259 名前：日高[] 投稿日：2021/01/18(月) 07:01:30.51 ID:DAVLexRv [5/7]
【定理】x^3+y^3=z^3は自然数解を持たない。

x^3+y^3=(x+3^{1/2})^3…(3)はx,y,zが有理数とならないので、整数比とならない。
よって、x^3+y^3=(x+(a3)^{1/2})^3…(4)はz,xが有理数のとき、yは、無理数となる。

260 名前：日高[] 投稿日：2021/01/18(月) 07:02:57.23 ID:DAVLexRv [6/7]
【定理】x^2+y^2=z^2は自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)をr{(y/r)^2-1}=a2{x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はx,y,zが有理数で、整数比となるならば、x,y,zが無理数でも整数比となる。
(3)はx,y,zが有理数となるので、整数比となる。
(4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa倍となるので、(4)のx,y,zも整数比となる。
∴n=2のとき、x^2+y^2=z^2は自然数解を持つ

261 名前：日高[] 投稿日：2021/01/18(月) 07:03:43.58 ID:DAVLexRv [7/7]
【定理】x^2+y^2=z^2は自然数解を持つ。

x^2+y^2=(x+2)^2…(3)はy=3のとき、x=5/4、z=13/4となる。
よって、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)は自然数解を持つ。