逆に、>>451の不等式(2)が成立して>>451の不等式(1)がn＝m＋1で成立しない場合を考える。
不等式(2)と a_{m＋2}−a_{m＋1} ≧ b_{m＋1} の両辺を加えると

a_{m＋1}−a_0＋b_{m＋1} ＜ Σ[k＝0〜m] b_k ＋a_{m＋2}−a_{m＋1}

なので、両辺に a_{m＋2}−a_{m＋1}−b_{m＋1} を足し算すると

a_{m＋2}−a_0 ＜ Σ[k＝0〜m＋1] b_k ＋2(a_{m＋2}−a_{m＋1}−b_{m＋1})

となる。ここで、以下の等式を考慮する。

(7)　a_{m＋2}−a_{m＋1}−b_{m＋1}＝0

>>449で既に見たように、この等式(7)は成立しない。ゆえに、この場合に不等式(2)は
n＝m＋1で成立しないので、n＝m＋1で不等式(2)が成立するときに、不等式(1)は
成立する。よって、数学的帰納法により、任意のn≧0で不等式(1)は成立する。