一応、件の文書の中で対応する部分を直接的に抜き出しておくと、

＞ 以下の不等式が成立する。
＞ log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ 1/p_n×(p_{n＋1}−p_n)＝p_{n＋1}/p_n−1
＞ 不等式(3)により
＞ log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ (1＋1/n)^2−1

ここが計算ミス。まず、

(a) log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ (p_{n＋1}/p_n) − 1

が成り立つというのは正しい。しかし、不等式(3)は

(3)　n^2/p_n ＞ (n＋1)^2 / p_{n＋1}

なのであって、

(*) (p_{n＋1} / p_n) ≦ (1＋1/n)^2

ではない。もし(*)だったならば、(a)と(*)を組み合わせることで、
無条件で log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ (1＋1/n)^2−1 に到達する。
しかし、実際には(*)ではなく(3)なので、(a)と(3)を使っても
log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ (1＋1/n)^2−1 は導出できない。
この部分は、導出するたぐいのものではなく、

「偶然にも log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ (1＋1/n)^2−1 が成り立つならば〜」

と仮定するたぐいのものである。よって、log(p_{n＋1})−log(p_n) ＜ (1＋1/n)^2−1 が
成り立たないケースも個別に検証が必要。しかし、件の文書ではそれがない。