log(p_{n＋1}) / log(p_n) ＜ (p_{n＋1} / log(p_{n＋1}) / (p_n / log(p_n))　(n≧5)

が成り立つことが既に分かっている。よって、

[A1]　(p_{n＋1} / log(p_{n＋1}) / (p_n / log(p_n)) ≦ 1＋1/n

を満たすn≧5に対しては不等式(1)に到達する。以下では、[A1]を満たさないn≧5、つまり

[A2]　(p_{n＋1} / log(p_{n＋1}) / (p_n / log(p_n)) ＞ 1＋1/n

を満たすn≧5のみを考えればよい。これを同値変形すると

[A3]　log(p_{n＋1}) / log(p_n) ＜ (p_{n＋1} / p_n) * n / (n＋1)

であるから、これが成り立つn≧5のみを考えればよい。もし追加で

[B1]　n^2/p_n ≦ (n＋1)^2 / p_{n＋1}

が成り立つなら、[B1]を同値変形すると

[B2]　(p_{n＋1} / p_n) * n / (n＋1) ≦ 1＋1/n

なので、[A3]と合わせて不等式(1)に到達する。以下では、[B1]を満たさないn≧5、つまり

[B3]　n^2/p_n ＞ (n＋1)^2 / p_{n＋1}

を満たすn≧5のみを考えればよい。