大学学部レベル質問スレ 15単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 14単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594758474/

建てました

保守

保守

https://i.imgur.com/W1Gr243.png
前スレでも貼ったものですが、これの(2)と(挑戦)をお願いします

即死判定喰らうから保守ってるの？

>>5
逆から計算すると底辺かける高さで表せるとしたら三角錐の底辺は1/2or(又は)0だから。
どちらかしか成り立たないのはおかしい。
以上証明終わり。
具体的値は未解決問題(自分の中では)。

>>7
底面積。に修正。

これが使えると思う
https://en.wikipedia.org/wiki/Hill_tetrahedron

「全順序部分集合」を「鎖」と言うようですが、これの読み方は「くさり」ですか？それとも「さ」ですか？
どっちでもいいですか？

さー？

チェインって読んどくと幸せになれる伊予柑

イチェン玉

(x+y)^4=x^2y の囲む面積を求める問題で、本にある答えは(極座標変換して)θが0からπ/2までで積分しています
rの符号を見てθの積分範囲は0からπになりそうな気がするんですが、π/2からπの範囲は足さなくていいんでしょうか？それとも常にx≧0ですか？

>>14
x/y=tとおいて
与式
⇔x(1+t^4)=t^3
⇔x=t^3/(1+t^4), y=t^2/(1+t^4)
でy軸対称みたいだから後で2倍してるんじゃない？

極座標でもわかるな
r = sinθcos^2θ/(sinθ+cosθ)^2 (-π/2<θ<π/2)
において変換(r→-r, θ→-θ)で不変だからy軸対称

>>15
この(iii)です、2倍されてなさそうですが後で2倍し忘れただけなのかな
ありがとうございます
https://i.imgur.com/4v0yZvs.jpg

>>15
はウソ
x=t^3/(1+t)^4
y=t^2/(1+t)^4
だ
撤回します

>>17
wolfram大先生に教えてもらった
θ=3π/2で切れるから第二象限では切れてる
第三、第四象限は変換
θ→π+θ、r→-rでの不変だからこない

>>19
大先生の教え
https://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3Dcos%5E2%28%CE%B8%29sin%28%CE%B8%29%2F%28sin%28%CE%B8%29%2Bcos%28%CE%B8%29%29%5E4&;lang=ja

>>19-20
ありがとうございます
実際にπ/2からπまでの積分も加えようとしたら0になってしまいました……
やっぱりグラフ書いてみないとダメですね

>>10
鎖は、余り使わないと思う。

すみません、この5.の説明をして欲しいです
https://i.imgur.com/ACbmQdP.jpg
https://i.imgur.com/AJAhe7g.jpg

問題は「A!∈M(!は否定) 、したがって∃λ,O_λ⊂A」としている部分で
EとしてR^2の原点中心の閉球を考えて、開被覆を原点を少しだけ越えたところの半平面(とEとの共通部分)、A=E-{(0,1)}とすれば反例になってしまうかと思います

全部デタラメにしか見えん

>>23
問題の誤字で
\mathfrak{M} = { M | ∀λ(λ∈Λ) [M ⊂ O_λ] }
ではなくて
\mathfrak{M} = { M | ∀λ(λ∈Λ) [M \not⊂ O_λ]
なのでは？

>>25
あーなるほど……
ずっと解答が誤字ってるのかと思ってて、ただそうすると今度は�A以降がおかしくなるのでなんか変だと思いましたが、そうか問題が誤植か……ありがとうございます

これを知っておけば良い
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E3%81%AE%E8%A2%AB%E8%A6%86%E8%A3%9C%E9%A1%8C

>>23
書名プリーズ

>>27
ありがとう、これが背景にあったのか
>>23の本は柴田敏男『集合と位相空間』です

Rings of Differential Operators
はMSCのどこに分類されるべきだと思いますか？

間葉系幹細胞がどうしたって？

https://i.imgur.com/qZmkxy6.png
これの問3.2をどなたかお願いいたします...

>>32
有限値に制限して極限を取る

>>33
なるほど...さわりだけでも構わないのですが具体的にどんな感じになりますか？
不勉強でごめんなさい

至る所で使われる証明方法だから
初歩的な所をもっと読めば良い

M:コンパクトなn-dim可微分多様体でN=S^(n-4i)を球面として次元は4i＜(n-1)/2を満たすとする
このとき可微分写像f:M→Nに対して
y∈Nが正則値ならf^-1(y)は4i次元の可微分多様体になりますが
その法束が自明である事はどのようにして言えるのでしょうか

具体的な本の中で使われていた事実なので，いろいろ仮定がついていますが
どれが必要なのかはわからないので全て書きました

本の記述がわからないという質問をする人は書名とページを明記してほしい

すみません
ミルナー・スタシェフの特性類講義p.224のLem20.1の証明の最後のステップになります

法束て常に自明じゃないんか？

向き付け不可能な空間をユークリッド空間に埋め込むと
法束が向き付け可能であればユークリッド空間の向きと法束の向きから
元の空間の向きも定まってしまって矛盾するので法束は向き付け不可能
よって法束は自明ではないことが言えるようです
なので何らかの仮定は必要なはずです

>>36
そのノーマルバンドルは1点の周りのチャートの中のR^(n-4i)引き戻したものになるから自明じゃないの？
>>40
>向き付け不可能な空間をユークリッド空間に埋め込むと
これと元の話とはどう関係してるの？

>>38
本を見たけど>>41さんの言う通りのことが書いてあった。
ベクトル束の引き戻しの理解があやふやなんだと思う。

>>41
引き戻しになるという事がなぜ言えるのか分からないのですが
引き戻しについてもう一度勉強し直すしかないでしょうか

>>40は>>39へのアンカーが抜けていました

次元違うんだから引き戻しになんかならない希ガス

>>36ですが無事引き戻しになることが理解できました
ありがとうございます

>>45
え？
引き戻しになるの？
f:M→NでNの接束はm-4i次元のバンドル
その引き戻しf*T(N)はM上のランクn-4iのバンドルで接束はcovariantだから自然な射T(M)→f*T(N)があってランクがそれぞれn,n-4iでこの射のkernelがf^-1(y)の接束だと思うんだけど

>>46
次元についてはM:n次元,N:n-4i次元でf^-1(y):4i次元なので
Mでのf^-1(y)の法束はn-4i次元となって
Nでのyの法束つまりyでの接束の次元n-4iと一致しています

証明はfの微分
Df_x:DM_x→DN_yの核にDf^-1(y)_xが含まれるので
F:DM_x/Df^-1(y)_x→DN_yが誘導されて
これはそれぞれの法束のファイバーの間の線形写像
正則性より元の微分Df_xが全射なので誘導された写像も全射であって
domainと行き先の次元が等しいのでFは結局同型
よってこれが法束の間の束写像を定めているので〜と考えました

>>47
そう、君の書いてるDN_yを張り合わせたものがNの接束T(N)の引き戻し
つまり引き戻しf^*(T(N))はT(M)の商バンドルであって部分バンドルではない
でバンドルの完全列
0→T(f^(-1)(y))→T(M)→f^*(T(N))→0ができる
問題は第3項が自明なら第1項が自明か？
でそんなに自明でないし一般には成り立たないと思う
他の次元差がどうこう使わないと出ない希ガス

イヤ、わかった
法バンドルが余接バンドルじゃなくてリーマン計量がなんか入っててその意味での直交補空間バンドルって意味なら通る
そう言う意味？

>>49
はい、確かに本ではリーマン計量は常に仮定していました

まだ>>48の内容がよく理解できていないのですが
第1項T(f^-1(y))の自明性はなぜ必要なのでしょう？
欲しいのはf^-1(y)の法束の自明性なですが
これは第3項の自明性のことではないのでしょうか

>>49
なんでデュアルと思うかなあ
法は直交つまり軽量入ってる場合の用語
だいたい
デュアルが自明かどうかは
君書いてるようにT(f^-1(y))が自明かどうかなんだから
わざわざ（君の言う）法バンドルが自明とか問うわけないじゃん

>>50-51
ホント失礼しました
畑が代数系であんまりリーマン計量とかやらないので反射的にcotagentと脳内変換してた
お騒がせしました

Σ[n=1,...,∞]1/(n^k) = 1/a_n * π^k
と表せる？(ｋは自然数≧2)
ｋが偶数の時は簡潔な自然数列が定まる？

π^k/a_k のつもりか？
奇数じゃ成り立たん

「(可微分)多様体Mの弧状連結性により座標近傍Uも弧状連結であるから、」
という記述があるんですが本当ですか？M=R^nのときですら言えないような気が……

ちなみに、上の記述はdf=0ならfがM上で定数であることの証明中に出てきます
直観的には、U(と同相なR^nの開集合)の連結成分上では定数だから、後は別の弧状連結な座標近傍をくっつけて局所定数fの定義域を広げていく(Mの弧状連結性からM全体に広げられる、したがってM全体で定数)やり方で示せると思いますが、この方針だとどこかで詰まりますか？

>>55
最初の文はそのまま読めば当然ウソだけど
筆者は弧状連結な座標近傍が取れるという意味で書いてると思う

2つ目の疑問はその方針では言えていない
例えばR上の座標近傍で(0,1/2),(1/4,3/4),(3/8,7/8),…というものを使って拡張していっても
(0,1)についての結果しか言えずR全体の結果には到達できない、つまり
＞Mの弧状連結性からM全体に広げられる
という部分を示すために具体的に2点の間の道を取って
道に沿って拡張して一方から他方へとたどり着けることを示している

