実はある本でのベクトル空間の定義が以下だったので質問しました：

Vを空でない集合とし、Wikipediaのベクトル空間の8つの公理のうち「加法単位元の存在」の公理と「加法逆元の存在」の公理を除き、
「任意のベクトル　u, v　∈　V に対し、 u + x = v を満たすような V の元 x が存在する。」を付け加えた7つの公理を満たす集合Vを
ベクトル空間という。（スカラーは実数です。）

そして、その本には、「u + x = v を満たすような V の元 x を v - u と書く」とも書かれています。

x　を v - u と書くということは、まず、そのような x の一意性を言わなければ駄目ですが、それについても何も書かれていません。

さらに、「任意の v ∈ V に対して、 v - v を 0 と書き、零元と呼ぶ」と書かれています。

任意の u, v ∈ V に対して、 u - u = v - v であることを証明しなければならないはずですが、それについても何も書かれていません。