分からない問題はここに書いてね464

分からない問題はここに書いてね463
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599810760/

(使用済です: 478)

＞＞g(x,y)=x^3-3xy+y^3-4。
束縛条件g(x,y)=0のもとでf(x,y)=x+yが極値をとる候補(a,b)を求めよ。
ラグランジュの未定乗数法使います。分からないので助けていただきたいです、お願いします。

log(e^(ax)) -log(e^(x)＋1)=0
のxを求めたいのですが、お願いします。

初等関数では無理
多分ランベルトW関数使えばなんとかなりそう

>>2
f(x,y) = x + y → extremum, with g(x,y) = x^3 - 3xy + y^3 - 4 = 0
L = f - λ g
dL = df - λ dg - g dλ = (1 - 3λ x^2 + 3λ y) dx + (1 + 3λ x - 3λ y^2) dy - g dλ = 0
∴ 1 + 3λ (y - x^2) = 0, 1 + 3λ (x - y^2) = 0
∴ -1/(3λ) = y - x^2 = x - y^2 ∴ (y + x + 1)(y - x) = 0
(y + x + 1)(y - x) = 0 と g(x,y) = 0 を連立させて x, y を求める

ラグランジュ乗数法を使うまでもなかったか

https://b.hatena.ne.jp/UhoNiceGuy/%E6%94%BF%E6%B2%BB/

ネトウヨ責任転嫁脳ニホンザルゴキブリ殺せ

リーマン多様体でなめらかな関数fとして、なめらかな曲線cについての微分方程式
|c’|*∇f_c=c’ (∇はグラディエント)
の解cが初期値c(0)に対して一意に決まるって言えますか？
(これは十分近い二点について、最短曲線ならば測地線のパラメータ変換に限ることを示す途中に出てきたものです)

>>9
記号の意味がわからんな

>>10
(与式) = Σ[n：2〜∞] 1/{n(log n)^2}
でござる。
y = 1/{x(log x)^2} は下に凸だから、x=n での接線より上側にある。

(n=1~∞)(-1)^n{(2+(-1)^n)/n}が発散することをしめせ

交項級数ってS=(-1)^n-1 anで�@a1≧ a2… an>0かつ�Alim(n→∞)an=0の時に収束しますが、�@や�Aを満たさない場合は絶対発散になってしまうのですか？�@、�Aを満たさなくても収束することってありえるのですか？

そもそも公項級数なんて言葉あるの初めて知った
何コレ？
プラスマイナスが順番に出てくるとか？

>>14
どこ大学？ちょっとおバカかな

https://imgur.com/6XzEprR.jpg

位相の初歩的な問題です．
問題(b)と(c)の解答があっているかどうかチェックをお願いします．

>>15
高校生かな？

>>17
(b)が成立しないで(c)が成立するなんてありえんやろ

リーマン多様体でなめらかな関数fとして、なめらかな曲線cについての微分方程式
|c’|*∇f_c=c’ (∇はグラディエント)
の解cが初期値c(0)に対して一意に決まるって言えますか？
(これは十分近い二点について、最短曲線ならば測地線のパラメータ変換に限ることを示す途中に出てきたものです)

>>19
具体的に(b)または(c)の解答のどこが間違っていますか？

>>16
高校生で独学です。どなたか14答えてほしいです。

>>20
>>21
少なくとも開集合U=(-∞,0)∪(0,∞)の閉包の内部はUではない

>>22
1:そもそも級数Σa_nが収束するならa_n=S_n-S_[n-1]→0が成り立つ(S_nは部分和)
2:有限個のa_nが単調じゃなくても収束はするでそ

>>14
そもそも�@,�Aを満たしても収束とは限らん
例：n = 2m の偶数項が 2/m, n = 2m+1 の奇数項が -1/m

>>23
ありがとうございまいした．
Ext Uが空集合になる可能性を見落としていました．

>>25
それは絶対値が単調に減少しとらん

a_1, …, a_n, b_1, …, b_n ∈ R, a_1 ≦ b_1, …, a_n ≦ b_nとする．
P := {(x_1, …, x_n) ∈ R^n | x_i ≦ a_i or b_i ≦ x_i for some i ∈ {1, …, n}}とする．
Pの内部を求めよ．

以下の漸化式で定義される数列{a[n]}を考える。
a[1]=a, a[2]=b
a[n+2]=a[n+1]+a[n]

3以上の任意の自然数mに対して、
a[m]=p^m+q^m
となるような有理数p,qが存在するように、初期値である複素数a,bを定めたい。
a,bが満たすべき条件を求めよ。

>>27
おおっと、全部が正と空目してた！
2/m^2 と -1/m^2 にすれば�@,�Aを満たさず収束する例になるな

x^2-x-1=9の2解u,vを用いて
an=su^n+tv^nと表さられる
∴解なし

>>17を修正しました．
https://imgur.com/MpReUix.jpg
問題(a), (b), (c)の解答はこれでOKでしょうか？

>>32
(a)については結局の所，すべて「明らか」で済ませていますが，もっと詳しく書かないと減点されますか？

選挙で投票できる有権者数（左）に対して実際の集計された投票数（右）黄色マーカー

何か法則ある？

https://pbs.twimg.com/media/EmLmwvRUYAAdafR?format=jpg&;name=large

>>30
1,2を満たすとする
a[n]-a[n+1]≧0より、偶数番目の部分和
S[2n]=(a[1]-a[2])+…+(a[2n-1]-a[2n])
の列は単調増加
また、括弧を付け替えると
S[2n]=a[1]-(a[2]-a[3])-…-(a[2n-2]-a[2n-1])-a[2n]≦a[1]
となり上に有界、したがってS[2n]は収束する
S[2n]→sとすると、十分大きいnをとれば
|S[2n+1]-s|≦|S[2n]-s|+|a[2n+1]|<ε
したがって奇数番目の部分和S[2n+1]もsに収束する
よって級数は収束する

以上

と思ったら>>30は仮定を満たさないけど収束する例だった、スマン

>>37
13をその条件から発散するように示せますか??

13つてただの収束列と発散列の和でしかないけど

>>13
n=2m-1 と n=2m をまとめて

Σ(n=1〜2M) (-1)^n {(2+(-1)^n)/n}
　= Σ(m=1〜M) {-1/(2m-1) + 3/(2m)}
　= Σ(m=1〜M) (4m-3)/{(2m-1)2m}
　> Σ(m=1〜M) 1/(m+1)
　> Σ(m=1〜M) log(1 + 1/(m+1))
　= Σ(m=1〜M) log(m+2) - log(m+1)
　= log(M+2) - log(2),

これは2M番目までの部分和である。
2M+1番目を１つ追加しても O(1/M) しか変わらず、同様に振るまう。
故に発散する。

行列記号を使うことにしました。

Res[f(z);z=a]でええやン

>>34
分からないけど隠れた数字があるんじゃないの
普通に考えたら登録者数を出した日付より得票数を出した日付の方がずっと後なんだと思うけど
要はデータが少なすぎて何も言えないということ

Cをn次正方行列とする．Cのすべての固有値の絶対値が1より小さければ，I_n - Cは正則であることを示せ．

>>46
https://imgur.com/VTxzFtm.jpg
この命題の証明で，E-Cが正則であることは証明すべきことであるにもかかわらず，著者は仮定によって正則であるなどと書いているため，質問しました．

どなたかこの式の証明できますでしょうか
期待値の計算で出てきた式をwolframに入れたのが右辺なのですが過程がさっぱりわかりません...
https://i.imgur.com/YHTt58A.jpg

>>47
めちゃ簡単だから自分で証明しろよ

>>48
Σ_{k = 0 ~ n} k(k - 1) nCk θ^k (1 - θ)^(n - k)
= Σ_{k = 2 ~ n} n!/((k - 2)!(n - k)!) θ^k (1 - θ)^(n - k)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)!/(j!(n - 2 - j)!) θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 Σ_{j = 0 ~ n - 2} (n - 2)Cj θ^j (1 - θ)^(n - 2 - j)
= n(n - 1) θ^2 (θ + (1 - θ))^ (n - 2) = n(n - 1) θ^2

>>50
二項定理そうやって使えばよかったんですね〜全然思いつかなかった
ご回答ありがとうございました！

>>47
たとえば Cをジョルダン標準形にすれば一発で終わる.
P^(-1)CP =Q (上三角行列) なる正則行列Pが取れるから
P^(-1)(E - C)P = E - Q (上三角行列)
三角行列は対角成分上にすべての固有値が出現することに注意する
CとQは相似だから Qの対角成分上にCの固有値がすべてでてくる.
よって E-Qの対角成分はすべて0でないことがいえるので
E-Qは0を固有値として持たない ⇔ E-Qは正則.
したがって E-Cも正則. 証明おわり.

