性質1：まず、m≧12 のとき

(m＋1)^0.5 / log(p_{m＋1}) − 12^0.5 / log(p_12) ＞ 0

が成り立つことを示す。ピエール・デザルトの不等式を使えば、大きなmに対しては確かに成り立つ。
小さなmに対しては、数値計算で個別に確かめられる(wolfram alpha でグラフを書いてみよ)。


性質2：次に、m≧1 のとき

(m＋2)^0.5 / log(p_{m＋2}) − (m＋1)^0.5 / log(p_{m＋1}) ≠ 0

が成り立つことを示す。もし (m＋2)^0.5 / log(p_{m＋2}) − (m＋1)^0.5 / log(p_{m＋1}) ＝ 0 ならば、

((m＋2)/(m＋1))^0.5 ＝ log(p_{m＋2}) / log(p_{m＋1})

となるが、ゲルフォント＝シュナイダーの定理から、右辺は超越数であり、
しかし左辺の ((m＋2)/(m＋1))^0.5 は代数的数なので矛盾する。
よって、確かに (m＋2)^0.5 / log(p_{m＋2}) − (m＋1)^0.5 / log(p_{m＋1}) ≠ 0 である。