そういうの暗算みたいにできない？
Mがスムースならわざわざ弧状とか付けなくてよくない？
一体どこ大学だよ？どんな本で勉強してんの？

>>55
都度広げていくのではなくて
全部の点の周りにそれぞれU取って
どこでも定数それがどこでも同じ値っていう方針じゃない？

>>56
>>55はそのつもりで書いていたのかも

そもそも
a∈im(f)に対してf^(-1)(a)は空でない開集合かつ閉集合を示す方が楽やろ

>>55
前も書いたが、本の記述がわからないという質問をする人は書名とページを明記してほしい

>>56
ですよね、ありがとうございます
とりあえず弧状連結成分取って読み進めましたが、回りくどすぎた

>>57
学生ですらないです……
単なる趣味で数理物理の本を読んでます

位相空間に関する性質が、積空間や部分空間に遺伝する性質であるか遺伝しない性質であるかって、何が要因で決まる？

一概には言えないだろうね
開や閉は部分空間で変化する(部分空間との共通部分をとる)から開や閉が関係してる条件は怪しくなってくる
でも条件が開や閉の共通部分で書けているものは大丈夫だったり

定義に使う概念が干渉するかどうかだな

>>63
要因ってあるって思ってるの？

証明できる以上は要因と言える

>>62
別に言うほど回りくどくはないと思うよ

順序数って集合論や基礎論の議論以外に登場することありますか？
知人と話してるとき、なんの役にたつの？と聞かれて困ってしまいました。
私としては順序数や集合論自体、大変おもしろく学べているのでそれで満足なんですが。
何か良い例がありましたらよろしくお願いします。

>>69
超限帰納法を使う時

距離空間がパラコンパクト、の証明は順序数を使うと瞬殺

使わない証明てあるんかな？

>>69
任意のR-加群が入射加群に埋め込まれることを示す一般的アプローチのBaer's argumentとか

上の一般的は多くの人にとって普通ということではなく数学的により広いということです

複素解析の質問です。よろしくお願いします。
f(z)がz=∞を孤立特異点に持つとは、f(1/ζ)がζ=0を孤立特異点に持つことと定義します。
f(z)=1/(z-1)とします。
f(1/ζ)=1(1/ζ-1)=ζ+ζ^2+ζ^3+…より、ローラン展開の主要部が0であるためにz=∞を孤立特異点に持ちません。
f(z)のz=∞での留数は、z=∞が孤立特異点であるときに限り定義されるはずなのですが、無限遠点含めて留数の和を取ると0になるため1/(z-1)のz=∞での留数は-1と分かります。
実際に調べてみるとやはり1/(z-1)のz=∞での留数は-1で間違いないらしいです。
z=∞が孤立特異点でないのに留数が存在しているのですが、これはおかしくないのでしょうか？

res(f(z),∞) = res(-f(1/z)/z^2,0)
じゃない？

1/(z-1) を展開した事ないのか？
級数展開の証明では 1/(1-z) の展開を使ってるのにな

自己解決しました。
f(z)=把_n z^-nとローラン展開した時にRes[z=∞]f(z)=-c_1となるのでこのローラン展開主要部が0であったとしても（つまりz=∞が孤立特異点でなくても）留数は存在して0以外の値を取りうるのですね……。
無限遠点に限っては極でなくても留数が定まるようです、お目汚し失礼しました。

何を馬鹿なことを言ってんだ
1/(z -1) = -1 - z - z^2 - z^3 - …
1/(1/ζ -1) = -1 - 1/ζ - 1/ζ^2 - 1/ζ^3 - …
というだけだろ

コレはresという記号がちょっと誤解を与える記号である事が要因
wikipediaにも書いてあるけどresはあくまでスカラーに対して定義されるものでなく1-formに対して定義されるもの
本来はres(1/(z-1)dz, z=∞)のように表すべきものなのを雑に表してるから間違いやすい
そこは最初にこの記号作った人がそういうふうに決めてしまったので脳内で変換して読まないといけない
平面上の話だけしてるならそれでもいいが、z=∞とか出てくると話が狂う
res(1/(z-1)dz, z=∞)をwで表示して計算するなら
res(1/(1/w-1) (-dw/w^2), w=0)
= res(-1/(w-w^2)dw, w=0)
= res(1/(w-1)-1/w,w=0)
=-1
コレでres(1/(z-1)dz,z=1)=1と話の辻褄が合う

>>80
なるへそ
素晴らしい

・a[i,j] は直交行列。(Lorentz変換)
γ1, γ2, γ3, γ4 は 4次のエルミート行列で
・γi γj + γj γi = 0 (i≠jのとき)　 　[反交換関係]
・γi γi　= I (単位行列)
を満たすものとします。(Dirac行列)
この時、
　ΣΣΣΣ{i,j,k,m} a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,m] γi γj γk γm = det(a) γ1 γ2 γ3 γ4
となる事を示してください。
物理の教科書的には 具体的な Dirac行列 と 微小Lorentz変換を与えて
計算するのが定番みたいなんですが、前提として挙げた代数関係だけを使って解けませんかね？

twitterでlim x→0 logxとlim x→+0 logxが同じかどうかという問題があったのですが、
lim x→a f(x)=-∞の定義はfの定義域をDとして∀N>0∃δ>0∀x∈D 0<∣x-a∣<δ⇒f(x)<-Nで、
lim x→0 logx=-∞を考えると、δ=e^-Nとおくと
0<x<e^-N(x∈logの定義域=(0,∞)なので絶対値が外せる)⇒logx<-Nとなって成立し、
lim x→0 logxとlim x→+0 logxは同じになると思うのですが、おかしい部分などありますか？

>>82
反交換関係から γi γj γk γm = sign(i, j, k, m) γ1 γ2 γ3 γ4 を出して
あとは det の定義

>>84 和をとる時の添え字は各自独立に動くので
γ1 γ2 γ1 γ4 みたいな重複アリの項をどう処理したらいいのか分からんのです。

いくつかランダムな直交行列と、具体的な Dirac行列(Dirac表現) で数値計算してみたんですが、
・γi γi γj γk, γi γj γi γk, .... (3色: i,j,kは相異なる)
・γi γj γj γj, γi γj γi γi, ...., γi γi γj γj, ... (2色: i,jは相異なる)
・γi γi γi γi　(1色)
この場合分けの総和でゼロになる事が(数値上で)確認できたんですが、其々の段の和はゼロにはならんのです。
どうやれば代数的に相殺できるのやら...といった感じなのです。

>>83
そもそも実関数ならx<0で定義されてない、つまりx→0の極限操作そのものが定義されてないです
ただし本によってはx<0で定義されない場合は片側極限(x→+0)によってその極限(x→0)を定義するので、回答は「立場によって変わる」となります

「lim x→a f(x)=-∞の定義は…」とありますが、そこでのDはaの近傍、特にx<aであるようなある点xも含むことを仮定してませんか？もちろん、上で言ったように片側極限をもって定義することもありaが孤立点でなければいいと書いてるものもありますが、とにかく定義の確認をするべきです

>>86
すみません、定義に見落としがありました
lim x→a f(x)=-∞の定義はfの定義域をDとして、aは集積点で∀N>0∃δ>0∀x∈D 0<∣x-a∣<δ⇒f(x)<-Nとなります
ただ、結局0は(0,∞)のRの部分集合としての集積点であり、やはりlim x→0 logxとlim x→+0 logxは同じになるということで良いのですか？

>>84
det の定義
det(a) = ΣΣΣΣ{i,j,k,m} sign(i, j, k, m) a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,m]
は知らんのか

>>87
それであれば同値です

>>85 (追加)
別の場合分けで部分的にゼロになるのは分かるんです。
ΣΣΣ{i,k,m} a[1,i]a[2,i]a[3,k]a[4,m] γi γi γk γm
　 = Σ{i} a[1,i]a[2,i] ΣΣ{k,m} a[3,k]a[4,m] γk γm = 0 (aの直交性)
ΣΣΣ{i,j,k かつ i≠j} a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,k] γi γj γk γk
　 = ΣΣ{i,j かつ i≠j} a[1,i]a[2,j] γi γj Σ{k} a[3,k]a[4,k] = 0 (aの直交性)
しかしこの先が続かない... 残りの場合分けは簡単になるようには見えません。

>>88
i,j,k,m が全て相異なるパターンの和がそうなるのは分かります。
そうでないパターンの総和がゼロになる事を示したいのです。
本当に代数関係だけで示せるのかは知りません。

おっと悪い
γi γi = I
を見落としてたわ
直交行列を使うんだろうな

>>89
ありがとうございます、答えがはっきり分かりスッキリしました

>>91
おかしいな
Σ{i} a[1,i]a[2,i]a[3,i]a[4,i]
は残るぞ

>>93
PARI/GPによる数値計算の一部を載せときます。
この種の計算に向いてる言語とは思いませんが、ある程度は何をしたか伝わるかと思います。

X = matrix(4); \\ 4次ゼロ行列
\\ 3色
X += sum(i=1,4,sum(j=1,4,sum(k=1,4, (i!=j)*(j!=k)*(k!=i)*( \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,k] *G[j]*G[k] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,k] *G[k]*G[j] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,k]*a[4,i] *G[j]*G[k] + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,k] *G[j]*G[k] + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,k]*a[4,i] *G[k]*G[j] + \
a[1,j]*a[2,k]*a[3,i]*a[4,i] *G[j]*G[k] ) )));

\\ 2色
X += sum(i=1,4,sum(j=1,4, (i!=j)*( \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,j] *+matid(4) + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,j] *-matid(4) + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,j]*a[4,i] *+matid(4) + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,i] *G[j]*G[i] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,i] *G[i]*G[j] + \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,i] *G[j]*G[i] + \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,j] *G[i]*G[j] ) ));

\\ 1色
X += sum(i=1,4, a[1,i]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,i])*matid(4);