>>52
ありがとうございました．

ヒモで直径５０センチの円を作る場合って
50x3.14の長さのヒモを用意したらいいんだっけ？

ペル方程式
x^2-ny^2=1（nは自然数）
について、この方程式は(x,y)=(1,0)以外の整数解を持つことを示せ。
また(x,y)=(1,0)でない任意の解の1つをv=(a,b)とおけば、ある2×2行列Aが存在してAvも方程式の解となることを示せ。

Mを多様体、∇をMの接続とします。
Mの任意の点に対し、その点の近傍で、近傍内の2点を結ぶ∇-測地線がただ1つ存在するようなものはとれますか？

1または素数である2つの整数p,qを用いてn=pqの形で表せる整数n全体からなる集合をSとする。
2次関数f(x)で、任意の整数kに対しf(k)の値がSの要素となるものは存在しないことを示せ。

https://imgur.com/iAdjsEe.jpg

この定理の証明ですが，同じことを2度書いているように思いますが，どうでしょうか？

>>55
nは平方数でないとしておく(さもなければ誤り)
K=Q(√d)とおく.KのQ上の共役写像はちょうど2個あり
それは √d➙√d と √d ➙ -√d である.
2個の共役体はともに実数体に含まれる.
よって,ディリクレの単数定理より Kは基本単数を持つ
これはさすがに牛刀割鶏ということで半分ジョークだが
初等的にやろうとするとあまり簡単ではない.
たとえばディオファントス近似定理(鳩ノ巣論法から導かれる)
を応用することで ずっと初等的に議論できる.
具体的には 0＜|x^2-ny^2|＜c を満たす自然数x,yの組が
無限個存在するような定数cを求めることができる.
よって鳩ノ巣原理から ある自然数kが存在して
x^2-ny^2 = k を満たす自然数x,yの組が無限個存在することがいえる
再び鳩の巣原理から ある整数a,bが存在して
x≡a(mod k),y≡b(mod k)なる自然数x,yであって
x^2-ny^2 = k を満たすものが無限個存在することがいえる.
ここまでくれば 以下の恒等式を用いてフィニッシュ:
(X^2-nY^2)(Z^2-nW^2)=(XZ+nWY)^2-n(XW+YZ)^2

一部修正
2行目,3行目のdはnが正しい.
10行目の「...〜を満たす自然数x,yの組が...」
の部分は "互いに素な" 自然数x,yの組に修正
これは近似定理から存在を示すのだから明らかに可能
この修正は１番最後に段階で効いてくる 以上.

>>57
任意の整数zに対して q(z)が整数になるという条件,
つまり q(Z)⊂Z を満たす複素数係数多項式q(x)は
一般に整数値多項式(Integer-valued polynomial)と呼ばれる
整数値多項式q(x)は必ず有理数係数多項式である
(例えば,適当なヴァンデルモンド行列を考える)

問題を解くには以下を示せば十分である:
各整数n≠0に対して,nの異なる素因数の個数をω(n)で表す.
(例: ω(1)=0, ω(2)=1, ω(4)=1, ω(6)=2, ω(n)=ω(-n) )
ここでは便宜上ω(0)=0 と定める.整数全体に対して関数ωが定義された.
f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
a_n = ω(f(n))により整数列(a_n)を定める.
このとき sup(a_n) = +∞ が成立する.

>>60 の続き
sup(a_n) = +∞ を示す
そのために補題として以下を示す

[補題]
f(n)を定数でない整数係数多項式とする.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数pは無限個存在する

(証明)
c = f(0) とおく.
c=0 のときは f(x)はxで割り切れるので明らかである.
よって 以降は c≠0 としておく.
p|f(n) を満たす自然数nが存在するような素数p全体の集合をDとおく.
Dが有限集合であると仮定する.(背理法のための仮定)
明らかにDは空ではない(Dが空ならばf(x)は定数となる)
各q∈Dに対して cがqで割り切れる回数を e_q で表すとする.
n＞K なる任意の自然数nに対して
|f(n)| ＞ |c| となるように定数Kを取る.
Π[q∈D]d*q^(1+e_q) ＞K を満たす自然数dを取る.
このとき m = Π[q∈D]d*q^(1+e_q) とおけば
f(m) ≡ c (mod q^(1+e_q)) が成立する.
よって, |f(m)| = |c| がいえるが m＞K より |f(m)|＞|c| だから矛盾.
以上で補題の証明はおわり.

補題から sup(a_n) = +∞ はすぐでる:
sup(a_n)＜+∞と仮定する.
r=sup(a_n) とおく. 明らかに r＞0.
ω(f(m))=r を満たす自然数mが取れる.
f(m)のすべての素因数の積をAとおく.
補題より gcd(q, A)=1 であって
しかも q|f(s) なる自然数sが存在するような素数qが取れる.
t≡m (mod A) かつ t≡s (mod q)を満たす自然数tを取ると,
f(t)≡f(m)≡0 (mod A) かつ f(t)≡f(s)≡0 (mod q) だから
ω(f(t))≧r+1 となり r=sup(a_n)に反する.
本題の証明おわり

ちなみにわずかな修正で sup を limsup に取り替えることができる

+∞の話だから limsup も sup も意味が同じで修正もなにもいらない

標準偏差って何？

>>56
Mがリーマン多様体ならイエス

>>46
(I_n - C)x = 0 とすると Cx = x
もし x ≠ 0 なら x は C の固有ベクトルで固有値は 1 となるから x = 0
すなわち (I_n - C)x = 0 なら x = 0
したがって (I_n - C) の固有値は 0 にならないから正則

(I_n - C)x = 0 → x = 0 だけで正則だったわ

>>65
ありがとうございます。証明を教えていただけるでしょうか。

局所的にユークリッド空間という定義

>>68
p ∈ M を固定して e : T=T_p(M) → M を指数写像とする
すなわち初期値 v∈T に対して f(0) = p, f'(0) =v となる等速ゲージの測地線をとるときとf(1)を対応させる写像とする
Tに極座標T=(0,∞)×S(=S^(n-1)) ∪ {0} を入れておく
適当な仮定の元でeはpの近傍の局所座標の元に
e(t,s) = st + R(s,t) (R(s,t) = O(t^2))
とかける
十分小さいtにおいて|R(s)|<t/4,
として良い
あとは簡単な計算でs=s'の場合とs≠s'の場合に分けて(s,t)≠(s',t')の場合e(s,t)≠e(s',t')が成り立つ事を示す

>>70
ありがとうございます。
しかしこれではpと他の点でしか成り立たないようにみぇます。
欲しいのは、近傍上の任意の二点が唯一の測地線で結べるという結果です。

ユークリッド幾何の公理じゃん

>>71
それが言えたら任意の２点でも言えるやろ？
各点p事に定数c(p)が連続に定まっててpのd(p)近傍内のqとpを結ぶ測地線が一つしかないが示した事
任意のpに対してその近傍Nで任意の２点q,rで言いたいならまずコンパクト近傍Nを取っておいてd(q)の最小値m>0をとる
この時pのd/2近傍から任意に２点とったら測地線一個しかないでしょ？

https://imgur.com/heh7rYM.jpg
この問題のこの解答は正しいですか？
「xの近傍」とは，xを含む開集合のことです．

X，Yは距離空間です．

https://imgur.com/oyxU80Y.jpg
この問題のこの解答は正しいですか？

>>54だれがどうやってヒモを結ぶだ？
しかも3.14じゃぎりぎり届いてないぜ？
ヒモを結ぶだけの余裕が必要だよ、コンジュ。

>>74-76
連投すると疑われるぞ

問題：以下の和を求めよ
ｎ+（ｎ-1）10+（ｎ-2）10＾2・・・・・+10＾（ｎ-1）

狽ﾌ使い方がよく判っていません
宜しくお願い致します

文字化けしました
☓狽ﾌ使い方がよく判っていません
○シグマの使い方がよく判っていません

10倍して引く

>>79
答えの式の形が予想できるなら差分法も良い
求める和Sは逆から足すと S=Σ[k=1,n]k*10^(n-k)
よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる
ここで f(k)=(9k+1)/10^(k-1) とおけば
81k/10^k = f(k)-f(k+1) が成立するので
Σ[k=1,n]81k/10^k = Σ[k=1,n]{f(k)-f(k+1)}
= f(1) - f(n+1)
= 10 - (9n+10)/10^n
∴ S = (10^(n+1)-9n-10)/81　が求める和

「determine」をどう訳すのが適切かを教えてほしいです．
以下のように訳しましたが，「determine」の意味を辞書で調べると「決定する」という言葉が見つかります．
ですが，Int A, Ext A, Bd Aは解答者が決めるものではなくて，既に決まっているものです．
ですので，「求めよ」と訳せばいいのかなと思いましたが，辞書に「求める」という意味がないため，そのように訳していいのか分かりません．


R^2の一般の点を(x, y)と書くとき，以下の各条件によって指定されたR^2の部分集合Aに対して，Int A, Ext AおよびBd Aをdetermineせよ．

If we denote the general point of R^2 by (x, y), determine Int A, Ext A, and Bd A for the subset A of R^2 specified by each of the following conditions:
(a) 0 < x^2 + y^2 <1.
(b) y < x^2.
(c) x is rational and y > 0.

>>79
もう１つの方法は微分を用いる方法
もし無限級数の問題だったなら １番楽なのだが...

