今の段階で、

[A3]　log(p_{n＋1}) / log(p_n) ＜ (p_{n＋1} / p_n) * n / (n＋1)
[B3]　n^2/p_n ＞ (n＋1)^2 / p_{n＋1}

の2つを同時に満たすn≧5のみを考えればよいことになる。

log(p_{n＋1}) − log(p_n) ＜ (p_{n＋1} / p_n) − 1　(n≧1)

が成り立つことが既に分かっているので、もし追加で

[C1]　log(p_{n＋1}) − log(p_n) ＜ (1＋1/n)^2 − 1

が成り立つなら、[C1]を同値変形して

[C2]　log(p_{n＋1}) − log(p_n) ＜ 2/n＋1/n^2

である。これとは別に、2＋1/n ＜ log(p_n) (n≧5)が成り立つことが既に分かっているので、
[C2]と合わせて、不等式(1)に到達する。以下では、[C2]を満たさないn≧5、つまり

[C3]　log(p_{n＋1}) − log(p_n) ≧ 2/n＋1/n^2

を満たすn≧5のみを考えればよい。