これでゼロ行列になりました。
(ランダム直交行列: a[i,j]と Dirac行列: G[i] を用意する部分は省略)

>>82 (改)
もしかしたら当初の代数関係のみを用いて示すのは無理があるのかもしれません。

Sを4次の変換行列として、
物理的要請 S⁻¹γᵢS = Σ{j} aᵢⱼγⱼ を加えます。
本来示したかったのは S⁻¹γ₅S = det(a) γ₅ の等式でした。(γ₅:= γ₁γ₂γ₃γ₄)

S⁻¹γ₅S = (S⁻¹γ₁S)(S⁻¹γ₂S)(S⁻¹γ₃S)(S⁻¹γ₄S)
= Σ{ijkm} a₁ᵢ a₂ⱼ a₃ₖ a₄ₘ γᵢ γⱼ γₖ γₘ
一方で γ₅ = 1/4! *Σ{ijkm} ε[ijkm] γᵢ γⱼ γₖ γₘ (ε[ijkm]は完全反対称テンソル)
と表せるので、
S⁻¹γ₅S = 1/4! *Σ{ijkm} ε[ijkm] (S⁻¹γᵢS)(S⁻¹γⱼS)(S⁻¹γₖS)(S⁻¹γₘS)
= 1/4! *Σ{ijkm} Σ{stuv} ε[ijkm] aᵢₛ aⱼₜ aₖᵤ aₘᵥ γₛ γₜ γᵤ γᵥ
= det(a) γ₁γ₂γ₃γ₄ {∵ εの反対称性より s,t,u,vの重複項は消える}
これより >>82 の等式が示せました。

それ代数関係で示してんじゃないんか？

>>96
a に対応する S の存在を前提条件に加えたので、元の >>82 とは問題の性質が変わったんです。

物理的要請と書いてるけど、そういうSはいつでも取れるはずなんじゃないっけ
直交群の被覆であるスピン群からそういう元を取ったと思えば

だからスピン群を経由しない方法でも示せるはずだけど、和を包除原理や対称反対称分解使って計算するだけだと上手く示せない…
すごくモヤモヤする

>>98
> そういうSはいつでも取れる
空間回転とLorentzブーストに関しては無限小変換の生成子を構成する。空間反転に関しては S=γ₄　が条件を満たす事を確認する。
物理の教科書的にはそういう流れになります。本を読み返したらDirac行列の表現によらない記述になってました。
a の中には物理的に無意味なのもありますが、虚数の空間回転とか加えれば たぶん網羅するのでしょう。
そういう意味では >>82 は「代数関係のみを使って示せる」と言えるのかも。

> 直交群の被覆であるスピン群
実験物理出身の自分には高度過ぎるようです。

>>100
ローレンツ計量の場合の証明はちゃんと読んだことないけど、O(3,1)の場合もPin(3,1)からの全射があったはず
O(4)のの場合、回転は必ずいくつかの鏡映の積で書けるから、その鏡映を表現するPin(4)の元の積をSとすればそれでok
(ただ詳しくみると正確にはS^(-1)vSはvの鏡映の-1倍になってしまうので、問題の式もS^(-1)γiS=det(a)Σaijγjということになる
しかし定数倍det(a)は>>95の計算に影響ないので同じ結果を得る)

開区間の重積分って閉空間と同じように計算していいの？

そもそも一般のaijでは言えないの当たり前じゃないの？
a1=a2=a3=a4=(1,0,0,0)のとき左辺はγ1γ1γ1γ1=Iだけど右辺0やん

あ、直交行列限定か

あんま美しくないけど気合いで示せたわ

どこかが重複する和のタイプは包除原理より
(2,1,1)-(2,2)-2(3,1)+6(4)

これを具体的に書くと
((abxx)+(xxcd)+(axxd)+(xbcx)+(xbxd)+(axcx))
-((xxyy)+(xyyx)+(xyxy))
-2((axxx)+(xbxx)+(xxcx)+(xxxd))
+6(xxxx)

交換関係を使って得られる関係式
(xbcx)= -(xbxc)+2(xbxx)=(xxbc)-2(xxxc)+2(xbxx)
(xbxd)= -(xxbd)+2(xxxd)
(axcx)= -(axxc)+2(axxx)
(xyxy)= -(xxyy)+2(xxxx)
(xxcx)= -(xxxc)+2(xxxx)
を上に代入すると

((abxx)+(xxcd)+(axxd)+(xxbc)-(xxbd)-(axxc))
-((xxyy)+(xyyx)-(xxyy))
これはペアで和を取っている部分があるものばかりなので直交性によりゼロ

どういう仕組みでこうなってるのか解明しないと一般次元で示せないけど…

多分、形的に一般の次元ではWickの定理のように
1ペア縮約、2ペア縮約、3ペア縮約…の形が1項ずつ出てきて
縮約の形の交差や次数で符号がつくと思われる

>>105
記号の説明

例えば
(axcx)= -(axxc)+2(axxx)
という式は
Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,k)a(4,x)γiγxγkγx
= Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,k)a(4,x)γiγx(-γxγk+2δkx)
= -Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(4,x)a(3,k)γi(γxγx)γk
+ 2Σ[i,x(=j,k,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,x)a(4,x)γiγxγxγx
に対応している

つまりだ、直交行列は忘れてγ行列の恒等式

γaγbγcγd
=ε(abcd)γ1γ2γ3γ4+δ(ab)γcγd+δ(cd)γaγb
+δ(bc)γaγd+δ(ad)γbγc-δ(ac)γbγd-δ(bd)γaγc
-δ(ab)δ(cd)-δ(ad)δ(bc)+δ(ac)δ(bd)

を示せばいいわけだ…

>>102
>区間の重積分
？

4^4=256パターンの確かめは大変そうだけど重複のタイプ別に調べれば意外と簡単か

九後をカンニングしたら帰納的にも示せるっぽい
交換関係から
γaγb=1/2!(γaγb-γbγa)+δ(ab)
さらに反対称積を
γ(a(1),a(2),…,a(n))=1/n!Σsgn(σ)γa(σ1)γa(σ2)…γa(σn)
と定義すると一般に帰納的な関係式

γbγ(a(1),a(2),…,a(n))=γ(b,a(1),a(2),…,a(n))
+Σ[i=1,n](-1)^(i-1)δ(b,a(i))γ(a(1),a(2),…a(i-1),a(i+1),…,a(n))

が言えて、これらを使って順次計算できる
γcγd=γ(c,d)+δ(cd)

γbγcγd=γbγ(c,d)+γbδ(cd)
=γ(b,c,d)+δ(bc)γd-δ(bd)γc+γbδ(cd)

γaγbγcγd=γaγ(b,c,d)+γaδ(bc)γd-γaδ(bd)γc+γaγbδ(cd)
=γ(a,b,c,d)+δ(ab)γ(c,d)-δ(ac)γ(b,d)+δ(ad)γ(b,c)
+γaδ(bc)γd-γaδ(bd)γc+γaγbδ(cd)
=γ(a,b,c,d)+δ(ab)γcγd-δ(ac)γbγd+δ(ad)γbγc
+δ(bc)γaγd-δ(bd)γaγc+δ(cd)γaγb
-δ(ab)δ(cd)-δ(ad)δ(bc)+δ(ac)δ(bd)

最後にγ(a,b,c,d)=ε(abcd)γ1γ2γ3γ4に注意すれば>>108を得る

わかった
a11 = a22 = cosθ、a21 = - a12 = sinθ、a33 = a44 = 0、
aij = 0 ( otherwise )
のとき
δi = Σj aij γj
で定めるときδiもγiと同じ交換関係を満たす
universarityからこの場合にはSがとれる
a12 = a21= = a33 = a44 = 1、
aij = 0 ( otherwise )
のときも同様
結局aijが直交行列の時は上の2タイプの積でかけるのだからいつでもSがとれる
以下>>95

そうか、さらにわかった
QVをベクトル空間の2次形式Qのなす圏、Algを代数のなす圏とするときクリフォード代数を対応させる対応は自然変換でQVの射A:(V,Q)→(W,R)は必ずクリフォード代数の射S:C(V,Q)→C(W,R)にliftするんだ
しかもuniversalityからAが同型ならSも自動的に同型になる

×自然変換
◯関手
orz
わかっちゃえば簡単だな

本を前に1時間考え込んで「なるほど…自明だ…」
数学あるある

x^4+y^4-2x^2の極値を求めたいんですがDが0になってしまって困ってます。y=0とかで固定して考えようと思ったりしたんですがよくわかりません。

単に無作為抽出って言った場合は復元抽出（同じ標本が何度も選ばれうる）をさすと考えていいですか？

>>113-114
いや、だからS経由は簡単なんだけど
それを経由させずに示せるかが気になったんよ>>99
S使えば自明なのに使わないと和の打ち消しが非自明なのが面白いと思った

x^4+y^4-2x^2 = (x^2 -1)^2+y^4 -1 は x^2 =1, y = 0 の時に最小値

だめ

だめな奴

母集団が大きいときはどちらで計算しても統計的な量はほとんど変わらないから計算が圧倒的に楽な復元抽出を暗黙に仮定することが多いようだね

>>121
ありがとうございます
大変納得いたしました

一次分数変換の分類の話で双曲的/放物的/楕円的という分類が出てきますが
これらの定義をなぜ双曲とか放物とか楕円という名前で呼ぶのかがピンと来ません
双曲線などとどう関係があるのでしょうか

楕円、放物、双曲の三分類は数学の色んなところに出てきて慣れてきたら円錐曲線との関係なんか気にしなくなる

>>124
気にしない方がいいんですか
そうしときますありがとう

力学系と保型関数論で2次正方正則行列が双曲的放物的楕円的に分類されるがだいたい一致する

>>123
変換を運動と見て回転か発散かを対応させてるのさ

どんな証明にも証明の長さが最小の証明って存在するわけだが、それが一体どんなものかって気になるよなw

専用の言語を定義すれば 1字になる

>>129
そういう頭の悪いレスは要らんから

https://i.imgur.com/QswlZyR.png
どなたかお願いいたします...

