分からない問題はここに書いてね 466

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね 465
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608546793/

(使用済です: 478)

* Part462 以前のスタイルを復活しますた。

数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html

前スレより

ねじれの位置にある平行ではない２直線上の２点を通る最短直線は両直線に垂直で
一意に決まるので最短垂線と呼ぶことにする。
四面体の３本の最短垂線が１点に交わるのは等面四面体のときだけか？
ーーーーー
等面四面体の同値な定義

四面体 ABCD の全ての面が合同
AB=CD,AC=BD,AD=BC（対辺の長さがそれぞれ等しい）
直方体の4つの頂点から構成される
四面体の4つの面の面積が全て等しい（等積四面体とも呼ばれる理由）
（四面体の）重心、外心、内心が一致する。

前スレに反例が出てるのに続けるの？

あるシリツ医大から無作為に学生１０人を抽出して偏差値を調査したところ
低い順に　40 45 46 47 49 52 52 56 69 72であったとする。
偏差値の分布は不明である（正規分布を仮定できない）。
予備校の公表値では偏差値55で合格とされているとき
この医大の裏口入学（偏差値55未満での入学)の割合を推定せよ。

次の（性質）を全て持つ四面体を具体的に1つ構成せよ。

（性質）
・すべての辺の長さが整数である
・すべての面の面積が整数である
・体積が整数である

何回繰り返すんだ？

>>5
反例出た？

�@ひとつの頂点に集まる角がすべて直角の四面体
�Aひとつの面が正三角形でかつ残りの辺がすべて同じ長さの四面体

とかどうよ？

>>10
�@直角三角形でない三角形の各辺と面積が整数である証明は？
�A一辺nの正三角形の面積って整数なんだ…新しいねキミ

>>11
あんたの問題じゃないよｗ

いつも自分が注目されてないと気が済まない奴っているよなw

10は>>9宛な
念のため

>>7　これ？
Heronian tetrahedron
https://en.wikipedia.org/wiki/Heronian_tetrahedron

すみません, ベータ分布らへんの質問なのですがベイズ的にコインの表=1, 裏=0の予測を考えた時にそれまでの観測データ集合がDとして与えられていたら加法定理, 乗法定理より
p(x=1|D)=\int_0^1{p(x=1|μ)p(μ|D)dμ}
となるというのがわかりません.
加法定理よりμの周辺化がだせて, 乗法定理より
p(x=1, μ|D)=p(x=1|μ, D)p(μ|D)
まではわかるのですが,
p(x=1|μ, D)=p(x=1|μ)
となるのがわかりません。
どなたかご教授願えますと幸いです

マルチ
【統計分析】機械学習・データマイニング30
https://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1609459855/249

>>17
内容が確率統計なのでここにも質問させていただいたんですが、調べたら他の質問者の時間を奪うことになるのでマナー違反になるのですね、初めて知りました

>>16
自己解決しました、マナー違反失礼いたしました

>>16
それまでのデータ集合Dと予測したいxの値が独立である、すなわちDによってxが条件付けられないからです

>>20
条件付独立を失念してはまっていました、ありがとうございます

>>21
条件付き独立性の概念を理解しているのであればその分解方法の応用と捉えれば解決できますね

α,βは相異なる複素数の定数で、複素数平面で3点O(0),A(α),B(β)は三角形をなす。
△OABの周上または内部の点P(w)をu=w^2により点Q(u)に移す。
Pが△OABの周および内部のすべてを動くとき、Qの動く範囲は、ある放物線とある直線で囲まれた領域の周および内部となることを示せ。
またu=w^2-kwの場合、Qが動く領域の形状はどうなるか。ここでkは0でない実定数である。

VIPで出た問題だが答えが分からんままスレが落ちた

1, 1, 2, 3, 4, 7, 6, 11, ?, 15,
14, 17, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 29,
38, 33, 46, 37, 52, 45, 56, 47, 60, 49,
64, 63, 68, 69, 70, 79, 72, 85, 78, 89,
84, 95, 86, 105, 88, 109, 90, 121, 102, 125,…

?に入る数と数列の規則を当てよ

>>24
隣同士加算すると素数になる数列A036467に途中までは一致するんだけどな

この数列制作者が、51を素数だと考え、73が素数であることを見逃しているとと仮定した上で
「第n項と第n+1項の和がn番目の素数になる数列」
を作ろうとすると、>>24のような数列ができあがる。（指摘した二点を除いて、例外は無い）

なるほど

1年間に異性と出会う総時間tとして、tがどれくらいであればお付き合いできる女性に逢う確率p(t)>0.95と期待できますか？

ひとによる

早稲田（商学部）の問題です。実験してみましたが見当がつきません。

nを正の整数とする。f(x)はxのn+1次式で表される関数で、xが0以上n以下の整数のときf(x)=0であり、f(n+1)=n+1である。このとき、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) > 2^2021
を満たす最小のnは（　イ　）である。

f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)/n! であり
f'(k)は積の微分の公式と(x-k)の部分に注意すると(x-k)だけを微分した項以外はkを代入するとゼロになるので
f'(k)=k(k-1)…(k-(k-1))(k-(k+1))…(k-n)/n!=(-1)^(n-k)/(nCk)
となる
これと二項定理を使って
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k)
=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)(nCk){(1-√2)^k}
=(-1)^nΣ[k=0,n] (nCk){√2-1)^k}
=(-1)^n(1+(√2-1))^n=(-√2)^n
と計算される
よってn=4044が最小

>>31
ありがとうございます
文系なので積の微分は調べて初めて知りました（不勉強でした）
ご解答を見ても難しすぎて、これが穴埋めの小問でしかないことに戦慄します

ああ、ココリと逢いたい。

f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。

k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。

よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。

(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、

Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n を正の整数とする。f
が成り立つことが分かる。

∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。

以上より、
(-√2)^n > 2^2021
が成り立つような最小の n が答えである。

n が奇数だと左辺はマイナスであるから上の不等式は成り立たない。
よって、 n は偶数でなければならない。
n = 2*k と書く。

(-√2)^n = (-√2)^(2*k) = 2^k > 2^2021
となるような最小の k は明らかに 2022 である。

以上より、最小の n は n = 2 * 2022 = 4044 である。

>>34
訂正します：

f(x) は n+1 次の多項式関数であり、 f(x) = 0 は、 x = 0, 1, …, n の n+1 個の解をもつ。
よって、 f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n) と書ける。
f(x) は、さらに、 f(n+1) = n+1 を満たすから、 f(n+1) = a*(n+1)*n*(n-1)*…*1 = a*(n+1)! = n+1 が成り立つ。
∴a = 1/n! である。
これで、 f(x) = x*(x-1)*(x-2)*…*(x-n)/n! であることが分かった。

k を 0 以上 n 以下の任意の整数とする。
g(x) = x - k
h(x) = x*(x-1)*…*(x-(k-1))*(x-(k+1))*…*(x-n)/n!
とおくと、
f(x) = g(x)*h(x) と書ける。
積の微分の公式を適用すると、
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x) = h(x) + g(x)*h'(x)
となる。 f'(x) に x=k を代入すると、
f'(k) = h(k) + g(k)*h'(k) = h(k) + 0*h'(k) = h(k)
となる。
h(k) = k*(k-1)*…*(k-(k-1)) * (k-(k+1))*…*(k-n) / n! = k*(k-1)*…*1 * (-1)*(-2)*…*(-(n-k)) / n!
= k*(k-1)*…*1 * [(-1)^(n-k) * 1*2*…*(n-k)] / n! = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
であるから、
f'(k) = (-1)^(n-k) * k! * (n-k)! / n!
である。
(-1)^(n-k) = 1 / (-1)^(n-k) であり、 Binomial(n, k) = n! / [k! * (n-k)!] であることを思い出すと、
f'(k) = 1 / [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
であることが分かる。

よって、
Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = Σ[k=0,n] (1-√2)^k * [(-1)^(n-k) * Binomial(n, k)]
= Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k
である。

(a + b)^n = Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * a^(n-k) * b^k
が成り立つことを思い出し、 a = -1, b = 1-√2 と代入すると、

Σ[k=0,n] Binomial(n, k) * (-1)^(n-k) * (1-√2)^k = [(-1) + (1-√2)]^n = (-√2)^n
が成り立つことが分かる。

∴Σ[k=0,n] {(1-√2)^k}/f'(k) = (-√2)^n
である。

f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)/n! が即座に出ないと無理だよね

むかしから早稲田商学部は知ってればすぐに解けるみたいな問題が多いんだよね

こんな問題解けなくても、推薦で入れるからな。

x^7=1 の解を　α、α^2、α^3、・・・、α^7
としたとき、

　α+α^2+α^4 = (-1+√7i)/2 を満たすことは
　α^6+α^5+α^3 が　共役複素数になる事を使うと示せるのは理解できますが

どうして、α+α^2+α^4 を使うとうまく行くということが分かったのかが
分かりません。
おそらくガロア理論で分かると思いますが、平均学力の高校生にも分かるような
説明は難しいですか？

単位円周上の正七角形から、

　α+α^6 や α^4+α^3 α^5+α^2 が実数になる事はイメージできますので
これらの和を考えてみる発想は湧くのですが
α+α^2+α^4 　など、３つを足すとうまく行く（２次方程式の根になる）イメージが分かりません。

4次方程式が代数的に解けることが知られていて
4次方程式の解法が最初に3次の項を消すからだろ

>>41
コメントありがとうございます。
4次方程式の解法が最初に3次の項を消す　というのは
チルンハウス変換で３次の項を消してから解いていくということでしょうか？
三角関数を使った解き方で
3θ　＝　２πー4θ　みたいに　5θや6θ（2θやθ）を使わない事と似ている気がしました。

>>28
閏年も勘案すると1年に8327.529時間必要と計算された。

標準偏差と「平均からの差の絶対値の平均」って大小は決まってるのでしょうか？

３つだと計算するとM=(a+b+c)/3 として(M-a)^2+(M-a)^2+(M-a)^2-|M-a||M-b|-|M-b||M-c|-|M-c||M-a|の符号がどうなるか？
って問題になってこっからどう計算するのかわからない。。