1+x+...+x^n = (x^(n+1)-1)/(x-1) の両辺をxで微分すると
左辺は 1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
右辺は 商の微分公式で計算できて それが f(x,n)で表されたとする
さらに両辺をx倍すれば Σ[k=1,n]kx^k = xf(x,n) が得られる
これに x=1/10 を代入すれば Σ[k=1,n]k/10^k = f(1/10,n)/10
なので f(1/10,n)/10 を計算するだけの問題となった

>>83
determine, find は「求めよ」で困ることはないです

>>82
ご回答を有難うございます
>よって 81S/10^n = Σ[k=1,n]81k/10^k と変形できる

この８１と云う数は、何処から出てくるのでしょうか？
愚問でしたら、申し訳ありません

>>79
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/10^(n-k)
ここで
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
とすると
f'(x) = - Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k+1)
- x f'(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)/x^(n-k)
また
f(x) = Σ_{k = 0 ~ n-1} 1/x^(n-k)
= (1/x^n) Σ_{k = 0 ~ n-1} x^k
= (1/x^n)(x^n - 1)/(x - 1)
= (1 - 1/x^n)/(x - 1)
= 1/(x-1) - 1/(x^(n+1) - x^n)
だから
f'(x) = -1/(x-1)^2 + ((n+1)x^n - n x^(n-1))/(x^(n+1) - x^n)^2
となって
Σ_{k = 0 ~ n-1} (n-k)10^k
= 10^n (-10f'(10))

>>85
ありがとうございました．

>>48
もう１つの方法は微分を用いる方法

Σ[k=0,n] k(k-1) nＣk x^k (1-θ)^{n-k}

= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk k(k-1)･x^{k-2} (1-θ)^{n-k}

= (x^2) Σ[k=0,n] nＣk (d/dx)^2 x^k (1-θ)^{n-k}

= (x^2) (d/dx)^2 Σ[k=0,n] nＣk x^k (1-θ)^{n-k}

= (x^2) (d/dx)^2 (x+1-θ)^n

= (x^2) n(n-1)･(x+1-θ)^{n-2}

これに x=θ を代入すれば
　n(n-1)θ^2

>>83
　仰るとおりですね。
　その "determine" は人の意思で「決定する」という意味ではなく、
　「同定する」「測って求める」という方の意味です。

・出所
　むかし　阪大・理・化のＣ教授(故人)から直接聞きました。

楕円Cの内部から、Cの周に引ける垂線は最大4本ですか？
楕円が真円の場合は∞本ですが、楕円が真円に近づくにつれて引ける垂線の本数が増えるなんてことあるんでしょうか？

>>55
(ax 干 n･by)^2 - n･(bx ± ay)^2 = (a^2 - n･b^2)(x^2 - n･y^2),
を使う。

解決しました
ご回答頂いた方、有難うございました

解決しました
ご回答頂いた方、有難うございました

>>91
内部の点って中止限定なん？
むしろ真円の場合は中心以外2本しか引けないのでは？

>>92 は >>59 にあったww

連投のようになってしまいました
申し訳ありません

0個はなしと解釈して
(1) 2^n-2
(2) (2^n-2)/2
(3) (3^n-3×2^n+3)/6

>>102
有難うございました
ｎ人を組み分ける問題と同じように考えて良いのですね

>>81
81 = (10-1)^2 だから2回やるんだな。
１回では
　- n + 10 + 10^2 + ････ + 10^n,
２回目で
　n - 10(n+1) + 10^{n+1},

線形回帰のサンプル(x,y)は、xを観測者が指定した場合、i.i.d.にはなりませんよね？

これは易問ですか？

以下の命題の真偽を述べよ。
「連続する100万個の自然数の中には、少なくとも1つ素数が存在する。」

偽

100万の階乗から100万個は合成数が続く

念のため100万の階乗+2から、というべきか

>>106
2つの解法(1)(2)をあげておく

(1) (典型的方法, 中学数学)
mを2以上の整数とするとき
任意の整数k(2≦k≦m)に対して m!+k は kで割り切れるが
m!+kは明らかにkより大きいので素数になりえない
m＞10^6 のときを考えれば 問題の命題は偽とわかる

(2) (中国剰余定理を適用, 汎用性高)
もっと強く以下を示す:
各自然数nに対して ω(n)をnの異なる素因数の個数をとする
たとえば ω(6)=2, ω(4)=1 である.
任意に自然数k,h(h＞1)を固定する.
このとき h個の連続する自然数であって
どれもが少なくともk個の素因数を持つものが存在する

[証明]
m_1,m_2,.m_h＞1をどの2つも互いに素な整数であって
しかも 各整数i(1≦i≦h)に対して ω(m_i)≧k なるものとする.
中国剰余定理より すべての整数i(1≦i≦h)に対して x≡ -i (mod m_i)
を満たすような自然数xが無限個存在する
このとき h連続の自然数x+1,x+2,.,x+h は少なくともk個の素因数を持つ

>>106
おまけとして類題をあげておく

[類題]
k,m＞0を整数定数とし,f(x)を定数でない整数係数多項式とする.
このとき, m個の自然数, f(n+1),f(n+2),..,f(n+m)のどれもが
少なくともk個の異なる素因数を持つような自然数nが存在することを示せ.

補題
自然数列aiと素数列piで
f(ai)≡0 (mod pi), pi≠pj (unless i=j)
がとれる
p1〜p(n-1)まで取れたとしてN=f(0)×p1〜×p(n-1)とおいて
M=f(kN)を考えれば
・f(0)の素因子qについてはvq(M)≦vq(f(0))
・p1〜p(n-1)のなかのqでf(0)の素因子でないものについてはvq(M)=0
故にMの素因子が全てp1〜p(n-1)に限られるときはM≦|f(0)|
ここでlim[k] M=∞□

n ≡ ai - j ( j ≦ i/k < j+1 )
で完

>>112
ほぼ正解だとおもいます
f(0)=0 だと N=0 になるから
lim[k] M=∞ とはならないけど
細かい話でうるさいので これはこれで良いでしょう

>>62
にも その補題の証明があり 同じ手法によります

いずれにしろ補題と中国剰余定理から説明がつくということで合意でしょう

ゴールドバッハ予想は真偽が定まっていないから命題とは言えない？

>>114
いえ、ちゃんとした命題です
その誤解は高校の教科書にある「真とか偽とかが決まってる文」みたいな説明が不適切なだけ

「命題と定義したものが命題」だと
任意の記号列を命題にできるからなー
でもこれしかないし

>>109
うむ。
100万の階乗をNとおくと
　N + 2 〜 N + 100万 は明らかに合成数。
　N + 100万 + 1 = N + (100^3 + 1) = N + (100 + 1)(100^2 - 100 + 1)　も合成数。
　N + 100万 + 2 = 偶数 (合成数)

>>109
2*100万！+1が素数の可能性は？

>>115,116
ではゲーデルが作ったらしい「自分が証明できない」という内容の論理式は命題？

>>114
2020/10/12に私はゴールドバッハ予想が真であるということを証明しました

>>119
yes

>>117
そうそう
N≧3として
N+1が素数ならN!からN+1個は合成数で
N+1が合成数ならN!+2からN個は合成数
いずれにしてもN!からN+2個の中にN個連続した合成数はある
まあ(N+1)!使えば済む話ではあるけど

N+1 が素数ならウィルソンの定理で
　N! + 1 ≡ 0　(mod N+1)

N+1 が合成数なら
　N! + N+1 も合成数

筑波大のオープン講義の機械学習の授業です
https://ocw.tsukuba.ac.jp/course/systeminformation/machine_learning/p-12/

10:00あたりの数式になぜルート３とかがかかっているのかがわからないです

1990年度の本試験ベクトルで
座標平面上の原点Oを中心とする半径２の円に内接する正六角形の頂点を順に
A　B　C　D　E　Fとし、Aの座標は（２、０）　Bは第１象限にあるとする。
このとき
（１）ベクトルAC＋２ベクトルDE−２ベクトルFAを成分で表すと

この問題の解説を、お願いします。

解答と答えが合わないんです！

マルチ

>>121
正しいと証明できないのに？

>>128
yes

宜しくおねがいします

＜問題＞
ｘ+ｙ+ｚ＝ｎ、　１≦x≦y≦ｚ　をみたす整数（ｘ、ｙ、ｚ）の組は何組あるか。

3|nの時
(H(3,n-3) + 3[(n-3)/2]+2)/6
otherwise
(H(3,n-3) + 3[(n-3)/2])/6

https://imgur.com/iULdaq9.jpg
2変数関数の微分についての問題ですが，上の解答は合っていますか？

D_1 = ∂/∂x,　D_2 = ∂/∂y,　はいいとして
f '(０;ｕ) とは何？　勾配 ∇f のこと？
ローカル記号を使うときは定義を明らかにすること。

エスパーしても方向微分しかないだろう

Df(０) = ∇f が勾配で、それとｕの内積が f '(０,ｕ) かな。
しかし |ｕ| = 1 とはしてないな。

接続付きのなめらかな多様体Mで、点p\inMとして測地線c_v(t)(0でpを取る)に沿った平行場Eを考えると、Eが測地線の初期値vと平行場の初期値uとtに対してなめらかってどう示します？
一個の座標に入る場合で考えると難しくないですが、複数の座標を跨ぐ場合どうすればいいのか教えてください。

なんか冷静になると面倒なだけで作業な気がしてきたので質問を取り下げます

>>129
そんなのおかしすぎ

>>139
知らんがな

x^2+xy+y^2=16, y^2+yz+z^2=25, z^2+zx+x^2=36のとき、x+y+zを求めよ

x^2+xy+y^2=16, y^2+yz+z^2=25, z^2+zx+x^2=36のとき、x+y+zを求めよ

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E2%2Bxy%2By%5E2%3D16%2C+y%5E2%2Byz%2Bz%5E2%3D25%2C+z%5E2%2Bzx%2Bx%5E2%3D36&;lang=ja

>>143
そこまでやるならx+y+zの値も出して上げれば良いのに
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%2Bz+where+x%5E2%2Bxy%2By%5E2%3D16%2C+y%5E2%2Byz%2Bz%5E2%3D25%2C+z%5E2%2Bzx%2Bx%5E2%3D36&;lang=ja