>>126
力学系ってのは楕円型微分方程式とかそういうやつですか
双曲型のWiki眺めてみたけど確かに似てますね

>>127
楕円的は回転になってるので確かにぽいですが
放物的と双曲的がどっちも発散してる感じで
出るとこと入るとこが同じか違うかをなぜ放物と双曲と言うのかと悩んでました

放物は楕円と双曲の境界だね

同じとこか違うとこかはまぁまぁ大きな差とも言える気はするな

>>131
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~ito/notes_functional_analysis_20180511.pdf
(1)は84〜85ページを少し変えればよい
B(X)が作用素ノルムに関して完備となるのは71ページ
（２）が（１）から導けないようではお先真っ暗

>>133
なるほど！
そう考えると確かに納得できる
放物は楕円に近い運動してますね
ありがとう

二次以下の実数多項式全体のなすベクトル空間をP(2；R)における線形変換T(f)= ∫[-1.1］2f(t)×(x-t)^2dtとして基底［1.x.x^2］に関する表現行列を求める問題なんだけどやり方わかる人いる？
定積分をそれぞれa,b,cとおいてもうまくいかない😭

∫[-1.1］2f(t)×(x-t)^2dtじゃなくて∫[-1.1］f(t)×(x-t)^2dt

>>137
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Table%5B%E2%88%AB%5B-1%2C1%EF%BC%BD2t%5E%28k-1%29%28x-t%29%5E2dt%2C+%7Bk%2C3%7D%5D&;lang=ja

どうやって解けばこの解に辿り着くの？

できたわ
>>139ありがとう😘

>>135
すげー分かりやすかった！　ありがとうございました！
(2)は等比数列の和の公式使えばいい感じですよね？　やってみます

https://i.imgur.com/nmatJGV.png
どなたかお願いします
wikiの有界作用素の記事にも載っていたのですが、証明が書かれていませんでした...

(i)はできそうなので大丈夫です
(ii)のコンパクトの方だけお願いいたします

>>144
>>135の193ページ

複素数の間の共形的かつ全単射で滑らかな写像φ:C→Cは1次変換か1次変換の複素共役である
という定理の証明がわかりません

本ではその少し前に
ψ:D→C,(D⊂C:開集合)が共形的でヤコビ行列がいたるところ可逆ならψかその複素共役が
正則関数になるという結果があり、これとリウビルの定理なりピカールの定理なりを使えば示せると書いてありました
上の命題を使うとφかその共役がCの間の全単射な正則関数であることは言えますが、そこから先がわかりません
(本は深谷「双曲幾何」のp.65です)

全単射で正則だとリーマン球の回転と伸び縮みだけだな

>>146
コレが示せたらいいのでは

fがRiemann球の自己全単射で正則なら一次変換

∵ 一次変換は三重可積遷だからf(0)=0, f(1)=1, f(∞)=∞として良い
f(z)=z^n g(z)、g(z)は正則、g(0)≠0、とおける
f(z)は一対一だったから原点以外に零点を持たない
よってg(z)は零点を持たない
∴ g(z)は定数(∵リュービルの定理)
∴ f(z)=cz^n
さらに再び一対一性よりc≠0, n=1□

>>148
なるほどこう言えばよかったんですね
ありがとうございます

∫∫[0,∞)×[0,∞) 1/(1+x^2+y^2)^2dxdyってπ/4であってます？

統計学の独学でもわかりやすい参考書とかってありますか？
ちなみに国立文系で数三はノータッチです。

>>150
マルチ

ちょっと躓いた

A,B整列集合、 A⊆B、A≠Bとする
ｍ=min(B-A)とおく。
この時、A=B<m>　(切片の意味)　
だが、A⊆B<m>の証明に躓いた

以下Bを全集合としてBに含まれる事は一々述べない
m≦x,x∈Aとすればm∈Aとなりm∈B-Aに矛盾
∴x∈A→x<m
x<m, ¬x∈Aとすればx∈B-A,x<mとなるがm=min(B-A)に矛盾
∴x<m→x∈A

>>153
mがAに入ってなくて最小なんだからほぼ自明でしょ
証明は背理法で

>>154,155
自己解決しました。
ちなみに、A⊆B<m>は無条件では無理ですね

わざわざエスパーしてやったのになんつー言い草

>>156
>A⊆B<m>は無条件では無理
？？

>>158
A={0,2}, B=N なら min B-A = 1

{0,2} ⊆ N<1> ではない

あそっか

遺伝的有限集合全体をHFとして
関係R⊆HF^nが�兩1であるとき、
�兩0集合S⊆HF^n+1が
a∈R⇔∃x∈HF((a,x)∈S)
となるようにとれる

キューネンの基礎論p292です
さらっと書いてあるんで自明なんでしょうけど、わかりません

どなたか証明をつけていただけないでしょうか
よろしくお願いします

ここまで知らん単語だらけやとその本持ってないと手も足も出ない

>>161
原本をみたら、それらしき箇所に、(see Lemma II.17.28)とあるのだが、訳書の方には書いてないの？

あ、自分のノートばっかり見てました。
訳書にもありますね。
なんてミスを。すみません。
補題2.17.28から導出するのは論理式の相対化を使うんでしょうか

双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは角度は等しいのでしょうか
もし異なれば余弦定理などの角度の入っている公式がモデル毎に異なることになると思うのですが

そもそも計量が違う

>>166
リーマン幾何やってないので計量が違うという意味がよく分からないのですが
上半平面モデルと円盤モデルは共形ですがこれらの計量は同じなのですか？

角度をどういう意味で言ってるんだ？

>>167
通常、角度というものは、計量から定めるものである。
リーマン幾何やってないのに、角度だのなんだの言っているのがよくわからん。

>>168>>169
実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます
(深谷「双曲幾何」)
リーマン幾何ちゃんとやってないと理解が難しいようならそれまで棚上げにしときますが
結論としては余弦定理などの角度が出てくる公式はモデル毎に異なるという事でいいんでしょうか

質問の意味が不定

>>171
たとえば余弦定理の公式
cos∠γ=(coshAcoshB-coshC)/(sinhAsinhB)
という式を本では双曲面モデルの上で示していましたが
この式は上半平面モデルや円盤モデルでは成り立たないのかが気になっています
長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの
左辺の角度が2つのモデルで同じである保証はあるのかと

>>170
そうじゃない？
でも多分曲率が負の一定値の定曲率空間は計量テンソルの正の定数倍で写り合う気はする
なので上半平面モデルと単位円モデルで差があっても定数倍の差しかない気はする
でもどっちも曲率-1/4とかだったような記憶が...

>>172
＞長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの
長さが2つのモデルで保たれることは書いてあったものの
の間違いです失礼しました

>>173
なるほどそういうリーマン幾何の深い結果があって
それを使うと角度も等しい事が言える的な感じなんでしょうか
本だとどうも角度もモデルによらず決まるような雰囲気で記述してあって混乱していましたが

計量が定数倍なら角度は変わらんだろ

証明系に詳しい人が居たら聞きたいんだが、今後10年20年と見据えたとき、どのプルーフチェッカーが「勝ち」そう？

使えるプルーフチェッカーてあったか？

「e^x=10である実数xは存在するか？　理由も含めて答えよ」
集合と位相の講義で出題されたんですが、よく分かりません
「log10は実数だから存在する」終わりじゃ駄目なんですかね？

講義中に何か説明あったんじゃないですか？
数学の問題というよりちゃんと授業を聞いているかどうかの問題な気がしますけど

>>179
もし良ければ解法を教えていただけますか？

>>178
存在すればその値をlog10と書くのではなくて？

>>180
どこまで前提とするのかがないと答えようがないですよね

z=√(x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求めよ

>>178
e^x はどう定義したんだ？
連続を使ってないんか？

>>170
> 実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます
> (深谷「双曲幾何」)
本見てみたら、3章の冒頭文で、双曲面モデルが上半平面モデルや円盤モデルと同じ幾何を定める旨が述べてあるし、
円盤モデルと双曲面モデルが等長的であることも書いてある（定理3.59）。

等長なんだから内積も対応するし、内積から定まる角度も対応するでしょ。

恥を忍んで質問させて下さい。
書籍のAbramowitz and Stegun(Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
Graphs, and Mathematical Tables)の略称って、
・AS
・A&S
・そのほか(省略しないなど)

あと、上の略称は「解析概論」(もちろん高木先生の)の様に、
知らないとモグリ扱いなのでしょうか？

本自体を知らんがモグリ扱いする奴がいるんか？

z= √ (x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求める問題で答えが8 √ 2になるはずが円錐の側面積として考えると9 √ 2になってしまいます。どちらが正答でしょうか？理由もつけて教えて欲しいです。

9π√ 2 だろ

>>185
等長なら対応する内積が等しいことが言えるんですか
疑問が氷解しました
ちなみにそのことはすぐ言えるんでしょうか

>>190
わかってないのに疑問が氷解するの？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%8C%96%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F
を読んで下さい

>>191
長さは多様体の上での距離で内積は接空間の内積ですので
何らかの局所と大域をつなげる議論が必要でしょう
その部分が疑問なのです

疑問が氷解したというのは角度が等しくなるのかどうかとか
等長群の作用について等しいという事をなぜ幾何が等しいと呼ぶのかとかが
分かったという意味です

>>165
＞双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは
＞角度は等しいのでしょうか

等しい

ただ、モデルは「見え方」だから、
円盤でもポアンカレモデルとクラインモデルでは見え方が違う
つまりクラインモデルでは見た目違う角度が、モデル内の合同変換で写り合う
ポアンカレモデルでは見た目の角度も同じになる
（ただしポアンカレモデルのほうでは直線が円弧になったりする）