でも次は必須らしい…

宮古の西北、盛岡市。
　"мориока" というその響きが Россия 語みたいだった。

宮古の西北、伊良部島。
　大橋完成、おめでとう。(2015/01/31)

f((a+b+c)/3) ≦ (f(a) + f(b) + f(c))/3
if f(x) = x^2

>>44　となるらしい
((((a+b+c)/3)-a)^2+(((a+b+c)/3)-b)^2+(((a+b+c)/3)-c)^2)^2-(((a+b+c)/3)-a)^2(((a+b+c)/3)-b)^2-(((a+b+c)/3)-b)^2(((a+b+c)/3)-c)^2-(((a+b+c)/3)-c)^2(((a+b+c)/3)-a)^2
=(1/3)*(a^2-a*(b+c)+b^2-bc+c^2)^2

>>42
単純に
α+α^2+α^4 = (-1+√7i)/2
が α の 4次方程式で3次の項がない事を言ってるのだが

>>47
おっと勘違いで意味ない計算してた。。偶然きれいな結果になってるからなんか使えるのかもしれんけど

>>44

平均がM=(1/N)*Σ[k=1,N]a_k=0 となるようにa_kをすべて平行移動しても
平均からの距離は同じだから、あらためてこれらをa_kとかくと

分散＝(1/N)*Σ[k=1,N](a_k)^2
絶対値差平均の二乗＝((1/N)*Σ[k=1,N]|a_k|)^2
となり

(1/N)*Σ[k=1,N](a_k)^2-((1/N)*Σ[k=1,N]|a_k|)^2
≧(1/N)*Σ[k=1,N](a_k)^2-((1/N)*Σ[k=1,N]a_k)^2
≧0

よって標準偏差≧平均からの差の絶対値の平均

>>50　すまん。絶対値外すところまたウソ書いてた忘れて

グラフで見れば
2個なら1/4円と斜線の比較
3個なら球面と平面の比較

>>52
なるほど、この上手な説明に感心しました。

一辺の長さが1の立方体の内部を、一辺の長さがkの線分Lが両端を立方体の面に接した状態で動く。
Lが通過しうる領域の体積が立方体の体積の半分になるような正の実数kを求めよ。

せめて0〜1〜√2〜√3の範囲を与えて欲しいな
まあ1〜√2から調べるとは思うが

>>40
　α^7 = 1,　α≠1
∴　α’ = α^6,　(α^2)' = α^5,　(α^4)' = α^3,

β + β' = (α+α^2+α^4) + (α^6+α^5+α^3) = α + α^2 + α^3 + α^4 + α^5 + α^6 = -1, 　
β･β' = (α+α^2+α^4)・(α^6+α^5+α^3) = 3 + α + α^2 + α^3 + α^4 + α^5 + α^6 = 2,

∴　β, β' は z^2 + z + 2 = 0　の解。

>>55
むしろ1〜√2はほとんど(というか完全に？)取り尽くしてしまう気がするんだが

0〜1のときは計算の目処はたつ
√2〜√3は範囲がうまく想像できない

各面にアステロイドで切り分けられる4つの領域を描く(a>1/2ならつながる)
それを面と直交する方向に平行移動したものの合併
方程式
x^(2/3)+y^(2/3)<1
x<z (直線 (x,y)=(0,0)と(y,z)=(0,0)との距離)
y<z (直線 (x,y)=(0,0)と(x,z)=(0,0)との距離)
x<1-z (直線 (x,y)=(0,0)と(y,z)=(0,1)との距離)
y<1-z (直線 (x,y)=(0,0)と(x,z)=(0,1)との距離)
x<1/2 (直線 (x,y)=(0,0)と(x,y)=(1,0)との距離)
y<1/2 (直線 (x,y)=(0,0)と(x,y)=(0,1)との距離)
で定められる領域の体積の12倍

>>58
コレはa<√2の時

しまった
a<1の場合orz

内部の点Pに対してPを通り、端点を立方体の面上にとる線分の長さの最大値をM(P), 最小値をm(P)とする時、Pが通過領域にある条件はm(P)<a<M(P)
a<1ならM(P)>aは無視できて>>58

前>>33逢えるのか？
>>54
球体になるのかな、
と思って半径rの玉の体積が1/2になるとしたら、
k=√2-(三乗根の3/三乗根のπ)=0.42946854053……
角の丸い立方体のような立体になるかもね。

無限人の囚人と帽子のパズル
囚人が（可算）無限人いる状況を考える。各囚人には他の囚人と区別するため番号（1,2,3,…）が振られている。
看守がやってきて次のように言った。「明日、各囚人の頭に赤or白の帽子をランダムに被せて、帽子の色を当てるゲームを行う。囚人たちは自分の帽子の色を推測して、全員一斉に赤か白か答える。間違えた囚人の数が有限であれば囚人側の勝ち。間違えた囚人が無限にいれば囚人側の負け。」
「なお、囚人たちは自分の帽子の色を知ることはできないが、他の囚人の帽子の色は全て見ることができる。だが、ゲームが始まると、囚人同士の意思疎通は一切禁止である。」
囚人たちは明日のゲームに備えてどのような戦略を取るべきか相談できる。
このとき、囚人側が必ず勝てるような

これって、赤と白の囚人が同数いれば間違う奴は無限にならない？

つ選択公理

選択公理でも可算無限の間違いするだけじゃねーの？
無限、有限、可算無限て言葉が曖昧すぎるせいだけかも知れないが

二人の囚人がいて、十色の帽子被り自分を見られず他人にも教えられない
色なんかわかるわけないだろ
二色でも当てられない
無限人なら無限の間違いするだけじゃないの？

説明できる？
教えて欲しいんだ

帽子の被せ方全体の集合を有限人数だけ違うのは同値という関係で同値類を作り完全代表系を選んでおいて共有しておく
囚人は自分以外の帽子はみれるので被せ方の同値類はわかる
そこであらかじめ共有しておいた同値類の完全代表系における自分の帽子の色答える

それで100％正答出来るの？

有限個を除いて正解するから囚人の勝ち

前>>62
>>63
(i)赤白同数のとき
他の囚人の色を見て赤が多いと白と答え、白が多いと赤と答えれば全員正解。間違えた囚人の数は0すなわち有限。
(ii)赤白数が違うとき
輪になって並び、同一方向たとえば右向け右、右どなりの囚人の後頭部を見て赤なら赤と答えれば赤白違うとなりの一定数が間違う。すなわち有限。
(i)(ii)より囚人側が団結して打ちあわせ通りやればきっと勝てる。

自分の帽子の色は当てられないだろ
二人で自分の色を全部間違う可能性がある
無限ならそれが無限人になるだけ
無限なら無限間違うだけだろ

たかがめちゃくちゃ少ない可算無限に納められる可能性は認めるけど
無限は無限

赤と白でその数の差の内部に押さえられたとして、無限は無限なんだから有限じゃないだろ？
選択公理使っても無限にしか思えない

8%の食塩水に3gの食塩を入れたら14%の食塩水になった。8%の食塩水は何gか
これの答えの求め方が分かりません、
教えていただきたいです。

食塩と水を別々に考えろ

前>>69
>>72
8%の食塩水がxgあったとすると、
(食塩の重さ)/(食塩水の重さ)
=(0.08x+3)/(x+3)=14/100
8x+300=14x+42
6x=258
x=43(g)

中学生レベルの質問でごめんないさい
日産ディーラーの会員カードが年会費1250円で
会計時に5%offになるのですが
年間いくら以上の支払いがあれは元が取れるのか
計算式を知りたいです
馬鹿な質問でごめんなさい

1375円の間違いでした。

1375÷0.05＝27500

年間会計総額27500円のとき
割引額が1375円で、損益分岐点となる

サンキュー！！
ほんまに賢い人憧れる
https://i.imgur.com/iNatVZz.jpg

Snを調和級数(Σ1/k)のnまでの部分和としたとき、
([log2_n]+1)/2<Sn<=[log2_n]+1を満たすことを示せ。
ただし[x]はx以下の最大の整数を示すものとする。
お願いします。

すでに他のカード持っていてそれで買い物するとポイントが付く場合はそれとの差も考慮しないとわからんのじゃないか？

a%の食塩水bgとc%の食塩水dgを混ぜて(b+d)gの食塩水を作った。
このときa,b,c,dはすべて整数で、a,cは1以上50以下、b,dは100以上の値であった。
このような整数の組(a,b,c,d)を全て求めよ。

「最大値が最小値の2倍の、それぞれ異なる13つの自然数」の最小公倍数の最小値はどうやって求めたらいいでしょうか

1より大きく2未満の、それぞれ異なる11つの分数の、「それぞれの分母の最小公倍数と、それぞれの分子と2の最小公倍数」の積の最小値
と同じ値になりそうなので、総当たり的にそっちを調べました
調べた中で一番小さい値は30240でしたが、これより小さい値があるかどうかが分かりません

数学の知識がないので、初歩的な質問をしているかもしれず恐縮ですが、よろしくお願いします

非減少数列a[n]はa[1]=N,a[13]=2Nを満たし、各項は全て正整数である。
ここでNは正整数の定数である。
a[1],a[2],...,a[13]の最小公倍数s[13]と2N^2の大小を比較せよ。

勘で302400

前>>74
>>54
平面で考えると双曲線4つで囲まれる領域になるから、
立体で考えると双曲面角錐か双曲面四角錐12個の体積が1/2
1個あたり1/6
推定すると、
k=(2の三乗根)
=1.25992104989…….

