>稠密性と連続性の違いを説明してみて下さい
解答書いときますね

全順序集合Rのデデキント切断(R1,R2)（R1を下組とする）が以下のいずれか一つを満たす時、Rは連続であると言う。
・R1に最大元が存在する
・R2に最小元が存在する

有理数全体の集合Qが連続でないことは次の反例で示される。
Qを
({q∈Q|q^2≦2 or q<0}, Q\{q∈Q|q^2≦2 or q<0})（\は補集合の記号）
とデデキント切断したとき、下組に最大元は無く、かつ、上組に最小限は無い。
従ってQは稠密であるが連続でない。