Hartshorne "Algebraic Geometry"の演習問題を解くスレ

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k: algebraic closed field.
A(X): affine coordinate ring of an affine algebraic subset X.


Exercise I.1.1

(a) Let Y be the plane curve y = x^2. Show that A(Y) is isomorphic to a polynomial ring in one variable over k.

(b) Let Z be the plane curve xy = 1. Show that A(Z) is not isomorphic to a polynomial ring in one variable over k.

(c) Let f be any irreducible quadratic polynomial in k[x, y], and let W be the conic defined by f. Show that A(W) is isomorphic to A(Y) or A(Z). Which one is it when?

let fbiは草。

>>3
(a)
k代数の準同型h: k[x, y] → k[t]を、h(x) = t, h(y) = t^2となるものとして定める。
hは全射である。Ker(h) = (y - x^2)を示す。

Ker(h)⊃(y - x^2)は明らか。

f ∈ Ker(h)を任意に取る。k(x)[y]はEuclid整域なので、

f = q(x, y)(y - x^2) + r(x)
（rはyの0次式）

となるq, r∈k(x)[y]が一意的に存在する。
hを自然にk(x)[y]上の準同型だと思うと、h(f) = h(y - x^2) = 0, h(r(x)) = r(t)なので、r = 0である。

y - x^2は既約なので、以下の補題より、q(x, y)∈k[x, y]である。よって、Ker(h)⊂(y - x^2)。□


補題:
RをUFD、KをRの商体とする。
f∈R[X]を任意の多項式、g∈R[X]を原始多項式とする。もし、q∈K[X]が存在して

f = q g

となるならば、q∈R[X]である。

証明:
RはUFDなので、適当なu∈Kを用いて、uqをR[X]の原始多項式にできる（qの係数の分母の最小公倍数をかけて、分子の最大公約数で割ればよい）。よって、

uf = (uq) g。

uq, gはR[X]の原始多項式であるから、Gaussの補題より、ufもR[X]の原始多項式である。よって、uの分子はRの単元でなければならない。□

>>3
(b)
環の同型h: A(Z) = k[x, y]/(xy - 1) → k[t]が存在したとする。

kの元, x, yの同値類は、A(Z)の単元であるから、hによってk[t]の単元に写像されなければならないが、これは全射性に反する。□

>>3
(c)
kの標数が2でない場合にのみに示す。

ax^2 + bxy + cy^2
= [x, y] t[[a, b/2], [b/2, c]] t[x, y]（tは転置）

なので、Wは直交行列による座標変換で、

λx^2 + μy^2 + dx + ey + f

で定義される曲線と同形である。ただし、λとμは上記の対称行列の固有値であり、同時にゼロとなることはない。

(1) λ μ = 0ならば、A(W)〜A(Y)
(2) λ μ ≠ 0ならば、A(W)〜A(Z)

である。

以下、適当な座標変換によって、Wを定義する方程式がfからgに変わるのを、f→gと略記する。

(1)
λ = 0, μ ≠ 0の場合を示せばよい。
y方向の平行移動により

μy^2 + dx + ey + f
→y^2 + d' x + f'

x方向の平行移動により

y^2 + d' x + f
→y^2 + d' x

Wは既約なので、d' = 0である。よってx方向の拡大により

y^2 + d' x
→ x - y^2。

(2)
平行移動により

λx^2 + μy^2 + dx + ey + f
→ λx^2 + μy^2 + f'

kは代数閉体なので、適当なa, b, c, dを用いて、λx^2 + μy^2 = (ax + by)(cx + dy)と因数分解できる。それぞれの因数をx, yとして

λx^2 + μy^2 + f'
→xy - f'

Wは既約なので、f'≠0。よって、適当に拡大して

xy - f'
→ xy - 1。□

UFOは安いしおいしいしよく眠れる🤗。

Exercise I.1.2

Let Y⊂A^3 be the set Y := {(t, t^2, t^3) | t∈k}. Show that Y is an affine varietiy of dimension 1. Find generator for the ideal I(Y). Show that A(Y) is isomorphic to a polynomial ring in one variable over k.

>>9
まず、k[x, y, z]/(y - x^2, z - x^3) 〜 k[t]を示す。

k[x, y, z]/(y - x^2, z - x^3)
〜(k[x, y]/(y - x^2))[z]/(z - x^3)

>>5より、k[x, y]/(y - x^2))〜k[s]。再び>>5と同様にして、k[s, z]/(z - x^3)〜k[t]。

特に、(y - x^2, z - x^3)は素イデアルである。J := (y - x^2, z - x^3)とおく。I(Y) = Jを示す。
V(J) = Yなので、Hilbertの零点定理の系（本文Cor 1.4）より、I(Y) = √J。Jは素イデアルなので、I(Y) = J。

以上より、A(Y) = k[x, y, z]/J 〜 k[t]なので、Yは一次元の既約代数的集合。I(Y)の生成元は、y - x^2, z - x^3。□

Excercise I.1.3

Let Y be the algebraic set in A^3 defined by the two polynomials x^2 - yz and xz - x. Show that Y is a union of three irreducible components. Describe them and find their prime ideals.

>>11
以下のイデアルで定義される代数的集合が既約であり、Yがそれら3つの合併であることを示す:

I_1 := (x, y)
I_2 := (x, z)
I_3 := (z - 1, x^2 - y)。

A := k[x, y, z]とおく。A/I_1〜k[z], A/I_2〜k[y], I_3〜k[t]（∵>>5）なので、I_1, I_2, I_3は素イデアルである。したがって、V(I_1), V(I_2), V(I_3)は既約である。
Y = V(I_1)∪V(I_2)∪V(I_3)であることは、容易に分かる。□

Exercise I.1.4

If we identify A^2 with A^1 × A^1 in the natural way, show that the Zariski topology on A^2 is not the product topology of the Zariski topologies on the two copies of A^1.

>>13
kが無限の場合のみ示す（代数閉体ならOK）。

X := A^2、Y := A^1 × A^1とおく。XにはA^2のZariski位相、YにはA^1のZariski位相の積位相が入っているものとする。
Uを、x - yで定義されるXの代数的集合の補集合とすると、UはXの開集合である。UがYの開集合では無いことを示す。
y∈Uを任意に取る。もし、Uが開集合ならば、A^1の開集合V, Wで、

y ∈ V × W ⊂ U

となるものが存在する。A^1の開集合は、空集合であるか、A^1から有限個の点を除いたものである。

V, Wのいずれかが空集合ならば、V × Wはyを含まない。
V = A^1＼{p_1, ..., p_n}, W = A^1＼{q_1, ..., q_m}のときは、r∈A^1＼{p_1, ..., p_n, q_1, ..., q_m}を取れば（∵kが無限なので取れる）、(r, r)∈V × Wなので、V × WはUに含まれない。
よって、UはYの開集合ではない。□

Exercise I.1.12

Give an example of an irreducible polynomial f ∈ R[x, y], whose zero set Z(f) in A^2 is not irreducible.

>>15

f = x^2 + ((y(y - 1))^2

とおく。fが分解するなら、xの2次式と0次式の積、またはxの2つの1次式の積にならないといけないが、係数を比較すればそれは無理だと分かる。よって、fは既約。
一方、

Z(f) = {(x, y) = (0, 0), (0, 1)}

であり、これは2つの閉集合V(x, y), V(x, y - 1)の集合だから、既約ではない。□

>>16
> これは2つの閉集合V(x, y), V(x, y - 1)の集合だから、
→これは2つの閉集合V(x, y), V(x, y - 1)の和集合だから、

イッチ失踪したか

解答付きの本があるんだろ？