最小かどうかは分からないけど、
LCM[60,63,66,70,72,77,84,88,90,99,105,110,120] = 27720 = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 * 11

θを0<θ≦π/2の実数の定数とする。
曲線C:y=1-x^2(-1≦x≦1)を原点中心にθだけ回転させたとき、Cが通過しうる領域の面積をθで表せ。

重なりがなきゃ線分と同じなんだが

>>86
27720以下で総当たりすると見つからないので277720が最小。

その組み合わせは以下の通り

[1] 60 63 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120
[1] 63 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120 126
[1] 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120 126 132
[1] 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120 126 132 140
[1] 84 88 90 99 105 110 120 126 132 140 154 165 168
[1] 165 168 180 198 210 220 231 252 264 280 308 315 330
[1] 198 210 220 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396
[1] 210 220 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396 420
[1] 220 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396 420 440
[1] 231 252 264 280 308 315 330 360 385 396 420 440 462

5万以下で探索させて、総和も最小になるのを書き上げると

[1] 60 63 66 70 72 77 84 88 90 99 105 110 120
[1] 70 72 80 84 90 96 105 108 112 120 126 135 140
[1] 60 63 65 70 72 78 84 90 91 104 105 117 120
[1] 84 88 96 105 110 112 120 132 140 154 160 165 168
[1] 100 105 108 120 126 135 140 150 168 175 180 189 200
[1] 99 105 108 110 126 132 135 140 154 165 180 189 198
[1] 140 156 160 168 182 195 208 210 224 240 260 273 280
[1] 70 72 80 81 84 90 105 108 112 120 126 135 140
[1] 140 150 154 165 168 175 200 210 220 231 264 275 280
[1] 88 90 96 99 108 110 120 132 135 144 160 165 176
[1] 105 108 117 126 130 135 140 156 180 182 189 195 210

最小公倍数は
[1] 27720
[1] 30240
[1] 32760
[1] 36960
[1] 37800
[1] 41580
[1] 43680
[1] 45360
[1] 46200
[1] 47520
[1] 49140
30240は2番目に小さい

>>89
×27720以下で総当たりすると見つからないので277720が最小。
〇27720以下で総当たりすると見つからないので27720が最小。

解説なしのおまけ（Rのコード）

library(numbers)
f <- function(nmax=27720,showALL=FALSE){
y=divisors(nmax)
y=y[y>12]
re=NULL
for(i in 1:length(y)){
if((2*y[i]) %in% y){
i2=which(y==2*y[i])
if((i2-i)==12){
re=y[i:i2]
cat(re,':','LCM =',mLCM(re),'\n')
if(!showALL) break
}
}
}
invisible(re)
}
vf=Vectorize(f)
DEL=vf(13:27720)
DEL=vf(27720:50000)

>82の13個を15個に増やしてみると
> DEL=vf(50000:100000,N=15)
55 56 60 63 66 70 72 77 80 84 88 90 99 105 110 : LCM = 55440
160 168 180 189 192 210 216 224 240 252 270 280 288 315 320 : LCM = 60480
60 63 65 70 72 78 80 84 90 91 104 105 112 117 120 : LCM = 65520
100 105 108 112 120 126 135 140 144 150 168 175 180 189 200 : LCM = 75600

>>89

>>82です、調べてくださりありがとうございました
欲を言えば、総当たり以外で求める方法ももしあれば知りたかったのですが、最小が分かっただけでも満足です

>>93
コードにコメントいれて総当たりした方法を解説

f <- function(nmax,N=13,showALL=FALSE){
library(numbers) # 約数や最小公倍数を計算するライブラリ
y=divisors(nmax) # nmaxまでの約数の数列y
y=y[y>(N-1)] # N(=13)以上の約数のみ
re=NULL # 答の格納場所
for(i in 1:length(y)){ # N以上の約数y[i]について
if((2*y[i]) %in% y){ # y[i]の2倍の数がyに含まれれば
i2=which(y==2*y[i]) # 何番目かをi2に収納
if((i2-i)==(N-1)){ # i2とiの差がN-1(=12)であれば
re=y[i:i2] # 答として格納i番目からi2番目を
cat(re,':','LCM =',mLCM(re),'\n') # その最小公倍数を返す
if(!showALL) break　# showALLでなければ１つ表示してループからでる
}
}
}
invisible(re) # 答を返す
}

一階述語論理の真理値割当ては、構造を与えて変数に値割当てをする方法が一般的だと思いますが、それ以外の方法というのはないのでしょうか？

x^2-x+y^2-y=z^2-z
を満たす整数の組(x,y,z)が無数に存在することを示せ。

(0,n,n)

(0,n,1-n)でもいいな

正の整数に限定すると？

(1,n,n)

gj www

・x=y のとき
与式を 4倍すると
　(2z-1)^2 - 2(2x-1)^2 = −1,
いわゆる「ペル方程式」

　(x,y,z) が解ならば (3x+2z-2, 3y+2z-2, 2x+2y+3z-3) も解。
例えば
　(x,y,z) = (1,1,0)　(1,1,1)　(3,3,4)　(21,21,15)　(85,85,120)　…

一般項 (ビネの公式)
　x_n = y_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n-1} + (√2 -1)^{2n-1})/(4√2),
　z_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n-1} − (√2 -1)^{2n-1})/4,

k=(1/2)(1+√(1+8ab)) を整数にするような 整数 a,b を持ってくると、
(x,y,z)=(a+k,b+k,a+b+k)　は、x(x-1)+y(y-1)-z(z-1)=0　を満たす。

では、k=(1/2)(1+√(1+8ab)) を整数にするような 整数 a,b　は無数にあるか？　答えはある。
適当な整数 r と m を持ってきて、a=2r-1、b=m(m(2r-1)±1)/2　とすれば、
k=(1/2)(1+√(1+8ab))=(1/2)(1+|4mr-2m±1|)

>>102 (補足)
{2(2x+2y+3z-3)-1}^2 - {2(3x+2z-2)-1}^2 - {2(3y+2z-2)-1}^2 ＝ (2z-1)^2 - (2x-1)^2 - (2y-1)^2,

　(左辺) - (右辺) = - 16(x-y)^2 = 0,

例)
　(x,y,z) = (1,1,0)　(1,1,1)　(3,3,4)　(15,15,21)　(85,85,120)　(493,493,697)　(2871,2871,4060)　…
に訂正

完全解ならまだしも無限個なら>>100で終わってるのに何がしたいんだか

いろいろな解を見つけたいのでは？

・y=x+1 のとき
与式を 4倍すると
　(2z-1)^2 - 4x(x-1) - 4y(y-1) = 1,
いわゆる「ペル方程式」

{2(2x+2y+3z-3)-1}^2 - 4(3x+2z-1)(3x+2z-2) - 4(3y+2z-3)(3y+2z-4) = (2z-1)^2 - 4x(x-1) - 4y(y-1),

∴　(x,y,z) が解ならば (3x+2z-1, 3y+2z-3, 2x+2y+3z-3) も解。
例
　(x,y,z) = (0,1,1)　(1,2,2)　(6,7,9)　(35,36,50)　(204,205,289)　…

一般項 (ビネの公式)
　x_n = ((√2 +1)^{2n} − (√2 -1)^{2n})/(4√2),
　y_n = 1 + ((√2 +1)^{2n} − (√2 -1)^{2n})/(4√2),
　z_n = (1/2) + ((√2 +1)^{2n} + (√2 -1)^{2n})/4,

任意の実数 x に対して、

n * cos(n^2*x)

は n → ∞ のとき、収束しないことを証明せよ。

>>107

ちなみに、このことは、松坂和夫著『解析入門上』に証明なしで、あたかも当たり前の事実であるかのように書かれています。

当たり前の事実じゃん

>>109

証明をお願いします。

x=0のとき、n*cos(n^2*x) = n → ∞
x≠0のとき、n_k:=√|2πk/x|に対してn_k*cos(n_k^2*x) = n_k*cos(2πk) = n_k → ∞

>>111
n は正の整数です。

x/πが無理数の時( (n+1)^2x - n^2x )/(2π)の小数部は[0,1)で一様に分布する

cos(n^2*x)が0に収束するとすると、cos((2n)^2*x)もまた0に収束する
しかし、cos((2n)^2*x)
= cos(4*n^2*x)
= 2*cos(2*n^2*x)^2 - 1
= 2*(2*cos(n^2*x)^2 - 1)^2 - 1
→ 2*(2*0^2 - 1)^2 - 1
= 1
よって矛盾し、cos(n^2*x)は0に収束しない
cos(n^2*x)が0以外の値に収束するならn*cos(n^2*x)は無限大に発散するし、
cos(n^2*x)が発散するならn*cos(n^2*x)も発散する

単行列生成零

なるほどうまいな

ほんまや

>>114
ありがとうございました。

>>114
|cos(n^2*x)| と |cos((2n)^2*x)| との間に４倍角公式
　cos((2n)^2*x) = T_4(cos(n^2*x))
の関係があるため、
これら両方を cos(72) = (φ-1)/2 = 0.309017 より小さくすることが
できぬのでござるか。なるほど〜

ここに、　T_4(t) = 8t^4 - 8t^2 + 1,

>>108

まとめると、当たり前ではなかったということですね。

Richard E. BORCHERDSというフィールズ賞受賞者がYouTubeに講義動画をアップロードしていますが、講義の質はどうですか？

それ自分もこの前知っていくつか見た
わりと式の気持ちや具体的な計算が聞ける感じ
相互法則のところではΓ関数とガウス和の類似の話があった
かといって凄く特別な話が聞ける感じでもなかったかな
動画数多くて幅広いから全体でどうなってるかは分からないけど

(補足)
[T_4(t)^2 - cos(72)^2] + 4[tt - cos(72)^2]
= 16[tt - cos(72)^2]^2・{cos(72) + 4[tt - cos(18)^2]^2}
≧ 0

∴　|T_4(t)| と |t| の少なくとも一方は cos(72) 以上である。

cos(72) = 1/(2φ) = 0.309017

旅先でバスや電車に乗りながら計算しまくってムーンシャイン予想を証明したんだっけ

すべての n に対して、 a_n ≠ 0 とします。

lim sup |a_{n+1}/a_n| < 1 ならば、 Σa_n は絶対収束するという命題があります。
lim |a_{n+1}/a_n| > 1 ならば、 Σa_n は発散するという命題があります。

lim sup |a_{n+1}/a_n| > 1 であるが、 Σa_n は収束する例を挙げてください。

1/2, 1/2, -1, 1/4, 1/4, -1/2, 1/8, 1/8, -1/4, …

>>126

ありがとうございました。

lim sup |a_{n+1}/a_n| = 2 > 1 であるが、 Σa_n = 0 ということですね。

a_n = {5+3(-1)^n} / 2^n

>>123
|t| < cos(72) < cos(18) のとき
T_4(t) - cos(72) = 8t^4 - 8t^2 + (1-cos(72))
　= 8 [tt - cos(18)^2] [tt - cos(72)^2]
　≧ 0,
∴　T_4(t) ≧ cos(72),
　Max{|t|, T_4(t)} ≧ cos(72),

