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x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3) であってますよね。

「(3)は任意の自然数比 x:y=a:b (a,bは自然数)となる解x,yをもつ。」

上の「 」内の命題は誤りですか？

間違いでは、ありませんが、
x=a/w、y=b/w、w={n^(1/(n-1)}/{(a^n+b^n)^(1/n)-a}ならば、
a,bが、どんな有理数でも、両辺は、等しくなります。

a,bが、どんな実数でも両辺は、等しくなります。