どれか一辺60°外側に回して出せるんだけどな
しかしこんな汚い値になるならそもそもの頂点の座標が汚いんだろうな

こういう数値ならよかった
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%2Bz+where+x%5E2%2Bxy%2By%5E2%3D4%2C++y%5E2%2Byz%2Bz%5E2%3D7%2C+z%5E2%2Bzx%2Bx%5E2%3D9&;lang=ja

>>141-142
　a=5, b=6, c=4,
とする。
　x+y+z = σ,　xy+yz+zx = τ,
とおこう。問題の第3式から第2式を引けば
　(x-y)σ =　bb - aa,
をうる。同様の式を y-z, z-x　について作り、
2乗して加えてまとめると、
　(σ^2 - 3τ)σ^2 = a^4 + b^4 + c^4 - (ab)^2 - (bc)^2 - (ca)^2.
一方 問題の3つの式を加えて
　2σ^2 - 3τ = a^2 + b^2 + c^2,
をうるから、τを消去して
　{σ^2 - (aa+bb+cc)/2}^2
　= (3/4) {2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2 - a^4 - b^4 - c^4}
　= (3/4) (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
　= (3/4) (4S)^2
　= 12 S^2,
となるが、これは σ>0 である解
　σ = √{(aa+bb+cc + (4√3)S)/2},
をもつ。(菅原淳輔氏による)

数セミ増刊「数学の問題」第2集, 日本評論社 (1978)
　●110

a(b+c)=1,a+2b+3c=2,1≦ab+bc+ca≦2のもとで、|c|の取りうる値の範囲を求めよ。

1+(2b+3c)(b+c)=2(b+c), 0≦bc≦1 (∃b; real)
2x^2+(5c^2-2c)x +3c^4-2c^3+c^2=0,0≦x≦1 (∃x)
解なし

イヤc≦0の解あるorz

結局c=0

2020H2

最尤推定において、尤度関数L(θ)=p(X_1,θ)...p(X_n,θ)の最小化とはどういう意味でしょうか？
確率変数を定義域とする汎関数の最小化だと数学的には理解はできますが、違うような気がします。

>>147
なるほど三辺が4,5,6の三角形において三頂点からの距離の和の最小値を求めるという文脈があったか
最小になる点(フェルマー点)は各頂点への脚が120度になるから、脚の長さをそれぞれx,y,zとおけば余弦定理から>>141式を得る

脚の長さの平均を一辺として持つ正三角形の面積をA
一辺が4,5,6の正三角形の面積の平均をM
元の三角形の面積をSとすればA≧1/6(M+S)が成り立つのか
これを幾何的に証明できれば・・・

>>153
これ自分もモヤモヤするところだわ
本当は汎関数的に決めれたらいいんだろうけど統計では分布は決めてしまって母数(分布のパラメータ)だけを決めることにするんよね確か

153です。
ネットでいくつか具体例をみてみると、固定した x_1, ..., x_n ∈ R に対して、それぞれ最大値θを選ぼうとしてるようにみえます。
もしかして、ただの記号の濫用ですかね？

>>156
最大値θではなく、最大値を与えるθでした。

https://imgur.com/7xQKxk7.jpg

多変数関数がC^1なら微分可能であることの証明ですが，平均値の定理を適用するためになぜ，閉区間Iを含む開区間を考えているのでしょうか？
φが閉区間I上で連続，Iの内部で微分可能なのは明らかであるように思われます．

接続付きのなめらかな多様体Mで、点p\inMとして測地線c_v(t)(0でpを取る)に沿った平行場Eを考えると、Eが測地線の初期値vと平行場の初期値uとtに対してなめらかってどう示します？
一個の座標に入る場合で考えると難しくないですが、複数の座標を跨ぐ場合どうすればいいのか教えてください。

以下の条件を満たす多変数関数は存在しますか？

f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．
fは不連続である．

>>160
ないですね．

12^3-3=b^2
にa=3⇒b=1
以外の自然数の解はありますか。

間違えた。訂正します
12a^3-3=b^2
にa=1⇒b=3
以外の自然数の解はありますか。

又間違えた。訂正します。
12*(a^3)-3=b^2
にa=1⇒b=3
以外の自然数の解はありますか。

>>164
次の結果を適用すれば機械的にチェックできる:

[事実]
整数定数kが 0＜|k|≦10^6 の範囲にあるとき
整数x,yが y^2=x^3+k を満たすなら √|x|＜5*|k|

この既に証明されたものを認めるなら本題の解法は以下のようになる:
12a^3-3=b^2 が整数a,bに対して成立していたとする.
このとき 両辺を 144倍すれば
(12a)^3 - 432 = (12b)^2 と変形できる
x = 12a, y = 12b とおけば
y^2 = x^3 - 432 ...(☆) を得る
よって さっきの事実から √|x|＜5*432 を得る
ゆえに |a| ＜ 388800 を得る
逆に この範囲にある整数aに対して
12a^3-3 が平方数になるか全チェックすることで
a = 1 のみが適することがわかり このとき b=±3
したがって とくに求める自然数解は (a,b)=(1,3) だけである

>>165
ありがとう。
ただし、その方法はまだ理解できません。解を出して欲しいんです。
軍事機密のすれに理由があります。
フェルマーの最終定理のn=3の解が見付かります。
ちなみに、ぼくはここ3-6年頑張って一旦諦めたのでここに聞きにきました。
答えてくれたのでまたこの研究にとり励もうと思います。(取り組もう)。

未来から来た僕型翻訳「じゃあ、解は他にあるんですね。前提が証明されていないので」。

>>164
>>165
ちなみに 上記の事実に関してだが
kの範囲を　|k|≦10^6 と限定せずに無制限にすると
hall予想という未解決問題になる
具体的には次のようになる :

[hall予想]
次の条件を満たす整数定数cが存在する

[条件]
整数x,y,k が y^2=x^3+k を満たすなら
必ず √|x|＜c*|k| が成立している

ちなみにこの手の問題は代数的解法があるのだが
あらゆる意味で計算量が多いことが普通なので手計算でやるものではない
問題が簡単に解ける場合は偶然といってもいい

>>168
まじか。ありがとう。すごすぎる。
これであなたも代格者。

>>168
ごめんなさいありがとう。

>>165
ごめんなさいありがとう。

すやすや😪。。。。。。。。。。。。。

>>168
「条件」のところのkは0ではないというのが抜けていた

もうちょっと補足すると以下の問題は"ある意味"で完全に解かれている:
a,b,cを0でない整数定数とするとき, a,b,cだけに依存する計算可能な定数dが存在して
整数x,yに対して a*y^2 = b*x^3 + c ならば 常に max{|x|,|y|}＜d が成立する

この結果は例えば bakerという数学者が証明したものの一部だけれども
残念ながら 今のところ証明されているものでは
計算可能といってもa,b,cがかなり小さい場合ですらdが異様な大きさになってしまって 世界の全てのコンピュータを利用しても計算できなくなってしまって実用性皆無

一方で代数的な解法に興味があるなら
本題の場合なら たとえば K=Q(2^(1/3)) として
必要ならばKのQ上のガロア閉包のL=Q(2^(1/3),ω)を用意して
KあるいはLの整数環上で考える
まずさきにやるべきことは
(1) 類数を決定すること
(2) 単数をすべて決定すること
(3) 整基底を決定すること
これらがスタート地点
これらを楽しんでいるうちに
もともとの不定方程式なんてどうでもよくなるかもしれない
不定方程式論に興味があるならp-adicのskolmの方法などを学ぶのがよい

>>173
ガロアの顔が嘘つきにみえてる昔から。ピエロに似てるがそれはアメリカらしいものを日本が馬鹿にする理由であって。単にガロアの顔は嘘つきにみえる。因みにあのウィッテンやファインマンも怪しい怪しくなってきました。。
因みにその嘘つきにみえてる人達の本はとてもとても欲しい(借りるか買いたい)し読みたいです。

>>148
4 = (a+2b+3c)^2 = 4(ab+bc+ca) + (a+c)^2 + 2b^2 + 2(b+2c)^2 ≧ 4,

∴　a+2b+3c=2, ab+bc+ca=1, a+c=0, b=0, b+2c=0,
解なし

>>165
ありがとう
(432/b+b)/2=a^3
にできますね。理由は今日はつかれたので答えられません。
答えられませんというか唯単にお薬飲んで寝る時間なので。
これにb=?⇒a=!の解は組み合わせは幾つかありますか？?。

これもだめになりますね。二次方程式なので。寝ます。

hall予想になります。
ただ、置き換えの技はこれから身に付けていこうとおもいまし。
432/a=b
a=c
とか？...?。

各時刻n=1,2,...において確率pで起こる事象Aがある。各時刻でAが起こるかどうかは他の時刻に依存せず独立にpである。
ある自然数kに対してnを十分大きく取れば、時刻nまでにAが1回以上起こる確率P[n]について
1-P[n]<10^(-k)
とできることを示せ。

1-P[n] = (1-p)^n

>>160
教科書の例
x^2 + y^2≠0 → z = (x^2 - y^2)^2/(x^2 + y^2)^2
x = y = 0 → z = 1

>>181
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．

⇒

fは微分可能であるから連続でもある．

>>179
n > (k/p)log(10)
とすれば
e^{-pn} < 10^{-k},
>>180 より
1 - P[n] = (1-p)^n < (e^{-p})^n = e^{-pn} < 10^{-k}.

