>>3
(a)
k代数の準同型h: k[x, y] → k[t]を、h(x) = t, h(y) = t^2となるものとして定める。
hは全射である。Ker(h) = (y - x^2)を示す。

Ker(h)⊃(y - x^2)は明らか。

f ∈ Ker(h)を任意に取る。k(x)[y]はEuclid整域なので、

f = q(x, y)(y - x^2) + r(x)
（rはyの0次式）

となるq, r∈k(x)[y]が一意的に存在する。
hを自然にk(x)[y]上の準同型だと思うと、h(f) = h(y - x^2) = 0, h(r(x)) = r(t)なので、r = 0である。

y - x^2は既約なので、以下の補題より、q(x, y)∈k[x, y]である。よって、Ker(h)⊂(y - x^2)。□


補題:
RをUFD、KをRの商体とする。
f∈R[X]を任意の多項式、g∈R[X]を原始多項式とする。もし、q∈K[X]が存在して

f = q g

となるならば、q∈R[X]である。

証明:
RはUFDなので、適当なu∈Kを用いて、uqをR[X]の原始多項式にできる（qの係数の分母の最小公倍数をかけて、分子の最大公約数で割ればよい）。よって、

uf = (uq) g。

uq, gはR[X]の原始多項式であるから、Gaussの補題より、ufもR[X]の原始多項式である。よって、uの分子はRの単元でなければならない。□