a[n] := 1/2+1/4+1/8+...+1/2^n = 1 - 1/2^n とおく

「a[∞] = 1/2+1/4+1/8+...＜1」と仮定する...(1)

すると 0＜1 - a[∞]より、ある固定された自然数Nが存在して、

0 ＜ 1/2^N ＜1 - a[∞] となる
したがって、a[∞] ＜ 1 - 1/2^N = a[N]となり、
a[∞] ＜ a[N]
となる

よって1/2+1/4+1/8+... ＜ 1/2+1/4+1/8+...+1/2^N
となり矛盾

よって仮定(1) 「1/2+1/4+1/8+...＜1」は誤りであることがわかり、1/2+1/4+1/8+... = 1となる