https://www.42ch.net/UploaderSmall/source/1605407380.png

　図の赤線部で不等号があるのはなぜですか？
　シュワルツの不等式は、一般に複素数では成り立たないと思うのですが。

>>184
線積分の定義当てはめてみたらわかる

>>185
　ありがとう！ 忘れてました。助かりました。

さすがに物理の問題をここに記載すると叩かれるだろうな。

>>184
>シュワルツの不等式は、一般に複素数では成り立たないと思うのですが。
？？

複素ベクトルの内積の定義を知らないふりか

というか、なぜシュワルツの不等式？見た感じ(積分の絶対値)≦(絶対値の積分)を指してるように思えるけど
ただ-|f|≦f≦|f|に積分の単調性を適用しただけのものだし、意味としてはシュワルツというより三角不等式じゃないの？

dz も |dz| (線素での積分) になってる

あ、ごめん>>190は実関数の話ね
実関数では成り立つものらしいから、画像と合わせれば>>190かな？って

>>182
正気かコイツ

>>114
”あなたは、その予想が真偽決定不能という場合もある
ことを忘れています”

「決定不能命題に御用心」
　数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)
　p.231 囲み記事

　
>>179
「ド・メレの問題」
　数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)　p.57

>>181,193
偏導関数が原点で連続にはなりません．

>>195
f : R^n → R
fは偏微分可能で偏導関数は連続である．（すなわちfはC^1級である．）

⇒

fは微分可能である.
よって，fは連続でもある．

>>194
それでぇあ結局命題って何ですか？真偽が決まっているものでも無く真偽が決められるものでも無いのでは命題という概念自体がおかしいのでは

>>197
https://en.m.wikipedia.org/wiki/First-order_logic
のformulasの項

>>164
>>165
有理数の問題に拡張したら却って簡単になったようだ
ということで 簡単な解法を紹介しておきます

12a^3-3=b^2 を満たす有理数a,bの組を任意に取る(例えば,a=1,b=3が存在する)
このとき, a=0 でないことに注意する(a=0とすると, b^2 = -3 となり矛盾する)
ここで r = (3+b)/(6a), s = (3-b)/(6a) とおくと
r^3+s^3 =(b^2+3)/(12*a^3) = (12a^3)/(12a^3) = 1
つまり r^3+s^3=1 であることがいえる.
FLTのn=3のときの結果から rs=0 であることが導かれる
これは b=±3 であることを意味する
つまり 有理数a,bに対して 12a^3-3=b^2 が成立しているなら
必ず b^2=9 であることが示された
したがって求める有理数解は(a,b)=(1,±3)に限ることが示された.

以上の方法は 式変形によって FLTのn=3の場合に帰着するという方法です
もっともFLTのn=3の結果を用いているので自己完結した解法ではありません
まあともかくもこの問題に限って言うと有名問題に帰着できるということになりました
一般的にはこのような巧みな式変形を用いたところで別の問題がつくられるだけで
議論は進行しないのですが今回のケースはFLTに"偶然"帰着できたということになりそうです
以上です

>>197
なんで答が出てるのを無視してるんだ？

>>199
でも式変形(置き換え)したら群論の解の有する範囲の値を群でとびますよね。

>>198
難しいですが勉強します
>>200
>答が出てる
え？

A,p,qは実数の定数とする。実数xが動くときAcos(x+p)+qの最大値を求めよ。

xが動ける範囲が不明だが、2π以上に亘って動けるなら
|A| + q.

2020年5月号の数学セミナーのp.30に以下の記述がありました。

『以下にベクトル空間の直和による分解の例を二つ挙げます。

(e) n次正方行列全体のなす空間は対称行列 (tA = A)全体と
交代行列全体 (tA = -A)全体の直和。
(f) R上の実関数のなす空間は偶関数 (f(-x) = f(x))全体と
奇関数 (f(-x) = -f(x)) 全体の直和。』

これは正しいでしょうか？
行列全体のなす空間、実関数のなす空間ではない気がするのですが…。

https://i.imgur.com/JUfeITL.jpg
お願いします

>>205
正しくないと思うなら反例を見つけてみればいい

自己解決しました

>>207
勘違いしてました。
A = (A + tA)/2 + (A - tA)/2
f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2
なので正しいですね…。

>>181
　z = f(x,y) = {cos(2θ)}^2　は y/x =tanθ の関数。

　f_x = 8xyy(xx-yy)/(xx+yy)^3 = (2/r)sin(4θ)sinθ,
　f_y =-8xxy(xx-yy)/(xx+yy)^3 =-(2/r)sin(4θ)cosθ,
　(0,0) に近づく方向によっては発散する。
　(0,0) で不連続

　z = f(x,y) = {cos(2θ)}^2　は x軸、y軸 上では z=1
　(0,0) に近づく方向により別の値に近づく。
　(0,0) で不連続。

しかし妙な例だ…

A,B,a,b,α,βは実数の定数とする。
実数xが-∞<x<∞を変化するとき、
y=Acos(ax+α)+Bsin(bx+β)
の最大値をA,B,a,b,α,βのうち必要なもので表せ。

どう考えてもa,b,α,βはいらん

そもそもa/bが有理数でないと最大値持たないケースも出るし
愚問

>>213
最大値がある関数（Acos(〜)）と最大値がある関数（Bsin(〜)）を足したら、最大値が存在しなくなることがある、ということでしょうか？
直観に反する結果でよく分かりません…

実質「恒星の周りを惑星が、惑星の周りを衛生が回ってる。x座標の最大値を求めよ」
a/bが有理数出ない、つまり惑星が一回回る時衛生が有理数回回ってないケースだと軌道の閉包はアニュラスになり、アニュラスの外側の円で軌道に乗る部分は可算無限集合になって全体にはならない
x座標最大の点が軌道に乗ってるとは限らずその場合には解がない
解がなくてもまぁそこまで問題だとは思わないがa/bか有理数で軌道がトロコイドになる時もx座標最大の点は恐ろしい代数方程式になる
おそらく一般解求めるのなんか実質到底不可能やろ
知らんけど

>>214
2つの関数が定義域外の同一点で同じ最大値の半分超の値に収束してれば
そうなる

なめらかなリーマン多様体に対し、点pが極であるとは点pを通るすべての測地線(=等長にユークリッド空間にはめ込まれてれば二回微分の接成分が0と言い換えられる)が最短曲線(=二点間の距離を実現する曲線がその点自身)である時、点pは極であると言う。

グラフz=x^2+y^2における極が頂点Oに限ることを示せ。

よろしくお願いします

点→曲線ですねすいません。

最短曲線の部分が不足

A,Bは実数の定数とする。
実数xが-∞<x<∞を変化するとき、
y=Acos(√2(x)+π/6)+Bsin(3x)
の最大値をA,Bで表せ。

>>220
A!=0, B!=0だったら最大値無さそう

x = x0において最大
⇔(√2)x0+ π/6 ≡ 3x0 - π/2 ≡ 0 ( mod 2π )
∴ 解なし

>>222
yはA+Bは取らないけどA+Bにいくらでも近い値は取るっていう状況だよね
後者をちゃんと証明するのは面倒臭そうだけど感覚的には明か

A+Bというか|A|+|B|ね

Weylの定理使えば割と楽

主張
a/bが有理数でない実数について
(at+Z, bt+Z) はR/Z×R/Zにおいて稠密

∵) p,q∈(0,1)を任意に取る
b は有理数でないとして良い
t = p/a + n (n∈Z)のとき(at, bt) ≡ (p,bp/a + bn) (mod Z×Z)
であるからWeylの一様分布定理により{bp/a + bn +Z} (n∈Z)の全体はR/Zで稠密だから主張を得る

訂正
∵) p,q∈(0,1)を任意に取る
t = p/a + n/a (n∈Z)のとき(at, bt) ≡ (p,bp/a + bn/a) (mod Z×Z)
であるからWeylの一様分布定理により{bp/a + bn/a +Z} (n∈Z)の全体はR/Zで稠密だから主張を得る

「勘違いは用無しだ。」
幼稚な言葉では何も伝わらない。いい年した大人がそのようなガキみたいな言葉しか
使えなくて残念だな。

何が勘違いなんだ。＞知恵遅れ

未解決問題を6問解決した人間が勘違いか。頭おかしいな

今ガキが
「もうでねーからだ。」
といいました。何がでないのでしょうか？しかも意味不明な言葉を聞かせるお前らは誰だ。

チンピラは文句を言うがすぐに逃げていく、女々しい奴らだ。

正しい数学を否定するような言説を振りまくのはもうやめたほうが
いいよ恥さらしはもうたくさんだ

アクセプトされるまで出てこないでね

n倍積完全数、調和数、Goldbach予想とLemoinie予想の完全に正しい証明がrejectされました。

数学者は私の仕事を全否定する気のようですが、どうすればacceptされるのでしょうか？
インチキはもうたくさんなんですけど？

もったいないですね、Goldbach予想は公開していないんですけど、また何の利益にもならないのに
証明を公開しなければならないのでしょうか？

これでは私の証明が間違っているかのようにしか、他の人には思われませんね。

こんな名誉棄損が何時まで続けられなければならないのか？

審査不正もいいとろだ！

未解決問題の証明論文は数学？の論文誌に載らず、私はそのうち一部を公開
はたの人間はその正否が分からないから、酷い誹謗を毎日のように受けていて
そのまま永遠に放置ですか？

