ならだれでもいい。6通り。
火曜日、月曜日入ってない人ならだれでもいい。6通り。連勤は体にわるいからね。
水曜日、火曜日入ってない人ならだれでもいいってわけにはいかない。ていうのはだぁれも少なくとも1日勤務しなくてはいけないから。4通り。
木曜日、3通り。
金曜日、2通り。
土曜日、1通り。
7×6×6×4×3×2×1=6048
∴6048通り
ちょっと自信ない。

前>>330訂正。
>>327
1人3勤務の人がいるか2人2勤務の人がいるかで、
1人3勤務のとり方は日火木、日火金、日火土、日水金、日水土、日木土、月水金、月水土、月木土、火木土の10通りで、だれがやるんだ5通り。
10×5=50
5人の出方が5!=120
50×120=6000
2人2勤務のとり方は日火と月水、日火と月木、日火と月金、日火と月土、日火と水金、日火と水土、日水と月木、日水と月金、日水と月土、日水と火木、日水と火金、日水と火土、日水と木土、日木と月水、日木と月金、日木と月土、日木と火金、日木と火土、日木と水金、日木と水土、日金と月水、日金と月木、日金と月土、日金と火木、日金と火土、日金と水土の26通りで、だれがやるんだ5×4=20(通り)。
26×20=520(通り)
残り3日をあとの3人で3×2=6(通り)。
520×6=3120(通り)
6000+3120=9120
∴9120通り
自信ない。

前>>331訂正。
>>327
1人3勤務の人がいるか2人2勤務の人がいるかで、
1人3勤務のとり方は日火木、日火金、日火土、日水金、日水土、日木土、月水金、月水土、月木土、火木土の10通りで、だれがやるんだ5通り。
10×5=50
残り4日をあとの4人で4×3×2=24(通り)
50×24=1200(通り)
2人2勤務のとり方は日火と月水、日火と月木、日火と月金、日火と月土、日火と水金、日火と水土、日水と月木、日水と月金、日水と月土、日水と火木、日水と火金、日水と火土、日水と木土、日木と月水、日木と月金、日木と月土、日木と火金、日木と火土、日木と水金、日木と水土、日金と月水、日金と月木、日金と月土、日金と火木、日金と火土、日金と水土の26通りで、だれがやるんだ5×4=20(通り)。
26×20=520(通り)
残り3日をあとの3人で3×2=6(通り)。
520×6=3120(通り)
1200+3120=4320
∴4320通り
足りないのか？

# 前週の土曜日の宿直者を日曜日に宿直させてはならない
↓
# 前週の土曜日の宿直者Aを日曜日に宿直させてはならない

とする。

問題
α= cos(π/3)+isin(π/3)とする
(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)(1-α^5)=6を証明せよ
解答
αは1の6乗根の１つであり
1,α,α^2,α^3,α^4,α^5が(z^6)-1=0の解となる
よって(z^6)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)…�A
とおける
一方,(z^6)-1=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)…�B
である.ここで�A,�Bより
(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)
であるから
(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
=z^5+z^4+z^3+z^2+z+1
となる.これはzについての恒等式であるから,
z=1を両辺に代入すると
(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)(1-α^5)=6が成り立つ
質問
�Aについて
(z^6)-1=0
⇔(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)=0ならば分かるのですが
(z^6)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)がなぜ成り立つか分かりません
初歩的な質問かもしれませんがお願いします