一応証明を書いておくけど これを機に初等数論を学ぶことをすすめます

まず説明のために言葉を定義しておきます
(a_n)を数列とするとき 次の条件を満たす自然数Mが取れるならば
(a_n)は Eventually Periodic であると呼ぶことにする

[条件]
a[n+p] = a[n] がM以上の任意の自然数で成立するような
非負整数pが存在する

上記の条件を満たす最小の正の整数pを数列(a_n)の周期と呼ぶことにします

ちょっと例をだしておきます:
n^n mod 8 の数列を書き出すと
1, 4, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 1, 0, 3, 0, 5, ....

これは本来の意味では純粋な周期を持ってない(周期数列でない)
しかし Eventually Periodic な数列であることがわかります
この例の場合は M=3, p=8 が取れます

次の投稿で本題の証明を書いておきます