外から声を聞かせる卑怯者が
「盗んだ〜。」と聞こえてきました。
以前には「盗んだものに評価はない。」とも聞こえてきました。
私の論文は個人的に研究をして書いているものであり、当然他者から盗んだ
ものではありません。
「警察を呼ぶぞ。」と女の声も聞こえてきましたが、どうぞ呼んでください。
こちらは何のやましいこともありませんので、なんの問題もなくそれを
した方が警察から油を搾られるのではないのでしょうか？
前にも書きましたが、未解決問題の証明は私が書いたもの以外に恐らく
ないので、盗みようがありません。もし、その証明があるのであれば
論文誌に掲載され、web上の情報も更新されると考えられます。
根拠のない誹謗を6問の未解決問題の証明を行った私に言うのはやめて
もらいたい。

アクセプトされるまで出てこないでね

未解決問題の証明は論文誌にacceptされないようですが、それでは
どの組織がこの証明が正しいということを認定するのでしょうか？

日本数学会ですか
日本応用物理学会ですか
日本学術会議ですか
国際数学者会議ですか
MSPですか

統失ですね。

主張はブログやtwitterでやる人が多いようですが。

>>239
全く違いますけど

幻聴の類は精神疾患ですよ。
精神病院に行った方が良い。

>>241
幻聴ではありません。私は未解決問題を6問解決していて、それが気に入らない
人間や、隠蔽工作を行っている人間の声が聞こえてきているというだけです。
「認めてしまうと俺が辞めなければならないからだ。」
というインチキ暴露も聞こえてきました。しかし、当然「この俺」が誰かは分かりません。

それと最近Air Quotesのサインを出す人間がいますが、それは明らかに私を馬鹿に
しているという証拠です。分かり易い過ぎですね。

ただの荒らしにしかなってないから、ここに書き込むのやめてほしいんだけど

>>243
数学に関する分からない問題を書いていますけど

>>244
あなたが何を聞いたとか、アクセプトされないとか、そういう愚痴を書く場所じゃないんですよ

サイコロをn回振る試行を考える。
この試行において、n回の出目の合計の1の位がk(k=1,2,...,9)となる確率をP(n,k)とする。
lim[n→∞] P(n,k)を求めよ。

正再帰マルコフ過程
極限分布はP(k)=1/10

n次正方行列全体のベクトル空間の次数はいくつか

6回合計の期待値は 1+2+3+4+5+6 = 21
n回合計の期待値は 3.5n
n = 0 〜 20 を並べると
0, 3.5, 7, 10.5, 14, 17.5, 21, 24.5, 28, 31.5, 35, 38.5, 42, 45.5, 49, 52.5, 56, 59.5, 63, 66.5, 70
n = 0 〜 19 のうち整数の末尾は 0, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3 で等分布
半整数は前後の整数になるとすると末尾は
3, 4, 0, 1, 7, 8, 4, 5, 1, 2, 8, 9, 5, 6, 2, 3, 9, 0, 6, 7
でやはり等分布
n→∞ で期待値以外は無視して良いから lim[n→∞] P(n,k) = 1/10

>>245
未解決問題が解決したのかそうではないのかは大問題です

>>250
このスレとは関係ないからね
荒らさないでね

『【連載】評価関数を作ってみよう！その2 | やねうら王 公式サイト』
に提示されている問題が分かりません。ヒントだけでもいいのでお願いします。

Aのほうは基準ソフトに対して、1000勝500敗
Bのほうは基準ソフトに対して、1000勝490敗
『AがBに強い確率はどれだけか』

以上、よろしくおねがいいたします。

外から何をほざこうが全て無駄

私に命令するガキはいらねーから寄ってくんな
毎日ガキはうるさい

女々しいチンピラは一方的に安全なところからでないと野次を
飛ばせない。何でお前らのようなカスの声を聞かなければならないのか

>>248
　n^2


これらの演算（加法とスカラー乗法）は結局 (n, m) 型の行列を nm 次元のヴェクトルとみなして加法およびスカラー乗法を行なうことに他ならない。

佐武一郎「線形代数学」裳華房 (1958)　p.6

サイコロをn回振る試行を考える。
この試行において、n回の出目の合計の最高位の位がk(k=0,1,...,9)となる確率をQ(n,k)とする。

（1）lim[n→∞] Q(n,k)はkの値に依らず1/10となるか。

（2）0<n≦Nの範囲で、nの値を無作為に1つ選ぶ。どの値が選ばれるかは同様に確からしく、確率1/Nとする。
このときlim[N→∞] Q(n,k)はどのようになるか。

ある本に，「Since a differentiable function on an interval in R with nowhere zero derivative has a differentiable inverse, it is tempting to think
that if the derivative f'(a) ≠ 0, then f should have a local inverse at a.」と書いてあるのですが，「a differentiable function on an interval in R with
nowhere zero derivative has a differentiable inverse」はどうやって証明するのでしょうか？

導関数についての中間値の定理により，導関数の符号が正または負になるということを使うのでしょうか？

二次正方行列A=[a,b][c,d]で、A^nの各成分がa,b,c,d,nの初等的な式で表せないものは存在しますか？

説明変数を観測者が指定した場合の線形回帰では、各サンプルは同一分布に従わないと思います。
このような、独立だが同一分布には従っていない場合の統計的推測における漸近理論について詳しく書かれている文献があれば教えて下さい。

>>261
帰納法的にa,b,c,dの多項式で書けるだろ

>>260
導関数が連続と証明できるのか？
単調を直接証明した方が良い

連続でなくとも(導関数に対して)中間値の定理は成り立つが

それを証明する手間を見せてみ？

>>257
シミュレーションしてみたら最高位は３になるんだけど、理由がよくわからない。

三角形ABC(a=BC, b=CA, c=AB)の頂点Aの二等分線とBCの交点をDとする。
線分BD上にEをBE：EC=x：yとなるようにとり 、線分DC上に点E’を∠EAD＝∠E’ADとなるようにとるとき
BE’：E’C＝c^2y：b^2xとなるのを泥臭い計算で証明出来たんですがエレガントな証明があればお願いします

>>257
（２）Nを変えて各々1000回実験してみた。

表示は

[[N]]
最高位の数字
1000回中に現れた回数

> sapply(1:10,fn)
[[1]]

1
1000

[[2]]

1
1000

[[3]]

1 2
493 507

[[4]]

2
1000

[[5]]

2 3
468 532

[[6]]

3
1000

[[7]]

3 4
512 488

[[8]]

4
1000

[[9]]

4 5
519 481

[[10]]

5
1000

10進法において 3^(3^(3^(3^3))) の最上位の桁が6になるらしいのですが
どうやって計算するかアルゴリズムに詳しい方いますか？
計算量オーダーの観点から 計算可能なアルゴリズムを知りたいです

>>270
> 3^(3^(3^(3^3)))
6・10^n≦3^3^3^27＜7・10^n
を示す
n+log6≦3^3^27log3＜n+log7
を示す
log6≦3^3^27log3の小数部分＜log7
を示す

log6≦3^3^27((log3)%1)＜log7
を示す
log(log6)≦3^27((log3)%1)log(3)＜log(log7)
を示す
log(log(log6))≦27((log3)%1)log(3)log(3)＜log(log(log7))
を示す

>>271
対数を使うとそうなりますが最後の項の評価はどうするのでしょうか
とくに log(3)を効率よく計算することが必要になるとおもうのですが

>>272
小数部分を取ったものに対数をさらに取るということを繰り返しているとおもうのですが
それによって計算量は果たして下がっているのでしょうか？

>>272
>log6≦3^3^27((log3)%1)＜log7
>を示す
でなくて
log6≦(3^3^27log3)%1＜log7

>>259-260
　うむ。
　f '(a)・f '(b) < 0　と仮定すると↓の定理より
　f '(ξ) =0　(a<ξ<b)　となり矛盾
∴　f '(a)・f '(b) ≧ 0,　(広義単調)
　f ' の零点が高々可算個なら、逆関数がありそう…

>>264-266
　導関数に関しては、(それが連続でなくても)
　中間値の定理が成り立つことが注意に値する。

〔導関数に関する中間値の定理〕
　f '(a) < μ < f '(b),
とする。F(x) = f(x) - μx と置いて、
　F '(a)・F '(b) < 0,
[a,b] において連続なる F(x) は、
その最小値を x=a または x=b において取りえない。
故に a<ξ<b なるξに対応して F(ξ) が最小値をとる。
然らば F '(ξ) = 0 でなければならない。
∴　f '(ξ) = μ.

高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第2章 微分法, §18, 定理24,　p.51

はて？自分がどう言うつもりで >>264 を書いたのか思い出せない！
何か勘違いしたのかな？
見直すと >>276 の中間値の定理で f ' を定符号にしといて
f '(x) > 0 なら x の近傍 V(x) で ∀y∈V(x) [(x < y → f(x) < f(y))∧(y < x → f(y) < f(x))] だから
閉区間 [a, b] のコンパクト性を使って有限個の V(x_i), i = 1~n で覆い
ξ ∈ V(x_1)∩V(x_2) … etc. として
f(a) < f(x_1) < f(ξ) < f(x_2) < … < f(x_n) < f(b) で単調が証明できるが
いいのかな〜

次の命題を証明せよって問題を見ますが、数学的に正しい表現なのでしょうか？

1950年代の数学の本を読んでるんですが、「主変数」，「副変数」の意味が分かりません。
どなたかご教授願います。

>>276　(上)
　まちがえた。
　f '(a)・f '(b) ≧ 0,
と仮定から
　f '(a)・f '(b) > 0　(狭義単調)
が出るから、逆関数が存在する。

>>278
「数学的に」ではなく「日本語として」だろうな。

「次の命題を証明せよ」は日本語でも数学でも正しい表現

たぶん「次の命題『が成り立つこと』を証明せよ」と言え、ってことだろうけど
割とどうでもいい

証明すべき命題が書いてあれば「次の命題を証明せよ」はなくても十分

>>258
nが大きいときに残る振動モード
　周期 10/3.5　減衰比 √r　(r=0.2631148876)
P(n,k) 〜 r^{n/2} sin(2π(3.5n + 1.5 - k)/10),
P(n,k+1) は P(n,k) よりも位相が 2π/10 だけ遅れる。
P(n,k) + P(n+5) ≒ 1/5,

訂正
nが大きいとき
P(n,k) ≒ (1/5)r^{n/2} sin(2π(3.5n + ２.5 - k)/10),

nが大きいとき
P(n,k) ≒ (1/5)r^{n/2} cos(2π(3.5n - k)/10),
でもいい

いや
P(n,k) ≒ 1/10 + (1/5)r^{n/2} cos(2π(3.5n - k)/10),
だった。ｽﾏｿ.