あるいは

|cosθ| < cos(72) となるのは
　72<θ<108, 252<θ<288　(mod 360)

cos(4θ) < cos(72) となるのは
　18<θ<72, 108<θ<162, 198<θ<252, 288<θ<342　(mod 360)

よって 共通部分はない。
　Max{|cosθ|, cos(4θ)} ≧ cos(72),

xyz空間において
1≦(1+x^2)(1+2y^2)(1+4z^2)≦8
を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。

>>130
モンテカルロでやってみたら

> nrow(b)/nrow(gr)*6^3
[1] 11.72513

信頼区間は
1] 11.69124 11.75909

x=y=z=seq(-3,3,length.out=200)
f <- function(x,y,z){
a=(1+x^2)*(1+2*y^2)*(1+4*z^2)
1<=a & a <= 8
}
gr=expand.grid(x,y,z)
idx=mapply(f,gr[,1],gr[,2],gr[,3])
b=gr[idx,]
plot3d(b,col=4,xlab='x',ylab='y',zlab='z')
nrow(b)/nrow(gr)*6^3

>>131
こんな形状になった。

https://i.imgur.com/XbmRthP.mp4

>>132
かわいー

>>87
90°回転までの軌跡を動画にしてみました。
https://i.imgur.com/BSVX3IG.gif

11.8996

>>131
モンテカルロでの乱数の分布を立方体から直方体での一様分布に変えて再計算

> nrow(b)/nrow(gr)*xlim*ylim*zlim*2^3
[1] 11.9016

>>130
x,y,zを極座標表示するとかでいけない？

11.899552777

(1) 級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n > 0 とする。そのとき

lim sup (a_n)^(1/n) ≦ lim sup a_{n+1}/a_n

が成り立つ

(2) 級数 Σa_n において

lim sup (}a_n|)^(1/n) < 1 ならば Σa_n は絶対収束する。

(3) 級数 Σa_n において、すべての n に対し a_n ≠ 0 とする。このとき

lim sup |a_{n+1}/a_n| < 1 ならば Σa_n は絶対収束する。


------------------------------------------------------
級数 Σa_n で、

すべての n に対し a_n > 0 かつ lim sup (a_n)^(1/n) < 1 ≦ lim sup a_{n+1}/a_n

となるようなものはありますか？

>>126

がそうですね。

級数 Σa_n で、

すべての n に対し |a_n| > 0 かつ lim sup (|a_n|)^(1/n) < 1 ≦ lim sup |a_{n+1}/a_n|

となるようなものはありますか？

>>134
これはモンテカルロ法ではできそうにないなぁ

一つ覚えでは解けない問題もある

>>130
とりあえず
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-7%5E0+%28%281-z%29*EllipticK%28z%29-EllipticE%28z%29%29%2Fsqrt%28%28z%2B7%29%2F%281-z%29%29%2F%281-z%29%5E2+dz+*16%2Fsqrt%282%29&;lang=ja

(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦8の体積の1/2/√2倍

p_k+1>p_k^(1+2/(2k-3)), for k>1

>>145 訂正
p_(k+1)>p_k^(1+2/(2k-3)), for k>1

>>146
これは成立しませんでした

>>144
形状の画像を期待してクリックしましたが、無料版じゃ描画されないみたいで残念。
でも、体積はモンテカルロでの数値と近似しているので>132の形状でいいのだろうと勝手に納得。

前>>85
>>130
球の中心が八面体表面を動いてできる領域かな？

前>>149
切り目の入ったマカロニ12本と球と内部の正八面体を足して掛ける2√2
となりあう正三角形の交わる内角109°ぐらいの値θ,
内部の正八面体の一辺の長さa,
マカロニの半径rがわかればわかる。
V/2√2=4πr^3/3+12πr^2a(360°-θ)/360°+2(1/3)a^2(a√2/2)

x^2021+y^2=z^2
を満たす0でない整数の組(x,y,z)は無数に存在することを示せ。

>>121
隣り合った平方数の差は3以上の全ての奇数をとることからxが3以上の奇数であればそれに対応する(y,z)の組が必ず1つ以上存在する
したがって(x,y,z)の組は無限に存在する

>>151でした

((2n)^2021, 2^2019n^2021-1, 2^2019n^2021+1)

>>152
たった数行で華麗な解法ですね！驚きました
ありがとうございます

(±1, ±1/√2, ±1/2) での接平面
　|x| + |y√2| + |2z| = 3,
は八面体をなす。その体積は
　9√2 = 12.728
う〜む、だいぶ大きい。

曲面は角が丸く、主軸の長さが　2√7, √14, √7.
一方、八面体は角が尖っていて　主軸の長さは 6, 3√2, 3.
なので大きくなった？

x>0, y>0, z>0ならば
(x+y)^z+(x+z)^y+(y+z)^x>2
どうしたら示せますか？
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
にあった不等式です

微分して最小値でも求めてみな

>>87
赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
あとは他の部分をどう計算するか
http://imgur.com/5IGmaVP.png

＞赤い部分の面積は2つ合わせてθ/2
訂正：θ/4

>>157
関数はx≧0,y≧0,z≧0から原点を除いた領域まで連続に拡張できるからそこで考える
まずx+y=a, z=0の領域において端点での値は2、未定定数法より極値はx+y=a/2の時で、その値は2a^(a/2)+1
この最小値はa=1/eの時1+2e^(-1/2e)>2
領域x+y+z=aで考える
この領域では(a-x)^x+(a-y)^y+(a-z)^z
境界では>2
極値はやはり未定定数法よりx=y=z=a/3のとき3(2a/3)^(a/3)
コレの最小値はa=3/(2e)のとき3e^(1/(2e))>2

集合論のブール値モデルを理解したい素人なのですが、前提知識として、集合論と位相空間論以外に何を理解している必要があるでしょうか？

0^0の極限が1だから最小値は3だと思ったけど違ったか

「集合論のブール値モデル」って何や？

>>158
>>161
ありがとうございます。x+y+z=a上の極値を未定乗数法で考えたらわかりました。

スレ違いかもしれないですが、教えて欲しいです。
例えば4月は10個5円、5月は3個20円のものがあれば、5月と4月の差は

3*20-10*5=10円で計算できますが、この計算式以外に5月と4月の差である10円を算出する方法はありますかね

前>>150
違うなぁ。正八面体表面を動き回る球体を2√2倍じゃない。
>>132の輪郭は辺に平行な線を描いてない。
辺や面の中央ほど中心方向にくぼんでる。
まるで重力に引っ張られてるみたいに。
立方体内部の立体の2√2倍と考えて、
0≦x≦√7,0≦y≦√14/2,0≦z≦√7/2だけを求めて16√2倍か。
>>130推定値を出してみる。
過不足相殺するとして(1/8)√7(√14/2)(√7/2)16√2=7√7
=7×2.64171……
=18.49197……
≒18.492

前>>167
内部の八面体の体積は√7(√14/2)(√7/2)=7√14/4=6.5……
端っこが丸いったって2倍に膨れるわけがねえでな、
11か、いって12か。

>>156

(±1, ±1/√2, ±1/2) で接する凸曲面
　|x|^a + |y√2|^a + |2z|^a = 3,
は角が丸まる。
　a = log(9)/log(7) = 1.12915
とおけば、主軸の長さも 2√7, √14, √7
体積は 11.4929　でやや小さめ…

>>166
あるよ。

()を使わない前提で
3*20-10*5=10
の他に
3*20-5*10=10
20*3-5*10=10
20*3-10*5=10
3*20-10-10-10-10-10=10
20+20+20-5*10=10
20+20+20-10*5=10
3*20-10-10-10-10=10
20*3-10-10-10-10=10

列挙漏れがあるかなぁ？

>>166
なぜその計算で出てくる10円が「5月と4月の差」と呼ばれるものになるのか理解出来ない
何を計算してんの？それ

問題にしてみる

購入数と単価は
4月は10個5円、5月は3個20円、6月は5個10円、7月は4個15円のとき購入総額を括弧や空白を使わないで計算する式は何通りあるか。

計算式の例
10*5+20+20+20+10*5+15+15+15+15
5*10+3*20+5*10+15*4

系統的に列挙するのも面倒そうだな。

>>170
20+20+20-10-10-10-10-10が漏れていた。

>>172
順不同で途中で別の月の値を入れる
計算式20+20+15+15+15+15+20+10*5+5*10
とかでもいいことにすると更に厄介。

>>170
>>172

確かに*や+の選び方とか並べ替え方で数式が色々できるね、抜けてました。ありがとう。


>>171
情報不足で申し訳ない。
個数*単価の月額売上（支払でも可）を計算したかった。
4月と5月の売上を比べると5月の売上が10円多い計算だけど、この10円増えた根拠を知れる計算式ってあるかなという意図だった。
4月と5月を比べて、5月の売上が多いのは、
・（5月減要素）個数は4月が多い
・（5月増要素）数量は5月が多い
・（5月増要素）単価は5月が高い
だと、思うんだけど各要素の計算式（複数必要？）を使って、4月と5月の売上の差の10円を算出することってできるのかな

しっくりこない人と同じ匂いを感じる

>>150
計算シタイナーの公式
　v(r) = (4π/3)r^3 + Mr^2 + Sr + v(0),

一辺の長さaの正八面体の場合
　M = 6(2π-θ)･a,
　S = (2√3)･a^2,
　v(0) = (√2)/3･a^3,
ここに
　θ = arccos(-1/3) = 1.910633236 = 109.47122°

>>167
　面の中央 (±1, ±1, ±1) はかなり平坦…
　|x| + |y| + |z| ≒ 3,

>>178
全部1未満の時は？

不定積分ですが

∫(e^x)(sinx)dx
=(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx
=・・・

または
=(e^x)(-cosx)-∫(e^x)(-cosx)dx
=・・・

前者と後者ですが、計算を進めていくと両者とも当然同じ解になりますが、
計算のやりやすさを考えると、前者と後者はどちらがお勧めですか？

>>180
天下り的になるけど、特に工学部は大学進学後もe^(-ax)sinbxやe^(-ax)cosbxの積分を嫌になるほど使うので、結果を暗記した方がいい
受験対策にもなるし大学進学後も役立つ
それほど多用するし暗記する価値があるとは覚えておいてほしい

