(修正4)
【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
(1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
(3)は有理数解を持たない。(3)(4)の解の比は同じとなる。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

(補足)
(sw)^n+(tw)^n=(uw)^n…(A)が成り立つと仮定する。(s,t,uは有理数、wは無理数)
(A)が成り立つならば、s^n+t^n=u^n…(B)も成り立つと仮定できる。
これより、s^n+t^n=u^n=(s+n^{1/(n-1)})^n…(C)も成り立つと仮定できる。
実際には、(C)はn^{1/(n-1)}が無理数なので、(C)は、成り立たない。