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「(sw)^n+(tw)^n=(uw)^nかつuw-sw=n^{1/(n-1)}」と
「s^n+t^n=u^nかつu-s=n^{1/(n-1)}」とは同値ではありません。
あなたの証明は破綻しています。

私の主張は、
「s^n+t^n=u^nかつu-s=n^{1/(n-1)}」が成立するならば、
「(sw)^n+(tw)^n=(uw)^nかつuw-sw=n^{1/(n-1)}」も成立する。
です。実際には、成立しません。