知らんうちに暗記してるだろ

>>177
　Measure
　Surface area
　Volume
を凸体の３基本量 と云うらしい。


木原太郎「分子と宇宙」岩波新書 (黄版) 104 (1979)　第7章
J. Phys. Soc. Jpn., ６, p.289 (1951)
J. Phys. Soc. Jpn., ８, p.686 (1953)
J. Phys. Soc. Jpn., １２, p.564 (1957)
Rev. mod. phys., ２５, p.831 (1953)
Rev. mod. phys., ２７, p.412 (1955)

二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。

二項定理の収束域（(1+x)^αのαの値によって変化する）についてちゃんと書いてある本を教えて下さい。
収束区間が (-1, 1) であることは大抵の本に書いてありますが、収束域まで書いてある本を教えて下さい。

収束域て何？

(1+x)^α が収束するような実数（複素数）全体の集合のことです。

上で (1+x)^α と書きましたが、 (1+x)^α を二項展開したべき級数に置き換えてください。

αが非負の整数である場合を除いて1でしょ？
そんな程度の事いちいち書いてある教科書なんかないんじゃないの？

二項定理・二項展開じゃなくてマクローリン展開ね

1000以下の素数は246個以下であることを示せ。

primes = let
sieve (p:ps) xs = let
(h,~(_:t)) = span (< p*p) xs
in h ++ sieve ps [x | x <- t, rem x p /= 0]
in 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]

main = print $ length $ takeWhile ( <= 1000 ) primes
----
168

>>192
無意味な解答で時間の浪費ですね
素数の定義に基づき計算機を使わず示してください

二項級数は一般化された超幾何級数に含まれる
てのは牛刀だな

1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}

以上の計算結果と包除原理により、

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、

500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。

よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。

100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。

p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。

(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 21 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。

(p_4)^3, (p_4)*(p_5) ≦ 1000 であり、これらの 2 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。

以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 21 + 2 = 754 個含む。

よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。

訂正します：

1000 以下の 2 の倍数である自然数の集合 = {2*1, …, 2*500}
1000 以下の 3 の倍数である自然数の集合 = {3*1, …, 3*333}
1000 以下の 5 の倍数である自然数の集合 = {5*1, …, 5*200}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数でもある自然数の集合 = {6*1, …, 6*166}
1000 以下の 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {15*1, …, 15*66}
1000 以下の 5 の倍数であり、 2 の倍数でもある自然数の集合 = {10*1, …, 10*100}
1000 以下の 2 の倍数であり、 3 の倍数であり、 5 の倍数でもある自然数の集合 = {30*1, …, 30*33}

以上の計算結果と包除原理により、

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合の元の個数は、

500 + 333 + 200 - (166 + 66 + 100) + 33 = 734 個である。

1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる素数は、 2, 3, 5 の３つのみである。

よって、 1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の数は、 731 個である。

100 以下の素数の個数は、簡単に分かるように、 25 個である。
それらを小さい順に、 p_1, …, p_25 とする。

p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 である。

(p_4)^2, …, (p^25)^2 ≦ 1000 であり、これらの 22 個の自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれない。

(p_4)^3 ≦ 1000 であり、この自然数は合成数であり、
1000 以下の 2 の倍数であるか、 3 の倍数であるか、 5 の倍数である自然数の集合に含まれる合成数の集合には含まれず、
{(p_4)^2, …, (p^25)^2} にも含まれない。

以上より、 1000 以下の自然数の集合は、少なくとも合成数を 731 + 22 + 1 = 754 個含む。

よって、 1000 以下の自然数の集合は、多くとも素数を 246 個しか含まない。

>>193
てか千葉大の問題で普通に解いて240以下が示せるのに246以下なんかなんの意味があんねん？
問題にそもそも意味ないやん

おっと訂正
244以下ね
1050以下の数に2,3,5,7と互いに素であるのが240個しかない
2,3,5,7と合わせても244
246にしても千葉大の普通の解答がそのまま通用するのに

>>177
面の中央 (±1,±1,±1) はかなり平坦なので
正八面体　|x| + |y| + |z| ≦ 3　で近似しよう。

辺(稜)の中央は たしかに 窪んでいる。
　(0, ±√(√8 -1), ±√(√8 -1))
そこで稜を削って
　|x| + |y| ≦ 2√(√8 -1),
　|y| + |z| ≦ 2√(√8 -1),
　|z| + |x| ≦ 2√(√8 -1),
としよう。
　切稜正八面体 (20面体)
体積は 11.761802　(小さめ)
軸の長さは 4√(√8 -1) = 5.4087738 で
　2√7 = 5.2915026 より長い。

問題　：　1000000以下の素数は78498個以下であることを示せ。

答： 数えたら78498個なので78498個以下である。

>>191
昇順に並ぶ素数列において、隣接二項間の比が√2を超えるものとして、
2と3、3と5、7と11の3組が見つかるが、これ以外にそのようなものが無いのならば、
11以上の n に対し　2*PrimePi[n]＞PrimePi[2n]
が成立する。ただし、PrimePi[n]は、n以下の素数の数を表す。

Prime[100]=25はよく知られていて、101から124までの素数は101,103,107,109,113が加わるので、
Prime[125]=30となる。これに、上を適用すると、250以下の素数の個数はせいぜい59個、
500以下の素数の個数はせいぜい117個、1000以下の素数の個数はせいぜい233個であることが言える。

この問題、高校の知識を使うとあっという間に解けるのかな？
https://www.youtube.com/watch?v=jVjfBCTptHM

トライしてみたけど途中で挫折した。私のやり方が間違っていたのか？

前スレかこのスレの前の方で30N+1〜30N+30の中に2,3,5,7と互いに素であるものが高々7個が示されている
よって1〜1020までの素数は高々34×7+4=242である事がすでに得られている
あるいは同様の議論で990までの素数は高々33×7+4=235個で991〜1000には(多くとも)991,997の2個しかない事を認めるならこの時点の評価が237に改善される
さらにこの237個の数は15個の合成数ab (a,b∈{11.13,17,29,23,29})を含む事からコレを抜けば222個以下まで改善される
さらにさらに‥
この手の話はキリがない

(1+x)^α のべき級数展開の収束円上の点での収束・発散について松坂和夫著『解析入門上』に書いてありました。

他に書いてある本はありますか？

>>202
OA=x、OB=yとして条件は
1/2 2xy sin135°=15
x^2+y^2-2xycos135°=(19/2)^2
コレからx^2+y^3も(√2)xyもすぐ出せる
求めるのは
√(x^2+y^2-2xycos45°)

>>204

藤原松三郎にも書いてありました。

他にありますか？

>>202
BC=a、CA=b=9.5、AB=c、A から BC に下ろした垂線の足を M、AM=h とすると、
BM=(a/2)-h、CM=(a/2)+hとなる
AB^2 = AM^2 + BM^2 より c^2 = h^2 + ((a/2)-h)^2 �@
AC^2 = AM^2 + CM^2 より b^2 = h^2 + ((a/2)+h)^2 �A
�A-�@ より、b^2 - c^2 = 2ah �B
△ABCの面積は(1/2)ah=15だから、�Bより
9.5^2 - c^2 = 60
c^2 = 9.5^2 - 60 =30.25
c = √30.25 = 5.5

動画のやってるのは実質これと同じっぽい

前>>168
>>202
AからBCに下ろした垂線の足をH、
AH =h,BC=2aとすると、
題意よりah=15
△AHCにおいてピタゴラスの定理より、
h^2+(h+a)^2=9.5^2
2h^2+2ah+a^2=(10-0.5)^2=100-10+0.25=90.25
AB=√｛h^2+(a-h)^2｝
=√(2h^2-2ah+a^2)
=√｛(2h^2+2ah+a^2)-4ah｝
=√(90.25-4×15)
=√30.25
=5.5
∴5.5cm

1050以下の自然数で2,3,5,7と互いに素であるものは240個である　
161〜210の中に2,3,5,7と互いに素であるものは
[163,169,,181,187,193,199],[167,173,179,,191,197,,209]
の12個であるから1001〜1050の中で2,3,5,7と互いに素であるものも12個である
以上により1〜1000の自然数で2,3,5,7と互いに素である自然数の個数は228個である
また11〜31の素数pに対してnが最小素因子がpである1000以下の合成数nになるのははn/pがp以上1000/p以下の素数となる時であり、100以下の素数をリストアップしてその数をそれぞれ数えるとp=11,13,17,19,23,29,31に対してそれぞれ20,16,10,8,6,2,1個ずつあり、計63個ある(補足参照)
228個の2,3,5,7と互いに素である1000以下の自然数の全体からコレらの合成数と1を除いた164個が2,3,5,7と異なる1000以下の素数の全体である
以上により1000以下の素数の個数は168個である

補足
p=11,13,17,19,23,29,31に対してpを最小素因子とする合成数nにおけるn/pのとりうる値のリスト
[11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89]
[13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73]
[17,19,23,29,31,37,41,43,47,53]
[19,23,29,31,37,41,43,47]
[23,29,31,37,41,43]
[29,31]
[31]

>>202
余弦定理を使えば解ける。

https://i.imgur.com/FdxB31x.png

面積からac=15
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(45°) = 2a^2+c^2-2ac (1)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(135°) ∴ 9.5^2=2a^2+c^2+2*ac (2)
(1)-(2)で
AB^2-9.5^2= -4ac where ac=15

AB^2=9.5^2-4*ac=9.5^2-4*15
AB=√(9.5^2-4*15)＝5.5

>>208
余弦定理なしで解けたのはすばらしい。

イナ氏の文字割り当てに準拠して作図を修正。
https://i.imgur.com/zuFlyUX.png

なんだこれ？ちゃんとした数学の問題なの？
ーーーーーー
眠り姫問題(英：Sleeping Beauty problem)とは決定理論、確率論に関する思考実験である。 内容はシンプルでありながら、専門家同士でも答えが分かれるパラドックスでもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%A0%E3%82%8A%E5%A7%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

