さて、任意の n≧0 に対して

(1)　a_{n＋1}−a_n ＜ b_n

が成り立つことを「完全数学的帰納法」で示す。0≦n≦31 のときは、手計算により、確かに成り立っている。
次に、0≦m≦n のとき常に a_{m＋1}−a_m ＜ b_m が成り立つとする。

a_1−a_0 ＜ b_0
a_2−a_1 ＜ b_1
a_3−a_2 ＜ b_2
　：
　：
a_{m＋1}−a_m ＜ b_m

を全て足し算すれば、

(2)　a_{m＋1}−a_0 ＜ Σ[k＝0〜m] b_k

となる。この不等式(2)は>>448の(*)そのものであり、任意の m≧0 で成り立つ不等式なのだった。