投影の仕方の違いだけなので、
それぞれのモデルの間で１対１の対応がつけられ
結局同型であることがわかる

>>190
191に答えがあるが、補足。
・長さというのは、接ベクトルのノルムを積分したもの。
・角度というのは、接ベクトルの内積から決まるもの。
・接空間において、ノルムと内積は表裏一体。（191）
あとは、まとめれば良い。

>>192
接続とはまた別の話だよ

>>192
> 長さは多様体の上での距離で内積は接空間の内積ですので
> 何らかの局所と大域をつなげる議論が必要でしょう
> その部分が疑問なのです
曲線をパラメータ付けして、0からsまでの部分の長さl(s)をsで微分すれば、接空間でのノルムが出てくる。

>>185
ここのページの図を見れば一目瞭然
http://web1.kcn.jp/hp28ah77/jp3_poinc.htm

>>192
＞長さは多様体の上での距離

双曲面の見た目の長さで考えたらダメだよ
双曲面モデルでの２点間の距離は
逆双曲線関数で定義してるから
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Hyperbolic_area_1.png

>>196のレスで長さが等しいことから接空間のノルムが、よって内積が等しい事が分かりました
その部分が理解できていなかったようです
いろいろとありがとうございました感謝です

見た目の長さや角度とは違ってくる事はクラインモデルをいじって理解できていましたが
>>197も読んでみます

z=‪√‬(12-x^2-y^2)とz=x^2+y^2で囲まれる体積を求めたいのですが積分領域をどうすればいいのかいまいち分かりません。x=rcosθ y=rsinθとおいてrの範囲はわかったんですがθの範囲をどうすればいいのでしょうか？？

「A&Sのこの項目」という表現は、Maximaのソースで知りました。

>>187
本自体はこんなやつです。
ttps://ja.wikipedia.org/wiki/Abramowitz_and_Stegun

以前雑誌記事で、参考文献に著者名抜きで「解析概論」って書いてあるのを見た事があって、
著者が分からずに学校の先生に訊いたら、どうも知ってるのが常識らしく…。
いまはそれではacceptされないんだろうなぁ。

>>201
応用数学じゃん
ここで聞くより物理、化学、工学板のどれかで聞いた方がいい

有向族についての質問

集合Xの元の列x_i, i∈Iが有向族であるとは、Iが有向集合であるってのが普通の定義だけど、
Xの部分集合AとAの二項関係≦のセット（A,≦)に対して有効集合を定義しちゃいけないのか？

何か不都合があるなら教えてほしい

>>203
その定義でもいいと思うよ。フィルターはそうだし
ただ、有向族は数列の拡張で、数列の考え方や記法が使えるのがいいんじゃないかな
同じ添字集合の複数の有向列どうしなら収束の速さなんかの比較もできそう

>>204
＞同じ添字集合の複数の有向列
こういう概念も（A,≦_1）、(A,≦_2)として同様に扱えると思うんだが、

唯一の、(x_i|i∈I)と(A,≦)の違いは写像と集合の違いなんだが、これが各種議論でどういう影響を及ぼすのかが分からんから聞いてみたっていう趣旨。

K, L をそれぞれ距離空間 (X, dX), (Y, dY ) のコンパクト部分集合とする.
K × L ⊂ O となる、直積空間 (X × Y, d) における任意の開集合 O に対して,
(X, dX) の開集合 U と (Y, dY ) の開集合 V s.t. K × L ⊂ U × V ⊂ O　が存在することを示せ。


コンパクトの定義を使ってOを有限部分被覆に分解するのは分かるのですが、そこから先がいまいち分かりません...
どなたかお願いいたします...

>>205
そりゃ考える数学的対象と何がしたいかによるだろう
有向族の途中の項に重複があるかどうかで違いがでるものを考えるのでなければ
どっちの定義でも同等なんじゃないの？　ネットとフィルターのように
でもネットとフィルターで議論の仕方は結構違うよね

>>206
初手から間違っている。
一般に距離空間において、コンパクト集合KとKを含む開集合Oに対し、ε>0が存在して、Kのε近傍はOに含まれる。
問題に戻る。ε>0が存在して、K × Lの2ε近傍はOに含まれる。XにおけるKのε近傍をU、Lのε近傍をVとすると、U × VはK × Lの2ε近傍に含まれ、したがってOに含まれる。
これでわからなかったら、もっと前のところの理解が怪しくなっている。

K × L ⊂ U × Vを書き漏らしたが自明だから問題ないね。

>>208
それを使ったら簡単だよなー
まあ、その証明も簡単だが
ところで直積空間の距離は無数にあるけど、どう定義してんの？

私は各成分の距離の和なんだろうと補った

>>208
ありがとうございます！
「コンパクト集合KとKを含む開集合Oに対し、ε>0が存在して、Kのε近傍はOに含まれる。」という定理を恥ずかしながら知らなかったのですが、どこかのサイトに証明が載ってたりしますか？

Oが全集合ならば自明。
そうでないならOの補集合は空でない閉集合。
コンパクト集合と、それと交わらない空でない閉集合との距離は正である。
以上により従う。

>>211
多分それが最大だから全部含むか
最大の証明は知らんけど

>>1の表記法のやつリンク切れしてね

いやNG判定で弾かれるのを嫌ってURL表記を途中でブツ切りにしてあるだけだろ
今は何故かリンクを貼れるが前スレ当時はNGで弾かれてたんだのを
新スレ立てる時にリンクを貼れるか試さずに立てたんだろ
http://mathmathmath.dotera.net

ほれやっぱり貼れた。しかし何だって去年前半頃までNGワードだらけだったんだろうな

>>216
あーなるほど bb2cってブラウザで見てるとスペース以降見えなくて気づかなかった
ありがとう

関数解析では線形写像を線形作用素と呼ぶのが普通とのこと

何でこんな無意味な言い換えってするの？
数学ではちらほらこういう無意味な言い換えあるよな

>>219
気分がそうさせるだけよ？何か問題なの？

無意味と思うのは傲慢な無知だけ

有界閉集合でジョルダン可測（面積確定）でないものってどんなものがあるんでしょうか。
本を読んでいたら「有界閉ジョルダン可測集合」と書かれていたものがあったので、有界閉集合ってジョルダン可測なんじゃないかと思ったのですが、判例などがあればよろしくお願いします。

なんかそういう判例集みたいな本があったような

>>222
[0,1]∩Q上の特性関数(のグラフ)とか

>>224
それって閉集合ではないですよね。
0<x<1となる無理数xは[0,1]∩Qの元ではないですが、[0,1]∩Qの集積点にはなっているので。
つまりxの近傍Vをどんなに小さく取ってもV∩([0,1]∩Q)が空集合にならないので。

またきやがった
質問してる風で偉そうな奴が

>>224
すみません。勘違いしたかもしれませんが、
特性関数というのは確率論などで使うものでしょうか。
複素数値関数に見えるのですが。。。

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set

ジョルダン可測ってのは境界のルベーグ測度が0って事だから
有開閉集合なら、内部とその集合自身のルベーグ測度が等しくないものがあるかどうか考えればいい
結局0かどうかで考えればいいから、内点を持たずに正のルベーグ測度を持つ集合であればよくて

普通にカントール集合でいいなこれは

>>227
特性関数は全然違う意味のが2つある

>>222
ハルナック集合

ハルナック集合はカントール集合の2次元版だから3次元版も作れるな

>>228 〜 >>231
どうもありがとうございます。助かりました。
ルベーグ積分論をあまりやっていなかったので、微積の話でつまづいているものだと思っていました
ちなみにカントール集合のルベーグ測度は０だから違うような。。。

>>233
> ちなみにカントール集合のルベーグ測度は０だから違うような。。。

こういうひとこと多いのは止めた方がいいよ

>>234

気分を害されたなら申し訳ありません。
ただ間違ってると思ったので確認したかっただけなのですが、
それとも私が間違っているんでしょうか

そんなことを気にするより
>>227みたいな勘違いで人を貶した事を気にしなさい

>>236
違うのではないかと言っただけで貶したわけではありませんし、
貶されたと思ったならそれこそ勘違いです。
ちなみに、特性関数をf(x)=0 if x ∈ [0,1]∩Q
f(x)=1 if x ∉ [0,1]∩Qと定義しても同じで閉集合になりません。

>>237
君、本当に神経がおかしいぞ？
リアルで対人トラブル起こしまくりだろ。

うーん他人の感情より数学的な事実の方が大切だと思ってしまうのは良くないことなのか？
例えば>>225の段階で私の質問の目的に沿わない回答が来てしまった時、
私は閉集合でないということを指摘せざるを得なかったのですが、
何かもっと良い言い回しの仕方があったのでしょうか。
今後の参考にしたいので、「もっとこういう言い方をした方がいいよ」というのがあれば教えていただきたいです

>>225とか>>227に悪意敵意を感じたり、蔑む意図を感じたりする人がいるのならビョーキ😆👍

>>240
君も無神経な人の1人か

>>239
225とか227に悪意があるかどうかは知らないけど。
> うーん他人の感情より数学的な事実の方が大切だと思ってしまうのは良くないことなのか？
片方がより大切だからって他方を蔑ろにして良いなんてことないよね。