>>211
ついでに一般解を出したみた。

https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png

面積からha=S
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(Θ)
"
AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(Θ)

AB^2-AC^2=-4*ha*cot(Θ)
AB=sqrt(L^2-4*S)

L=9.5
S=15
で
> (AB=sqrt(L^2-4*S))
[1] 5.5

>>213
恥ずかしい計算ミスをしていたので修正(>213は忘れてくれ）
一般解は　AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ))

問題ではL＝9.5cm, S=15cm^2, θ=135°

https://i.imgur.com/KN4yZ3Z.png
"
面積からha=S
余弦定理から
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cos(π-θ) = (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(π-θ)
AC^2=OA^2+OC^2-2*OA*OC*cos(θ)= (h/sin(π-θ))^2+a^2-2*h/sin(π-θ)*a*cos(θ)
"
AB^2=(h/sin(θ))^2+a^2+2*h/sin(θ)*a*cos(θ)
AC^2=(h/sin(θ))^2+a^2-2*h/sin(θ)*a*cos(θ)

AB^2-AC^2=4*ha*/tan(θ)
AB=sqrt(L^2+4*S/tan(θ))

L=9.5
S=15
θ=135*pi/180

sqrt(L^2+4*S/tan(θ))

> sqrt(L^2+4*S/tan(θ))
[1] 5.5

>>202ですが、皆さん模範解答をアップしてれてありがとうございました。
帰宅後、再トライしてみます。

>>202
動画は9.5*9.5の正方形を作ると中に小さな正方形が出来ることをなんか妙な方法で示しているけど、
△ACHを4つ組み合わせて9.5*9.5の正方形を作って、その中に出来る中くらいの正方形の中に△ABHを4つはめ込んでいくと小さな正方形が出来ることは簡単にわかるんじゃないのか？
答えを知ってしまうと天才なら瞬殺出来る問題だった

sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2)

という命題があります。

無限積 Πa_n の定義においては、 a_n ≠ 0 for any n という条件が課されます。
そして、いろいろな命題を、この定義を採用して証明していきます。

ところが、例えば、

sin(π*x) = π*x*Π_{n=1}^{∞} (1 - x^2/n^2)

というような具体的な結果においては、 1 - x^2/n^2 = 0 となるような n がある場合も考えています。

このあたりはどう考えればいいのでしょうか？

6面体のサイコロをa回振った時、それぞれの数字がb回出る確率ってどうやって計算できますか？
例えば、サイコロ100回振って6が30回出る確率は？

計算機で
0.66667×6＝4.00002
0.66666667×6＝4.00000002
0.6666666667×6＝4
になるのはなんでですか？

a_n = 0となるnがある場合「無限乗積が収束する」と言えなくなるだけで、Πa_nの値自体は存在する
Πa_nは収束しないが、Πa_n=0
ということかと

>>218
100C30 (6が出る確率)^100

>>219
計算機によっては正しい値を出力する
あなたの計算機の内部仕様なので正確なことを知りたければメーカーに問い合わせるしかない

10進法表記したときにどの桁にも9が現れない整数全体からなる集合をSとする。
Sの要素を小さいものからa[1],a[2],...とするとき、
lim[n→∞] Σ[k=1,10^(n-1)] 1/a[k] < N
を満たす整数Nが存在することを示せ。
またNと10,100の大小をそれぞれ比較せよ

x^(log10/log9)くらいのオーダーかな？
の逆数和？

>>220
ありがとうございました。

>>222
a[n]はnを9進数表記をn=Σc[n,i]9^iとするときのΣc[n,i]10^iに等しい
特にr=log10/log9とおくとき(n/9)^r<a[n]<n^rである
実際9/n<m≦nを満たす9べきmをとれば
(n/9)^r<m^r=a[m]≦a[n]
であり、正の数x,yに対しx^r+y^r<(x+y)^rであるから後半の評価を得る
以上によりa[n]の逆数和は収束し、その和は下から
Σ1/a[n]>Σn^(-r)>1/(r-1)=log9/(log10-log9)=20.854345326783
と評価される

>>218
6の目の出る確率を1/6としてサイコロ100回振って6が30回出る確率を計算してみました。
1835771238850684051497735/40832413968754431088974760597596307513586923952743787370990412577082234109952

>>226
Wolfram先生からは
203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
という御神託

>>226
分母choose(100,30)と6^30を別々に計算すると

29372339821610944823963760
/
653318623500070906096690267158057820537143710472954871543071966369497141477376

約分したら
203974582094520450166415/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
でWolfram先生の結果と同じになった。

>>221
ごめんこれ普通に間違ってた
100C30 * (6が出る確率)^30 * (1-6が出る確率)^70

>>229
> dbinom(30,100,1/6)
[1] 0.0003808148

>>229
それで計算してみました。
11978966267095556063517207528404020840875/31456147505615925548986588676063137259061248=0.0003808148
2625.948回に1回となりました。

Wolfram先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=choose%28100%2C30%29*%281%2F6%29%5E30*%285%2F6%29%5E70&;lang=ja
1727731914364858948441810719185394995545124174896045587956905364990234375/4536934885417159070115904633042068198174609100506631052382444210899285704704
=0.0003808147919244379025193416446360750992129733301948433995580339...

どうも、分数表示すると合致しないな。

>>219
windows電卓でも4になる場合がある。
0.66666666666666666666666666666667×6
の場合だな。

>>219
端数処理か丸めでググれ

　n/9 < m ≦ n,
　m ≦ n < 9m,
m = 9^e とすれば
　e ≦ log(n)/log(9) < e+1,

　0.9･(10/9)^e < a[n]/n ≦ (10/9)^e,
より
　0.81 < a[n] / n^r ≦ 1,
ここに
　r = log(10)/log(9) = 1.0479516371447

　ζ(r) = Σ[n=1,∞] 1/(n^r) = 21.43504145264

r>1 のとき
　∫[n,n+1] x^(-r) dx < n^(-r) < ∫[n-1,n] x^(-r) dx,
より
　∫[1,∞] x^(-r) dx < ζ(r) < 1 + ∫[1,∞] x^(-r) dx,
　1/(r-1) < ζ(r) < r/(r-1),
　20.85434538971 < ζ(r) < 21.85434538971

下に凸だから　x=n で接線を曳いて
　n^(-r) < ∫[n-1/2,n+1/2] x^(-r) dx,
より
ζ(r) < 1 + ∫[3/2,∞] x^(-r) dx
　= 1 + (1/(r-1))(2/3)^(r-1)
　= 21.452796468183

また　台形近似で
　ζ(r) > 1/2 + ∫[1,∞] x^(-r) dx
　= 1/2 + 1/(r-1)
　= 21.354345326783

二進法で内部計算だから、大抵の言語で誤差がでる。

IPython 6.5.0 -- An enhanced Interactive Python.

(1.2-1)*5==1
Out[1]: False

(1.2-1)*5>1

Out[2]: False

(1.2-1)*5<1

Out[3]: True

(1.2-1)*5
Out[4]: 0.9999999999999998


Haskell
Prelude> (1.2-1)*5
0.9999999999999998

Prelude> 0.72*5-3.6
-4.440892098500626e-16


R
> options(digits=22)
> (1.2-1)*5 == 1
[1] FALSE
> (1.2-1)*5 > 1
[1] FALSE
> (1.2-1)*5 < 1
[1] TRUE
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978

宮島静雄著『微分積分学II』に以下の定理が書いてあります。

定理8.2
f_n (n = 1, 2, …) は集合 A 上の関数とし、これに対し数列 {M_n}_n で |f_n(x)| ≦ M_n が任意の x ∈ A, n ∈ N で成り立ち、 Σ_{n=1}^{∞} M_n が
収束するようなものがあるとする。このとき Π_{n=1}^{N} (1 + f_n(x)) は N → ∞ のとき A 上である関数に一様収束する。

これは本当に成り立ちますか？

>>238

証明は、以下です：

https://i.imgur.com/WdLamHs.jpg

>>232は
LM217やウルフラムアルファではきちんと出る。

>0.66666666666666666666666666666667*6
= 4.00000000000000000000000000000002

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=0.66666666666666666666666666666667%C3%976
結果:
4.00000000000000000000000000000002

nを2以上の整数とする。1≦k≦n-1を満たす整数の定数kを考え、a[n,k]=C(2n,n)/(n+k)とする。
このとき、a[n,k]を素数とするようなnは有限個であることを示せ。
ただしC(a,b)は二項係数aCbのことを指す。

>>241
素数定理よりn>>0に対してn<p<q<r<2nを満たす素数p,q,rが取れる
このときC(2n,n)はpqrの倍数であるが、n+k<2n<n^2<pq,pr,qrによりC(2n,n)/(n+k)は相異なる素因子を少なくとも２つ持つ

受験数学レベルでも解けるな
0≦k≦nに対して2n-k≧2(n-k)であるから
C(2n,n)=2n/n (2n-1)/(n-1) ‥>2^n≧4n^2 for n≧8
C(2n,n)/(n+k)が素数pならpは(2n)!の素因子だからp≦2n
よってこのとき
C(2n,n)=(n+k)p≦4n^2
コレはn≧8では起こり得ない

前>>208
>>211この図いただきます。

松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。

さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に

松坂和夫著『解析入門上』の複素整級数のところに以下の記述があります。

「さらに、一様収束する連続関数列の極限はまた連続である。（厳密にいえば、実変数の場合の9.1節の定理4は定理3に依拠しており、定理3の記述は
やや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。しかしそれは容易であるから、ここではあらためて述べない。実際には
この定理は、後の距離空間の位相の章でみるように、もっと一般的な状況のもとに直接かつ簡単に証明することができる。）」

これが正確に何が言いたいのかが分かりません。

具体的に言うと、「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっている」というのが分かりません。

定理3を見てみても実変数に“局限”などされていないと思います。

定理3は区間 I で考えていて、複素連続関数列は、任意の C の部分集合で考えていることに関係していると推測しますが、いずれにしても大した問題ではないと思います。

実連続関数列の場合には、区間 I で考えているため、 x_0 ∈ I は I の limit point になります。
複素連続関数列の場合には、任意の空でない C の部分集合 S で考えているため、 x_0 ∈ S が孤立点になる恐れがあります。

