>>55
nは平方数でないとしておく(さもなければ誤り)
K=Q(√d)とおく.KのQ上の共役写像はちょうど2個あり
それは √d➙√d と √d ➙ -√d である.
2個の共役体はともに実数体に含まれる.
よって,ディリクレの単数定理より Kは基本単数を持つ
これはさすがに牛刀割鶏ということで半分ジョークだが
初等的にやろうとするとあまり簡単ではない.
たとえばディオファントス近似定理(鳩ノ巣論法から導かれる)
を応用することで ずっと初等的に議論できる.
具体的には 0＜|x^2-ny^2|＜c を満たす自然数x,yの組が
無限個存在するような定数cを求めることができる.
よって鳩ノ巣原理から ある自然数kが存在して
x^2-ny^2 = k を満たす自然数x,yの組が無限個存在することがいえる
再び鳩の巣原理から ある整数a,bが存在して
x≡a(mod k),y≡b(mod k)なる自然数x,yであって
x^2-ny^2 = k を満たすものが無限個存在することがいえる.
ここまでくれば 以下の恒等式を用いてフィニッシュ:
(X^2-nY^2)(Z^2-nW^2)=(XZ+nWY)^2-n(XW+YZ)^2