>>241
😢

>>233 までは問題ないと思うが
＞私が間違っているんでしょうか
てのは攻撃的意思を掩蔽してると解釈されるな
自覚してないと問題だね

あまり説得力は感じないがその指摘は間違ってはいなさそうだ
そして当然であり、承知の上で言ってるのかもしれないが、「攻撃的意思を掩蔽してる」と突飛な解釈をする側に「も」問題がある

>>245
馬鹿はレスしない方がいいよ

>>233
Smith-Volterra カントール集合は例になってるぞ

……ごめんな
>>224を書き込むときに閉集合という条件が頭から抜け落ちてたんだ
どうしてこうなった

ID:oKIgF8Wxさんは「ごめんな」が言えるが、ID:cq4NiitPは謝ることが出来ない

>>246
😡？

数学に対する愛があふれるここがいちばん相応しそうなので、ここで質問させて下さい。
私は高専卒なので大学へは行ってないのですが
今「数学であそぼ」というマンガを読んでいて授業の中で「自然数、整数、有理数、実数」の説明で
「切断」を使用した説明になって、主人公が「なんじゃこりゃ〜」となるシーンがあるのですが、
これを見てても主人公は「理解しよう」と努力していて他の人物は「丸暗記」しているように見えます。

私の考える「道具」に対する「理解」の判断基準の１つは「その道具を使用しての応用ができること、できない事の判定ができる」
「それはどういう理由で応用できるのかできないのかが説明できる」（厳密で無くてもいい）みたいな感じなのですが、
授業を受けて、この「理解」の状態になっているようにはとても見えません。

どういう事を言っているつもりなのかと言うとマンガの中でトイレットペーパを使って円の面積を求める考え方
を説明するシーンがあるのですが、例えばこれを例に使って説明するなら、「面積を変えずに図形を変形して
考えやすい形に変形する」という道具は、ピタゴラスの三平方の定理には応用？できて、
「余弦関数１周期とy=0で囲まれた面積を求める」には応用できない。その理由は「考えやすい形に変形するのが不可能だから」
こういう感じです。

実際どうなんでしょ？
授業を受けて上記のような感じの「理解」の状態になってるもんなんでしょうか？

以上よろしくお願いいたします。

「数学であそぼ」は小学館のサイトの無料お試しにあって
主人公が切断で苦悩する場面は、無料で読める範囲にあります
https://comics.shogakukan.co.jp/book?isbn=9784098702817

切断なんて応用が効く話じゃない。
位相概念がない時代に実数を定式化しようとした偉大なる先人の苦闘を鑑賞するもの。

間違った事を指摘される事に以上に嫌悪感持つ人間は数学辞めた方がいいよ
議論がマトモに成立しない

その通り
このスレの流れとは関係ない話だけど

>>251
そこらへんは高校まででも同じじゃないですかね
そういう高みまで行ける人もいればいけない人もいるというだけです

>>251
フィクションは現実じゃない
意図は作者に聞くんだな

理解度をはかるのに応用ができるかどうか、なぜその定理や定義が有効か必要かを説明できるってのは確かに有用な指標ではあると思う


個人的には理解には大まかに3段階あって

一番上は定理や定義が表してる内容を理解できるし、そうした定義や定理の応用や成り立つ仕組み、有用性や条件の必要性なども説明できる

真ん中は
定理や定義が表してる内容は直感的に、イメージや意味で理解できているが、なぜ必要なのか、何に応用できるのかがよくわからない

一番下は
文字や論理記号でしか覚えていない


に分かれると思う
数学科でも一番上理解をちゃんと出来てる人間は少なくて、大半は真ん中

有名なεδとかでも、まあすんなり受け入れて覚えられる人は割と少なくないんだが
大半は真ん中か下の理解

ましてや切断なんか本当に定義の妥当性や有用性を理解できている人間は殆どいないだろうし大半は理解したといっても真ん中か下の意味合いなのだろう
しかしいきなり完全に理解しなければいけない、という事でもないので数学に慣れない新入生のうちはある程度受け入れながら進めて行く事も必要かなとは思う

ここで理解のレベルが、一番下、文字と論理構造だけの理解であればこれは丸暗記といっても過言ではないし、勉強が辛くなるんじゃないかな

せめて真ん中、イメージや意味を理解しているのであれば、これはまあ軽くは理解したといってもいいんじゃないか
これが出来ると一々文字列を丸暗記してなくても、その場で（同じ）定義を自分で作れたりできるし、簡単な性質であれば自分でその場で導けたりできる
やりながら理解度を一番上に上げていけばいいわけだし

この真ん中のレベルの理解であれば、一部の天才肌の頭のいい人間はいきなりでもそこそこ出来るよ
一方で下の理解だけで理解したと思って進めて行く人もいる
そのマンガの登場人物がどっちかはわからん

内容の無い長文

そうだな、論理100%脳のお前には無内容だな
人間には含蓄ある長文だ

>>238
別にそうは思わんな
>>239
それでいいと思うよ

>>240
俺もそうとしか思えん
>>241
無神経というのとはまた違うのでは？

>>252
四畳半神話体系の登場人物みたいじゃないのか

>>251
一辺切断勉強してみたらどう？理解できたらそういう感じの理解かどうか理解できるかも

定義の話とかだと、「なんでこんな定義が出てきたんだ」「この定義に何の意味があるんだ」という事がわからなくて混乱する人間は多い
>>258でいえば1番上の理解に到達していないって事だろう
もちろんいきなりそのレベルで修得できないのは学部1年生であれば自然な事だから大半の人間はその何故や何を飲み込んでとりあえず受け入れて進めていくのだが
それが出来ない人間がたまにいて、そういう人は不幸にもそこで躓いてしまうのだろう
しかしこの漫画の主人公はそういうレベルではなくて、単に理解できてないだけのように見える

理解した組は丸暗記でもおかしくないし、普通にまあ起こってることも理解できてるよ、ってのもそこそこはいる

やっぱ説明でもなんでも図は書いた方がいいよ
微積分や解析の定理で、内容を図と日本語で説明できない奴は理解してないと言える
説明できれば理解できてる
シンプルに言えばこれだな

イメージとか図とか、昭和の頃の数学者の考え方が未だに残ってるんだよね
とりあえず知識を身に着けてればそれで良く、何が研究を成功させるかなんてエビデンスもないわけで、イメージが大事だという結論を導くことなんて出来ないんだが、過去の成功者が「数覚」とかを後任に説いたから、それが未だに残ってるんだろう(日本の数学界は門戸が狭い故に多様性が低く、考え方が統一されてしまっていると思われる)
例えば斎藤毅さんによれば、グロタンディークは「スキームXといえば、ただXと思っていたのかもしれない」ようだが、上の人によればグロタンディークは数学を理解できていないのだろうか
だとすれば、苦笑せざるを得ない

グロタンディークはブルバキに操られたパワー系なんちゃら

>>267
>過去の成功者が「数覚」とかを後任に説いた
誰それｗ
イメージは大切だよ
スキームはスキームというイメージで

イメージは別に幾何的なものに限らん

イメージ＝視覚的図形と短絡しているから>>267のようなトンチンカンなことが言えるのだろう

>>270
グロタンディークはスキームXに対して「X」をイメージしているが、
それで良いならそれが出来ない人は存在しないので取り立てて言うことではないな

>>272
斎藤毅の推定に過ぎないものを論拠に、そこまで強い主張ができるのが不思議だ。

>>273
逆にグロタンディークはもちろんのこと、斎藤毅先生より立派な人もこのスレにはいないのに、
なんの根拠もなく先生の解釈を否定しにかかるのが不思議だ

数学の定理なら１人が一回証明したらそれでいいが、グロタンディークに会ったこともない数学者による思考過程の推定を資料の裏付け無しに論拠にするのは厳しい。
グロタンディークと学問的交流のある数学者の証言が欲しいね。

>>275
数学を深く理解した結果としてグロタンディークはこう考えていたとするものをエビデンスなしに否定するほうが難しいと思うけど

ちなみにグロタンディークと学問的交流のあったデイヴィッド・マンフォードによると、
グロタンディークは具体的に考えていない。
私は例を通じて物事を理解し徐々にそれらをより抽象的にするが、少なくとも例を見ることが彼を助けたとは思わない。
と述べている。
斎藤毅先生も同ペーパーで述べているとおり、抽象数学は記号はただの記号であるということが大事であって、マンフォードや先生から見てグロタンディークはその権化に思えたんだろう
(ちなみに斎藤毅さんはただの記号であることが大事だが、そう思ってはいけないとも述べており、その上でグロタンディークはただXだと思っていたのではないかと述べていることからも、自分の都合のいいようにグロタンディークを解釈しているわけではないことが読み取れる)

ちなみにマンフォードの談を付け加えると、
ザリスキは詰まったときによく曲線を黒板に描き、そこから代数へ入っていたが、
グロタンディークはこれを決してしなかっただろうし、極端に簡単でほとんど自明なものを除いて実例から研究しなかったし、ホモロジーの図式を除いてほとんど絵も描かなかった、とも述べている
しかもグロタンディーク自身も、数学で他の何よりも私を魅了する一つのことがあるとすれば、それは数でも数量でもなく、常に『形式』である、と述べている

こういう方法で『も』数学はできる(しかも歴史上トップクラス)という事実は、多くの人に理解されないかもしれないが、間違いなくある

やっぱりイメージ＝図形と短絡してるんだな
ポントリャーギンだって図形では考えてないよ

ホモロジーの図式も立派なイメージだと思う
ホモロジー論最初に勉強した時はなんだかよく分からんかったけど圏論の簡単な本読んだらかなり分かる様になったし

>>278
ポントリャーギンの歴史を知らなくて申し訳ないが、それを説明してもらえるとありがたい

>>280
ポントリャーギンは視覚を失っている

関数解析の論文では実例を挙げている
http://www.numdam.org/article/SB_1951-1954__2__193_0.pdf
https://aif.centre-mersenne.org/article/AIF_1952__4__73_0.pdf