ですが、 x_0 が S の孤立点の場合には、どんな S 上の関数 f も、 z = x_0 で連続ですから、「多少の補正」というほどの「補正」は必要ないはずです。

お前の感想に興味はない
教科書はヒントに過ぎん
理解は自力でしかできん

>>236
ζ(r) < 1 + 2^(-r) + ∫[5/2,∞] x^(-r) dx
　= 1 + 2^(-r) + (1/(r-1))(2/5)^(r-1)
　= 21.441547

ζ(r) > 1 + (1/2)2^(-r) + ∫[2,∞] x^(-r) dx
　= 1 + 2^(-r){1/2 + 2/(r-1)}
　= 21.414418

教えてください
https://pbs.twimg.com/media/EuwxxRnUUAYXroH.jpg

>>246

松坂和夫さんの『解析入門上』のコピペ元のWalter Rudinの本を見てみたら、

f_n → f が距離空間 E 上で一様収束とし、 x が E のlimit pointとし、 lim_{t → x} f_n(t) = A_n が成り立つとすると、
{A_n} は収束し、 lim_{t → x} f(t) = lim_{n → ∞} An である

という定理が書いてありました。

松坂さんはこの E を区間 I にして、コピペしていたんですね。

やはり、
>>248-249
の推測は合っていました。

一言でいうと、limit pointという概念を説明したくなかったということですね。

数学の勉強の仕方についてなのですが、

https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q?t=1368

上の動画で、証明の中で使われている定理は、その証明が分からなくても遡って考える必要はなく、ただプログラムでいうサブルーチンのように
ブラックボックスとして利用するほうがよいというようなことを言っていますが、そのほうがいいのでしょうか？

証明の中で使われている定理はプログラミングでいうモジュールのようにいかに利用するかだけを考えればいいのでしょうか？

状況次第

オイラーのトーシェント関数をφとして, そのn回合成をφ(n)とするとき, 正の整数mに対してnがφ(n)(m)=1を満たす最小のnとする.
この時nのオーダーはランダウのビッグO記法でどれぐらいになりますか？
n=O(log(m))ぐらいになりそうだとは思うんですがもっと良い上界があるかもしくはもっと緩くすべきなのか…

f(x) を区間 [-π, π] で積分可能な関数とします。

このとき、

∫_{-π}^{π} f(t) dt = ∫_{x-π}^{x+π} f(x-t) dt

が成り立ちます。

置換積分の公式は使えませんので、定義に戻って確かめる必要があります。
確かに自明ですが、松坂和夫著『解析入門中』で、この事実を何の注釈もなく、当たり前のように使っています。

これはありですか？

あり

それを自明と思えんなら読む資格なし

解析的に解けない微分方程式で一番シンプルなのはなんでしょうか？

>>259

ありがとうございます。


「f(x) を R で定義された周期 2*π の連続関数とする。
f(x) は R で一様連続である。」

この命題は明らかですが、きちんと証明を書いてください。
証明は、できるだけシンプルかつ自然かつエレガントなものをお願いします。

>>258
積分区間は、小さい方から大きいだとおもってたが
それだと逆転してるが平気なのか?
それ以外、問題ない、いっしょだろ

>>263

下端 = x-π < x+π = 上端

です。

>>262
イヤです
自分でやりなさい
できないならその本は諦めなさい

右辺、左辺で、tのプラスマイナスが逆転してるじゃん

自分がまちがってた
もとのでいいんだ

>>262

証明：

f(x) は [-π, 3*π] で連続であるから、 [-π, 3*π] で一様連続である。
よって、任意の正の実数 ε に対して、 x, y ∈ [-π, 3*π] かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε となるような正の実数 δ が存在する。

(1) 2*π < δ である場合。

x, y ∈ R かつ |x - y| < δ とする。
x - 2*m*π ∈ [-π, π] となるような整数 m が存在する。
y - 2*n*π ∈ [-π, π] となるような整数 n が存在する。

x - 2*m*π, y - 2*n*π ∈ [-π, 3*π] かつ |(x - 2*m*π) - (y - 2*n*π)| ≦ 2*π < δ であるから、
|f(x) - f(y)| = |f(x - 2*m*π) - f(y - 2*n*π)| < ε である。

(2) δ ≦ 2*π である場合。

x, y ∈ R かつ |x - y| < δ とする。

x = y であるとき、 |f(x) - f(y)| = 0 < ε　である。

x ≠ y であるとき、一般性を失わずに、 x < y と仮定できるからそう仮定する。
y - x < δ ≦ 2*π である。

x - 2*n*π ∈ [-π, π] となるような整数 n が存在する。
-π ≦ x - 2*n*π < y - 2*n*π < (x + 2*π) - 2*n*π = (x - 2*n*π) + 2*π ≦ 3*π である。

よって、
x - 2*n*π, y - 2*n*π ∈ [-π, 3*π] かつ |(x - 2*n*π) - (y - 2*n*π)| = |x - y| < δ であるから、
|f(x) - f(y)| = |f(x - 2*n*π) - f(y - 2*n*π)| < ε である。

パーセヴァルの等式は成り立つが、フーリエ級数はもとの関数に収束しないような例ってありますか？

両辺が無限大の場合

y = f(x) は x = a で微分可能であるとし、 b := f(a) とおく。
z = g(y) は y = b で微分不可能であるとする。

このとき、

z = g(f(x)) は x = a で微分不可能であると言えるか？

言えない

f(x) ≡ b (定数関数) なら g(f(x)) = g(b) の定数関数
当然、微分可能

前>>244
>>218
(1/6)^30(5/6)^70=5^70/6^100
同様に(1/6)^b(5/6)^(a-b)=5^(a-b)/6^a
∴｛2・5^(a-b+2)｝/｛3・6^(a-1)｝%

それだと(a,b)=(1,2)のとき5/36になるな

>>270, 272-273
ありがとうございました。

f_n(x) が f(x) に一様収束するとき、 (f_n(x))^2 は (f(x))^2 に一様収束する

はいえますか？

6が一回
×◯◯◯◯◯
◯×××××
◯×××××
◯×××××
◯×××××
◯×××××
10/36

>>276
言えない
いつまでそんなレベルの話してんの

[a, b] で、連続な関数列 {f_n} が f(x) に一様収束するとき、 f_n^2 は f^2 に一様収束する。

証明：

有名な定理により、 f(x) は [a, b] で連続である。

M := max {f(x) | x ∈ [a, b]}
M_n := max {f_n(x) | x ∈ [a, b]}
m := min {f(x) | x ∈ [a, b]}
m_n := min {f_n(x) | x ∈ [a, b]}

とおく。

n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < 1 for any x ∈ [a, b]
n > N ⇒ m - 1 ≦ f(x) - 1 ≦ f_n(x) ≦ f(x) + 1 ≦ M + 1 for any x ∈ [a, b]
min{m_1, …, m_N, m+1} ≦ f_n(x) ≦ max{M_1, …, M_N, M+1} for any x ∈ [a, b]
∴∃K such that |f_n(x)| ≦ K for any n and for any x ∈ [a, b]

ε を任意の正の実数とする。
n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε for any x ∈ [a, b]
n > N ⇒ |f_n^2(x) - f^2(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * |f_n(x) + f(x)| ≦ |f_n(x) - f(x)| * (|f_n(x)| + |f(x)|) < (K + |f(x)|)*ε for any x ∈ [a, b]
∴f_n^2 は f^2 に一様収束する。

>>278
連続という条件をつけると言えますね。

>>279

今、演習問題を見ていたら、一様有界という概念が書いてありました。

>>280
勝手にコンパクトという仮定いれればそら言える
もしコンパクトという条件があるならその旨明記しないと正しい答え出せるはずがない
そんな事も未だにわかってないからダメなんだよ
いつまでこんな事やってんの？
もう自分でもわかってるんじゃないの？
君には無理だよ

個別知識だけ集めてもなー

前>>274訂正。
>>218
(1/6)^b(5/6)^(a-b)×10^2=5^(a-b+2)/｛2^(a-2)3^a｝
∴ 5^(a-b+2)/｛2^(a-2)3^a｝%

前>>284検証。
たとえば2回振って1回4を出す確率は、
5(a-b+2)/｛2^(a-2}3^a｝にa=2,b=1を代入すると、
5^3/(2×3^2)=125/18
=6.944……(%)
7%弱か。そんなもんだろ。

複素平面上の円周C:|z|=1と、Cの周上または内部に定点A(α)がある。
C上を動点Pが一周するとき、PにおけるCの接線をl_P、l_Pに関してAと線対称な点をQ(w)とする。
u=w^2-wとするとき、点R(u)が動いてできる領域をαで表せ。

前>>284検証を訂正。
たとえば2回振って1回4を出す確率は、
5(a-b+2)/｛2^(a-2}3^a｝にa=2,b=1を代入すると、
5^3/3^2=125/9
=13.88……(%)
1回さいころ投げて4が出る確率は1/6
2回目4が出ない確率は5/6
掛けると5/36
逆に1回目4が出ず2回目4が出る確率は(5/6)(1/6)=5/36
足して5/36+5/36=10/36
=5/18
百分率で5/18×100=500/18
=250/9
=27.7…(%)
ちょうど倍だな。

>>257
これ分かる方いますか？

>>218
これを正規分布近似で計算するとき
P[X<31] - P[X<30]
P[X<30.5] - P[X<29.5]
P[X<30]-P[X<29]
のどれで計算するのが正しいやり方？
どれも、0.0003808148に近似しないだけど？

>>257
こういうのは、面白い問題教えてーなスレでさも自分は答え知ってる風に出題すると誰かが教えてくれる

あそこはなるべく答えあるやつにしてほしいんだがな

ここまでレスつかないんだから解けないんでしょ

何回操作でアルゴリズムが終了するか？系の問題は難問多そう

>>286お願いします

C[2021,314]を3で割った余りを求めよ。

>>294
答は分からないけど、どんな形状になるのかは興味があったのでAの位置をランダムに選んで描画してみた。
軌跡に重なりがあるのでモンテカルロ法で数値解を出すのも難しそう。


https://i.imgur.com/i0pnefD.gif

動き始めるまで数秒かかります。

>>295
Wolfram先生のお告げでは
余り０で商は
301983115909103483509004063940644603909090817284162792879834706942678752925627499240204407980065868314025660690154546773808290452918116762380038082112282892615967360242777120758819027974503024206472930141071558921465590250303826575057958274872586222281214425256648508964861643928802042093601868475224808866213147030426789706606859944301892801477395393158600292428157672301414000

