>>103

気に入るとか気に入らないではなく
一般項が1-1/10^nである級数は、0.9+0.99+0.999+0.9999+…だと思います。今話している数とは明らかに違います。

さて、1-1/10^nという表記は、nがどんな数かという情報を全く含んでいません。
9が終わりなく続く0.999…を表すものとして、どんなnが適当であるか、実際に代入して考えてみると
n=1の時、0.9、9は1つで終わってしまって2桁目は0なのでn=1は適当ではありません。
この数は無作為に選んだmについて、m＞1のとき、m桁目が9ではありません。
n=2の時、0.99、9は2つで終わってしまって3桁目は0なのでn=2は適当ではありません。
この数は無作為に選んだmについて、m＞2のとき、m桁目が9ではありません。
n=7の時、0.9999999、9は7つで終わってしまって8桁目は0なのでn=7は適当ではありません。
この数は無作為に選んだmについて、m＞7のとき、m桁目が9ではありません。
n=8の時、0.99999999、9は8つで終わってしまって9桁目は0なのでn=8は適当ではありません。
この数は無作為に選んだmについて、m＞8のとき、m桁目が9ではありません。
n=1グーゴルプレックスの時、0.999…9、9は10^(10^100)で終わってしまって10^(10^100)+1桁目は0なのでn=1グーゴルプレックスは適当ではありません。
この数は無作為に選んだmについて、m＞10^(10^100)のとき、m桁目が9ではありません。

こうしてみるとどんな自然数nにもn+1やmが存在してn<n+1やn<mが成り立ってしまうので、9が終わりなく続く0.999…を表すのに適当ではありません。
ようするに、n+1やmが存在しない、どんな数より必ず大きいような何かを考えないと、9が終わりなく続く0.999…を表現できないわけです。
どんな数より必ず大きいような何か、それは∞です。無限大は数ではないので、その場合の表記は

0.999…=lim_{n→∞}1-1/10^n

が適当である、と考えられます。