マンフォードと討論するときに例を挙げなかったのは、マンフォードが代数幾何の実例を世界最高レベルに知っているからできることである。

やり方は人それぞれだってファインマンさんが言ってたじゃん

エビデンス無しの研究を軽視した結果が基礎研究冷遇だろ

旧約聖書と新約聖書に聖書第二聖典をひとつにして、さらに神道の預言書・日月神示を巻末に追加したtxtファイル。約7MBと容量も小さい
https://ux.getuploader.com/dialogues_txt/download/387
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>>253
私の解析の教科書はデデキントからスタートするのですが、これってやっぱり古いのですか？

よく言われる
(1階or2階)同次微分方程式 と 同次型微分方程式
って全く別のものですよね？

>>286
いろいろ読んでみては？

2元集合{a,b}上の関係R={(a,a),(a,b),(b,a),(a,a)}は前順序ですか？

>>289
すみません最後の(a,a)は(b,b)の間違いです

そうですね

彡(^)(^)「数学分からんなーせやっ！数学板で聞いたろ！」

反対称律満たしてませんがな

>>289
元の要素が少ない時の順序関係は、実際に図を書いたら分かりやすい

>>293
だから前順序なのよ
>>294
前順序の描き方が分からん

289です
ありがとうございました

続けざまで申し訳ないのですが
半順序集合が完備半束ならば完備束である
ことに対して質問です
自然数全体から0を除いたものN\{0}は整除関係のもとで順序を考えたとき、任意の部分集合が下限を持つが完備束では無いと思うのですがどこがおかしいのでしょうか

>>287は自己解決。やっぱ違うよね
でもいくらなんでも紛らわしすぎるよ 前者は斉次微分方程式と言うことにして区別したほうがよさそうだな
英語でもどっちもhomogenousと言うようだがなぜそんなことに

複素解析です、よろしくお願いします
四行目からの一様収束の証明で、zを与えたあとにnの下限をzに依る形で定めて収束することを示していますがこれでは各点収束しか言えていないのではないですか？

https://i.imgur.com/1ADbNGo.jpg

>>296
自分で考えたんですけど、空集合の下限は整合的に定義しようとするとNの整除関係における最大値である0であるから、そもそもN\{0}では空集合に下限が定義できないということでしょうか

閉円盤がコンパクトだからさ

>>300 は >>298 へのレス

>>297
斉次を同次とも言うってのは初めて知った！

>>300
すみません、もう少しくわしくお願いします……( ; _ ; )

吉田洋一著『ルベグ積分』に以下の問題とその解答があります。

「GがRにおける有界な開集合ならば、Gは開区間の列の直和として表わされることを証明する。」

解答：
https://imgur.com/OBnjcB9.jpg

解答に、

(α(x_1), β(x_1)) ∩ (α(x_2), β(x_2)) ≠ 空集合

⇒

(α(x_1), β(x_1)) = (α(x_2), β(x_2))

と書いてありますが、その理由は以下でOKですか？


y ∈ (α(x), β(x)) とする。

(1) y = x の場合

(α(x), β(x)) = (α(y), β(y)) である。

(2) y > x の場合

(α(x), β(x)) ⊂ G である。

α(x) < x < y < β(x) だから (y, β(x)) ⊂ G

よって、

β(x) ≦ β(y)

(y, β(y)) ⊂ G である。
また、 (x, y] ⊂ G である。
よって、(x, β(y)) ⊂ G である。

∴β(y) ≦ β(x)
∴β(y) = β(x)

α(x) < x < y < β(x) だから (α(x), y) ⊂ G
よって、α(y) ≦ α(x) である。

(α(y), x) ⊂ (α(y), y) ⊂ G である。
よって、α(x) ≦ α(y) である。
∴α(x) = α(y)

以上より、(α(x), β(x)) = (α(y), β(y)) である。

(3) y < x の場合

(2)と同様にして、(α(x), β(x)) = (α(y), β(y)) である。


y ∈ (α(x_1), β(x_1)) ∩ (α(x_2), β(x_2)) とする。
上で示したことから、
(α(x_1), β(x_1)) = (α(y), β(y)) = (α(x_2), β(x_2))
である。

解答がスマートでないと言われてしまったのですが、スマートな解答はどんな感じになりますか？

つまんないとこばっかりで引っかかってるなぁ
相変わらず
とっとと先進めよ

>>303
ああ間違えた
そもそも>>298 の「zに依る形で…」が間違ってる
範囲内のz全部に成り立ってる

3点(0,0),(0,2),(4,2)を頂点とする三角形領域上における曲面z=x+y^2の曲面積を求めよ

>>307
8行目のn>…の右辺がzに依っていて、そのnに対してしか成り立つことを言えていないと思いました
右辺はzの値によりいくらでも大きくなるので、やはり一様収束が示せていないのでは……？

>>308
マルチはともかく、大学生ならもうちょっとまともに書かないと

>>310
高校生です

>>309
zとε>0があたえられたとき、ある数値より大きいnに対し、Ω上でfn(z)とzの差の絶対値がε未満、と言えてるんだからOK

書き直し

絶対値が1未満のz_0とε>0があたえられたとき、ある数値より大きいnに対し、|z|<|z0|上でfn(z)とzの差の絶対値がε未満、と言えてるんだからOK

廣中・森の「代数幾何学」のP121について教えて下さい
E^{p,q}_∞ = Z^{p,q}_∞/B^{p,q}_∞ + Z^{p+1,q-1}_∞とあるのですが、+ Z^{p+1,q-1}_∞の部分はなぜ必要なのでしょうか？
E^{p,q}_∞ = Z^{p,q}_∞/B^{p,q}_∞だと思うのですが。。。

ある数学の講義の期末試験で広義二重積分の問題が出て変数変換してもうまくできずそのまま逐次積分しようにも原始関数がなかなか求まらないのでwolframalphaにぶち込んで不定積分求めさせようとして
xで積分すると「標準的な数学関数での結果が見つかりません」と出て
yで積分すると結果のところにerfiとかEiが出てきたんですけどこれは作問ミスでしょうか？
特定が怖いので問題は載せられませんがよろしくお願いします

俺たちはエスパーじゃない

というか答は自明だろ

>>315
不定積分が初等関数で表されなくても積分区間によって積分値が具体的に求まることはある。
ましてや、重積分の広義積分だろ。
累次積分での積分順序や変数の置換によって、途中の計算が簡単だったり難しかったり初等関数で表せなかったりいろいろ。
erfやEiが出てきたからって作問ミスとは言えない。

というか、正規分布の分布関数でも積分させているんじゃないの？
そんなのいくらでも教科書に載ってるだろ。

しかしerfくらい大先生はあっさり出してくるからなぁ

>>315
問題ぐらい書けや

レポートの問題書いたらカンニングがバレちゃうじゃん

どうでもいいよ
どうせどうでもいいような話

>>318
回答ありがとうございます
参考にさせてもらいます

線形代数の質問なのですが、ベクトルから座標を取り出すのってどうやって計算するんでしょうか.
具体的にはV: K線形空間, b=(b_1, ..., b_n): Vの基底 のとき,
写像φ_b: K^n -> V; (v_i)_{i=0}^{n-1} -> Σ_{i=0}^{n-1} v_i b_i
の逆写像を計算する方法を知りたいです
Vに内積*があれば, bを正規直交基底eにして, eからbへの基底の取り替え行列Pを求めて,
(v_i)_{i=0}^{n-1} = P^(-1) ((e_i * v)_{i=0}^{n-1}) を計算すれば良いのですが, Vに内積が定義されてないときどうすれば座標が求まるのでしょうか.

>>324
解けよ

v∈V と b=(b_1, ..., b_n) だけから具体的に解作れます？

v=Σvjbjと表されるとすれば(bi,v)=Σvj(bi,bj)だから
(bi,bj)を成分に持つ行列Bの逆行列B^(-1)を使って
vi=Σ(B^(-1))ij(bj,v)と解ける

>>326
解けよ

だいたい
内積あれば解けるって自分で言ってるんなら
内積入れろよ
内積は普通は入れなくて解くけどな

>>327
本当ですね!ありがとうございます!

>>327
と思ったら内積はやはり必要なんですかね

ごめん、ちゃんと読んでなかった
vやbiが数ベクトルとしての表示があると仮定していいならbiたちを並べた行列使って同じように解くことは可能だけど、それなら結局、数ベクトルとしての内積を使って解いたのと変わらない気もする

φ_bの定義が明示的なので逆写像も具体的に記述出来るかと思ったんですが無理そうですね
内積とか何かプラスアルファが無いといけなさそうですね

たしかに言われてみれば有限体上とかだとどうするんだろうね
そもそも抽象的なベクトルを基底使って表示するのは計算で与えられるというより定義と思うべきなのか
数ベクトル表示にせよ内積(bi,v)を既知とするにせよ、どこかで既にベクトルvの基底に対する情報は分かっているわけで、いきなりv=vibiと書いてしまうことと大差ないのかも知れない(係数viが逆写像の定義としてしまう)

>>324
内積を (v_i, v_j) = δ_{i,j} と定義して使う

>>335
それだとトートロジーで意味なし

双対空間・双対基底って習わない？

結局双対基底の値をどう計算するかって話になりますからね

>>337
元空間にマップしないと使えない

>>339
双対基底を習っていたら >>333 であることが分かっているはずだから
習っていないのかな、と思っただけ

あまり関係ないんじゃ…

ここの回答者は表現行列の概念すらわかってないレベルの低い方しかいないということがバレてしまいましたね

そもそも内積なければ足し算とスカラー倍ぐらいしか基本演算はないんだから
それで座標を出すのは無理だよ
別でそれ用の演算定義すればいいけどそれは結局内積定義してやってるのと大差ないし

>>342
その用語を書きたかっただけだとバレてるぞ

解けよの人はなんだったんだろうか

>>344
わからないんですね(笑)(笑)

バレて過剰反応だな

>>345
解くしかないから

何を解くか知らないけど、もし行列の方程式を解けって言う話ならまず数ベクトル表示が得られてることが前提でしょう

第二形式の帰納法に慣れたいので第二形式の帰納法を利用して証明する
問題が載った問題集を買いたいのですが、どういうのがありますか？

そんな言葉すら知らんな

超限帰納法を知ってれば充分

可微分多様体の上の滑らかで単射な曲線γがあって
dγ/dt=0となる点が離散的なときγは可微分な埋め込みである事を示せという問題がわかりません
微分が0である点での逆写像の滑らかさはどのようにして言えるのでしょうか

曲線が滑らかだろ

ああこの命題自体が間違いですね
自己解決しました

マイクロソフト「この直角三角形は存在しない」的な

>>353
>単射な曲線
？

https://i.imgur.com/tieqxKu.png
これの(2)と(3)をどなたかお願いします
(1)は解けたのですがどう生かせばいいか分かりません...

