計量テンソルRmについて[∂x,∂y]=0を使って計算すると
Rm(∂x,∂y,∂y,∂x)=＜∇x∇y∂y-∇y∇x∂y-[∂x,∂y]∂y,∂x＞
=＜∇x{(2/r)(-x∂x+y∂y)}-∇y{(2/r)(y∂x+x∂y)},∂x＞
=＜-∂x(2x/r)∂x-(2x/r)∇x∂x+(2y/r)∇x∂y-∂y(2y/r)∂x-(2y/r)∇y∂x-(2x/r)∇y∂y,∂x＞
=…
=-16/r^4となり
ガウス曲率の定義はこれを
|∂x|^2|∂y|^2-＜∂x,∂y＞=16/r^4
で割ったものなので曲率は-1
として求めました

この計算は原点ではなく一般の点での計算になっていると思うのですが
原点に限るとこれよりも簡単になるのか(どこかが省略できるのか)が疑問なのです
よろしくお願いします