>>294
w=2e^(iθ)-α'e^(2iθ) (α'はαの複素共役)
でw^2-wを計算する、かな

>>295
Lucasの定理

2021 = 729×2 + 243×2 + 27×2 + 9×2 + 3 + 2
= 2202212 (三進)
312 = 243+27×2+9+3×2
= 102120 (三進)

2202212
- 102120
─────
2100022
繰り下げが出るから3の倍数
繰り下げが出ない素数を選ばないと面白くない

>>261
シンプルかどうか分からない問題だが…

〔レヴィの方程式〕
　u(x,y,z)
　(∂u/∂x) +ｉ(∂u/∂y) + 2ｉ(x+ｉy)(∂u/∂z) = f(z),
右辺はzのみの実関数であり、解析的ではない。

(大意)
もしもこの方程式が C^1 級の解uをもてば、
右辺のfは必然的に解析関数でなければならない。

Hans Lewy (1958)
数セミ増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社 (1989)
　p.69

単に求積法で解けない意味かと思った

dy/dx=e^(x^2) 単に初等関数で積分できないこういうのとか？

解が初等関数で書けない有名かつシンプルな微分方程式ならAiry方程式y''=xyもなかなか

それよりシンプルは思いつかんな

面白い大学入試問題を教えて下さい

空集合{}が基底を持つことを証明せよ。

{0}が基底を持つことを証明せよ。

どの分野の問題だ？

>>308
linear algebra

空集合の基底とは？
少なくともベクトル空間ではないが

>>310
>>307

{0}は0次元
つまり基底は0個

nCk=pとなる整数n,k,p(n≧k≧0)の組(n,k,p)は何組あるか。
ただし0C0=1とする。

>>313
訂正

pを正整数の定数とする。
nCk=pとなる整数n,k(n≧k≧0)の組(n,k)の数をpで表せ。
ただし0C0=1とする。

xy平面上の2つの楕円C,Dがあり、それぞれの周上の点(x,y)は
C:2x^2+y^2=1
D:x^2+2y^2=1
を満たす。
C上の(1/√2,0)に点Pがあり、時刻t=0でC上を反時計まわりに動きはじめ、一周したところで停止する。
またD上の(0,1/√2)に点Qがあり、時刻t=0でD上を反時計まわりに、かつ∠POQ=90°となるように動き、一周したところで停止する。
P,Qの中点Rの描く軌跡上の点で、原点からの距離が最大となるものを全て求めよ。

回る直角二等辺三角形

>>316
それが分かっても問題を解くことには繋がりません

OR=OP/√2

>>315
幾何学の濫觴：作図して計測

https://i.imgur.com/5EmkZ7D.png

https://i.imgur.com/5muktp7.png

測定は道具をつかって

R <- Vectorize(function(t){
p1=cos(t)/sqrt(2)
p2=sin(t)
q=2*pi-t
q1=sin(q)
q2=cos(q)/sqrt(2)
r1=p1/2+q1/2
r2=p2/2+q2/2
OR=r1+1i*r2
abs(OR)
})
optimize(R, c(0,2*pi))

> optimize(R, c(0,2*pi))
$minimum
[1] 3.141593

$objective
[1] 0.5

t=πのとき最小値0.5と数値解がでる。
答がでたら、辻褄合わせの理屈を考えればよいｗ

>>319
やはり、動画にした方が説得力があるな。
https://i.imgur.com/EtfxHrI.gif

罵倒厨ってこういう動画は作れないみたいね。
できるのは罵倒だけｗ

>>319
求めるのは最大値だった。
> optimize(R, c(0,pi),maximum = TRUE)
$maximum
[1] 1.570796
$objective
[1] 0.7071068

t=π/2, 3/2πのとき1/√2が最大値

>>321
こういう簡単な問題を出題すると厳密解を返してくれるのですね。
次はもう少し難しくしますのでよろしくお願いいたします。

マルチジジイしつこいぞ。
本当は統計も期待値もプログラムも理解していないのに御託を並べて滑稽だな。

厳密解wwww
当て推量やんwwwwwww

動画作成のプログラムを組むのがそれなりに楽しめる。
罵倒しか楽しみのない人がいるみたいだね。

罵倒って事実述べてるだけですがな
「0.7.71..だから1/√2(ｷﾘｯ)」っていつまでこのレベルなんwww
前に代数計算の方法例示してやったやん？
意味わからないならせめていつものお得意の“思考0”でRに移植したらええがな
あれもう何ヶ月も前やろ？
一歩も進んでませんがなwwwwww
無理ならもうMathematica買えよ
0.7.01‥って、おもちゃ箱じゃなくてゴミ箱行きですがなwwwww

>>326
動画も作れないガイジがなんか言ってる。

>>326
数値作成に用いた関数を数式に起こせばいいだけだから興味あればやれば？

>>328
興味なんかあるわけなかろう？wwwwwww

>>329
興味の問題じゃなくて動画作成できないんじゃないの？
粘土じゃ無理だし。

スルーしときゃいいのに

>>314
pは2以上？

>>319
> 幾何学の濫觴：作図して計測

測量工学じゃねぇか大嘘吐きめ
幾何学は工学じゃねぇぞ大莫迦野郎が

数値解好きな人向けの出題です。

C[2021,334]を4で割った余りを求めよ。

[1,1,1,1,1,1,0,0,1,0,1]
[0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0]
[1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1]

シミュレーション好きな方向けの出題です。

n個の箱とk個の玉があり、玉を1つずつ箱に投げ入れる。1つの玉がどの箱に入るかは同様に確からしい。
k個全ての玉が箱に入ったあと、入っている玉の数が最も多い箱の1つをA、最も少ない箱の1つをBとし、Aに入っている玉の個数をM、Bに入っている玉の個数をmとする。
M-mの期待値をn,kで表せ。

>>335
　2進法で繰り上がり4回だから、2で4回割り切れる。

n! の 2ベキ指数 は
　 [n/2] + [n/4] + [n/8] + ･････ = n - {nの2進表示中の「1」の数}

足し算のとき繰り上がると「1」が減るから 1 増える。

>>335
[1,0,1]
[1,1,0]

[0,1,0,1]
[1,1,1,0]

[1,1,0,0,1,0,1]
[1,0,0,1,1,1,0]

[1,1,1,0,0,1,0,1]
[0,1,0,0,1,1,1,0]

[1,1,1,1,0,0,1,0,1]
[1,0,1,0,0,1,1,1,0]

>>334
17829777589108096114928584776740198149977236119423589048089282609254256312774091965579392628987898910938486814893307546221525273615966024639215985452355141962098376242775384214399378198557575866830393869210247127632912772901643120824322530265573285857439030847245077551768449122375439512178326674991634237773196473280183634247945246941264456506966197645453665954314442051697912987168306268500×4 + 0

pを素数の定数とする。
k≦nなる正整数の組(n,k)で、nCk=pとなるものをすべて求めよ。

nCkの素因子は全てn以下ゆえコレが素数になるにはnCk≦nが必要
k=1,n-1ではnC1=nで‥
2≦k≦n-2の時nCk≧nC2によりn(n-1)/2≦nが必要でn≦3が必要
以下略

連続するk個の自然数の積はk!で割り切れるっていうことは
素数が局所的に多くあるときは約数の多い数も多くなるって言える？

C[2n+m,m]

>>344 訂正
C[n+2k,k]

>>343
素数は約数が少ないに決まっとる

>>342
不正解です

>>347
正解やろ

>>342 の趣旨は
　k=0,n のとき　nCk = 1,　∴ 不適
　k=1,n-1 のとき　nCk = n,
　n≧3 かつ 2≦k≦n-2 のとき　nCk > n,　∴ 合成数 で 不適
から
　pC1 = pC(p-1) = p
に限る…

ねね、nを1以上の整数とした時、6n-1と6n+1の両方が素数の時それは双子素数だよね
6n-1と6n+1のどちらも合成数の時、そのいちばん小さいnってどのぐらいなの？

20

ほんとだ、100ぐらいでもうでてきちゃうのね
ありがとうございました！

５人でジャンケンをして最後に残った一人が賞品をもらえる。
一度負けた人は以後のジャンケンには参加しない。
太郎と次郎は談合して
　二人が参加している間は太郎はグー・チョキ・パーの順に出して
　次郎はチョキ・パー・グーの順に出すことに決めた。
　太郎が勝者になったら賞品は次郎と山分け。

太郎の勝利確率は0.25であるか検討せよ。

a,bは正整数の定数とする。
数列{x[n]}を
x[1]=a,x[2]=b,x[n+2]=x[n+1]+x[n]
により定める。

このとき「aとbは互いに素である」ことは、「任意の正整数kについてx[k+1]とx[k]は互いに素である」ための、

(A)必要条件である
(B)十分条件である
(C)必要十分条件である
(D)必要条件でも十分条件でもない

のいずれであるか。

C

あ、A、Bも間違いではないなw

少なくとも7*5!+1までに出ることはわかる
実際には順番に試していくしかないだろうな

5と6と7の最小公倍数が210だから216の前後は6n-1だが5の倍数と6n+1だが7の倍数
もっと小さいのがあるかどうかはしらみつぶしになるのかなあ？

方程式
(x^x)-x-2=0
の解を全て求めよ。

xlogxは凸
expは単調増加凸
∴x^xは凸
x=0までfx)=x^x-x-2を拡張して
f(0)=-1, f(1)=-2, f(2)=0
より解はx=2のみ

（正の）実数解限定だったの？

負の実数で幾何学的な(geometricな)べきと解釈するならlogのどのブランチをとるのか指定がないから解けない
負の整数まで入れて算術的な(arithmeticな)べきと解釈するなら(その場合一つの問題の中に違う意味のべきが混在する事になるけど)x=-1の場合を除いてx^x-x-2は代数的整数になり得ないしx=-1は解ではない