【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)のx,y,zが、無理数で整数比となるならば、x,y,zが有理数でも整数比となる。
(3)のx,y,zは、有理数とならないので、整数比とならない。
(4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,y,zも整数比とならない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)はx,y,zが有理数とならないので、整数比とならない。
よって、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)はz,xが有理数のとき、yは、無理数となる。