>>357
曲線とはγ:I→Mのことです
IはRの区間

普通は自己交差しないと言うだろうな

>>358
微分方程式 F"= - ξ F'/2 を解けば良い

F"= - ξ F'/2 → F"/F' = - ξ/2 → log(F') = - ξ^2/4 + C1 → F' = C2 exp(- ξ^2/4)
→ F = C2 ∫ exp(- ξ^2/4) dξ + C3 = C4 ∫ exp(- s^2) ds + C3

>>361
>>362
お二人ともありがとうございました！
(3)は(2)の式を積分する感じなんですかね？

京大一般講座の普遍代数のプリント
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H30-terui.pdf
の、p.11真ん中あたり、直既約な代数の直積に分解しない代数の例が思い浮かびません。
例えば何がありますか？

>>364
R[x]のコピーRi無限個用意しといて
A = { (ri) ∈ Π Ri | 有限個を除いてRi∈R }
とかでいけるのでは？
因子としてはRiしかないけど全部かけるとAを超えてしまう

>>365
ありがとうございます。
検証してみます。

>>365
366です
この場合、A自体が直既約な代数で、自明な代数とA自身との直積に分解されるので、私の求めている代数と違うかなと思いました

それ自身が直既約でなく、その自明で無い直積分解の因子となる代数にも自明で無い直積分解が存在して…と、直既約な因子が現れずに際限なく自明でない分解が行える代数の例を探しています

>>367
直規約じゃないでしょ
添字の集合をI=I1∪I2とか分けて
A1=A∩Π[i∈I1]Ri,A2=A∩Π[i∈I2]Ri
とでもすればA=A1×A2でしょ？

>>368
そのとおりですね
ありがとうございます
大変勉強になります

wikipediaのモノイドの記事について、モノイドの構造の可換モノイドのところ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89

「任意の可換モノイド M は
x≤y⇔x+z=y ∃z∈M
として定まる代数的前順序 "≤" を持つ」
とあるんですが、非可換モノイド(M',・,1)でもx≤y⇔x・z=y ∃z∈M'と定めれば、
x・1=xよりx≤x、x・c=yかつy・c'=zならば
(x・c)・c'=x・(c・c')=zよりx≤yかつy≤zならばx≤zなので前順序になると思います。

やはり可換でないと代数的前順序を持ちませんか？

>>370
可換→持つ
と
非可換→持たない
は
同値？

>>371
いいえ、私は
モノイドが可換→持つ
∧
モノイドが非可換→持つ
だと思ったので
モノイド→持つ
であって、その順序の定義に可換性は必要ないと思いました。

それでも、可換モノイドの欄に書かれているので
可換→持つ
↔
非可換→持たない
であって、自分がどこか間違っているのかと思いました。

>>372
例の無神経な奴だ。
「いいえ」から始める失礼さがわからない。

言うほど失礼か？
質問への回答を真っ先にするのはむしろ潔いじゃないか

>>373
すみません。

>>370
代数的順序の定義が不明確だが、「a≦bならばac≦bcかつca≦cb」だとすると、非可換の場合ac≦bcは一般には言えない。
なお、群ならすべてのa,bに対しa≦bなので非可換でも自明な代数的前順序が入る。

単に今んとこそんな定義にしても面白い応用例がないだけちゃうの？
数学的概念は定義域が広ければいいというもんでもない
結局その概念定義してその後面白い話展開するなら、そこから「非可換モノイド」なるものの知られてる性質を利用することになるけど、それでは大したことができないなら、結局話を可換の場合に限るしかない
すると実質話に可換の場合の話しか出てこないのに毎回propositionやtheoremの仮定の中に“可換の場合には”と書かされることになる
使われることもない非可換の場合のために毎回そんなウザい記述をさせられるのは意味ないから元から話に入ってないんやろ

歪体を外すのも同じか

>>376
>代数的順序の定義
なるほど単なる順序じゃ無いんだ
定義はそれかな？順序関係が左右からの演算で保存

現状、πへの収束が最も早い代数計算ってなんすか？

ちなみに、πへ収束するｎ項和f(n),g(n)に対して、
f(n)はg(n)より収束が早い ：⇔ ∃N、N≦∀n |f(n)-π|≦|g(n)-π|
っていう意味です

最新の記録を作るときに使ったやつだろうなー

それだとf(n)=πが一番早いことに…
f(n)!=πとしても
f(n)=π+h(n) where h(n) = if n==0 then 1 else 0
が一番早そう
というツッコミは良いとしてどういうハードウェアに計算させるかにかなり依存すると思う

円周率は代数的数じゃないからな…

双曲平面のガウス曲率を求めよという問題で自分は定義に従って計算したのですが
もっと楽な方法があるのでしょうか

自分は円盤モデルの計量からレビ・チビタ接続を定義である計量と両立する事と対称性から求めて
そこから曲率テンソルを調べてガウス曲率を計算しました
ただ問題のヒントに1点でのガウス曲率を計算すればよく円盤モデルの原点で計算すると楽だという記述があり
自分の方法ではそのように考えても全然楽にならないので、もっと良い計算法があるのかと疑問に思っています

円盤モデルって負の定曲率のやつでしょ？
双極面って定曲率じゃないんじゃないの？

>>386
双曲平面とは円盤モデルやら上半平面モデルやらで表される空間の意味です
なので言い換えると「(2次元の)円盤モデルが負の定曲率であることを示せ」
という問題を考えています

>>387
イヤ、定曲率であるのは当たり前やん
等長の自己同相の全体が可遷に作用してるんやから
なので等曲率なのは当たり前なのでまさに原点での曲率計算すれば良い

>>388
そこは分かっています
ただ上に書いた方法で計算すると原点での値を求めるまでもなく
計算でそのまま任意の点で曲率が負の一定値であることが出てしまうので
わざわざ原点について考える必要性がないのです

なのでもっと別の方法で原点の曲率だけなら簡単に計算が出来るのかというのが疑問です

>>389
それは>>385でいってるのと話ちゃうやん
>>385のヒントで言われてる事は>>388でオレが書いた事でしょ？
等長写像が可遷に作用してるから当然定曲率、その曲率を求めてください、もちろん原点に限って計算すれば終わりですよ、がヒントでしょ？
もちろんそれより楽な方法なんかないやろ
それが気に食わなくてわざとしんどいやり方やりたいならしんどいのは覚悟してやるしかないでしょ？

>>390
原点に限って計算するという部分が疑問なのです
原点に限って計算するということが可能なのですか？
気に食わないとかそういった話ではなく、>>385の後半で書いたような方法で計算すると
全体での曲率が求まってしまうのです
ずっとその事だけを質問しているのですがどうもうまく説明できていないようで

>>391
実際やってみればいい
原点だと対称性でx座標についてコレコレのあたいなら当然y座標についてやった場合の値はコレコレが同じ作業になるので半分になる
何せ計量テンソル16個出てくる
色々対称性あるからもちろんそんなにないけど原点のありがたみ使わないなら止めはしない
やってみて平面の場合ですらどれだけ大変か味わってみるといい

例の失礼な奴だ
下手に相手をするからどんどん増長していく

>>392
自分でやってみたのですがその課程の概略を書いたらどこが簡単になるか教えて貰えるでしょうか
(そんなには大変じゃなかったのでもしかしたらそもそもどこかで間違えている気もしてきました)

円盤モデルの計量はg=4/(1-x^2^y^2)^2{dx^2+dy+2}なので
＜∂x,∂x＞=＜∂y,∂y＞＝4/(1-x^2-y^2)^2
＜∂x,∂y＞=0
これらの式の共変微分を考えて(ｒ=1-x^2-y^2と略記します)
2＜∇x∂x,∂x＞=∂x＜∂x,∂x＞=16x/r^3=∂x＜∂y,∂y＞=2＜∇x∂y,∂y＞
0=∂x＜∂x,∂y＞=＜∇x∂x,∂y＞+＜∂x,∇x∂y＞
0=∂y＜∂x,∂y＞=＜∇y∂x,∂y＞+＜∂x,∇y∂y＞
2＜∇y∂y,∂y＞=∂y＜∂y,∂y＞=16y/r^3=∂y＜∂x,∂x＞=2＜∇y∂x,∂x＞
これらの式から接続は
∇x∂x=2/r(x∂x-y∂y)
∇x∂y=∇y∂x=2/r(y∂x+x∂y)
∇y∂y=2/r(-x∂x+y∂y)と求まる
長いのでいったん切ります