数列どうのこうのは、興味ないので
別の質問させてください

数の大小関係において1=0.9999.....で同値関係でも
割り算の余りの定義(余り<割る数)から
1/1=1ではあるけど
1/1≠0.9999.....
0.9999..../0.9999....=1ではあるけど
0.9999..../0.9999....≠0.9999.....

1/1=0.9999....とするには、余りの定義(余り<=割る数)に変更するしかない

なので通常の割り算の条件下では、
1≠0.9999...同値ではないで良いんだよね？
少なくとも同一集合の同一元ではないは、言えるよね？
(大小関係は、触れていない)