これを P(n,k) の漸化式 >>258 に入れ、
積和公式を使ってΣを計算すれば
　√r = sin(6π/10)/{6sin(π/10)},
　r = (√5)/36・φ^3 = 0.2631148876388772

>>284
たまに見る肯定的に解決したって表現は真であることを証明したって意味ですか？

当たり前だのクラッカー
もはや数学関係ない

そういうところをキッチリするのが数学だよね

そりゃ最低限の意味だな

>>290
それは予想の話、命題は既に真であることわかっている定理の簡単な奴

真か偽かが決定できるのが命題で真である事が分かってなくても命題としてありえる

あ〜あ
し〜らね

>>294
リーマン予想は正しい…は命題としてなり得ない？

日本語版wikipediaとかだと数理論理学(≒数学)での“命題”ともっと一般的な意味での“命題”が一緒くたにまとめてあったりするからな
正確に知るには基礎論の教科書読んで調べなきゃダメなんだけど、しかしまぁまぁちゃんと理解してするにはちょっと時間かかる
まぁそこまで難しい話しではないけど
ま、おらしらね〜

状況次第で真か偽になりうるなら命題だ
そうでないと「命題の真偽を判定する」と言う言葉が無意味になる
恒真(常に真)の命題なら定理とか系とか呼ばれる
常に偽なら、その否定がそうなる
それ以外は、真になる条件を見つけて加えれば恒真命題ができる

>>290

>>278には
>次の命題を証明せよって問題を見ます
と書いてあることから推測すると、多分誤植がなければ
証明出来るようなテキストの証明問題のことを指しているのだろう。
そのような演習問題は、日本語のテキストでは、高度で問題の出題量が多くなると、
本に書ける文字数の制限があるというような著者側や出版社の側の都合上や、
1行に書ける文字数は30字から40字であるという都合上、
行数を少しでも増やして1冊に書ける内容を増やすために
「次の命題を証明せよ。」という約10文字を省くような書き方をすることがある。
そのようにすれば、本に書かれた内容は増えて、本全体の内容の密度は濃くなる。

円に内接する四角形ABCD（辺長AB=a,BC=b,CD=c,DA=d）の対角線AC,BDの交点をEとする。
このときAE*EC（=BE*ED ∵方べきの定理）の値をa,b,c,dで表せ。

「f : R^n -> R^mがC^r級である」の定義ですが，fの成分関数の偏導関数がある条件を満たせばC^r級であるという定義です．
全微分についての条件じゃないことに違和感をおぼえます．

C^1級なら全微分可能だし
全微分に関する条件を考えようにも自然に各成分の全微分df=…に出てくる偏導関数の条件にならん？

表現の効率と意味の本質がズレるのは当然
その上で表現の効率を取る理由を考えてみたら？

>>303
f(x)のヤコビ行列Df(x)がxに関して連続ということでしょ。

>>291

女々しいアホは『女性蔑視』という幼稚なレッテルでしか他者を表現できないし
それでそう言った対象の人間に不利益を被らせようとしている。

やっていることは小学生と変わらない、いい年した大人が。
恥ずかしくないのだろうか？

数学で完敗した既得権益は、情報隠蔽の手段がなくなりついに暴言を吐いてブチ切れましたとさ

(おわり)

荒らさないで

>>304-306
ありがとうございました．

>>306
C^2以上のときはどうですか？

>>311
> C^2以上のときはどうですか？
Df: R^n -> R^(n×m) がC^1級。

>>303
結局全微分についての条件でしょ？

(位相)多様体に連結性を仮定すれば次元は一意に定まると思うのですが、どのように証明できますか？
R^nとR^mが同相⇒n=mは用いてもいいです。

>>314
自己解決しました。
次のように証明しましたが、もっと簡単な方法はあるでしょうか？

もし次元が一意に定まらないとする。
このときi=1,2,...に対し、i次元ユークリッド空間と位相同型となるチャートの族の族がえられる。ここで、どこかのi,j(i≠j)ではチャートの族は非空。
よって、iのチャートの族の合併をとったものと、i以外のチャートの族の族で合併を取ったものは、それぞれ非空な開集合。
これらの交わりをとれば、連結であることから非空。
ここで座標変換を取れば矛盾することが分かる。

https://imgur.com/C8ItpVs.jpg

上の定理の証明で，なぜ，bを中心とする半径2δの開球を考えているのでしょうか？これをbを中心とする半径δの開球に置き換えると何かまずいことが起きますか？

>>312-313
ありがとうございました．

https://imgur.com/a/nSeMnKd
問題ではありませんが、上の文字が読めません。何の書体の何という文字ですか?

>>316
なぜそうなのかわかりました．

>>318
and, et

>>320
ありがとうございます。
明らかに情報が足りませんでした。いくつかの閉集合の集合を表す記号として出てきました。
少し調べた感じだと花文字のSに近いですから多分Sです。

&じゃ裏返しだよな

fを微分可能な1変数関数、n>1とします。
i<nに対してfのi階微分の点pでの値=0かつ、fのn階微分のpでの値>0のとき、
nが偶数ならpは極小値
nが奇数ならpは鞍点
は言えますか？

最近って筆記体を習わないらしいしな

筆記体で小文字のaとdが紛らわしいのは、習った世代にとっては常識。
しかし、そうで無い世代にとっては、「ミステリー解決の鍵」として使われ、
アニメの一つのエピソードとして扱われるほど、希少な知識に格上げされていたようだ。
いろいろな意味で驚いた。

筆記体じゃなくてaってかけんの？

>>323
n = 2 の証明だけでウンザリした

すんません
f(x)=x⁴について、a=5における微分係数を求めよ
ってのが分かりません…

微分係数の定義通りに計算する。それに尽きる。

老婆心ながら、何が変数なのかはよく考えてね、とはつけたし。

答えは500…ですか?

>>301
n=0 も含めるなら
　+ (1/10) (-1)^n δ_{n,0}
を追加せねば…
(n≧1 には影響ないが)


>>302
　AE･EC = BE･ED = x^2　とおく。

　AE：EC = ad：bc より
　AC = AE + EC = (ad+bc)/√(abcd)・x

　BE：ED = ab：cd より
　BD = BE + ED = (ab+cd)/√(abcd)・x

これらを トレミーの定理
　AC + BD = ac+bd,
に入れる。
　x^2 = abcd(ac+bd)/{(ad+bc)(ab+cd)},

>>301
n=0 も含めるなら
　+ (1/10) (-1)^ｋ δ_{n,0}
を追加せねば…

これらを トレミーの定理
　AC・BD = ac + bd,
に入れる。
だった

>>332 ありがとうございます
> トレミーの定理
　AC * BD = ac+bd

>>290
話題を変えた上での指名制の質問か。
>肯定的に解決したって表現は真であることを証明した
書かれている本などの媒体にもよるが、その表現の意味は、原則的にそのまま解釈していい。
勿論、そのような表現は、すべていつもそのまま解釈していい訳ではない。

U(a)でa∈R^nを含むようなR^nの開集合全体の集合を表すとする．

杉浦光夫『解析入門II』に，「U∈U(a), b∈U ならば U∈U(b)」が成り立つと書いてあります．
「Uは開集合, b∈U ならば U∈U(b)」が成り立つと思うので，なぜ「U∈U(a)」と書いたのかが分かりません．

陰関数定理における陰関数の定義域Vと終域Wは開集合となっていますが，連結な開集合じゃなくても問題は起きませんか？

杉浦解析入門IIの陰関数定理の証明の冒頭部分が以下です．Wが連結でない場合に，f^aがWにおいて狭義単調増加函数になると言えるでしょうか？

f_y(c)≠0が仮定であるが，必要ならばfの代りに-fを考えることにより，f_y(c)>0であるとしてよい．fはC^1級で，f_yは連続であるから，
cのある近傍U_0=V_0 × W⊂Uにおいて f_y(x, y)>0である．いまxをx=aと固定して，yの函数f^a(y) = f(a,y)を考えると，f_y(x,y)>0であるから，
f^aはWにおいて狭義単調増加函数でf^a(b)=0だから，ｙ∈Wに対し
y>b⇒f(a,y)>0; y<b⇒f(a,y)<0となる．

その後の記述を見ても，Wが連結開集合すなわち開区間であると仮定しているようにしか見えません．

>>340
> その後の記述を見ても，Wが連結開集合すなわち開区間であると仮定しているようにしか見えません．
そこまで分かっているのに、なんで解決策が見えないの？
ある近傍なんだから、Wが開区間になるように選んでおけば良いだけじゃん。

