追記。

＞ 不等式(2)が成立するならば
＞ (p_{n＋1}/p_n)^a ＜ 1＋1/n
＞ log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ alog(1＋1/n)
＞ となることが必要になる。

必要条件と十分条件が逆。いい加減にこのゴミみたいな書き方をやめろ。正しくはこうだろ。

・ log(p_{n＋1})/log(p_n) ＜ (p_{n＋1}/p_n)^a
・ が成り立つことが既に分かっている。
・ よって、不等式(2)を示すには、
・ (p_{n＋1}/p_n)^a ＜ 1＋1/n
・ を示せば十分である。すなわち、
・ log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ alog(1＋1/n)
・ を示せば十分である。