趣味で数学をしてるアホ大学生です。

(X,B(X),μ)という測度空間を考えることにして
{fn}という関数列が
(1)fn≦Mを満たし、
(2)fnがfにL2で収束する
⇒
|f|≦M a.e.-μはなりたちますか？

δ>0として、
成り立たないと仮定すると、
∃A;μ可測集合,μ(A)>0,f|A≧M+δ

すると,
∫_X |fn-f|^2dμ
=∫_A |fn-f|^2dμ + ∫_A^c |fn-f|^2dμ
≧∫_A |fn-f|^2dμ
≧δ^2μ(A)
>0
なので矛盾

と考えました。