>>341
ありがとうございました．杉浦光夫の解析入門シリーズを厳密かつ完全無欠な本であるかのように言う人が多くいるので，もしかしたら，Wが連結でなくても議論が成り立つ
のではないかと心配だったんです．

自分で判断できなきゃ学べない

>>342
完全無欠とか数学的でないことを根拠に数学書読むの？まあいいけども。

ただ、あなたの疑問に思ったところは、多少不親切かもしれないけれども、本が間違っているわけでもないよね。

>>344
Wが連結でないとするとかならずしもそれ以後の議論が成り立たないため，間違っています．

>>345
> >>344
> Wが連結でないとするとかならずしもそれ以後の議論が成り立たないため，間違っています．

これが本当に間違っていると思うなら、数学書読むの無理だよ。あきらめな。
必要なら都合の良いものを取って一般性を失わないなら、それは問題ないわけ。
そんなのはちょっと考えればわかるわけで、それが行間を読むという作業の一つ。

>>346
> 必要なら都合の良いものを取って一般性を失わないなら、それは問題ないわけ。
この場合、一般性を失わないというのは、言い方が間違っているな。すみません。

都合の良いものを考えて主張が成り立つなら、主張が間違っているわけではないということが言いたかった。

陰関数定理の主張で、開近傍V,Wが存在する、と書かれているわけだが、V,Wが連結でないように取れる、などとは書かれていないから、
わざわざ連結でないものを見つけてくる必要は全くないし、定理の主張にV,Wが連結である。という記述を加えなくても定理は正しい。

節約、節約

ワクチンからみでこんな問題を思いついた。（尚、出題者はこの数値での正解を持っておりません。）

A国のワクチンは170例中1人で奇病発生、B国のワクチンは76例中奇病発生0
どちらのワクチンの方が奇病が発生しやすいか検定せよ。

ワクチンの種類によって副作用の分布が違うことくらい情報あるだろ

このバカは自分が数学板で出題できるレベルには到底ない事をいつ理解できるんだろう
底抜けやな

そもそもここは出題スレじゃない件

>>252
(1) A、B勝率のベータ分布を求めて、各々　a,　bとする。
(2) a - b　の分布を求めてcとする
(3) c > 0となる確率を計算する

(2)(3)は a/bの分布が1を超える確率の計算でもいい。

>>353
乱数発生させて計算してみると
Aの勝率がBの勝率より大きい確率は0.672になった。

>>252
A、Bの勝率に有意差があるかカイ二乗検定してみると

2-sample test for equality of proportions without continuity
correction

data: c(500, 490) out of c(1000, 1000)
X-squared = 0.20002, df = 1, p-value = 0.6547

有意差なしだな。

１０００勝５００敗を１０００戦５００勝で計算していたので、>354,>355の数値は撤回。
>354は0.602　>355は p-value = 0.7949

プログラムおじさん

>>349
>252にあてはめると
A：1勝169敗
B：0勝76敗
のとき、Aの勝率がBの勝率より大きい確率を求めよ、という問題になるな。

>>356
設定を誤解していた。コロナが頭にまわったか？

A:1000/1500とB:1000/1490の比較だったのに(間違って500/1500と490/1490で比較していた）
事前分布をJefferey分布にすると
> f(r1=1000,r2=1000,n1=1500,n2=1490,a=0.5,b=0.5,k=1e7)
[1] 0.3973732
事前分布を一様分布にすると
> f(r1=1000,r2=1000,n1=1500,n2=1490,a=1,b=1,k=1e7)
[1] 0.3977775

Aの方が強い確率は約4割だな。

>357
そういうレスはスレリソースの無駄だから
厳密解を出して頭のいいところを披露してくれ。

俺には数値積分の近似解が精一杯

ベータ分布の差の分布の重積分
∫[-∞,∞] dbeta(x+y,1+1000,1+500)*dbeta(y,1+1000,1+490) dy
が、数値積分でしか出せない。

数値積分で出してみると
a=b=1
r1=r2=1000
n1=1500;n2=1490
f <- function(x,y) dbeta(x+y,a+r1,b+n1-r1)*dbeta(y,a+r2,b+n2-r2)
vf=Vectorize(f,vectorize.args = 'y')
pdf=Vectorize(pdf)
integrate(pdf,0,Inf)
0.3975253 with absolute error < 5.2e-07

事前分布をJeffereyにしたときは
> integrate(pdf,0,Inf)
0.3974663 with absolute error < 5.2e-07
乱数発生させての計算>359と同じく

Aの方が強い確率は約4割

あいかわらずバカだなぁ

WをR^(n+k)の開集合とし，x∈Wとする．
このとき，U⊂R^k， V⊂R^nであるような開集合U，Vでx∈U×V⊂Wとなるようなものが存在する．

この証明ですが，U, Vとして，開球や開直方体を考えるのが標準的でしょうか？
他にどんな解法がありますか？

開き直るプログラムおじさんなのであった

>>362
(十分小さい)開集合ならなんでもいいです
直方体や開球を使うのはわざわざ複雑な図形を持ち出す必要がないからというだけ、もし複雑な図形を持ち出してたら「なんでこんな変なものを考えるんですか？」と疑問になること間違いないでしょ

今年の京大の特色入試です。初手が思いつかないのでヒントをください。

四面体Vの側面または内部に一直線上にない3点P,Q,Rをとる。△PQRの面積は、Vの側面である三角形のうち面積最大のものの面積を超えないことを示せ。

>>363
そういうレスはいいから、厳密解を出して頭のいいところを披露してくれ。

>>362
直積位相を使うなら一般の開集合で充分

>>365
2点を固定して面積最大となる第3点を考えると頂点になる
結果として頂点による三角形が面積最大、つまり側面

>>366
そっちこそそういう開き直りはいいからｗ

Ａ、Ｂの袋には玉が二つずつ入っています。
Ａの袋の中の玉のうち片方は赤であることが分かっていますが、
もう片方は赤か黒か分かりません（そのどちらかであることはわかっています）。
Ｂの袋の中の玉のうち片方は青であることが分かっていますが、
もう片方は青か黒か分かりません（そのどちらかであることはわかっています）。

無作為にＡ、Ｂの袋から一つずつ玉を取り出したとき、赤と青でした。
それらを袋に戻し、もう一度改めて無作為に取り出したとき、また赤と青でした。

袋に戻してもう一度無作為に取り出するとき、
取り出される玉の色が以下である確率はいくつになりますか？

赤青：
赤黒：
黒青：
黒黒：
ーーーー
黒玉が入っているかどうかを50%で計算すれば簡単に出ることはわかるんですが
今回の試行をする前に二回確認をしたという情報があるので
直感的には黒黒の確率は低いと思う（一方で、0にもできないと思う）んです
けど、どういう考え方で計算をすればいいのか分からず…
黒玉が入っている確率とか先に出たりします？
答えが知りたいというよりは考え方や計算の仕方を知りたいです

>>364,367
ありがとうございました．

>>367
直積位相について調べてみようと思います．

>>370
条件不足だと思う
もう片方が赤か黒（あるいは青か黒）である確率がもともとはいくつであったのかを設定しないと求められないのでは？

>>732
事前施行前は単に未知なので、等確率50%なのかなと思います
その是非自身にも興味はありますが、考えを進めたいので、
ここではいったん事前の2回の施行をする前にわかっていた範囲では
黒玉が入っている確率はＡもＢも50%だと仮定したら話は進みますか？

問題文からわかる範囲では単に未知なので
元々袋Ａに黒玉が入っている確率をP_a
Ｂに黒玉が入っている確率をP_bとおいて
変数を含めたまま答えまで進めても良い気もします

左不変ベクトル場の定義がわかりません。

Gをリー群とし、L_gを左移動とします。
このときベクトル場Xが左不変であるとは、d(L_g)_h(X_h)=X_ghが成り立つことと定義されますが、
ここでX_hは点hでの接ベクトル、X_ghは点ghでの接ベクトルなので、接空間に同一視がないと意味をなさないと思います。

どのように解釈すべきでしょうか？
あるいは間違いがあれば教えて下さい。

>>375
自己解決しました。

>>252
このシミュレーションで代用できるかなぁ？

Aの基準ソフト相手の通算対戦勝率は1000/1500
この勝率で次の対戦を行い、勝てば1001/1501の勝率でその次の対戦を行う。
負ければ1000/1501の勝率でその次の対戦を行う
Bも1000/1490から開始して同様に対戦する。
A,Bがそれぞれ基準ソフトと１万回対戦したとき
Aの通算勝率がBの通算勝率より確率を求めよ

>>370
Aの袋だけで考える。Aの袋に赤玉が２個含まれる確率をpとすると
Aの袋に含まれる赤玉の数をA、２回取り出した赤玉の総数をaとすると
a=2のときにA=2である確率はベイズの公式から
P[A==2|a==2] = P[a==2|A==2]P[A==2]/P[a==2]
= P[a==2|A==2]P[A==2] / (P[a==2|A==2]P[A==2]+P[a==2|A!=2]P[A!=2])
= 1*p / (1*p + 0.25*(1-p))

p=0.5とすると0.8になる

Aから3回目を取り出したときそれが赤である確率は
0.8*1 + (1-0.8)*0.5 = 0.9

Bの袋についても同様に考えて青である確率は0.9
よって、赤青である確率は0.9*0.9=0.81

これだけと面白くないのでｐの事前分布を一様分布として
赤が2回でたあとの事後分布をグラフにしてみると
https://i.imgur.com/oWHgncS.png